CCINP Mathématiques 2 TSI 2009Sujet et corrigé

Les calculatrices sont autorisées
N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On considère le plan vectoriel euclidien P_(rapporté à une base orthonormée)R_0 = i⃗, j⃗.
Pour les dessins, on munira la feuille de papier millimétré d'une origine O placée au centre de la feuille et on représentera le vecteur m⃗ par le point M tel que m⃗ = OM^(→−).
Soit B = I⃗, J⃗ une autre base de p, non nécessairement orthonormée. Si m⃗ est un vecteur de p, on notera x, y ses coordonnées dans K_0 et u, v ses coordonnées dans K. On notera X et U les matrices colonnes :

et on notera P la matrice de passage de K_0 à K.
On s'intéresse à la courbe γ d'équation u^2 + v^2 = 1 (on notera qu'il s'agit d'une équation donnée dans la base B ).
La transposée d'une matrice A se notera ^t A.
On munit ℝ^2 de son produit scalaire usuel : si Y et Z sont deux éléments de ℝ^2 avec Y = ((y_1)/(y_2)) et Z = ((z_1)/(z_2)) on pose Y|Z = ^t YZ = y_1 z_1 + y_2 z_2; on définit également : ‖Y‖ = √(Y|Y) la norme de Y.

Vous pouvez utiliser votre calculatrice pour faire certains calculs à condition de le mentionner sur votre copie

Pla - Donner une relation entre les matrices P, X et U.
P1b - Considérons l'exemple suivant : I⃗ = 2i⃗ et J⃗ = j⃗. Justifier sommairement sans utiliser la relation ci-dessus qu'on a alors :

Écrire la matrice P correspondante, puis vérifier sur cet exemple la validité de la formule obtenue au Pla.
P2 - Quelle est la nature de γ lorsque B est orthonormée?
P3a - Pour P_0 = (2, 3; 0, 2), donner la matrice inverse Q_0 = P_0^(− 1).
P3b - Calculer la matrice A_0 = ^t Q_0 Q_0. Déterminer les valeurs propres de A_0, puis donner une matrice orthogonale R_0 et une matrice diagonale D_0 telles que R_0^(− 1)A_0 R_0 = D_0.
P4 - Soient trois réels a, b et c vérifiant ab − c^2 > 0. Justifier sommairement que la courbe C d'équation ax^2 + by^2 + 2cxy = 1 (dans R_0 ) est soit une ellipse, soit un cercle, soit l'ensemble vide.

On suppose dans cette partie que P = (2, 3; 0, 2).
On appelle D_(I⃗) et D_(J⃗) les droites engendrées respectivement par I⃗ et par J⃗. Soit s la symétrie par rapport à D_(I⃗) et de direction D_(J⃗).
I. 1 - Donner les coordonnées u^′, v^′ dans B de sm⃗ en fonction des coordonnées u, v de m⃗ dans B.
I. 2 - On appelle γ^+l'intersection de γ avec le demi-plan d'équation v ≥ 0, ainsi que γ^− l'intersection de γ avec le demi-plan d'équation v ≤ 0.
Justifier que γ^− = sγ^+, puis que γ est la réunion de γ^+et de sγ^+.
I. 3 - Prouver que si m⃗ ∈ γ, alors u ∈ − 1; 1.
I. 4 - Déterminer alors une fonction φ définie sur − 1; 1 telle que γ^+soit la courbe représentative de φ dans la base K.
I. 5 - Le dessin de γ est le suivant :

Expliquer en quoi les résultats des questions I. 1 à I. 4 permettent de l'obtenir. Décrire quelle est la partie du dessin correspondant à γ^+.
I. 6 - Donner l'expression des coordonnées u,v d'un vecteur m⃗ dans K en fonction de ses coordonnées x, y dans K_0. En déduire qu'une équation de γ est:

I. 7 - Justifier que γ est une ellipse dont on donnera un vecteur directeur de chacun des deux axes, les demi-longueurs a et b du grand et du petit axe, ainsi que l'excentricité e. On pourra utiliser la réduction de la matrice A_0 de la question P 3 .

On revient au cas général. La matrice P désigne donc une matrice inversible quelconque d'ordre 2.
II. 1 - Justifier que m⃗ ∈ γ si et seulement si ^t UU = 1.
II. 2 − On pose Q = P^(− 1) et A = ^t QQ. Justifier que m⃗ ∈ γ si et seulement si ^t XAX = 1.
II. 3 - Montrer que A est symétrique. En déduire qu'il existe une base orthonormale K^′ dans laquelle l'équation de γ est: λ_1 x^(′2) + λ_2 y^(′2) = 1, où λ_1 et λ_2 sont les valeurs propres de A et où x^′, y^′ désigne les coordonnées de m⃗ dans B^′.
II. 4 - Soit X un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ. Montrer que ‖QX‖^2 = λ‖X‖^2. En déduire que les valeurs propres de A sont positives.
II. 5 - Montrer que A est inversible ; en déduire que ses valeurs propres sont strictement positives.
II. 6 - Justifier que γ est un cercle ou une ellipse dont les axes sont dirigés par les vecteurs propres de A.

Soit f l'endomorphisme dont la matrice dans B_0 est P et soit C le cercle de centre O et de rayon 1 . On pourra utiliser sans démonstration le théorème suivant :

Si C est une courbe de P ayant pour tangente T en a⃗, et si φ est un endomorphisme bijectif de P, alors φC est une courbe qui admet φT pour tangente en φa⃗.

On rappelle par ailleurs qu'on identifie le vecteur a⃗ avec le point A tel que OA^(→−) = a⃗.
III. 1 - Soit m⃗ de coordonnées x, y dans R_0. On appelle u^′, v^′ les coordonnées de fm⃗ dans B. Établir que x, y = u^′, v^′.
III. 2 − En déduire que γ = fC.
III. 3 - En utilisant la droite D d'équation x = 1 (dans B_0 ), montrer que la droite Δ d'équation u = 1 (dans B ) est tangente à γ au point de coordonnées 1,0 dans B.

Déterminer de même la tangente à γ en trois autres points.
III. 4 - Soit λ ∈ 0; 1.

On considère les deux droites D_(1, λ) et D_(2, λ) définies comme suit (les coordonnées sont données dans B_0 ) :

Prouver que D_(1, λ) et D_(2, λ) sont orthogonales.
Justifier alors que D_(1, λ) et D_(2, λ) sont sécantes en un point m_λ de C, puis en déduire une construction du point n_λ = f m_λ.
III. 5 - Construire par cette méthode sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet, l'ellipse obtenue pour la matrice :

On prendra pour ce faire différentes valeurs de λ entre 0 et 1 et on complétera la courbe obtenue par symétrie. On choisira 2 cm pour unité. On fera également figurer certaines tangentes remarquables.
III. 6 - Soit K un parallélogramme et soit A(K) son aire. Montrer que l'aire def(K) est |detf|AK. On admet que plus généralement, si K est une partie de P d'aire A(K) finie, alors l'aire de f(K) est |detf|AK.
En déduire l'aire de la partie bornée du plan délimitée par γ.