Oscillateurs mécaniques amortis et solénoïdes : induction, inductance et circuits RL couplés
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie un oscillateur masse-ressort, non amorti puis amorti par frottement fluide, ses oscillations forcées et la puissance absorbée, avant de traiter le cas d'un bouchon de liège flottant. Le second part du champ magnétique créé par un tore pour retrouver celui d'un solénoïde infini, calcule son inductance propre, étudie des circuits RL couplés par mutuelle inductance, puis le champ électrique induit et l'effet Joule dans un conducteur placé à l'intérieur du solénoïde.
1Problème 1, Partie 1 : oscillateur harmonique non amortiÉtablir l'équation différentielle du mouvement d'une masse suspendue à un ressort vertical et en déduire la pulsation propre et la solution temporelle.
2Problème 1, Partie 2 : oscillateur amorti par frottement fluideÉtudier une sphère immergée soumise à la poussée d'Archimède et à la loi de Stokes pour en déduire la masse volumique et la viscosité du liquide.
3Problème 1, Partie 3 : oscillations forcéesDéterminer l'amplitude, le déphasage et la puissance moyenne absorbée par l'oscillateur soumis à une excitation sinusoïdale.
4Problème 1, Partie 4 : bouchon de liège flottantÉtudier les petites oscillations verticales d'un bouchon cylindrique flottant à la surface de l'eau.
5Problème 2, Partie 1 : champ magnétique d'un tore et solénoïde infiniRetrouver, via le théorème d'Ampère, le champ magnétique d'un solénoïde infini à partir de l'étude d'un tore parcouru par un courant.
6Problème 2, Partie 2 : inductance d'un solénoïdeCalculer l'inductance propre d'un solénoïde de deux façons, par le flux propre puis par l'énergie magnétique.
7Problème 2, Partie 3 : régimes transitoires de circuits RL couplésÉtudier l'établissement du courant dans un circuit RL puis dans deux circuits RL couplés par une inductance mutuelle.
8Problème 2, Partie 4 : champs dans un solénoïde et effet JouleDéterminer le champ électrique induit dans un solénoïde parcouru par un courant sinusoïdal, puis la puissance dissipée par effet Joule dans un cylindre conducteur placé à l'intérieur.
N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Ce sujet comporte deux problèmes indépendants qui portent sur des thèmes différents.
Chaque problème comporte plusieurs parties qui sont le plus souvent indépendantes les unes des autres.
Premier problème : Oscillations mécaniques
Nous nous proposons, dans ce problème, d'étudier quelques exemples d'oscillateurs mécaniques.
Pour chacune des parties, l'étude sera menée dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
Dans l'ensemble du problème, g⃗ désigne le vecteur accélération de la pesanteur. On notera g la norme du vecteur g⃗.
Il est rappelé que lorsqu'un corps est immergé, partiellement ou totalement, dans un fluide de masse volumique ρ_l, ce corps est soumis, en plus de son poids, à une force F⃗_a appelée poussée d'Archimède et telle que F⃗_a = − ρ_l V_i g⃗ où V_i désigne le volume du corps immergé dans le fluide.
On négligera la poussée d'Archimède dans l'air.
Données trigonométriques:
cos(a + b) = cosacosb − sinasinb; cos(a − b) = cosacosb + sinasinb; sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa; sin(a − b) = sinacosb − sinbcosa
Première partie : Oscillateur harmonique non amorti
Considérons le système représenté ci-dessous : une masse m est suspendue à un ressort vertical de masse négligeable et de raideur k. L'extrémité supérieure du ressort est fixe et attachée au point O. Soit l'axe ( Ox ), vertical et orienté vers le bas. La position de l'extrémité libre du ressort est repérée par son abscisse x.
Soit x_0 la longueur à vide du ressort et x_(éq) sa longueur lorsque la masse m est accrochée au ressort et est à l'équilibre.
