Centrale Mathématiques 2 TSI 2009Sujet et corrigé

Dans tout le problème, ( Π ) est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormal direct (O, i⃗, j⃗) et P_1, …, P_k sont k points de ce plan, non contenus dans une même droite passant par O.
On rappelle que, si une ellipse admet dans un certain repère orthonormal direct une équation de la forme (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1, son aire est égale à πab et les points qui sont à l'intérieur de cette ellipse sont ceux dont les coordonnées dans ce repère vérifient: (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) < 1.
On note (Π⃗) le plan vectoriel euclidien engendré par i⃗ et j⃗.
On dira qu'une ellipse est convenable si elle est centrée en O et si tous les points P_1, …, P_k sont à l'intérieur de l'ellipse ou sur l'ellipse elle-même (les axes d'une telle ellipse ne sont pas nécessairement dirigés par i⃗ et j⃗ ).
Une ellipse convenable sera dite optimale si son aire est inférieure ou égale à celle de toute autre ellipse convenable.
Le but du problème est de prouver qu'il existe une ellipse optimale, et une seule.
Pour n entier strictement positif, on note M_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices réelles n × n et S_n(ℝ) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M_n(ℝ). Si A appartient à M_n(ℝ), on note a_(i, j) le coefficient de A qui se trouve à la i-ème ligne et à la j-ème colonne.
Note : on identifie une matrice de M_1(ℝ) avec son unique élément a_(1, 1).

I.A - Soit A ∈ M_2(ℝ), A = (c, d; e, f).
I.A.1) Former le polynôme caractéristique de A.
I.A.2) En déduire la somme et le produit des deux valeurs propres (réelles ou complexes) de A en fonction de la trace de A et du déterminant de A.
I.A.3) On suppose de plus que A est symétrique. Démontrer que A admet deux valeurs propres réelles strictement positives si et seulement si son déterminant et sa trace sont strictement positifs.

Les résultats de la fin de cette partie I sont établis pour un entier n, n ⩾ 2 mais ne seront utilisés, dans la suite du problème, que pour n = 2.
I.B - Soit (i, j) un couple d'entiers tels que 1 ⩽ i ⩽ j ⩽ n. On note M_(i, j) la matrice, appartenant à M_n(ℝ), dont tous les termes sont nuls, à l'exception de m_(i, j) et m_(j, i) qui sont égaux à 1 .
I.B.1) On suppose que n = 3.
a) Il y a 6 couples (i, j) tels que 1 ⩽ i ⩽ j ⩽ 3. Écrire les 6 matrices M_(i, j).
b) Démontrer que les 6 matrices précédentes forment une base de S_3(ℝ).
I.B.2) On revient au cas général : n ⩾ 2.
a) Combien y-a-t-il de matrices M_(i, j) ?
b) Démontrer que tout A ∈ S_n(ℝ) est une combinaison linéaire des matrices M_(i, j).
c) Quelle est la dimension de S_n(ℝ) ?
I.C - On identifie tout élément de ℝ^n à un vecteur colonne V à n lignes. On note ^t V le transposé d'un tel vecteur.
Soit A ∈ S_n(ℝ). On lui associe la forme quadratique q sur ℝ^n telle que

I.C.1) Pour V et V^′ dans ℝ^n, exprimer l'unique terme de ^t VAV^′ en fonction de q(V), q(V^′) et q(V + V^′).
I.C.2) Pour i et j entiers, fixés entre 1 et n, comment choisir V et V^′ pour que l'unique terme de ^t VAV^′ soit égal à a_(i, j) ?
I.C.3) Soient A_1 et A_2 deux matrices dans S_n(ℝ) telles que, pour tout V ∈ ℝ^n, on ait ^t VA_1 V = ^t VA_2 V. Démontrer que A_1 = A_2.
I.C.4) Soient A_1 et A_2 deux matrices dans S_n(ℝ). On suppose que les valeurs propres λ_1, …, λ_n de A_1 sont strictement positives et que pour tout V ∈ ℝ^n, tel que ^t VA_1 V = 1, on ait aussi ^t VA_2 V = 1.
Soit V ∈ ℝ^n, V non nul.
a) Démontrer qu'il existe un vecteur W non nul tel que ^t VA_1 V = ^t WDW, où D est la matrice diagonale ayant λ_1, …, λ_n comme termes diagonaux.
b) En déduire que ^t VA_1 V est un nombre réel strictement positif.

On note r^2 ce nombre.
c) En considérant ^t(V/r)A_1 V/r, montrer que ^t VA_1 V = ^t VA_2 V.
d) Démontrer que A_1 = A_2.

