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Centrale Physique TSI 2012Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Gravitation et mouvement des satellites (lois de Kepler)
  • Théorème de Gauss gravitationnel
  • Oscillateur mécanique amorti en régime sinusoïdal forcé (filtre passe-bas)
  • Thermodynamique des gaz parfaits et transformation isentropique (loi de Laplace)
  • Mécanique des fluides compressibles : écoulement dans une tuyère et relation de Hugoniot
  • Propulsion par réaction et équation du mouvement d'une fusée
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Le programme Apollo : trajectoire Terre-Lune, déplacements lunaires et propulsion de Saturn V
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Le problème retrace plusieurs aspects physiques du programme Apollo. La première partie étudie le décollage de la fusée et sa mise en orbite terrestre à l'aide de la gravitation. La deuxième partie suit le transfert vers la Lune, la mise en orbite lunaire, puis les déplacements du rover lunaire modélisé comme un oscillateur amorti. La troisième partie étudie l'écoulement des gaz dans la tuyère de Laval d'un moteur-fusée et la dynamique du décollage par propulsion.

  1. 1I. De la Terre : décollage et orbite circulaireCompare l'intérêt des bases de lancement selon leur latitude, puis établit le champ gravitationnel terrestre et les caractéristiques d'un satellite en orbite circulaire, dont la troisième loi de Kepler.
  2. 2II. À la Lune : transfert et déplacements lunairesÉtudie l'orbite elliptique de transfert Terre-Lune, la mise en orbite lunaire, les contraintes de roulement sur un sol lunaire ondulé, puis modélise le rover lunaire par un système masse-ressort-amortisseur en régime sinusoïdal forcé.
  3. 3III. Propulsion de la fuséeÉtudie la transformation isentropique d'un gaz parfait, établit la relation de Hugoniot pour l'écoulement dans une tuyère de Laval, puis calcule la poussée et la trajectoire d'ascension de la fusée Saturn V.

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De la Terre à la Lune : Programme Apollo, 15 ans d'aventure spatiale

Ce problème aborde quelques aspects du Programme Apollo, qui permit à l'Homme de faire son premier pas sur la Lune le 21 juillet 1969. La première partie étudie le départ de la Terre, la seconde l'arrivée sur la Lune. La troisième étudie l'écoulement des gaz dans la tuyère d'un des cinq moteurs-fusées du premier étage de la fusée.

I De la Terre ...

La fusée lancée de Cap Canaveral en Floride, se met tout d'abord en orbite circulaire basse autour de la Terre. Elle est ensuite placée sur une orbite elliptique de transfert pour rejoindre finalement une orbite circulaire autour de la Lune. La durée d'une mission est typiquement d'une semaine.

I.A - Décollage

I.A.1) Choix du référentiel

a) Définir les référentiels terrestre et géocentrique, notés respectivement R_T et R_G.
b) Définir un référentiel galiléen.
Dans toute la suite, R_G sera le référentiel d'étude, considéré comme galiléen.
c) Justifier ce choix.

I.A.2) Influence de la base de lancement

La Terre, associée à une sphère de rayon R_T = 6, 38 × 10^3 km, est animée d'un mouvement de rotation uniforme (figure 1) autour de l'axe Sud-Nord Tz, à la vitesse angulaire Ω = 7, 29 × 10^(− 5)rad ⋅ s^(− 1).
Figure 1 Latitude
a) Donner la nature de la trajectoire d'un point B à la surface de la Terre, situé à la latitude λ.
b) Établir l'expression du module v_B de sa vitesse.
c) Application numérique : Calculer v_(B1) pour la base de lancement de Cap Canaveral aux États-unis ( λ_1 = 28, 5^∘ ) et v_(B2) pour la base de Kourou en Guyane ( λ_2 = 5, 2^∘ ).
Une fusée de masse m_F décolle du point B, sans vitesse initiale par rapport à la Terre, pour atteindre une orbite circulaire autour de la Terre avec la vitesse finale v_0 par rapport à R_G.
d) Déterminer l'expression de la variation d'énergie cinétique ΔE_c de la fusée, en fonction de v_B, v_0 et m_F.
e) Calculer numériquement l'économie relative réalisée, définie par (ΔE_(c1) − ΔE_(c2))/(ΔE_(c1)), en choisissant la base de Kourou plutôt que celle de Cap Canaveral, avec v_0 = 8 km ⋅ s^(− 1). Commenter.
f) Quel(s) autre(s) avantage(s) présente la base de Kourou?

