WikiPrépaLivrets

CCINP Mathématiques 2 TSI 2012Sujet et corrigé

Pas encore noté
Logo concours CCINP

Explorer les annales

BanqueCCINPAnnée2012FilièreTSIMatièreMathématiques
Annales CCINP TSI MathématiquesCCINP TSI 2012TSI MathématiquesMathématiques 2012

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Corrigé 3
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 3 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

L'objectif de ce problème est d'étudier la fonction F : x ↦ ∫_0^x e^(− t^2) dt, ainsi que l'intégrale I = ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt, appelée intégrale de Gauss.
Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes les unes des autres.
L'ensemble des nombres réels sera noté R.

Partie I : existence de F et de I

Soit f la fonction définie sur [0, + ∞[ par, pour tout x de [0, + ∞[, f(x) = e^(− x^2).
  1. a. Donner le tableau de variations de f. On fera figurer les limites en 0 et en + ∞.
  2. b. Tracer la courbe représentative de f. On précisera la demi-tangente en (0, 1) et l'asymptote.
  3. Démontrer que F est définie et de classe C^1 sur [0, + ∞[ et donner sa dérivée. On citera précisément le théorème utilisé.
  4. Montrer que l'intégrale I = ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt est convergente.

Partie II : calcul de I : première méthode

On pose, pour tout x de [0, + ∞[, G(x) = ∫_0^1(e^(− x^2(1 + t^2)))/(1 + t^2) dt.
  1. Montrer que G est bien définie et de classe C^1 sur [0, + ∞[. On pourra montrer que pour tout réel a strictement positif, la restriction de G à l'intervalle [0, a] est de classe C^1. Donner l'expression de G^′(x).
  2. a. Montrer que la fonction H = F^2 + G est constante. On pourra faire un changement de variable linéaire dans l'une des intégrales apparaissant dans la dérivée de H.
  3. b. Calculer cette constante en considérant x = 0.
  4. a. Montrer que, pour tout (x, t) ∈ [0, + ∞[ × [0, 1] : 0 ⩽ (e^(− x^2(1 + t^2)))/(1 + t^2) ⩽ e^(− x^2).
En déduire que : lim_(x → + ∞)G(x) = 0.
3. b. Déduire de ce qui précède que I = (√π)/2.
4. Étudier les variations de F sur [0, + ∞[. Tracer sa courbe représentative en précisant la demi-tangente en (0, 0) et l'asymptote.

Partie III : calcul de I : deuxième méthode

  1. Si R est un réel strictement positif, on note D(R) = {(x, y) ∈ R^+ × R^+, x^2 + y^2 ⩽ R^2}.
On pose : J(R) = ∬_(D(R))e^(− (x^2 + y^2))dx dy.
En utilisant un changement de variables en coordonnées polaires, montrer que :
J(R) = π/4(1 − e^(− R^2))
  1. Si R est un réel strictement positif, on note Γ(R) le carré [0, R] × [0, R].
Exprimer K(R) = ∬_(Γ(R))e^(− (x^2 + y^2))dx dy en fonction de F(R).
3. a. Représenter les trois ensembles D(R), Γ(R) et D(√2R) sur un même croquis.
3. b. Montrer que pour tout R strictement positif : J(R) ⩽ K(R) ⩽ J(√2R).
4. En déduire que K(R) admet une limite lorsque R tend vers + ∞ et la déterminer.
5. Retrouver, grâce à ce qui précède, la valeur de I.

Partie IV : développements en séries entières

Soit g la fonction définie sur R par, pour tout x de R, g(x) = e^(x^2)F(x).
Dans cette partie, on désire étudier le développement en série entière des fonctions F et g.
  1. a. Rappeler, sans démonstration, le développement en série entière sur R de la fonction u ↦ e^u.
  2. b. En déduire que la fonction notée encore f : x ↦ e^(− x^2) est développable en série entière sur R, et donner son développement.
  3. a. Montrer que F est développable en série entière sur R. On citera précisément le théorème utilisé.
  4. b. Donner le développement en série entière de F sur R.
  5. On s'intéresse maintenant à la fonction g définie au début de cette partie.
On considère l'équation différentielle (E) suivante : y^′ − 2xy = 1.
On désire déterminer les solutions de (E) développables en série entière et s'annulant en 0 , puis en déduire que g est développable en série entière sur R.
3. a. Soit ∑a_n x^n une série entière de rayon de convergence R > 0, dont la somme sur l'intervalle ] − R, R [ est notée y. En supposant que y est solution de (E) sur l'intervalle ] - R, R[ et que a_0 = 0, montrer que a_1 = 1 et que, pour tout n ⩾ 1 : a_(n + 1) = 2/(n + 1)a_(n − 1).
3. b. En déduire que, pour tout entier naturel n, a_(2n) = 0 et a_(2n + 1) = (2^(2n)n!)/((2n + 1)!).
3. c. Réciproquement, on considère la série entière ∑(2^(2n)n!)/((2n + 1)!)x^(2n + 1). Calculer son rayon de convergence. En déduire que sa somme est solution de (E) sur R et s'annule en 0 .
3. d. Montrer que g est solution de l'équation ( E ) sur R et s'annule en 0 .
3. e. Déduire de ce qui précède que g est développable en série entière sur R. Donner son développement. On citera précisément le théorème utilisé.

Fin de l'énoncé

Pas de description pour le moment