À tout endomorphisme symétrique fde(Π⃗) on associe la courbe C_f, ensemble des points M du plan Π tels que le produit scalaire OM^(→−) ⋅ f(OM^(→−)) soit égal à 1 .
II.A -
II.A.1) Démontrer qu'il existe une base orthonormale directe (i_0→, j_0→) de (Π⃗) telle que C_f admette, dans le repère ( O, i_0→, j_0→ ), une équation de la forme λ_1 x^2 + λ_2 y^2 = 1.
II.A.2) Démontrer que C_f est une ellipse si et seulement si les valeurs propres de f sont deux réels strictement positifs.
II.B - Réciproquement, soit E une ellipse de centre O, dans le plan ( Π ).
II.B.1) Démontrer qu'il existe un endomorphisme f de Π⃗, symétrique et à valeurs propres strictement positives et tel que E soit la courbe C_f associée à f.
On pourra définir cet endomorphisme par sa matrice dans une base orthonormale directe bien choisie de Π⃗.
II.B.2) En utilisant le résultat de I.C-, montrer que cet endomorphisme est unique.
II.C - f étant un endomorphisme symétrique de Π⃗, on note M_f la matrice de f dans la base (i⃗, j⃗).
II.C.1) Démontrer que les trois matrices (− 1, 0; 0, 1), (0, − 1; − 1, 0) et (1, 0; 0, 1) forment une famille libre dans S_2(ℝ).
II.C.2) En déduire qu'on peut associer à f un unique triplet ( α, β, γ ) de réels tels que la matrice M_f s'écrive M_f = (γ − α, − β; − β, γ + α)
II.C.3) Démontrer que f admet deux valeurs propres réelles et strictement positives si et seulement si le triplet ( α, β, γ ) associé à f vérifie les deux propriétés ci-dessous :

II.D - Soit E une ellipse de centre O, dans le plan ( Π ) et f l'unique endomorphisme symétrique qui lui est associé (donc E = C_f ).
Soit (α, β, γ) le triplet associé à f (donc associé à E ).
II.D.1) En se plaçant dans un repère particulier, montrer que les points qui sont à l'intérieur de E ou sur E elle-même sont les points M du plan tels que
OM^(→−) ⋅ f(OM^(→−)) ⩽ 1.
II.D.2) En déduire que ce sont les points M du plan dont les coordonnées dans (O, i⃗, j⃗) vérifient
(γ − α)x^2 + (γ + α)y^2 − 2βxy ⩽ 1,
II.D.3) En reprenant le repère particulier, exprimer l'aire de E en fonction de Det(f), déterminant de f dans une base orthonormale directe.
II.D.4) En déduire que cette aire est égale à π/(√(γ^2 − α^2 − β^2)).

III.A -
III.A.1) Justifier que, si les trois points O, P_i, P_j sont alignés, la suppression dans l'ensemble L = {P_1, …, P_k} de l'un (bien choisi) des deux points P_i ou P_j ne change pas l'ensemble des ellipses convenables.
On suppose donc que pour tous i et j distincts, O, P_i, P_j ne sont pas alignés.
III.A.2) Il en résulte que les points P_i sont tous distincts de O. À chaque point P_i ∈ L on attribue alors un couple ( θ_i, ρ_i ) de coordonnées polaires dans le repère (O, i⃗, j⃗), avec ρ_i > 0.
Soit E une ellipse de centre O, associée à un triplet ( α, β, γ ). Démontrer que P_i est à l'intérieur de E ou sur E elle-même si et seulement si

III.A.3) Quelle est la position de P_i quand cette inégalité est une égalité?
III.B - Démontrer qu'il existe au moins une ellipse convenable.

Dans la suite de cette partie, E_0 est une ellipse convenable quelconque, fixée définitivement, associée au triplet (α_0, β_0, γ_0).

III.C.1) Démontrer que pour tout r ⩾ 1, le triplet ( α_0, β_0, rγ_0 ) est associé à une ellipse E_1 de centre O, d'aire inférieure ou égale à celle de E_0.
III.C.2) Démontrer qu'on peut, de plus, choisir r de sorte que cette ellipse E_1 soit convenable et passe par l'un des points P_1, …, P_k.
On suppose, quitte à réordonner les points P_1, …, P_k, que ce point est P_1 et que l'on a choisi la base orthonormale directe (i⃗, j⃗) de sorte que θ_1 = 0.
On note (α_1, β_1, γ_1) le triplet (α_0, β_0, rγ_0) associé à E_1.

III.D.1) Démontrer que, pour tout λ ⩾ 0, le triplet ( α_1 + λ, β_1, γ_1 + λ ) est associé à une ellipse E_2, de centre O, passant par P_1 et dont l'aire est inférieure ou égale à celle de E_1.
III.D.2) Démontrer que 1 − cos(2θ_i) est strictement positif pour tout i de 2 à k.
III.D.3) Démontrer qu'on peut, de plus, choisir λ de sorte que E_2 soit convenable et passe par l'un des points P_2, …, P_k.
On suppose, quitte à réordonner les points P_2, …, P_k, que E_2 passe par P_2.
On note (α_2, β_2, γ_2) le triplet (α_1 + λ, β_1, γ_1 + λ) associé à E_2.
III.E - On étudie l'ensemble des triplets ( α, β, γ ) qui vérifient

III.E.1) Démontrer que ce sont les triplets de la forme ( g(β), β, h(β) ), où g et h sont deux fonctions que l'on précisera.
III.E.2) Démontrer que, pour un tel triplet, γ^2 − α^2 − β^2 est une fonction du second degré de β, dont le terme de plus haut degré est − β^2.
III.E.3) Démontrer qu'un tel triplet est associé à une ellipse convenable d'aire inférieure ou égale à celle de E_2 si et seulement si β appartient à un certain intervalle fermé borné non vide (que l'on ne demande pas de préciser).
III.E.4) En déduire que, parmi les ellipses convenables passant par P_1 et P_2, il en existe une d'aire minimale.
III.F - Déduire de ce qui précède qu'il existe une (au moins) ellipse optimale et qu'elle passe par deux (au moins) des points P_i.