I.B - Orbite circulaire

I.B.1) Généralités

a) Rappeler l'expression de la force gravitationnelle F⃗_G exercée par une masse ponctuelle m_1 située en O sur une masse ponctuelle m_2 située en M en fonction de m_1, m_2, r⃗ = OM^(→−), r = ‖r⃗‖ et la constante de gravitation G.
b) Rappeler de même l'expression de la force électrique F⃗_E exercée par une charge q_1 située en O sur une charge q_2 située en M.
c) Rappeler le théorème de Gauss de l'électrostatique.
d) Par analogie, donner le théorème de Gauss gravitationnel, donnant l'expression du champ gravitationnel G⃗(M) créé par une distribution de masse μ(M).

I.B.2) Champ gravitationnel terrestre

La Terre est approximativement une boule à symétrie sphérique de centre T, de masse totale m_T.
a) Quelle est la direction de G⃗(M) ?
b) De quelle(s) variable(s) dépend-t-il ?
c) Déterminer G⃗(M) en tout point M à l'extérieur de la Terre.
d) Calculer son module g_T à la surface de la Terre, avec G × m_T = 4, 0 × 10^(14) m^3 ⋅ s^(− 2).
e) Justifier enfin que la force exercée par la Terre sur un satellite de masse m_F situé au point M soit donnée par
F⃗ = − G(m_F m_T)/(r^3)TM^(→−)
où r est la distance TM.

I.B.3) Mouvement d'un satellite

Un satellite de masse m_F est en orbite autour de la Terre à la distance r de son centre.
a) Donner l'expression de l'énergie potentielle E_(p0) associée, en la choisissant nulle pour r → ∞.
b) Montrer que la trajectoire est plane. Quelle est sa nature ?
La trajectoire est maintenant considérée circulaire.
c) Exprimer la vitesse v_0 de la fusée, ainsi que son énergie cinétique E_(c0), en fonction de G, m_F, m_T et r.
d) Exprimer le rapport (T_0^2)/(r^3), où T représente la période de révolution du satellite, en fonction de G et m_T.
Quel est le nom de cette loi? Dans la suite, on admettra que ce résultat se généralise aux orbites elliptiques en remplaçant r par a, demi-grand axe de l'ellipse.
e) Application numérique : calculer v_0 et T_0 pour une orbite circulaire basse ( r ≃ R_T ).
f) Donner enfin l'expression de l'énergie mécanique de la fusée sous la forme E_(m0) = − K/(2r), en précisant la valeur de K. Dans la suite, on admettra que ce résultat se généralise aux orbites elliptiques en remplaçant r par a, demi-grand axe de l'ellipse.

II ... à la Lune.

II.A - Objectif Lune

II.A.1) Orbite de transfert

La fusée Saturn V est d'abord placée en orbite circulaire autour de la Terre, dans un plan contenant l'axe Terre-Lune. Les moteurs du troisième étage sont alors allumés pendant une durée très courte : la vitesse de la fusée passe quasi instantanément de la vitesse v_0 à la vitesse v_1, de telle sorte que la nouvelle trajectoire soit elliptique de grand axe 2a ≃ d_(TL), où d_(TL) représente la distance Terre-Lune (Figure 2).
Figure 2 Orbite de transfert
a) Exprimer l'énergie mécanique E_(m1) de la fusée lorsqu'elle suit cette nouvelle trajectoire.
b) En déduire l'expression de la vitesse v_1. Application numérique.
c) Où est placée la Terre par rapport à cette ellipse? À quel instant doit-on allumer les moteurs?
d) Évaluer numériquement la durée t_1 du transfert Terre-Lune (parcours de la moitié de l'ellipse). On donne d_(TL) = 3, 8 × 10^8 m.

II.A.2) Orbite lunaire

Au voisinage de la Lune, de rayon R_L et de masse m_L, l'attraction de la Lune devient prépondérante et l'attraction de la Terre devient négligeable .
L'étude se fait désormais dans le référentiel lunocentrique, supposé galiléen.
Les paramètres du vol sont calculés pour qu'en cas de panne des moteurs, la fusée contourne la Lune pour revenir sur la Terre. (Ce fut le cas lors de la mission Apollo XIII). À l'approche de la Lune, les moteurs de la fusée sont rallumés, de façon à placer la fusée sur une orbite circulaire basse ( r ≃ R_L ) autour de la Lune.
a) Faut-il freiner ou accélérer? Justifier qualitativement.
b) Déterminer numériquement v_2, vitesse associée à une orbite circulaire basse autour de la Lune, avec G × m_L = 4, 9 × 10^(12) m^3 ⋅ s^(− 2) et R_L = 1, 74 × 10^3 km.

