Centrale Physique TSI 2014Sujet et corrigé

1,0(2 votes)

Rayonnement solaire et bilan de puissance
Transferts thermiques et capacité thermique
Dilatation thermique et régression linéaire
Théorème du moment cinétique et systèmes d'engrenages
Statique des fluides et poussée d'Archimède
Oscillateur harmonique forcé et impédance mécanique
Analogie électromécanique
Induction électromagnétique et force électromotrice
Force de Laplace

Explorer les annales

BanqueCentrale Année2014 FilièreTSI MatièrePhysique

Annales Centrale TSI Physique Centrale TSI 2014 TSI Physique Physique 2014

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé sur Discord

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Chauffage par énergie solaire, pompage par éolienne et convertisseur d'énergie houlomotrice

Le sujet comprend trois problèmes indépendants sur les énergies renouvelables. Le premier étudie un chauffage d'eau par panneaux solaires (puissance absorbée, fluide caloporteur, dilatation des tuyaux). Le deuxième étudie une pompe à eau actionnée par une éolienne via un système bielle-manivelle. Le troisième étudie un convertisseur houlomoteur : mouvement d'un flotteur soumis à la houle, puis générateur linéaire synchrone à aimants permanents.

1I. Chauffage par énergie solaireCalcul de la puissance solaire reçue par un panneau incliné, dimensionnement de la surface de panneaux nécessaire, étude du temps de chauffage d'un ballon d'eau chaude compte tenu des pertes thermiques du fluide caloporteur, puis analyse d'une mesure expérimentale de dilatation thermique d'un tuyau de cuivre.
2II. Pompage par éolienneÉtude mécanique d'un système d'engrenages et de bielle-manivelle transformant la rotation de l'hélice éolienne en mouvement alternatif d'une tige de pompage, établissement de l'équation différentielle du mouvement couplant les aspects mécanique et hydraulique.
3III.A. Convertisseur houlomoteur : étude du mouvementMise en équation du mouvement vertical d'un flotteur soumis à la poussée d'Archimède, aux forces électromagnétiques de récupération et aux forces de rayonnement de l'onde engendrée, étude en régime harmonique par analogie électrocinétique et optimisation de la puissance récupérée.
4III.B. Convertisseur houlomoteur : modélisation du générateur linéaireCalcul du flux magnétique et de la force électromotrice induite dans les bobines d'un générateur linéaire synchrone à aimants permanents, puis détermination de la force électromagnétique de freinage exercée sur le translator.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Le sujet est composé de trois problèmes totalement indépendants. Le premier problème étudie un système de production d'eau chaude exploitant l'énergie solaire. Le deuxième s'intéresse à la dynamique d'une pompe mue par une éolienne. Le troisième problème étudie un dispositif utilisant l'énergie de la houle pour produire de l'électricité grâce à un alternateur linéaire. Il est divisé en deux sous-parties : la première s'intéresse aux aspects mécaniques de l'installation et la seconde étudie le générateur synchrone sous ses aspects électromagnétiques. Ces deux sous-parties sont largement indépendantes.

I Chauffage par énergie solaire

Dans le cadre de l'utilisation d'énergie durable, une des solutions de plus en plus employée est le chauffage de l'eau domestique à l'aide de panneaux solaires personnels posés sur les toits des maisons. Ces panneaux n'ont pas pour but de transformer l'énergie solaire en énergie électrique (ce ne sont pas des panneaux photovoltaïques) mais de récupérer directement l'énergie solaire pour faire chauffer de l'eau.
Les trois parties de cette étude sont indépendantes.

I.A - Puissance absorbée

Le Soleil rayonne une puissance

P = 3, 85 \times 10^(26) W

de manière isotrope. La distance moyenne Terre-Soleil vaut

d_(TS) = 1, 50 \times 10^(11) m

.
I.A.1) Déterminer l'expression et la valeur numérique de la puissance surfacique

p_1

rayonnée par le Soleil à travers une sphère de rayon

R = d_(TS)

centrée sur le Soleil.
Pourquoi cette puissance n'est-elle pas intégralement disponible à la surface de la Terre ?
Dans la suite on fait l'approximation selon laquelle cette valeur représente la puissance surfacique disponible à la surface de la Terre.
I.A.2) La puissance surfacique effectivement reçue par le panneau solaire est fonction de l'inclinaison du toit et de la latitude. Pour simplifier le raisonnement, nous étudierons la situation au midi solaire en plein été, c'est-à-dire lorsque le Soleil, considéré ponctuel, est contenu dans le plan méridien du lieu et que celui-ci est orthogonal au plan de l'écliptique (voir figure 1).
a) À midi, quelle est l'expression de l'inclinaison des rayons du Soleil par rapport à la verticale pour un lieu se situant à la latitude

