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Centrale Mathématiques 2 TSI 2008Sujet et corrigé

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Définitions et notations

Dans tout le problème, ℝ désigne l'ensemble des nombres réels, E = M_2(ℝ) désigne le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
On utilise l'isomorphisme canonique entre ℝ^2 et le ℝ-espace vectoriel des matrices colonnes réelles d'ordre 2; ainsi, à tout vecteur ( x, y ) de ℝ^2, on associe la matrice colonne notée X = (x/y). On suppose que ℝ^2 est muni de son produit scalaire usuel, noté ⟨, ⟩.Onidentifieℝ et le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 1 , et on peut ainsi écrire le produit scalaire de deux vecteurs u et v de ℝ^2 sous la forme: ⟨u, v⟩ = ^t UV, où u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2), U = ((u_1)/(u_2)) et V = ((v_1)/(v_2))
  • Dans E, on note 0_E la matrice nulle, et I_2 la matrice unité.
  • On note O_2(ℝ) l'ensemble des matrices carrées réelles orthogonales d'ordre 2.
  • On note 𝒮_2 l'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre 2, et 𝒜_2 l'ensemble des matrices antisymétriques réelles d'ordre 2.
  • Pour toute matrice A de E, on note tr(A) la trace de A, et det(A) le déterminant de A.
  • Dans tout le problème, l'espace est rapporté à un repère orthonormal direct :
ℛ = (O, i⃗, j⃗, k⃗)
  • Tout plan affine sera muni d'un repère orthonormal de la forme :
ℛ_1 = (Ω, i⃗, j⃗)
  • On appelle surface de ℝ^3 tout ensemble de points défini par une équation de la forme f(x, y, z) = 0, où f est une application de classe C^2 d'une partie Ω de ℝ^3 dans ℝ. On note Σ l'ensemble des surfaces de ℝ^3.
Toutes les questions précédées de la mention « Application » peuvent être traitées en admettant éventuellement les résultats qui les précèdent.

Partie I - Étude de deux applications

On considère l'application φ de E dans Σ, qui à toute matrice A , associe la surface d'équation cartésienne: z = (x, y)A(x/y)

I.A - Exemples :

I.A.1) Déterminer l'image par φ de la matrice nulle, et préciser sa nature.
I.A.2) Déterminer l'image par φ de la matrice unité I_2, et préciser sa nature.
I.A.3) Déterminer φ(A), pour A = (1, − 2; 2, − 1), et préciser sa nature.
I.B -
I.B.1) Montrer que E est somme directe de 𝒮_2 et de 𝒜_2 : E = 𝒮_2 ⊕ 𝒜_2
I.B.2) On note X = (x/y)
Soit A un élément de E. Montrer que :
(pour tout X de ℝ^2, ^t XAX = 0) ⟺ A antisymétrique.
I.B.3) Montrer que φ n'est pas injective.
I.B.4) Montrer que, pour toute matrice A de E, il existe une et une seule matrice A^′ symétrique telle que :
φ(A) = φ(A^′)
I.C - On note p l'application qui à toute matrice A de E, associe la matrice A^′ définie en I.B. 4 dans E.
On définit l'application <, > de E × E dans ℝ par :
Pour tout couple (A, B) de E × E, < A, B>=tr(^t AB)
I.C.1) Montrer que <, > est un produit scalaire sur E.
I.C.2) Montrer que p est le projecteur orthogonal sur 𝒮_2, pour le produit scalaire <, >.
I.C.3) Déterminer une base de E dans laquelle la matrice de p est diagonale.
I.C.4) Application : dans cette question, on suppose : A = (1, 3; − 1, 1)
a) Déterminer p(A).
b) Déterminer une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que p(A) = PDP^(− 1).
c) Déterminer une équation réduite de φ(A), et en déduire la nature de φ(A).
I.D - Soit A une matrice symétrique non nulle.
En utilisant le fait que A est diagonalisable dans une base orthonormale, donner, en fonction du signe de det(A), la forme des équations réduites de φ(A) par rapport à une base orthonormale convenable, et la nature de φ(A).
I.E - Soit A une matrice orthogonale d'ordre 2 : A ∈ O_2(ℝ).
I.E.1) Donner en fonction dedet(A), la nature de l'endomorphisme ayant pour matrice A relativement à la base canonique de ℝ^2.
I.E.2) Déterminer la nature de φ(A) dans le cas : det(A) < 0
On montrera que φ(A) peut se déduire de la surface d'équation :
z = x^2 − y^2
par une rotation convenablement choisie.
I.E.3) Étudier le cas : det(A) > 0
I.E.4) Application : on considère les matrices A et B définies par
A = (1, 0; 0, − 1) et B = (− 1/2, (√3)/2; (√3)/2, 1/2)
Déterminer une rotation transformant φ(A) en φ(B).
Dans toute la suite du problème, on considère l'application φ_1 de E dans Σ, qui à toute matrice A, associe la surface ( S ) d'équation cartésienne :
z^2 = (x, y)A(x/y)

I.F -

I.F.1) On suppose la matrice A symétrique réelle non nulle. Comme dans la question I.D, donner, en fonction du signe de det(A) et de tr(A), la forme des équations réduites de φ_1(A) par rapport à une base orthonormale convenable, et la nature de φ_1(A).
I.F.2) Écrire une procédure qui à toute matrice A de E, associe la nature de φ_1(A) (on pourra utiliser le langage de son choix).
I.F.3) Application : on suppose A = (1, 3; − 1, 1)
Étudier φ_1(A). Déterminer l'équation réduite et le repère adapté correspondant.