II.B - Déplacements sur la Lune

II.B.1) Caractéristiques du sol lunaire

a) Exprimer le module du champ gravitationnel lunaire g_L à la surface de la Lune, en fonction de g_T, m_T, R_T, m_L et R_L.
b) Un bon athlète possède sur Terre une détente verticale de 1 m . Quelle serait cette détente sur la Lune?
Le sol lunaire est accidenté et modélisé par une surface ondulée de période spatiale λ, d'équation z(x) = Acos(2πx/λ).
Un véhicule assimilé à un point matériel M se déplace sur cette surface suivant la loi x_M(t) = v × t, où v est une constante.
c) Montrer que z_M(t) est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω. Relier ω, λ et v.
d) Déterminer la valeur maximale de A qui assure le maintien du véhicule au sol.
e) Application numérique : Calculer A_(max) pour v = 14 km ⋅ h^(− 1) et λ = 1 m. Conclure.

II.B.2) Rover lunaire

Les astronautes des missions Apollo XV et suivantes ont utilisé pour leurs déplacements un véhicule spécialement adapté : le rover lunaire. Ce véhicule est sommairement modélisé par un parallélépipède de masse m_R, de centre de gravité G, reposant sur une roue de centre O de masse négligeable. Le vecteur OG^(→−) reste toujours vertical (figure 3).
Figure 3 Rover lunaire.
Les positions du centre de gravité et du centre de la roue par rapport à la position de repos sont notées respectivement z(t) = z_G(t) et z_O(t). Le véhicule est relié à la roue par une suspension modélisée par un ressort de raideur k et de longueur à vide l_0 et un amortisseur fluide de constante d'amortissement β. La force exercée sur la masse m_R est donnée par
F⃗_f = − β((dz)/(dt) − (dz_O)/(dt))u⃗_z
a) Préciser l'allongement Δl du ressort au repos.
La roue restant en contact avec le sol, z_O(t) = Acos(ωt).
b) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masse m_R, Montrer que z(t) vérifie l'équation différentielle
z¨ + ω_1 z˙ + ω_0^2 z = f(t)
en précisant les valeurs de ω_0, ω_1 et de la fonction f(t) en fonction des données.
c) Montrer que l'amplitude complexe du mouvement du point G est donnée en régime sinusoïdal forcé par :
H_– = (z_–)/(z_–_O) = (1 + j(ωω_1)/(ω_0^2))/(1 + j(ωω_1)/(ω_0^2) − (ω^2)/(ω_0^2))
d) Montrer que pour k suffisamment faible, H_– se réduit à la fonction de transfert d'un filtre passe bas du premier ordre, dont on exprimera la pulsation de coupure ω_c en fonction de β et m_R.
L'amplitude du mouvement vertical de G doit être limitée à environ le dixième de celle de O, pour v = 14 km ⋅ h^(− 1), λ = 1 m et m_R = 700 kg.
e) Proposer une valeur pour β.
f) Proposer une valeur pour k. À quoi sert le ressort ?
g) Quel serait le comportement de ce véhicule sur un terrain de même nature, à la surface de la Terre ?

III Propulsion de la fusée

Cette partie étudie le fonctionnement des moteurs F-1 du premier étage de la fusée Saturn V. La propulsion de la fusée est assurée par des moteurs qui éjectent les produits gazeux de la combustion d'ergols liquides (oxygène/kérosène) à travers une tuyère.
L'écoulement du gaz à travers la tuyère est supposé permanent, isentropique et unidirectionnel.
T(z), P(z), u(z), h(z), v(z), ρ(z), w(z) et S(z) représentent respectivement la température, la pression, l'énergie interne massique, l'enthalpie massique, le volume massique, la masse volumique, la vitesse des gaz et l'aire au niveau de la section de cote z de la tuyère. Le gaz est assimilé à un gaz parfait caractérisé par son indice adiabatique γ et sa masse molaire M.

III.A - Étude du gaz

III.A.1) Modèle du gaz parfait

a) Rappeler le modèle du gaz parfait.
b) Donner son équation d'état reliant P, v, T et r = R/M constante du gaz parfait massique pour le gaz étudié.

III.A.2) Transformation isentropique

a) Montrer que pour une transformation adiabatique réversible, Pv^γ reste constant.
b) Quel est le nom de cette loi?
c) Mettre cette loi sous forme différentielle :
a dP + b dv = 0
Exprimer a et b en fonction de P, v et γ.
d) Justifier la relation différentielle dh = v dP.

III.B - Tuyère

Le gaz étudié s'écoule dans une tuyère de section variable S(z). Au cours d'une transformation élémentaire, le gaz compris dans le volume délimité par le contour A_1 A_2 D_2 D_1 (système fermé Σ ) se déplace en B_1 B_2 C_2 C_1. Durant cette transformation, chaque section droite de l'écoulement est traversée par la masse élémentaire δm (figure 4).

