Centrale Mathématiques 1 TSI 2012Sujet et corrigé

Le sujet comporte quatre parties. Dans les parties I et II, on établit des résultats utiles pour les parties suivantes. Le jury tiendra compte de la clarté et de la précision de la rédaction. En particulier, les candidats veilleront à justifier avec soin que les hypothèses des théorèmes utilisés sont bien vérifiées.

I.A.1) Soit x un réel strictement positif.

Montrer que l'intégrale ∫_1^(+ ∞)(e^(− xt))/tdt est convergente et qu'elle vérifie les inégalités suivantes :

I.A.2) Montrer que, pour tout réel x > 0, la fonction définie sur ]0, + ∞[ par t ↦ (e^(− t) − e^(− xt))/t, admet une limite quand t → 0^+, dont on donnera la valeur.
I.A.3) Déduire de ce qui précède que, pour tout réel x > 0, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− t) − e^(− xt))/tdt est absolument convergente.
I.B - On désigne désormais par F la fonction qui à x > 0 associe F(x) = ∫_0^(+ ∞)(e^(− t) − e^(− xt))/tdt.
I.B.1) Soit c un réel strictement positif.

Montrer que la fonction F est de classe C^1 sur l'intervalle [c, + ∞[.
I.B.2) En déduire que F est de classe C^1 sur l'intervalle ]0, + ∞[.

Calculer F^′(x) puis F(x), pour tout x ∈ ]0, + ∞[.
I.C - Soient a et b deux réels vérifiant 0 < a < b.
Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− at) − e^(− bt))/tdt est convergente et calculer sa valeur.
On pourra utiliser la fonction F étudiée précédemment.
I.D - Dans cette question, on considère l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− xt))/t(1 − e^(− t))^n dt, dans laquelle x est un réel strictement positif et n un entier supérieur ou égal à 1 .
I.D.1) Montrer que cette intégrale est convergente.
I.D.2) Vérifier que, pour tout réel t strictement positif et tout entier n supérieur ou égal à 1 , on a

I.D.3) En déduire la valeur de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− xt))/t(1 − e^(− t))^n dt.

Dans cette partie, on se place dans l'espace vectoriel ℝ[X] des polynômes réels.
On définit sur ℝ[X] l'application Δ qui à P ∈ ℝ[X] associe le polynôme Δ(P) défini par :

Cette application Δ est un endomorphisme de ℝ[X], ce qu'on ne demande pas de justifier. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , on définit l'endomorphisme Δ^n obtenu en composant n endomorphismes égaux à Δ :

On considère la famille de polynômes (P_n)_(n ⩾ 0) définie par

Dans les questions qui suivent, n désigne toujours un entier supérieur ou égal à 1 .

II.A.1) Montrer que la famille (P_k)_(0 ⩽ k ⩽ n) est une base de l'espace vectoriel ℝ_n[X] des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n.
II.A.2) Soit k un entier vérifiant 1 ⩽ k ⩽ n.

Déterminer Δ(P_k)(X) en fonction de P_(k − 1)(X + 1). Donner également la valeur de Δ(P_0).
II.A.3) Soit m un entier supérieur ou égal à 1 et k un entier vérifiant 0 ⩽ k ⩽ n.

Déterminer Δ^m(P_k) en distinguant les cas : 0 ⩽ m ⩽ k − 1, m = k et m ⩾ k + 1.
II.A.4) Déduire de ce qui précède que, si P est un polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1, alors Δ^n(P) = 0.
II.B - Soit P ∈ ℝ[X].
II.B.1) Démontrer que le polynôme Δ^n(P) est donné par la formule

On pourra effectuer une récurrence.
II.B.2) En déduire, pour tout entier r vérifiant 0 ⩽ r ⩽ n − 1, l'égalité suivante,

Dans toute cette partie, n et r désignent des entiers supérieurs ou égaux à 1 et x un réel strictement positif.

III.A.1) Montrer que l'intégrale ∫_1^(+ ∞)(e^(− xt))/(t^r)(1 − e^(− t))^n dt est convergente.
III.A.2) Montrer que l'intégrale ∫_0^1(e^(− xt))/(t^r)(1 − e^(− t))^n dt converge si et seulement si n ⩾ r.
III. B - Désormais, on suppose la condition 1 ⩽ r ⩽ n vérifiée. On définit la fonction F_r qui à x > 0 associe :

III.B.1) Soit c un réel strictement positif.