1/ Equation différentielle du mouvement
1.1/ Faire le bilan des forces appliquées à la masse m. Appliquer la deuxième loi de Newton et déterminer l'équation différentielle (1) vérifiée par x. Que devient cette équation lorsque la masse m est à l'équilibre ? On appellera (2) l'équation obtenue dans ce cas.
Déduire de l'équation (2) l'expression de la longueur x_(e~q) du ressort à l'équilibre en fonction de x_0, g, m et k.
1.2/ Déterminer en combinant les équations (1) et (2), l'équation différentielle (3) vérifiée par x et liant x, x_(éq), m et k. En déduire la pulsation propre ω_0 et la période propre T_0 de l'oscillateur ainsi obtenu.
1.3/ A l'instant t = 0, la masse m est dans une position telle que la longueur du ressort est égale à x_(e~q). On communique alors à la masse m une vitesse v_0 verticale. Déterminer dans ce cas la solution x(t) de l'équation différentielle (3).
Deuxième partie : Oscillateur harmonique amorti par frottement fluide
La masse m du système de la partie précédente est une sphère homogène de masse volumique ρ et de rayon R faible.
Lorsque cette sphère est animée d'une vitesse v⃗ et plongée dans un liquide de coefficient de viscosité η, elle est soumise, de la part du fluide, en plus de la poussée d'Archimède, à une force de frottement f⃗ donnée par la loi de Stokes : f⃗ = − 6πηRv⃗.
On négligera les interactions éventuelles entre le ressort et le liquide.
Pour simplifier les calculs, on notera V le volume de la sphère et ρV sa masse.
2/ Période de l'oscillateur non amorti
En l'absence de frottement et de poussée d'Archimède (dans le vide ou dans l'air), les oscillations libres de la sphère ont une pulsation propre ω_1. En utilisant les résultats de la partie précédente, déterminer l'expression de ω_1 en fonction de k, V et ρ.
Dans la suite de cette deuxième partie, la sphère est totalement immergée dans un liquide de masse volumique ρ_l. On considèrera, de plus, que la sphère est entièrement immergée dans le liquide quelle que soit la position de l'oscillateur.
3/ Détermination de la masse volumique du liquide
Lorsque la sphère est totalement immergée dans le liquide et est à l'équilibre, la longueur du ressort est égale à x^′_(éq).
Faire le bilan des forces appliquées à la masse m.
Déterminer l'expression de la masse volumique ρ_l du liquide en fonction de ρ, x^′_(éq), V, g, x_0 et k.
4/ Oscillations pseudopériodiques de la sphère immergée dans le liquide
4.1/ En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'équation différentielle vérifiée par la longueur x du ressort à un instant quelconque t au cours du mouvement.
En utilisant l'expression de la masse volumique ρ_l du liquide déterminée à la question précédente, déterminer l'équation différentielle vérifiée par x en utilisant les grandeurs x, x^′_(éq), ρ, V, k, R et η.
4.2/ A quelle condition portant sur k, constante de raideur du ressort, le mouvement de la sphère estil pseudopériodique? On exprimera la condition sous la forme k > k_0 où k_0 est une constante que l'on exprimera en fonction de η, R, V et ρ.
Déterminer dans ce cas la pseudopulsation ω_2 des oscillations en fonction de k_0, k, ρ et V.
5/ Détermination du coefficient de viscosité du liquide
On considère dans cette question que la condition sur k pour avoir des oscillations pseudopériodiques est satisfaite. En utilisant les expressions de ω_1 et ω_2 déterminées précédemment, donner l'expression du coefficient de viscosité η du liquide en fonction de R, ρ, V, ω_1 et ω_2.
Troisième partie : Oscillations forcées : puissance absorbée par l'oscillateur
Soit un oscillateur amorti par frottement fluide constitué par une masse m suspendue à un ressort de masse négligeable. La position de la masse m étant repérée par son abscisse x, en régime libre l'équation différentielle vérifiée par x est de la forme :
x¨ + 2αx˙ + ω_0^2 x = 0
ω_0 désigne la pulsation propre de l'oscillateur harmonique.