λ = 49^\circ

Nord et sachant que

α = 23^\circ

? On pourra se référer à la figure 1.
b) Sachant qu'un toit fait un angle d'environ

β = 20^\circ

par rapport à l'horizontale, quelle est l'expression et la valeur numérique de la puissance surfacique

p_2

reçue par un panneau solaire situé sur le toit en supposant que ce dernier soit tourné en direction du Soleil ?
I.A.3) Sachant que le rendement de conversion d'un panneau solaire est usuellement de

η = 70%

quelle est l'expression et la valeur numérique de la surface

S

de panneaux à installer pour obtenir une puissance effective de chauffage

P_0 = 2, 20 kW

à midi?

Figure 1 Représentation à midi solaire en plein été

I.A.4) Expliquer très succinctement pourquoi les panneaux installés pour délivrer une puissance nominale

P_0

ont une surface plus grande que

S

I.B - Chauffage d'un ballon d'eau chaude

Un système de chauffage d'eau domestique par panneaux solaires, schématisé sur la figure 2, est constitué de trois éléments principaux :

un capteur installé sur le toit qui transmet directement l'énergie reçue de la part du Soleil à un fluide caloporteur (mélange d'eau et de glycol);
un système de tuyaux et de pompes qui permet de transporter le fluide caloporteur chaud situé dans le capteur du toit jusqu'au ballon d'eau dans la maison ;
un échangeur thermique à l'intérieur du ballon d'eau chaude qui permet au fluide caloporteur de réchauffer l'eau pendant que lui-même se refroidit.

Dans la suite nous allons considérer un ballon parfaitement isolé contenant un volume

V_0 = 300 L

d'eau de capacité thermique massique

c_0 = 4, 18 \times 10^3 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)

, de masse volumique

ρ_0 = 1, 0 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

initialement à la température

θ_0 = 15^\circC

et que l'on cherche à réchauffer jusqu'à

θ_1 = 60^\circC

. Les panneaux installés sont tels que la puissance thermique effectivement cédée au fluide caloporteur est constante et vaut

P_0 = 2, 2 kW

.
I.B.1) Dans le cas idéal où la puissance thermique

P_0

serait intégralement délivrée à l'eau dans le ballon, déterminer la durée

Δt_1

qui serait nécessaire pour que la température de l'eau contenue dans le ballon passe de

θ_0

θ_1

. Faire l'application numérique.
I.B.2) En réalité il faut tenir compte du fluide caloporteur et des pertes thermiques lors du transport entre le toit et le ballon. Cette liaison est réalisée par des tuyaux de cuivre de longueur aller

ℓ = 6, 0 m

(la longueur totale étant le double pour permettre au fluide de retourner au capteur).
Le fluide caloporteur est un mélange eau-glycol de capacité thermique massique

c = 3, 3 \times 10^3 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)

qui circule avec un débit massique

D = 1, 2 \times 10^(- 2) kg \cdot s^(- 1)

.
Expérimentalement on constate que, lorsque le fluide caloporteur est en régime permanent, sa température baisse de

δθ = 6, 5^\circC

sur la longueur

ℓ

entre le capteur et l'entrée du ballon

Figure 2 Vue d'ensemble de l'installation

d'eau chaude. Évaluer la puissance thermique perdue

P_p

par le fluide caloporteur le long de cette portion de tube de longueur

ℓ

.
I.B.3) En faisant l'approximation selon laquelle la puissance perdue totale est le double de la puissance

P_p

perdue lors d'un trajet de longueur

ℓ

, en déduire l'expression et la valeur numérique de la nouvelle durée

Δt_2

nécessaire pour que l'eau passe de

θ_0

θ_1

.
I.B.4) Expliquer en deux ou trois lignes pourquoi la puissance perdue par le fluide caloporteur n'est en toute rigueur pas la même le long de la portion de tube correspondant au trajet aller du capteur solaire vers le ballon et le long de la portion de tube correspondant au trajet retour du ballon vers le capteur solaire.
I.B.5) En pratique, où est placé l'échangeur thermique entre le fluide caloporteur et l'eau à l'intérieur du ballon : plutôt en haut du ballon? En bas? Au milieu? Justifier brièvement votre réponse.

