CCINP Mathématiques 2 TSI 2006Sujet et corrigé

Les calculatrices sont interdites

Problème

La partie I est indépendante de la suite du problème.

1. a) Résoudre l'équation homogène associée.
   b) Déterminer une solution particulière de l'équation complète.
   c) Exprimer l'ensemble des solutions de l'équation ( E_1 ).
2. Préciser la solution f de l'équation ( E_1 ) telle que f(1) = 0.
   B) On considère l'équation différentielle ( E_2 ) : x^2 y^(′′) − xy^′ + y = 1 − ln(x), définie sur ℝ_+^∗.
3. a) Déterminer une solution de l'équation homogène associée de la forme x → x^α, α ∈ ℝ.
   b) Chercher une autre solution de l'équation homogène associée de la forme : y(x) = K(x)x^α, en donnant à α la valeur trouvée à la question précédente. On montrera que K ' vérifie une équation différentielle du premier ordre.
   c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée.
4. a) Vérifier que la fonction y_0 définie par y_0(x) = − 1 − ln(x) est une solution particulière de l'équation ( E_2 ).
   b) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation ( E_2 ).
5. Démontrer que la fonction f (définie à la question A ) 2 )) est l'unique solution de l'équation ( E_2 ) telle que f(1) = 0, f^′(1) = 0.
   II) Etude de la fonction f.
6. f est définie sur ℝ_+^∗ par : f(x) = x − 1 − ln(x).
   a) Etudier les variations de la fonction f.
   b) Etudier les branches infinies de f et construire une allure de la représentation graphique.
   c) Déduire de l'étude des variations de f que : ∀x ∈ ℝ_+^∗, ln(x) ≤ x − 1.
7. a) Déterminer une primitive de la fonction f.
   b) Démontrer que l'intégrale ∫_0^1 f(x)dx converge et la calculer.
   c) Quelle est la nature de l'intégrale : ∫_1^(+ ∞)f(x)dx ?
   III) Comparaison des moyennes.
   a_1, a_2, …….., a_n étant n nombres réels strictement positifs, on appelle moyenne arithmétique de ces nombres le nombre réel m_a défini par : m_a = (a_1 + …… + a_n)/n.

1. a) En appliquant l'inégalité montrée à la question II) 1) c) aux réels (a_i)/(m_a), montrer que m_g ≤ m_a.
   b) Dans quel cas a-t-on m_g = m_a ?
   c) Démontrer que pour tout triplet (x, y, z) de réels, on a :
   x^4 y^2 z^2 + x^2 y^4 z^2 + x^2 y^2 z^4 − 4x^2 y^2 x^2 + 1 ≥ 0.
2. a) En appliquant l'inégalité vue en III 1) a) aux réels 1/(a_1), 1/(a_2), ….., 1/(a_n), montrer que m_h ≤ m_g.
   b) Dans quels cas a-t-on m_h = m_g ?
   c) Déduire des questions précédentes que m_h ≤ m_a.

1. Déduire de l'inégalité m_g ≤ m_a : ∀n ∈ ℕ^∗, n√(n!) ≤ (n + 1)/2.
2. a) Montrer que pour tout entier k ≥ 2, 1/k ≤ ∫_(k − 1)^k(dx)/x.
   b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n , on a : ∑_(k = 1)^n 1/k ≤ 1 + ∫_1^n(dx)/x.
   c) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, on a : n/(1 + ln(n)) ≤ n√(n!).
3. a) En déduire la limite de n√n ! quand n tend vers l'infini.
   b) Montrer que la suite (a_n)_(n ∈ N)∗ de terme général (n√(n!))/n est bornée et en donner un encadrement à l'aide des questions précédentes.
4. a) Démontrer que la suite de terme général n√n ! est croissante (on pourra considérer la suite de terme général ln(n√(n!)).
   b) Quelle est la nature de la série de terme général ((− 1)^n)/(n√n!) ?
   V) Détermination d'un équivalent de n√n ! .
5. a) k est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Déterminer un encadrement de ln(k) par deux intégrales de la fonction ln.
   b) En déduire: ∫_1^n ln(t)dt ≤ ∑_(k = 1)^n ln(k) ≤ ∫_1^(n + 1)ln(t)dt.
   c) En déduire un équivalent de n√n ! quand n tend vers l'infini.
6. Déterminer la nature des séries de termes généraux : 1/((n!)^(1/n)) et 1/((n!)^(2/n)).