L'oscillateur est soumis à une excitation extérieure sinusoïdale de pulsation ω donnée par :
F(t)^(→−) = F_0 cos(ωt)e⃗_x avec F_0 > 0
e⃗_x est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses x.
Dans ce cas l'équation différentielle du mouvement s'écrit :
x¨ + 2αx˙ + ω_0^2 x = (F_0 cos(ωt))/m
En régime permanent les oscillations forcées sont telles que x = Acos(ωt + φ) avec A et φ deux constantes.
6/ Régime permanent
Remarque : On pourra dans cette question utiliser les notations complexes, si nécessaire. Il faudra pour cela définir clairement les notations utilisées.
6.1/ Déterminer l'amplitude A des oscillations forcées en fonction de F_0, m, α, ω et ω_0.
6.2/ φ représentant le déphasage entre la source d'excitation extérieure et la réponse de l'oscillateur, déterminer les expressions de sinφ et cosφ en fonction de α, ω et ω_0.
7/ Puissance absorbée par l'oscillateur
7.1/ Après avoir préalablement déterminé l'expression de la vitesse v de l'oscillateur au cours du temps, déterminer la puissance instantanée P_e(t) fournie par la force excitatrice. En déduire la valeur moyenne ⟨P_e⟩ de P_e(t). Déterminer l'expression de ⟨P_e⟩ en fonction de F_0, m, ω, ω_0 et α.
7.2/ L'expression de ⟨P_e⟩ déterminée à la question précédente peut être mise sous la forme :
⟨P_e⟩ = (α(F_0^2)/m)/(4α^2 + ((ω_0^2)/ω − ω)^2)
En déduire, sans calculer la dérivée de ⟨P_e⟩ mais en examinant le dénominateur, la pulsation pour laquelle ⟨P_e⟩ est maximale ainsi que l'expression ⟨P_e⟩_(max) correspondante en fonction de F_0, m et α.
Donner l'allure de la représentation graphique de ⟨P_e⟩ en fonction de ω.
Donner une justification physique à l'existence et à la valeur de ω_(max).
Quatrième partie : Petites oscillations d'un bouchon de liège à la surface de l'eau
Un bouchon de liège, homogène, de volume V, de forme cylindrique, flotte horizontalement à la surface de l'eau de masse volumique ρ_(eau). Il a pour longueur L et son rayon est égal à R.
La position du bouchon est repérée par l'abscisse z de son centre de gravité. L'axe Oz est vertical et dirigé vers le haut. Le point O est au niveau de la surface de l'eau.
On suppose que le bouchon garde toujours son axe horizontal au cours du mouvement. On négligera toute force de frottement due à la viscosité du liquide.
8/ A l'équilibre, le bouchon est à moitié enfoncé dans l'eau, l'abscisse z de son centre de gravité est donc nulle dans ce cas. Déterminer la masse volumique ρ du bouchon de liège en fonction de ρ_(eau).
9/ On étudie dans cette question les petites oscillations du bouchon de liège autour de sa position d'équilibre. On se place donc dans le cas où z_– est petit devant R(z≪R).
9.1/ Montrer que si z≪R, le volume V_i de bouchon immergé peut se mettre sous la forme V_i = V/2 − a.z où V est le volume total du bouchon et a une constante que l'on exprimera en fonction des dimensions L et R du bouchon.
9.2/ En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'équation différentielle vérifiée par l'abscisse z en utilisant les grandeurs z, R et g
En déduire la pulsation ω_0 des petites oscillations verticales de ce bouchon en fonction de R et g.
9.3/ A l'instant t = 0, le bouchon est éloigné de sa position d'équilibre. Il est lâché sans vitesse initiale d'une position repérée par l'abscisse z_0(z_0 > 0 et z_0 petit devant R). Déterminer l'expression de l'abscisse z en fonction du temps.