I. $C$ - Dilatation des tuyaux

Le cuivre dont sont faits les tuyaux transportant le fluide caloporteur est dilatable. Cette partie se propose de quantifier cette dilatation. Aucune notion sur la dilatation n'est requise.
I.C.1) Afin d'étudier la dilatation le dispositif expérimental schématisé sur la figure 3 est réalisé. Il se compose:

d'un tuyau de cuivre d'une longueur $ℓ = 2, 0 m$ ;
d'un système de pompe hydraulique thermostatée permettant de faire circuler de l'eau à température contrôlée à l'intérieur du tuyau (non représenté) ;
de deux palpeurs situés de chaque côté du tuyau mesurant la position au quatre centième de millimètre.

Figure 3 Dispositif de mesure de la dilation d'un tuyau de cuivre

Les résultats sont rassemblés dans le tableau 1.

δℓ = δℓ_1 + δℓ_2

est l'allongement total du tuyau.
Faire la régression linéaire des données reliant

δℓ

θ

et donner la pente

a

de la droite de régression.
I.C.2) En déduire l'expression du coefficient de dilatation

α_T = 1/ℓ((\partialℓ)/(\partialT))_P

. Comparer avec la valeur tabulée

α_(T0) = 1, 64 \times 10^(- 5) K^(- 1)

$θ(^\circC)$	$63$	$63, 5$	$64, 5$	$65, 5$	$66, 4$	$67, 1$	$67, 8$	$68, 5$	$69, 2$	$70, 0$	$71, 3$
$δℓ_1(1/(100) mm)$	0	2,0	2,5	4,0	5,5	6,25	7,5	8,5	9,75	11	12,25
$δℓ_2(1/(100) mm)$	0	0,5	2,5	4,0	5,5	6,25	7,5	9,0	10	11	10,25

Tableau 1 Résultats des mesures de dilation

I.C.3) À partir des résultats précédents, évaluer la dilatation maximale

e

des tuyaux transportant le fluide caloporteur sachant que sa température passe de

θ_0

θ_2 = 90^\circC

. (On utilisera la valeur numérique de

α_T

pour l'application numérique.)
Cette dilatation est-elle significative ? Peut-elle engendrer des problèmes en pratique ? Pourquoi le fluide caloporteur a-t-il une température plus élevée que celle que l'on cherche à obtenir pour l'eau (

θ_1 = 60^\circC

) ?

II Pompage par éolienne

Afin d'éviter d'installer des câbles électriques, certains sites tirent directement partie de l'énergie éolienne pour effectuer quelques travaux mécaniques dont l'irrigation. Ce problème se propose d'étudier quelques aspects d'une telle éolienne. La sous-partie II.A s'intéressera à l'aspect mécanique, la sous-partie II.B à l'aspect hydraulique. La dernière sous-partie proposera une discussion du mouvement. Les trois sous-parties ne sont pas indépendantes mais il est possible de poursuivre en cas de blocage à condition d'admettre les résultats intermédiaires donnés.