Partie II - Application à une famille de surfaces

On considère dans cette partie, pour tout réel θ, la surface Σ_θ d'équation cartésienne :
z = cosθ(x^2 + y^2) + 2sinθxy
Pour tout réel λ, on considère la courbe plane Γ_(λ, θ) d'équation cartésienne :
λ = cosθ(x^2 + y^2) + 2sinθxy.
II.A - Pour λ fixé, que représente Γ_(λ, θ) pour Σ_θ ?
II.B - Déterminer la matrice A_θ symétrique telle que Σ_θ = φ(A_θ).
II.C - On suppose que θ est un réel quelconque.
II.C.1) Déterminer des expressions, en fonction du réel θ, des valeurs propres λ_1 et λ_2 de la matrice A_θ, et une base orthonormale ℬ diagonalisant A_θ.
II.C.2) Déterminer la nature de la courbe 𝒞 ayant pour représentation paramétrique :
{x(θ) = λ_1; y(θ) = λ_2
II.C.3) Calculer det(A_θ) et tr(A_θ).
II.D - On suppose que θ est un réel quelconque
II.D.1) Comparer les surfaces Σ_θ et Σ_(θ + 2π).
II.D.2) Donner une transformation géométrique permettant de passer de Σ_θ à Σ_(π + θ).
II.D.3) Donner une transformation géométrique permettant de passer de Σ_θ à Σ_(− θ).
II.E - On suppose θ ∈ [0, π/2]
II.E.1) Déterminer la nature de Σ_θ suivant les valeurs du réel θ.
On distinguera les cas :
a) 0 ⩽ θ < π/4
b) θ = π/4
c) π/4 < θ ⩽ π/2
II.E.2) Déterminer la nature de Γ_(λ, θ) suivant les valeurs des réels λ et θ.
II.E.3) Tracer rapidement l'allure des courbes Γ_(λ, θ), pour différentes valeurs du réel λ, dans les cas suivants :
a) θ = 0
b) θ = π/4
c) θ = π/2

Partie III - Application de φ_1

On considère dans cette partie les surfaces C_θ d'équation :
z^2 = cosθ(x^2 − y^2) + 2sinθxy
III. A - Donner la nature de la surface C_0.
III.B - Déterminer la nature de la surface C_θ en utilisant la partie I.
III.C - Montrer que C_θ est l'image de C_0 par une rotation d'axe Oz que l'on précisera.
III.D - Soit Q le plan d'équation : z = 1
Soit γ_θ la courbe intersection de la surface C_θ avec le plan Q.
Déterminer une équation cartésienne de la courbe γ_θ.
Donner la nature de la courbe γ_θ.
Tracer sur un unique dessin les graphes des courbes γ_0, γ_(π/2), γ_π.

Partie IV - Une autre application

Pour tout réel a, on considère la surface S_a d'équation cartésienne :
sin^2 ax^2 + cos^2 az^2 − 2sinayz − 2sinacosaxz − 2cosaxy = 0
IV.A - Étude de la surface S_0
IV.A.1) Trouver une matrice A symétrique telle que S_0 = φ_1(A).
IV.A.2) En déduire la nature de S_0 en utilisant la partie I.
IV.A.3) Déterminer l'équation réduite de S_0, sa nature et son axe.
IV.B - Étude de la surface S_a
IV.B.1) Donner la matrice de la rotation d'axe Oy et d'angle a.
IV.B.2) Déterminer l'image de la surface S_0 par la rotation précédente.
IV.B.3) En déduire la nature de la surface S_a.

IV.C - Étude d'une famille de paraboles

Soit λ un réel quelconque non nul, et R_λ le plan d'équation y = λ.
Soit P_λ la courbe intersection de la surface S_0 avec le plan R_λ.
IV.C.1) Montrer que P_λ est une parabole, et déterminer les coordonnées de son foyer, noté F_λ.
Déterminer l'ensemble L décrit par le foyer F_λ quand le réel λ décrit ℝ^∗.
IV.C.2) À partir du résultat de la question précédente, déterminer l'ensemble F des foyers des paraboles tracées sur S_0. Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble F, et préciser la nature de F.

∙∙ FIN •••

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