Deuxième problème : Utilisation de solénoïdes
Rappels :
Soit un solénoïde de section quelconque, infiniment long et comportant n spires par unité de longueur. Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), lorsque les spires sont parcourues par un courant d'intensité I, le solénoïde crée un champ magnétique nul en tout point extérieur au solénoïde et égal à B⃗ = μ_0 nIe⃗ en tout point intérieur au solénoïde ( μ_0 désigne la permittivité du vide et e⃗ un vecteur unitaire colinéaire à l'axe du solénoïde).
La densité volumique d'énergie magnétique E_(m, vol) due à un champ magnétique B⃗ est donnée par : E_(m, vol) = (B^2)/(2μ_0)
Formule donnant le rotationnel d'un vecteur A⃗ en coordonnées cylindriques ( r, θ, z ) :
On se placera dans l'ensemble de ce problème dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires.
Première partie : Champ magnétique créé par un tore et passage au solénoïde infini
1/ Enoncer le théorème d'Ampère. On veillera à expliquer soigneusement la signification des différents termes qui apparaissent dans cet énoncé.
Quelle est l'équation de Maxwell qui permet de démontrer ce théorème ? Ecrire cette équation.
On désire dans les questions qui suivent, retrouver l'expression du champ magnétique créé par un solénoïde infini à partir de l'étude d'un tore.
Un tore est engendré par la rotation d'une surface plane S autour d'un axe ( Oz ). Un fil conducteur est régulièrement enroulé sur le tore et forme une bobine de N spires parcourues par un courant I. L'espace est rapporté à la base cylindrique ( e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z ). Un point quelconque de l'espace est repéré par ses coordonnées ( r, θ, z ).
Soit R_1 le rayon intérieur du tore et R_2 le rayon extérieur.
Vue de dessus
Coupe transversale
2/ Symétries
Etudier les symétries et invariances de la distribution de courant. En déduire que le champ magnétique se met sous la forme B⃗ = B(r, z)e⃗_θ où B(r, z) est une fonction qui ne dépend que des variables d'espace r et z.
3/ Expression du champ magnétique
En utilisant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression du champ magnétique B⃗ en un point M de l'espace repéré par ses coordonnées cylindriques ( r, θ, z ). On distinguera les deux cas où le point M se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur du tore.
4/ Cas d'un solénoïde infini
En remarquant que le tore précédent se comporte comme un solénoïde infini lorsque son rayon tend vers l'infini, justifier l'expression, rappelée précédemment, du champ magnétique créé par un solénoïde infini en tout point de l'espace.
Deuxième partie : Inductance d'un solénoïde
On désire dans cette partie déterminer l'inductance d'un solénoïde de deux manières différentes.
On considère un solénoïde de longueur l constitué de N spires régulièrement espacées, supposées jointives, de section S. Sa longueur l est très grande devant ses dimensions latérales et on peut considérer que le solénoïde se comporte comme un solénoïde infini.
Les spires du solénoïde sont parcourues par un courant d'intensité i.
5/ Détermination de l'inductance du solénoïde en considérant le flux propre
En précisant clairement les orientations choisies pour le calcul, déterminer le flux Φ_0 du champ magnétique B⃗ calculé précédemment à travers une spire du solénoïde. En déduire le flux propre Φ_(propre) du champ magnétique à travers le solénoïde.
En déduire l'inductance L du solénoïde en fonction de μ_0, l, N et S.
6/ Détermination de l'inductance du solénoïde en considérant l'énergie magnétique
6.1/ Soit un solénoïde d'inductance L et parcouru par un courant i variable au cours du temps. En négligeant la résistance du solénoïde et en utilisant la convention récepteur que l'on précisera, rappeler l'expression de la tension u_L aux bornes du solénoïde précédent. On exprimera u_L en fonction de L et i.