Description de l'éolienne

Figure 4 Éolienne de pompage

Une roue dentée ( $D_1$ ) d'axe horizontal ( $O_1 z$ ) de rayon $R_1$ est solidaire de l'hélice de l'éolienne et tourne à la vitesse angulaire $ω$ autour de l'axe fixe ( $O_1 z$ ). On note $J_1$ le moment d'inertie de l'ensemble {roue, hélice} par rapport à l'axe ( $O_1 z$ ).
Cette roue roule sans glisser sur une deuxième roue dentée ( $D_2$ ) d'axe horizontal $O_2 z$ , de rayon $R_2$ , de moment d'inertie $J_2$ par rapport à son axe $(O_2 z)$ tournant à la vitesse angulaire $(dθ)/(dt)$ autour de l'axe fixe $(O_2 z)$ .
En un point $A$ de la roue ( $D_2$ ) tel que $O_2 A = a$ s'articule une bielle $AB$ , solide de masse négligeable, de longueur $ℓ$ dont l'autre extrémité est assujettie à se déplacer sur l'axe vertical et fixe ( $O_2 x$ ).
Cette bielle $AB$ s'articule également en $B$ sur une tige ( $Σ$ ), solide de masse $M$ de centre d'inertie $G$ en translation suivant $(O_2 x)$ .
Attention : la figure 4 ne respecte pas les proportions, la tige ( $Σ$ ) ayant une très grande longueur, de l'ordre de 30 m .
À son extrémité inférieure ( $Σ$ ) porte un piston de section $s$ et de masse négligeable devant $M$ , effectuant un mouvement alternatif dans l'eau de la nappe souterraine. Un système de soupapes (non représenté) est conçu de façon que:
lors de la descente de $(Σ)$ la conduite de remontée de l'eau $(E)$ est fermée et l'eau de la nappe souterraine remplit le corps de pompe ( $C$ ), les deux faces du piston subissant la même pression;
lors de la montée de ( $Σ$ ), la conduite ( $E$ ) s'ouvre et le piston refoule l'eau du corps de pompe ( $C$ ) vers le réservoir de surface ( $R^'$ ). Les deux faces du piston subissent les pressions $P^'$ (au-dessus) et $P_(atm)$ (en-dessous). En effet, le corps de pompe est situé près de la surface de la nappe phréatique de sorte que l'on peut supposer que la pression en dessous du piston est de l'ordre de $P_(atm)$ .
La mise en équation demandée ne concerne (sauf à la question II.B.6) que la phase de montée de ( $Σ$ ), l'angle $θ$ étant compris entre 0 et $π$ .
On note ( $u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z$ ) les vecteurs unitaires des axes ( $O_2 x$ ), ( $O_2 y$ ) et ( $O_2 z$ ).
Toutes les liaisons et articulations sont parfaites ; on néglige les pertes énergétiques ; l'eau est considérée comme un fluide de masse volumique constante et n'engendrant aucune force de frottement sur le piston.
Pour les applications numériques, on prendra:

accélération de la pesanteur	$g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)$
dénivellation entre ( $R^'$ ) et ( $C$ )	$H = 20 m$
masse volumique de l'eau	$μ_0 = 1, 0 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)$
section du piston	$s = 0, 20 m^2$
distance $OA$ entre les axes de la roue ( $D_2$ ) et de la bielle ( $AB$ )	$a = 20 cm$
masse de la tige ( $Σ$ )	$M = 100 kg$
moment d'inertie de l'ensemble {( $D_1$ ), hélice}	$J_1 = 1, 0$
moment d'inertie de la roue ( $D_2$ )	$J_2 = 5, 0 \times 10^3 kg \cdot m^2$
relation entre les rayons des deux roues	$R_2 = 10R_1$

II.A - Étude mécanique

II.A.1) Donner la relation entre

ω, R_1, R_2

(dθ)/(dt)

.
II.A.2) On note

T⃗ = - Tu⃗_x

l'action de (

D_1

) sur (

D_2

C⃗ = - Cu⃗_z

le couple moteur exercé par le vent sur l'hélice. Écrire le théorème du moment cinétique pour l'ensemble

{(D_1)

, hélice

}

en projection sur l'axe de rotation

(O_1 z)

II.A.3) Étude des systèmes ( $D_2$ ) et bielle

a) On note

x_B

l'abscisse de

B

sur l'axe (

O_2 x

). Donner la relation entre

ℓ, a, x_B

cosθ

.
b) En déduire

(dx_B)/(dt)

en fonction de

θ, (dθ)/(dt)

a

x_B

Pour la suite du problème on tiendra compte du fait que

ℓ/a≫1

.
c) Vérifier que dans ce cas on a

(dx_B)/(dt) ≃ asinθ(dθ)/(dt)

.
II.A.4) On considère une tige rectiligne

AB

, de masse négligeable, uniquement soumise à ses deux extrémités à des actions représentées par des forces

