Centrale Mathématiques 2 TSI 2006Sujet et corrigé

Dans tout le problème, l'espace est rapporté à un repère orthonormal

Les autres repères qu'on utilise ne sont pas nécessairement orthonormaux. Ils ont tous la même origine o. Les points sont désignés par des lettres minuscules. On note, avec une majuscule, M (ou M^′ ), la matrice colonne des coordonnées du point m dans le repère ℛ (ou ℛ^′ ).
On note I la matrice identité de M_3(ℝ) et ^t P la transposée de la matrice P. Si P est carrée, son déterminant est noté det(P). Si P ne comporte qu'un seul élément, cet unique élément est noté {P}.
Si S est une matrice symétrique appartenant à M_3(ℝ), on appelle surface associée à S dans le repère ℛ l'ensemble des points m tels que ^t MSM soit la matrice nulle.

La matrice S est diagonale. Ses termes diagonaux sont 1,1 et -1 .
On note x, y, z les coordonnées du point m dans ℛ.
I.A.1) Calculer le produit matriciel ^t MSM.
I.A.2) En déduire que x^2 + y^2 − z^2 = 0 est une équation cartésienne de la surface 𝒮 associée à S dans le repère ℛ.
I.A.3) Quelle est la nature de 𝒮 ? Représenter la partie de 𝒮 comprise entre les plans d'équations z = 0 et z = 1.

On revient au cas général. Soit 𝒮 la surface associée à la matrice symétrique S dans le repère ℛ.
I.B.1) En posant S = [a, b, c; b, d, e; c, e, f], donner une équation cartésienne de 𝒮 dans le repère ℛ.
I.B.2) Soit P ∈ M_3(ℝ), P inversible, et soit ℛ^′ le repère tel que P soit la matrice de passage de la base de ℛ à la base de ℛ^′. Soit M^′ la matrice des coordonnées du point m dans ℛ^′. Exprimer M en fonction de P et de M^′.
I.B.3) On pose S^′ = ^t PSP; montrer que la matrice S^′ est symétrique.

Montrer que S^′ est inversible si et seulement si S est inversible.
I.B.4) Montrer que 𝒮 est l'ensemble des points m qui vérifient {^t M^′ S^′ M^′} = 0.

I.C.1)
a) Justifier que les racines λ_1, λ_2, λ_3 du polynôme caractéristique de S sont réelles et qu'on peut choisir la matrice P précédente orthogonale de sorte que S^′ soit diagonale. On énoncera avec précision le théorème utilisé.
b) Écrire une équation de 𝒮 dans ℛ^′.
I.C.2) On suppose S inversible.
a) Montrer que λ_i ≠ 0(i = 1, 2, 3).
b) On suppose que λ_1, λ_2, λ_3 ne sont pas tous de même signe. Montrer qu'on peut trouver un repère orthormal ℛ^′ dans lequel 𝒮 admette une équation de la forme (x^(′2))/(a^2) + (y^(′2))/(b^2) = z^(′2). Montrer que 𝒮 est un cône de sommet o.
c) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) λ_1, λ_2, λ_3 sont de même signe.
(ii) La surface 𝒮 est réduite au point o.

On considère une matrice réelle ou complexe M, carrée de taille 3 .
On appelle comatrice de M la matrice où figure, à la i-ème ligne, j-ème colonne, le déterminant, multiplié par (− 1)^(i + j), de la sous-matrice de M obtenue en barrant la i-ème ligne et la j-ème colonne. On note M^′ la transposée de la comatrice de M.
I.D.1) Montrer que MM^′ = (det(M))I. On se bornera à calculer un terme diagonal et un terme non diagonal du produit MM^′.
I.D.2) En supposant que M est inversible, exprimer M^(− 1) en fonction de det(M) et de M^′.

Soient M_1 et M_2 deux matrices colonnes à trois éléments et S ∈ M_3(ℝ) une matrice symétrique.
I.E.1) Montrer que {^t M_1 SM_2} = {^t M_2 SM_1}.
I.E.2) Posons Q = ^t M_1 SM_2 et q = {Q}. Si M_0 est une matrice colonne à trois éléments, vérifier que M_0 Q = qM_0.