6.2/ En écrivant la puissance électrique instantanée mise en jeu dans la bobine, en déduire l'expression, en fonction de L et i, de l'énergie magnétique E_L accumulée par le solénoïde.
6.3/ En considérant l'expression de la densité volumique d'énergie magnétique rappelée au début du problème, déterminer une autre expression de l'énergie magnétique E_L accumulée par le solénoïde. En déduire l'expression de l'inductance L du solénoïde en fonction de μ_0, l, N et S.
Troisième partie : Régimes transitoires entre deux solénoïdes couplés
Nous nous proposons dans cette partie d'étudier l'établissement de l'intensité dans un circuit série comportant une bobine et une résistance (circuit RL ) puis dans deux circuits RL couplés.
7/ Etablissement du courant dans le solénoïde
Soit un circuit RL comportant un solénoïde d'inductance L supposée constante et une résistance R associées en série. On alimente ce circuit avec un générateur de tension stabilisée de force électromotrice E.
Nous supposons qu'il n'existe aucune autre source de champ magnétique que le solénoïde.
L'intensité i(t) est initialement nulle pour t < 0. A l'instant t = 0, l'interrupteur est fermé.
En détaillant clairement le calcul de la constante d'intégration, déterminer l'expression de l'intensité i(t) dans le circuit en fonction du temps t, de E, L et R.
Quelle est la valeur de l'intensité i_∞ au bout d'un temps infini?
8/ Soit deux circuits couplés.
Le premier circuit comporte un solénoïde d'inductance L, une résistance R, un générateur de tension stabilisée de force électromotrice E et un interrupteur disposés en série. Soit i_1(t) l'intensité du courant qui parcourt ce circuit.
Le deuxième circuit comporte un solénoïde d'inductance L et une résistance R en série. Soit i_2(t) l'intensité du courant qui parcourt ce circuit.
Les sens choisis pour les intensités i_1(t) et i_2(t) sont mentionnés sur le schéma ci-dessous.
Pour simplifier les calculs, on suppose que le coefficient d'inductance mutuelle M est positif.
M
8.1/ En utilisant la loi des mailles, écrire les deux équations différentielles couplées vérifiées par i_1(t) et i_2(t) lorsque l'interrupteur est fermé.
8.2/ En effectuant le changement de variables I = i_1 + i_2 et J = i_1 − i_2, en déduire deux équations différentielles découplées en I et J.
8.3/ L'interrupteur est initialement ouvert (pour t < 0 ). A un instant choisi comme origine du temps ( t = 0 ), l'interrupteur est fermé.
En posant τ_1 = (L + M)/R et τ_2 = (L − M)/R, déterminer les expressions des intensités i_1(t) et i_2(t) pour t > 0, dans le cas où M est inférieur à L. Donner l'allure des représentations graphiques de i_1(t) et i_2(t) en fonction du temps.
Quatrième partie : Champs électrique et magnétique à l'intérieur d'un solénoïde
9/ Champ électrique à l'intérieur d'un solénoïde
On considère un solénoїde circulaire de rayon R comportant n spires jointives par unité de longueur. Sa longueur est très grande devant ses dimensions latérales et on peut considérer que le solénoïde se comporte comme un solénoïde infini.
Les spires du solénoïde sont parcourues par une intensité sinusoïdale de pulsation ω :
i(t) = I_0 cos(ωt).
L'espace est rapporté à la base cylindrique ( e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z ). Un point quelconque de l'espace est repéré par ses coordonnées ( r, θ, z ).
9.1/ Montrer, en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, qu'un champ électrique E⃗ est nécessairement créé par le solénoïde.
9.2/ En admettant que le champ électrique est orthoradial (dirigé suivant le vecteur e⃗_θ ) et ne dépend que de r, déterminer l'expression du champ électrique E⃗ créé par le solénoïde en tout point M de l'espace en fonction de μ_0, n, I_0, ω, r et t.