F⃗_A

F⃗_B

. Montrer que, quel que soit le mouvement de cette tige, les forces

F⃗_A

F⃗_B

sont colinéaires

AB^(\to-)

et vérifient

F⃗_B = - F⃗_A

.
II.A.5) On note

F⃗

l'action de la tige

AB

sur (

Σ

). Écrire le théorème du moment cinétique pour la roue (

D_2

) en projection sur l'axe de rotation (

O_2 z

) ; en tenant compte du fait que l'angle

α

(voir figure 4) est très petit (puisque

ℓ/a≫1

), on pourra supposer que

F⃗

est pratiquement colinéaire à l'axe (

Ox

F⃗ ≃ Fu⃗_x

. Montrer que l'équation obtenue se simplifie en

J_2(d^2 θ)/(dt^2) = R_2 T - Fasinθ

II.B - Étude hydraulique

II.B.1) Énoncer précisément la relation de la statique des fluides dans un référentiel galiléen.
II.B.2) En admettant que la pression dans l'eau est pratiquement la pression donnée par la loi de l'hydrostatique, déterminer en fonction de

ρ_0, g, H

s

la résultante des forces de pression qui s'exerce sur le piston lié à (

Σ

) lors de sa montée.
II.B.3) Écrire le théorème de la résultante cinétique pour le système

{(Σ)

, piston

}

en tenant compte du fait que

α≪1rad

. En déduire une équation liant les paramètres

x_B

(ou ses dérivées),

M, g, h, s, F

ρ_0

.
II.B.4) Déduire des questions précédentes que

θ(t)

vérifie l'équation différentielle

(J_2 + J_1((R_2)/(R_1))^2 + Ma^2 sin^2 θ)(d^2 θ)/(dt^2) = (R_2 C)/(R_1) - asinθ(Mg + ρ_0 gHs + Macosθ((dθ)/(dt))^2)

II.B.5) Compte-tenu des valeurs numériques et en prenant en compte le fait que

ω ≃ 1

tour

\cdot s^(- 1)

, montrer que l'équation se simplifie en

J_1((R_2)/(R_1))^2(d^2 θ)/(dt^2) = (R_2 C)/(R_1) - asinθ(Mg + ρ_0 gHs)

.
II.B.6) En déduire l'équation différentielle vérifiée par

θ(t)

lors de la phase de descente.

II.C - Discussion

La figure 5 présente une résolution numérique des deux équations des questions II.B. 4 et II.B. 5 tenant compte des phases de montée et de descente pour deux valeurs de

C : C_1 = 100 N \cdot m

C_2 = 500 N \cdot m

.
II.C.1) Identifier chaque courbe.
II.C.2) Pourquoi voit-on des «cassures » dans les courbes?

Figure 5 Intégration numérique des équations du mouvement

III Étude d'un convertisseur d'énergie houlomotrice

Présentation et Modélisation

La houle constitue un important gisement énergétique pratiquement inexploité. Nous nous proposons d'étudier quelques aspects de la physique mise en jeu dans un dispositif devant extraire, puis convertir sous forme électrique, de l'énergie de la houle.
Le système retenu se compose :

d'un flotteur cylindrique de rayon $a$ de hauteur $b$ terminé par deux calottes sphériques de même rayon $a$ ;
d'un générateur linéaire synchrone à aimants permanents, disposé dans une enceinte étanche amarrée au fond de l'océan,
le «translator» portant les aimants est lié rigidement au flotteur par l'intermédiaire d'une tige ;
le «stator» est fixé à l'enceinte.

L'équipage mobile {flotteur, translator}, de masse totale

M

, possède un unique degré de liberté de translation verticale ; son centre d'inertie

G

est repéré par la cote

z

.
On note

H

la cote de la surface libre de l'océan au niveau du flotteur,

h

la profondeur d'immersion de la partie cylindrique du flotteur et

L

la distance

AG

maintenue constante (cf figure 6). Dans tout le problème on supposera que la ligne d'eau reste sur la partie cylindrique (

0 < h < b

).
On rappelle qu'à toute grandeur harmonique

s(t) = S_m cos(ωt + φ_s

) on peut associer la grandeur complexe

s_-(t) = S_-exp(iωt)

où l'amplitude complexe

S_-

est donnée par

S_- = S_m exp(iφ_s)

, de sorte que

s(t) = Re(s_-(t))

(Re désignant la partie réelle).