Dans cette partie, S est une matrice symétrique, appartenant à M_3(ℝ), inversible et dont les valeurs propres ne sont pas toutes de même signe; 𝒮 est la surface associée à S dans le repère ℛ.
Soit 𝒮_1 l'intersection de 𝒮 et du plan d'équation z = 1 et soit m_0 un point de ce plan, n'appartenant pas à 𝒮_1.
On admet que 𝒮_1 est une conique (ellipse, hyperbole ou parabole).

Soit m un point non aligné avec o et m_0. Soit μ un réel et p le point dont la matrice des coordonnées dans ℛ est P = μM_o + M.
II.A.1) Montrer que, quel que soit μ, le point p est distinct de o et appartient au plan passant par o, m_0 et m.
II.A.2) Montrer que p appartient à 𝒮 si et seulement si μ vérifie une certaine équation du second degré dont le discriminant est

On admet, dans toute la suite du problème, que, si le point m est dans le plan z = 1 et m est distinct de m_0, alors la droite ( m_0 m ) est tangente à la conique 𝒮_1 si et seulement si Δ(M) = 0.
II.B - On pose T = SM_0^t M_0 S − {^t M_0 SM_0}S.
II.B.1) Montrer que Δ(M) est l'unique terme de ^t MTM.
II.B.2) Montrer que la matrice T est symétrique. On note 𝒯 la surface qui lui est associée dans le repère ℛ.
II.B.3) Montrer que la droite om_0 est contenue dans 𝒯.
II.C - Soit N une matrice unicolonne à 3 éléments.
II.C.1) Montrer que TN = S. ( {^t M_0 SN}M_0 − {^t M_0 SM_0}N ).
II.C.2) En déduire que 0 est valeur propre de T et que le sous-espace propre associé est la droite dirigée par M_0.
II.C.3) En déduire que T est de rang 2.

II.D.1) En utilisant I.C.1), montrer qu'il existe un repère ℛ^′ dans lequel 𝒯 a une équation de la forme λ_1 x^′^2 + λ_2 y^′^2 = 0, où les réels λ_1 et λ_2 sont non nuls.
II.D.2) En déduire que, suivant les signes de λ_1 et λ_2, 𝒯 est formée de deux plans se coupant suivant la droite om_0 ou réduite à cette droite om_0.
II.D.3) En déduire que le nombre de tangentes à 𝒮_1 qui passent par m_0 est égal à 0 ou à 2 .

Dans cette partie, on considère deux matrices A et B appartenant à M_3(ℝ). Ces matrices sont symétriques et inversibles; elles ont chacune trois valeurs propres non de même signe.
Soient 𝒜 et ℬ les surfaces associées à A et B dans le repère ℛ.
On note 𝒜_1 et ℬ_1 les intersections de 𝒜 et ℬ et du plan z = 1. Les courbes 𝒜_1 et ℬ_1 sont donc des coniques. On suppose qu'on peut mener par tout point m_0 de ℬ_1 deux tangentes à 𝒜_1 et que ces tangentes recoupent ℬ_1 en deux points m_1 et m_2 distincts de m_0. On dira que m_0 a la propriété 𝒫 si et seulement si la droite m_1 m_2 est tangente à 𝒜_1.
On fixe le point m_0 sur ℬ_1.
III.A - Représenter, sur un même dessin, ℬ_1, 𝒜_1 et le triangle m_0 m_1 m_2. Pour simplifier le dessin, on supposera que ℬ_1 et 𝒜_1 sont deux ellipses, 𝒜_1 étant en entier à l'intérieur de ℬ_1.
III.B - On utilise maintenant le repère ℛ^′ dont la base est ( om_0^(→−), om_1^(→−), om_2^(→−) ). Comme dans I.B.4), 𝒜 et ℬ sont associées dans le repère ℛ^′ à deux matrices A^′ et B^′.
III.B.1) Écrire les matrices M_0^′, M_1^′ et M_2^′ des coordonnées de m_0, m_1 et m_2 dans le repère ℛ^′.
III.B.2) Montrer que B^′ est de la forme B^′ = [0, a, b; a, 0, c; b, c, 0], avec a, b, c non nuls.
III.B.3) Montrer que A^′ est inversible. On pose A^′ = [x, y, z; y, t, u; z, u, v].