10/ Introduction d'un conducteur dans le solénoïde
Un cylindre métallique de conductivité γ, de rayon a et de longueur h très grande par rapport à a est placé à l'intérieur du solénoïde précédent. L'axe du solénoïde et l'axe du cylindre sont confondus.
On fait l'hypothèse que l'introduction du conducteur cylindrique ne modifie pas sensiblement les champs électrique et magnétique créés à l'intérieur du solénoïde en l'absence du cylindre conducteur.
10.1/ Effet Joule dans le cylindre métallique
10.1.1/ En appliquant la loi d'Ohm locale, déterminer la densité de courant volumique j⃗ qui apparaît dans le cylindre conducteur en fonction de μ_0, n, I_0, γ, ω, r et t. On n'omettra pas de préciser la direction du vecteur j⃗.
10.1.2/ Déterminer l'expression dP_J de la puissance instantanée dissipée par effet Joule dans un volume élémentaire dτ = rdrdθdz du cylindre. On exprimera dP_J en fonction de dτ, γ, r, μ_0, n, ω, I_0 et t.
Par intégration de l'expression précédente de dP_J, déterminer la puissance instantanée P_J dissipée par effet Joule dans le cylindre. On exprimera P_J en fonction de γ, h, a, μ_0, n, ω, I_0 et t.
Déterminer la moyenne temporelle ⟨P_J⟩ de la puissance instantanée P_J en fonction de γ, h, a, μ_0, n, ω et I_0.
10.1.3/ Citer une application classique du phénomène physique ainsi mis en évidence dans la question précédente.
10.2/ Influence du conducteur cylindrique sur le champ magnétique
10.2.1/ Soit B⃗^′ le champ magnétique variable créé par la densité volumique de courant j⃗ calculée au 10.1.1/ à l'intérieur du cylindre conducteur.
On admettra que le champ B⃗^′ se met sous la forme B⃗^′ = B^′(r, t)e⃗_z où B^′(r, t) est une fonction qui ne dépend que de r et du temps et que le champ B⃗^′ est nul à l'extérieur du cylindre conducteur. En utilisant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression de B⃗^′ à l'intérieur du cylindre conducteur. On précisera clairement le contour choisi pour l'application de ce théorème.
10.2.2/ On souhaite déterminer les conditions dans lesquelles l'hypothèse faite précédemment est valable (l'introduction du conducteur ne modifie pas le champ magnétique existant dans le solénoïde en l'absence du cylindre conducteur). B⃗ désignant le champ magnétique créé dans le solénoïde en l'absence du cylindre conducteur, déterminer le rapport (B^′)/B des amplitudes des champs magnétiques B⃗ et B⃗^′ en un point se trouvant à l'intérieur du cylindre conducteur. On exprimera ce rapport en fonction de r, a, μ_0, γ et ω.
10.2.3/ Les dimensions du solénoïde et du cylindre conducteur étant fixées, quelles sont les conditions sur γ et ω à vérifier pour que l'hypothèse précédente soit valable?
Fin de l'énoncé
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique TSI 2008 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique TSI 2008 ?
+
Le premier problème porte sur les oscillateurs mécaniques (libres, amortis, forcés) et le second sur le magnétisme des solénoïdes, l'induction et les circuits RL couplés.
Les deux problèmes sont-ils liés entre eux ?
+
Non, les deux problèmes sont totalement indépendants et portent sur des thèmes différents.
Quelles parties du sujet sont indépendantes ?
+
Les deux problèmes sont indépendants l'un de l'autre. À l'intérieur de chaque problème, les parties s'enchaînent mais restent le plus souvent traitables séparément, comme l'indique l'énoncé.
Le sujet demande-t-il l'usage de la calculatrice ?
+
Non, l'énoncé précise explicitement que l'usage des calculatrices est interdit.
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