III.A - Étude du mouvement de l'équipage mobile

Figure 6 Schéma global du convertisseur

L'étude sera menée dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'eau de l'océan est considérée homogène et incompressible de masse volumique

ρ

. Le champ de pesanteur

g⃗

est uniforme.
Les valeurs numériques utiles pour cette partie sont données ci-après.
masse volumique de l'eau de mer période moyenne de la houle amplitude moyenne de la houle partie réelle de l'impédance de radiation (à la pulsation de la houle) masse additionnelle (à la pulsation de la houle) accélération de la pesanteur

ρ, = 1, 03 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3); T_h, = 6, 0 s; η_m, = 2, 0 m; β_r, = 0, 35 \times (2π)/3a^3 ρ(en N \cdot s \cdot m^(- 1)); M_(ad), = (2π)/3a^3 ρ(en kg); g, = 9, 8 m \cdot s^(- 2)

III.A.1) Mise en équations : approximation hydrostatique

On note

H_0

la cote de la surface libre en l'absence de perturbation due à la houle. Cette dernière entraine une variation locale de la hauteur d'eau que l'on notera

H(t)

. On admet que les actions de l'eau sur l'équipage mobile se réduisent aux seules forces de pression hydrostatique sur le flotteur. En outre, on admet à ce stade que la résultante des forces électromagnétiques subie par le «translator» s'écrit

F⃗_(em) = - βz˙u⃗_z

(avec

z˙ = (dz)/(dt)

).
a) Énoncer précisément le théorème d'Archimède.
b) On note

h_0

la profondeur d'immersion du flotteur à l'équilibre en l'absence de houle. Établir l'équation liant

h_0, M, a

ρ

. On pourra négliger la masse volumique de l'air devant celle de l'eau.
c) On souhaite que la profondeur d'immersion

h_0

à l'équilibre soit égale à

2a/3

. Trouver sous cette condition l'expression de la masse

M

de l'équipage mobile en fonction de

ρ

a

.
On supposera que cette condition est satisfaite dans toute la suite du problème.
d) Quelle relation existe-t-il entre les variables

H, h, z

et les valeurs

H_0, h_0

z_0

de ces grandeurs à l'équilibre ?
e) Montrer que le mouvement de l'équipage mobile, en présence d'une perturbation

η(t) = H(t) - H_0

de la surface libre, est régi par l'équation différentielle :

Mξ¨ + βξ˙ + γξ = γη(t)

avec

ξ(t) = z(t) - z_0

γ

une constante que l'on exprimera en fonction de

a, ρ

g

III.A.2) Réponse en régime harmonique : impédances

La houle entraine une variation harmonique de la hauteur d'eau

η(t) = η_m cos(ωt)

. On étudie la réponse en régime harmonique établi et l'on note

v(t) = ξ˙ = (dξ(t))/(dt)

la coordonnée selon

u⃗_z

de la vitesse du flotteur et donc de l'équipage mobile:

v(t) = V_m cos(ωt + φ_v)

.
a) Impédance mécanique Montrer que l'amplitude complexe de la vitesse

V_-

obéit à l'équation

V_- = (γη_m)/(Z_-_m(ω))

où apparaît l'impédance mécanique complexe

Z_-_m(ω)

que l'on exprimera en fonction de

M, β, γ

ω

.
b) Impédance de rayonnement En fait, les oscillations du flotteur dans l'eau engendrent une onde de surface qui se superpose à la houle. Le mouvement de l'eau associé à cette onde réagit sur le flotteur en exerçant une force résultante

F⃗_r(t)

dont l'amplitude complexe en régime harmonique de pulsation

ω

, s'écrit :

F⃗_-_r = - Z_-_r(ω)V_-_z

. La grandeur

Z_-_r

est appelée impédance de rayonnement. En séparant parties réelle et imaginaire cette grandeur complexe peut s'écrire

Z_-_r(ω) = β_r + iωM_(ad)

ce qui définit :

la résistance de rayonnement $β_r > 0$ ;
la masse additionnelle $M_(ad) > 0$ qui traduit l'augmentation d'inertie résultant de la mise en mouvement de l'eau dans l'onde engendrée.
Ces grandeurs seront supposées constantes et leur expression pour les applications numériques sont données dans l'en-tête de la partie III.A.
Déterminer la nouvelle équation reliant la vitesse $V_-$ aux grandeurs $Z_-_r, Z_-_m, γ$ et $η_m$ .
c) Analogie électrocinétique Il est intéressant d'introduire une analogie électrocinétique dans laquelle :
la vitesse est analogue à une «intensité »,
la force est analogue à une «tension».