Montrer que la fonction F_r est de classe C^1 sur l'intervalle [c, + ∞[.
III.B.2) En déduire que F_r est de classe C^1 sur l'intervalle ]0, + ∞[. Montrer que si r ⩽ n − 1, on a

III.C.1) Montrer que, pour tout t ⩾ 0, on a 0 ⩽ 1 − e^(− t) ⩽ t.
III.C.2) Montrer que, pour tout x > 0, on a :

III.C.3) En déduire que lim_(x → + ∞)F_r(x) = 0.
III. D - On définit la fonction G_r qui, à x > 0, associe :

On suppose dans cette question que 1 ⩽ r ⩽ n − 1.
Montrer que ∀x > 0, G_(r + 1)^′(x) = − G_r(x).
III. E - Dans cette question, on utilisera le résultat lim_(x → + ∞)G_r(x) = 0 qu'on admet pour l'instant.

Montrer par récurrence sur l'entier r variant de 1 à n, qu'on a : ∀x > 0, F_r(x) = G_r(x).
III.F - Le but de cette question est d'établir que lim_(x → + ∞)G_r(x) = 0. On utilisera l'égalité (II.1).
III.F.1) Montrer que, pour tout entier r vérifiant 1 ⩽ r ⩽ n − 1

III.F.2) Rappeler le développement limité de la fonction u ↦ ln(1 + u) à l'ordre r lorsque u tend vers 0 . En utilisant ce développement limité pour la fonction x ↦ ln(1 + k/x) lorsque x → + ∞, montrer que :

où o(1) désigne une fonction admettant pour limite 0 lorsque x → + ∞.
Vérifier qu'il existe des constantes A_s, où s est un entier relatif compris entre − r et r − 1, telles que :

III.F.3) Montrer que, pour tout entier s vérifiant 0 ⩽ s ⩽ r − 1, la constante A_s est nulle.
III.F.4) En déduire que, pour tout entier r vérifiant 1 ⩽ r ⩽ n, on a lim_(x → + ∞)G_r(x) = 0.

IV
Dans cette partie, a est un réel fixé. On considère la série entière de terme général P_n(a)x^n, n ⩾ 0, où (P_n) est la famille de polynômes étudiée dans la partie II.
IV.A - Dans cette question, on suppose que a est un entier relatif négatif.
IV.A.1) Préciser la valeur de P_n(a) lorsque n ⩾ |a| + 1. En posant p = |a|, donner la valeur de P_n(a) lorsque 0 ⩽ n ⩽ p en fonction de (p/n)
IV.A.2) Justifier l'existence de la somme ∑_(n = 0)^(+ ∞)P_n(a)x^n pour tout réel x et la calculer.
IV.B - Dans cette question, on suppose que a n'est pas un entier négatif.
IV.B.1) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière ∑_(n ⩾ 0)P_n(a)x^n.
IV.B.2) Pour tout réel x tel que cette série converge, on pose S_a(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)P_n(a)x^n.

Montrer que ∀x ∈ ] − R, R[, (1 − x)S_a^′(x) − aS_a(x) = 0.
IV.B.3) En déduire la valeur de S_a(x) pour x ∈ ] − R, R[.
IV.C - Dans cette question, on étudie la convergence de la série de terme général |P_n(a)|, n ⩾ 0, lorsque a ∉ ℤ^−. On suppose que c est un réel fixé, et on définit une suite (u_n)_(n ⩾ 1) en posant

IV.C.1) Pour n ∈ ℕ^∗, on pose w_n = lnu_(n + 1) − lnu_n.

Montrer qu'il existe une unique valeur de c qu'on explicitera, pour laquelle la série de terme général w_n, n ⩾ 1, converge.
Dans la suite de cette question, on suppose que c est désormais égal à cette valeur.
IV.C.2) Montrer que la suite (u_n)_(n ⩾ 1) converge et que sa limite L, qu'on ne cherchera pas à calculer, est strictement positive. En déduire que : |P_n(a)| ∼ _(n → + ∞)L/(n^c).
IV.C.3) Préciser pour quelles valeurs de a la série de terme général |P_n(a)| converge. Donner dans ce cas la valeur de ∑_(n = 0)^(+ ∞)P_n(a) et celle de ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n P_n(a). On citera avec précision le théorème utilisé.