III.B.1) Premier principe

a) Déterminer le travail élémentaire des forces de pression δW_p en fonction de P_1, v_1, P_2, v_2 et δm, où l'indice 1 (respectivement 2) est relatif à l'état du gaz au voisinage de A_1 B_1 (respectivement A_2 B_2 ).
b) Montrer, par application du premier principe, que la quantité h + w^2/2 se conserve le long de l'écoulement.
c) Mettre cette loi sous forme différentielle :
a^′ dw + b^′ dh = 0
Exprimer a^′ et b^′.
Figure 4 Tuyère
Le nombre de Mach est défini par M = w/c, où c représente la vitesse du son. La vitesse du son est de plus liée à la température par c = √(γrT).
d) Établir à partir des relations précédentes que
(dw)/w = − 1/(γM^2)(dP)/P

III.B.2) Conservation du débit

a) Exprimer le débit massique q en fonction de S, w et v.
b) Traduire la conservation de ce débit sous forme différentielle
a^(′′)dS + b^(′′)dw + c^(′′)dv = 0

Exprimer a^(′′), b^(′′) et c^(′′).

III.B.3) Relation de Hugoniot

a) Déduire des résultats précédents la relation de Hugoniot :
(dS)/S = (M^2 − 1)(dw)/w
b) Discuter du signe de dS en fonction de M pour que le fluide accélère dans la tuyère.

III.B.4) Tuyère de Laval

La tuyère est convergente puis divergente. On appelle col la section de plus faible aire (figure 5). L'indice e (respectivement s et c ) est relatif à l'état du gaz à l'entrée (respectivement à la sortie et au col ) de la tuyère. La vitesse w_e en entrée de tuyère est négligeable.
Figure 5 Tuyère de Laval
a) Quelle doit être la valeur M_s de M au col pour que le fluide puisse accélérer en chaque point de la tuyère ?
b) Tracer l'allure des courbes w(z) et P(z), en supposant w(0) ≃ 0.
c) Montrer enfin que
w_s^2 = (2c_e^2)/(γ − 1)(1 − ((P_s)/(P_e))^((γ − 1/γ)))

III.C - Propulsion

III.C.1) Poussée

La force de poussée subie par la fusée en réaction à l'éjection des gaz est donnée par F_P = qw_s. Pour la fusée Saturn V, les conditions en entrée de tuyère sont :
P_e, = 67, 5 × 10^5 Pa; T_e, = 3600 K
a) Calculer la vitesse d'éjection w_s des gaz pour P_s = 10^5 Pa, r = 510 J ⋅ K^(− 1) ⋅ kg^(− 1) et γ = 1, 2.
La fusée possède 5 moteurs ayant chacun un débit q = 2, 4 × 10^3 kg ⋅ s^(− 1).
b) Calculer la poussée F_p de la fusée.

III.C.2) Séquence de lancement

L'application du principe fondamental de la dynamique conduit, en négligeant les frottements, à
m(t)(dv(t))/(dt) = F_P − m(t)g_T
avec m(t) = m_0 − q_t t où m_0 représente la masse initiale totale de la fusée Saturn V et q_t = 5q le débit éjecté total considéré comme constant.
a) Montrer que, si v(0) = 0,
v(t) = − w_s ln((m(t))/(m_0)) − g_T t
b) Montrer que l'altitude H(t) atteinte est donnée, si H(0) = 0, par
H(t) = w_s(m_0)/(q_t)[(m(t))/(m_0)(ln((m(t))/(m_0)) − 1) + 1] − g_T(t^2)/2
Note: Une primitive de ln(x) est x(lnx − 1).
c) Application numérique : on donne m_0 = 3000t. La masse de carburant utilisée par le premier étage est m_c = 2000 t et q_t = 5q.
En déduire l'altitude et la vitesse atteinte grâce à cet étage, ainsi que la durée de cette phase, si tout le carburant est consommé.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique Centrale TSI 2012 sur le programme Apollo ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique Centrale TSI 2012 sur le programme Apollo ?

Il porte sur la gravitation et le mouvement des satellites, l'oscillateur mécanique amorti appliqué au rover lunaire, et la thermodynamique des écoulements compressibles appliquée à la tuyère d'un moteur-fusée.

Quelles parties de ce sujet Centrale TSI 2012 sur Apollo sont indépendantes ?

Les trois grandes parties (départ de la Terre, arrivée sur la Lune, propulsion de la fusée) forment des ensembles largement autonomes, même si la partie II s'appuie sur les résultats de gravitation établis en partie I.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet sur Apollo ?

Il faut savoir appliquer le théorème de Gauss gravitationnel, les lois de Kepler, résoudre un oscillateur amorti en régime forcé, et manipuler la loi de Laplace et le nombre de Mach dans un écoulement compressible.

Ce sujet Centrale TSI 2012 est-il faisable en première année ?

Une partie de la mécanique des satellites relève de la première année, mais l'oscillateur en régime sinusoïdal forcé et l'écoulement compressible dans la tuyère relèvent du programme de deuxième année.

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