Montrer que l'équation obtenue à la question b) est une conséquence de la loi des mailles pour un «circuit électrocinétique » dont on donnera le schéma. Quelle est l'interprétation électrocinétique du terme

γη_m

?
d) Puissance rayonnée En vous appuyant éventuellement sur l'analogie électrocinétique précédente, exprimer la puissance moyenne

P_r

développée par la force

F⃗_r(t)

en fonction de

β_r

et de

V_m

amplitude de la vitesse du flotteur. Interpréter le signe de

β_r

III.A.3) Réponse en vitesse

a) Montrer qu'en tenant compte de

Z_-_r

on peut exprimer l'amplitude complexe de la vitesse sous la forme

V_- = (V_0)/(1 + iQ(ω/(ω_0) - (ω_0)/ω))

où l'on exprimera les trois grandeurs

V_0, Q

ω_0

en fonction de

η_m, β, β_r, M, M_(ad)

γ

.
b) Pour quelle pulsation

ω_r

l'amplitude de la vitesse

V_m(ω)

est-elle maximale ?
c) Exprimer cette pulsation de résonance en fonction de

g

et du rayon

a

. Calculer la valeur numérique de

a

permettant un fonctionnement résonant du dispositif soumis à l'excitation de la houle de période moyenne

T_h

.
d) Un point essentiel dans la conception du convertisseur est l'optimisation du rendement de conversion, cela passe par l'optimisation de la puissance absorbée par le convertisseur. La puissance utile instantanée s'écrit

P_u(t) = βv(t)^2

.
Déterminer, à la pulsation

ω_r

, la puissance utile moyenne

P_u

en fonction de

γ, η_m, β

β_r

. Montrer que pour

γ, η_m, β_r

fixés, il existe un choix optimal de valeur de

β

maximisant la puissance utile moyenne et déterminer cette puissance maximale.

III.B - Modélisation et analyse du générateur linéaire

Il s'agit d'un générateur de type alternateur linéaire à aimants permanents. Il a une structure rectangulaire à double faces schématisée sur la figure 7 . Les aimants permanents disposés sur le translator créent un champ

B⃗_e

dans les bobines du stator.

Figure 7 Schéma du générateur (à gauche vue en perspective, à droite vue de coupe). La répartition spatiale (approximativement sinusoïdale) du champ

B⃗_e

créé par les aimants est représentée en traits pointillés

Le circuit statorique comporte deux phases A et B. Chaque phase est constituée de

N_b = 28

bobines rectangulaires identiques comportant

N_s = 17

spires, de longueur

l_s = 2 m

et de largeur

l = 15 cm

, montées en série. Les bobines sont parallèles au plan (

xOz

), réparties sur chaque face selon le schéma de la figure 8. Il y a donc 14 bobines de chaque phase sur chaque face. On peut négliger l'épaisseur d'enroulement des spires et considérer les bobines comme plates.

Figure 8 Disposition des bobines (les échelles ne sont pas respectées)

Les centres des bobines de la phase A (resp. phase B) sont repérés par les abscisses

z_(A, k)

(resp.

z_(B, k)

) le long de l'axe (Oz) du stator

phase $A : z_(A, k) = (2k + 1/2)l$ , pour $k = 0, \dots, 13$ ;
phase $B : z_(B, k) = (2k + 1)l$ , pour $k = 0, \dots, 13$ .

Les aimants et bobines sont disposés symétriquement sur deux faces. Cependant, dans la suite de l'analyse, une seule face peut être prise en compte ; il suffira dans les résultats de tenir compte du nombre total de bobines par phase dans le générateur.

La longueur du translator est suffisante pour que ses extrémités n'atteignent jamais les bords du stator ; autrement dit, on peut négliger tout effet de bord et considérer le translator comme infini.

III.B.1) Force électromotrice induite par phase

Figure 9 Configuration du champ magnétique

B⃗_e

et position relative des bobines

Le champ créé par les aimants est stationnaire dans le référentiel lié au translator

B⃗_e(u) = B_0 cos(π/lu)u⃗_y

l'abscisse

u

étant mesurée le long de l'axe du translator.
On note

ξ(t)

le déplacement du translator le long de l'axe

(Oz)

, comme indiqué sur la figure 9 .
a) On note

u(z, t)

, l'abscisse à l'instant

t

du point coïncidant dans le référentiel du translator avec un point du stator d'abscisse

z

. Justifier que

u(z, t) = z - ξ(t)

.
b) On considère la bobine de la phase A centrée en

z_(A, k)

orientée selon la convention de la figure 9 . Montrer que le flux du champ magnétique