Déduire de I.D.2) le troisième terme diagonal de A^(′ − 1).
Calculer aussi {^t M_1^′ A^′ M_0^′}^2 − {^t M_0^′ A^′ M_0^′}{^t M_1^′ A^′ M_1^′}.
III.B.4) Montrer, en utilisant II.A.2), que xt − y^2 = 0.
III.B.5) Justifier que A^(′ − 1) est de la forme [α, β, γ; β, 0, δ; γ, δ, 0] et que m_0 a la propriété 𝒫 si et seulement si α = 0.
Montrer que δ ≠ 0.
III.C - Soit M ∈ M_3(ℝ).
On l'écrit sous la forme M = [d, e, f; g, h, i; j, k, l] et on lui associe le polynôme
P(x) = det(xI − M); on note σ_1 et σ_2 les coefficients respectifs de x^2 et x dans P(x).
Exprimer, en développant P(x), σ_1 et σ_2 en fonction des termes de M.
III.D - Dorénavant, on prend M = A^(′ − 1)B^′.
III.D.1) Calculer M.
III.D.2)
a) Écrire dans un langage de calcul formel une fonction qui prend en argument les scalaires a, b, c, α, β, γ, δ et qui retourne la valeur de (σ_1^2)/4 − σ_2.
b) On a (σ_1^2)/4 − σ_2 = 2αδab. En déduire que α = 0 si et seulement si σ_1^2 = 4σ_2.

III.E.1) Montrer que les matrices A^(− 1)B et A^(′ − 1)B^′ sont semblables.
III.E.2) En déduire que σ_1^2 − 4σ_2 ne dépend pas du choix de m_0 sur ℬ_1.
III.E.3) En déduire que s'il existe un point de ℬ_1 ayant la propriété 𝒫, alors tous les points de ℬ_1 ont la propriété 𝒫.
III.F - On pose Q(x) = det(xA − B).
III.F.1) Calculer Q(x) en fonction de det(A) et de P(x).
III.F.2) On note s et q les coefficients de x^2 et x dans Q(x). Montrer que les points de ℬ_1 ont la propriété 𝒫 si et seulement si s^2 = 4qdet(A).

Dans un plan Π rapporté à un repère orthonormal, on considère deux courbes 𝒜_1 et ℬ_1 d'équations respectives x^2 − 4x + 3 + y^2 = 0 et y^2 − 2px = 0, où p est un réel fixé positif.
IV.A - Préciser la nature de 𝒜_1 et ℬ_1.

Représenter 𝒜_1 et ℬ_1 sur un même dessin, d'abord dans le cas p = 1/2, puis dans le cas p = 1/6.
Dans ce dernier cas, donner, par ses coordonnées, un exemple de point qui appartienne à ℬ_1 tout en étant à l'intérieur de 𝒜_1.
IV.B - On plonge Π dans l'espace, de sorte que le point de coordonnées ( x, y ) de Π ait pour coordonnées ( x, y, 1 ) dans ℛ.
IV.B.1) Soient 𝒜 et ℬ deux surfaces associées dans ℛ à deux matrices symétriques A et B.
Comment choisir ces deux matrices pour que ces surfaces coupent le plan z = 1 suivant les courbes 𝒜_1 et ℬ_1 (utiliser I.B.1))?
IV.B.2) Montrer que A et B sont inversibles puis, en utilisant I.C.2)c), que ni A ni B n'a trois valeurs propres de même signe.

IV.C.1)

Donner les coefficients s et q de x^2 et x dans le polynôme Q(x) = det(xA − B).
IV.C.2) Montrer que 1/2 est la seule valeur de p telle que, par tout point m_0 de ℬ_1, on puisse mener deux tangentes à 𝒜_1 recoupant 𝒜_1 en m_1 et m_2 tels que la droite m_1 m_2 soit tangente à 𝒜_1.
IV.C.3) Avec cette valeur de p, représenter 𝒜_1, ℬ_1 et une position quelconque du triangle m_0 m_1 m_2.