CCINP Mathématiques 2 TSI 2008Sujet et corrigé

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On pose I(a, b) = ∫_0^(+ ∞)(x^(a − 1))/(1 + x^b) dx, où a et b sont réels.

Toutes les parties de ce sujet sont indépendantes entre elles et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = xcos(x) − sin(x).
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i→, j→).
1.1 Justifier la possibilité de restreindre l'étude de f à ℝ^+.
1.2 Que peut-on en déduire pour ( C ) ?
2. On note I_n l'intervalle [nπ; (n + 1)π] pour n ∈ ℕ.

Etudier, en fonction de la parité de n, les variations de f sur I_n.
3.1 Montrer que les points de (C) d'abscisse x tels que f^′(x) = 0 sont situés sur deux droites dont on précisera les équations.
3.2 Construire la courbe (C) pour x ∈ [ − 2π; 2π] (échelle : π = 2 carreaux sur les axes).
4.1 Montrer que l'équation f(x) = 0 admet dans tout intervalle I_n une solution unique. On note x_n cette solution, qu'on ne cherchera pas à calculer.
4.2 Montrer que ∀n ∈ ℕ, x_n < (2n + 1)π/2.
4.3 Donner un équivalent de x_n quand n → + ∞.
4.4 Montrer que x_n = nπ + arctan(x_n).
4.5 En déduire que x_n = (2n + 1)π/2 − 1/(nπ) + ε_n, où ε_n tend vers zéro quand n tend vers l'infini (on rappelle que pour x > 0, arctan(x) = π/2 − arctan(1/x), et que arctan(u) est équivalent à u au voisinage de 0 ).

Soit g une fonction réelle de variable réelle, de classe C^1 par morceaux, de période T.
On note ω = (2π)/T la pulsation de g, et Δ un intervalle de longueur T.
Pour n entier naturel, on note a_n et b_n les coefficients de Fourier trigonométriques de g, donnés par :
a_0 = 1/T∫_Δ g(t)dt, a_n = 2/T∫_Δ g(t)cos(nωt)dt, b_n = 2/T∫_Δ g(t)sin(nωt)dt pour n ≥ 1.
Pour n ≥ 1, on appelle harmonique de rang n la quantité h_n(t) = a_n cos(nωt) + b_n sin(nωt).
On pose r_n = √(a_n^2 + b_n^2), qu'on appelle amplitude de h_n.

On appelle φ_n phase de h_n (par convention, on choisit φ_n ∈ ] − π; π]; si r_n est nul, φ_n n'existe pas).
2. On choisit dans cette question la fonction g de période T, définie par :

2.1 Que peut-on dire de g − 1/2 ?
2.2 Que peut-on en déduire pour les coefficients de Fourier de g ?
2.3 Écrire le développement en série de Fourier de g.
2.4 Quelle est la somme de cette série ? (on énoncera de façon précise le théorème utilisé)
2.5 Exprimer r_n et φ_n si elle existe.
3. On considère la série numérique de terme général u_p = ((− 1)^p)/(2p + 1) pour p ≥ 0.
3.1 Montrer que cette série est convergente.
3.2 Déduire de la question 2. la somme ∑_(p ≥ 0)u_p.
4. On conserve les notations des questions 2. et 3. ci-dessus.
4.1 Énoncer la formule de Parseval.
4.2 Calculer ∑_(p ≥ 0)1/((2p + 1)^2).
4.3 En déduire la valeur de ∑_(n ≥ 1)1/(n^2).

On note Δ l'opérateur laplacien : soit W un ouvert de ℝ^3, et f élément de C^2(W, ℝ),

Montrer que pour r ≠ 0, on a : Δf = u^(′′)(r) + 2/ru^′(r).
On considère dans les mêmes conditions, l'équation : Δf = − ω^2 f, où ω est un réel strictement positif, c'est-à-dire l'équation (U) : u^(′′)(r) + 2/ru^′(r) = − ω^2 u(r).
2. On définit la fonction v par v(r) = ru(r).

Montrer que v vérifie l'équation différentielle (V) : v^(′′) + ω^2 v = 0.
3. Résoudre l'équation (V), en déduire pour r ≠ 0 les solutions réelles de (U).
4. Déterminer les solutions non nulles de ( U ) admettant une limite finie quand r tend vers 0 .
5. On ne conserve pour la suite que les solutions obtenues à la question 4 ci-dessus.

On impose de plus u^′(1) = 0. Déterminer l'équation ( Ω ) que doit vérifier ω pour que cette condition supplémentaire soit satisfaite.
6. Montrer graphiquement que l'équation (Ω) admet une solution et une seule dans tout intervalle ]π/2 + nπ; π/2 + (n + 1)π[ où n est un entier naturel.
On notera ω_n cette solution, qu'on ne cherchera pas à calculer.
7. Si n et p sont deux entiers naturels distincts, on note u_n et u_p deux solutions de (U) associées respectivement aux valeurs ω_n et ω_p solutions de ( Ω ).
Montrer que :