B⃗_e

à travers cette bobine s'écrit

Φ_(A, k)(t) = 2/πB_0 l_s lN_s cos(π/l(z_(A, k) - ξ(t)))

En déduire la force électromotrice

e_(A, k)(t)

induite dans cette bobine.
c) Retrouver l'expression de

e_(A, k)(t)

à partir de la circulation du champ électromoteur de Lorentz

v⃗_e(M, t) \land B⃗_e(M)

, où

v⃗_e(M, t)

est la vitesse d'entrainement d'un point du stator vue par un observateur lié au translator.
d) Montrer que la force électromotrice

e_A(t)

induite dans l'ensemble de la phase

A

s'écrit

e_A(t) = - 2(dξ)/(dt)l_s N_s N_b B_0 cos(π/lξ(t))

e) En déduire la force électromotrice

e_B(t)

induite dans l'ensemble de la phase B.
f) Chaque phase est séparément fermée sur une charge résistive et l'on suppose ici négligeable les coefficients d'auto-induction et de mutuelle-induction des bobines. On note

R

la résistance totale de chaque phase. Exprimer les intensités

i_A(t)

i_B(t)

des courants circulant respectivement dans les phases

A

B

III.B.2) Force exercée sur le translator

a) Quelle relation existe-t-il entre la puissance électrocinétique de la force électromotrice induite dans la phase

A

(ou

B

), et la puissance des forces de Laplace s'exerçant sur les bobines de cette phase? Que traduit cette relation? Dans quel référentiel faut-il raisonner ?
b) Exprimer les résultantes des forces de Laplace

F⃗_(L, A)

F⃗_(L, B)

subies par l'ensemble des bobines des phases A et B respectivement.
c) En déduire que la force d'origine électromagnétique subie par le translator s'écrit

F⃗_(em) = - β(dξ)/(dt)u⃗_z

On exprimera

β

en fonction de

B_0, l_s, N_s, N_b

R

. Quel intérêt voyez vous à la disposition spatiale relative des bobines des deux phases ?
d) Application numérique L'intensité

B_0

du champ créé par les aimants vaut

B_0 = 1 T

, la résistance totale de chaque phase vaut

R = 2Ω

. Calculer numériquement

β

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de Physique Centrale TSI 2014 ?

Le sujet porte sur les énergies renouvelables : thermique (chauffage solaire), mécanique (pompage éolien) et électromagnétique (convertisseur houlomoteur), combinant thermodynamique, mécanique du solide et électromagnétisme.

Les trois problèmes du sujet sont-ils indépendants ?

Oui, l'énoncé précise que le sujet est composé de trois problèmes totalement indépendants, le troisième étant lui-même divisé en deux sous-parties largement indépendantes.

Quel résultat de cours faut-il connaître pour la partie sur le convertisseur houlomoteur ?

Il faut maîtriser la poussée d'Archimède, la réponse en régime harmonique d'un oscillateur amorti forcé avec impédance mécanique, et l'induction électromagnétique pour calculer la force électromotrice d'un générateur linéaire.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique TSI 2014

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

I Chauffage par énergie solaire

I.A - Puissance absorbée

I.B - Chauffage d'un ballon d'eau chaude

I. C - Dilatation des tuyaux

II Pompage par éolienne

Description de l'éolienne

II.A - Étude mécanique

II.A.3) Étude des systèmes ( D_2 ) et bielle

II.B - Étude hydraulique

II.C - Discussion

III Étude d'un convertisseur d'énergie houlomotrice

Présentation et Modélisation

III.A - Étude du mouvement de l'équipage mobile

III.A.1) Mise en équations : approximation hydrostatique

III.A.2) Réponse en régime harmonique : impédances

III.A.3) Réponse en vitesse

III.B - Modélisation et analyse du générateur linéaire

III.B.1) Force électromotrice induite par phase

III.B.2) Force exercée sur le translator

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de Physique Centrale TSI 2014 ?

Les trois problèmes du sujet sont-ils indépendants ?

Quel résultat de cours faut-il connaître pour la partie sur le convertisseur houlomoteur ?

Commentaires• Centrale Physique TSI 2014

Commentaires• Centrale Physique TSI 2014

I. $C$ - Dilatation des tuyaux

II.A.3) Étude des systèmes ( $D_2$ ) et bielle