Pour pouvoir raisonner géométriquement, on interprète ( α, β, γ ) comme les coordonnées d'un point d'un espace rapporté à un repère orthonormal (Ω, I⃗, J⃗, K⃗) (il n'y a aucun lien entre cet espace et le plan ( Π )).
On note K l'ensemble des points de cet espace dont le triplet ( α, β, γ ) des coordonnées est associé à une ellipse convenable.
Pour la commodité du langage, on suppose que l'axe ( Ω, K⃗ ) est vertical ascendant; on pourra donc utiliser les mots «au-dessus» et «au-dessous» pour situer un point par rapport à une surface, afin d'en déduire une description géométrique d'une partie de l'espace.
IV.A - Soit H_0 la surface d'équation Z^2 = X^2 + Y^2 dans le repère (Ω, I⃗, J⃗, K⃗)
IV.A.1) Quelles sont ses sections par les plans d'équations X = 0, Y = 0 et Z = 1 ?
IV.A.2) Quelle est la nature de H_0 ?

On note H_0^+l'ensemble des points de H_0 qui vérifient Z ⩾ 0.
IV.A.3) Donner, sans justification, la position par rapport à H_0^+des points tels que le triplet (α, β, γ) soit associé à une ellipse.
IV.B - Pour i entre 1 et k, on note T_i la surface d'équation

IV.B.1) Quelle est la nature de T_i ?
IV.B.2) Donner sans justification la position par rapport à T_i des points de l'espace qui vérifient la relation Z ⩽ Xcos2θ_i + Ysin2θ_i + 1/(ρ_i^2).
IV.C -
IV.C.1) Déduire de ce qui précède une description géométrique de l'ensemble K.
IV.C.2) Justifier que si deux points M_1 et M_2 appartiennent à K, le milieu du segment M_1 M_2 appartient à K.
Dans la suite de cette partie, ℓ est un réel strictement positif. On note H_ℓ la surface d'équation

et H_ℓ^+l'ensemble des points de H_ℓ qui vérifient Z > 0.
IV.D -
IV.D.1) Quelles sont les sections de H_ℓ par les plans d'équations X = 0, Y = 0, Z = √ℓ, Z = 2√ℓ ?
IV.D.2) Quelle est la nature de H_ℓ ? On demande une réponse précise mais sans justification.
IV.D.3) Représenter la partie de H_ℓ comprises entre les plans Z = 0 et Z = 2√ℓ.
IV.E - Soient M_1 et M_2 deux points différents de H_ℓ^+, M_3 le milieu du segment M_1 M_2 et ( α_3, β_3, γ_3 ) les coordonnées de M_3.
IV.E.1) Donner, sans justification, la position de M_3 par rapport à H_ℓ^+.
IV.E.2) En déduire que γ_3^2 − α_3^2 − β_3^2 > ℓ.
IV.F - Déduire de ce qui précède que l'ellipse optimale est unique.

V.A - On suppose ici que l'ensemble L = {P_1, …, P_k} admet un axe de symétrie Δ passant par O.
V.A.1) En utilisant le résultat de la partie IV, montrer que Δ est également axe de symétrie pour l'ellipse optimale.
V.A.2) Application: On suppose que k = 2 et que les coordonnées de P_1 et P_2 dans (O, i⃗, j⃗) sont respectivement (2, 1) et (2, − 1).
a) Justifier que l'équation dans (O, i⃗, j⃗) de l'ellipse optimale est de la forme

b) Déterminer a et b.
V.B - On suppose ici que k = 4 et que P_1, P_2, P_3, P_4 ont respectivement pour coordonnées (3, 0), (3, √3), (0, 1/2), (3, 1/2).
V.B.1) Justifier qu'on peut supprimer le point P_4.
V.B.2) Donner un système de coordonnées polaires pour P_1, P_2, P_3.
V.B.3) Comment s'écrivent ici les trois inégalités du III.A.2) ?
V.B.4) Démontrer qu'il n'existe pas d'ellipse de centre O, passant par P_1 et P_3 et contenant P_2.
On admet que, de même, il n'existe pas d'ellipse de centre O, passant par P_2 et P_3 et contenant P_1.
V.B.5) Exprimer γ^2 − α^2 − β^2 en fonction de β lorsque les deux premières inégalités du III.A.2) sont des égalités.
V.B.6) Pour quelle valeur de β cette fonction est-elle maximale?
V.B.7) Donner une équation cartésienne de l'ellipse optimale et la tracer en s'aidant, par exemple, de la calculatrice.