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Sujet Centrale Mathématiques 1 TSI 2024

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Les nombres de Fubini : dénombrement, probabilités et construction d'un produit scalaire sur les polynômes
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Le sujet introduit les nombres de Fubini, qui comptent le nombre de partitions ordonnées d'un ensemble fini, et étudie progressivement leurs propriétés. Après une partie préliminaire sur une famille de polynômes et de séries entières, il définit les nombres de Fubini par récurrence, les caractérise par dénombrement puis les minore à l'aide d'une interprétation probabiliste, avant de déterminer leur équivalent asymptotique et de les utiliser pour construire une base orthonormée de l'espace des polynômes de degré au plus n.

  1. 1Partie I : préliminairesÉtude d'une suite de polynômes définie par récurrence et de séries entières associées, avec calcul de rayons de convergence.
  2. 2Partie II : nombres de FubiniDéfinition des nombres de Fubini par récurrence, caractérisation par dénombrement des partitions ordonnées, majoration par une série entière puis minoration à l'aide d'une variable aléatoire de loi géométrique.
  3. 3Partie III : équivalent de FnCalcul d'une intégrale généralisée puis comparaison série-intégrale pour établir un équivalent asymptotique des nombres de Fubini, à l'aide de la formule de Stirling.
  4. 4Partie IV : une suite d'AppellÉtude d'un endomorphisme sur les polynômes, construction d'une suite de polynômes liée aux nombres de Fubini, puis construction d'un produit scalaire qui en fait une base orthonormée.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet parfaitement adapté à la filière, équilibré et progressif, ne présentant pas de difficultés majeures, mais relève que les questions sur le programme de première année et de nombreuses questions de cours ont été généralement mal traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,3 / 20 · écart-type 3,97 · 932 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,3/ 20
Écart-type
3,97
Présents
932
Coefficient
14
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,3
3e quartile
12,3
moyenne 9,305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Programme de première année insuffisamment maîtrisé · Manque de rigueur malgré un sujet accessible · Règle de d'Alembert mal appliquée
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Le sujet est jugé équilibré et progressif, permettant de valoriser à la fois les capacités à justifier une propriété et les compétences calculatoires. Le jury regrette cependant que les questions sur le programme de première année et de nombreuses questions de cours aient été mal traitées, avec des erreurs inattendues et un manque de rigueur et de justification, tout en saluant un nombre conséquent de très bonnes copies à la rédaction claire et argumentée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Programme de première année insuffisamment maîtriséQ8, Q27, Q30, Q34, Q35

    Les questions portant sur le programme de première année, ainsi que de nombreuses questions de cours ou leurs applications directes, ont été généralement mal traitées.

    « Les questions sur le programme de première année ont été généralement mal traitées »
  2. 2
    Manque de rigueur malgré un sujet accessible

    Malgré l'absence de difficulté majeure et des méthodes classiques, trop d'erreurs inattendues sont commises, avec un manque de rigueur et de justifications.

    « L'épreuve ne présentant pas de difficultés majeures et faisant appel à de nombreuses méthodes »
  3. 3
    Règle de d'Alembert mal appliquéeQ3

    Pour comparer les rayons de convergence, beaucoup de candidats appliquent mal la règle de d'Alembert, notamment en oubliant la valeur absolue.

    « On pouvait utiliser la règle de D'alembert mais beaucoup de candidats l'appliquent mal: oubli de la valeur absolue »
  4. 4
    Injectivité d'un endomorphisme mal démontréeQ28

    Cette question a été rarement traitée correctement, alors que la propriété selon laquelle l'absence de 0 comme valeur propre entraîne l'injectivité est connue d'un nombre conséquent de candidats.

    « Question rarement traitée correctement. »
  5. 5
    Formule de Taylor pour les polynômes rarement connueQ34

    Cette formule, pourtant au programme de première année, est rarement connue des candidats.

    « La formule de Taylor pour les polynômes au programme de première année est rarement connue. »
  6. 6
    Caractère défini du produit scalaire mal traitéQ36

    Les axiomes du produit scalaire sont connus, mais trop de candidats écrivent une inégalité stricte pour la positivité, et le caractère défini n'a jamais été bien traité.

    « Question très souvent abordée. Les axiomes définissant un produit scalaire sont connus. »

Ce qui a été bien réussi

  • Le jury a corrigé un nombre conséquent de très bonnes copies qui progressent efficacement dans le sujet et proposent une rédaction claire et argumentée.
  • Le calcul de la somme de la série de terme (ln(2))^k/k! a été bien réalisé.
  • Le début de la question 32, faisant apparaître une somme télescopique, a été largement bien traité.
  • Les axiomes définissant un produit scalaire sont connus par la plupart des candidats.

Conseils du jury

  • Apprendre et comprendre le cours reste essentiel pour pouvoir le restituer avec précision lors d'une épreuve de concours.
  • Justifier systématiquement la convergence d'une série ou d'une intégrale avant d'écrire sa valeur ou sa limite.
  • Distinguer clairement une somme finie d'une série, qui est une suite dont la limite doit être justifiée.
  • Soigner la présentation : utiliser le brouillon, souligner ou encadrer les résultats, éviter les fautes d'orthographe.
  • Travailler le programme des deux années à l'aide de nombreux exercices, y compris les notions de première année.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
Dans tout ce sujet，on note ℝ[X] l＇ensemble des polynômes à coefficients réels et ℝ_n[X] l＇espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus n（ n entier）．Pour un polynôme P de ℝ[X] ，on note P^′ son polynôme dérivé et P^((j)) le polynôme dérivé d＇ordre j de P de telle sorte que P = P^((0)), P^′ = P^((1)), P^(′′) = P^((2)) ， etc．
On pourra confondre un polynôme et sa fonction polynomiale associée．De même，on pourra confondre le polynôme dérivé P^′ avec la fonction dérivée de la fonction polynomiale P ．
On rappelle également que la partie entière d＇un réel x est un entier，noté ⌊x⌋ ，et que celle－ci vérifie la double inégalité ⌊x⌋ ⩽ x < ⌊x⌋ + 1 ．

I Préliminaires

On considère la suite (G_n)_(n ∈ ℕ) de polynômes définie par G_0 = 1 et par la relation de récurrence ：
∀n ∈ ℕ, G_(n + 1) = X (G_n + (1 + X)G_n^′).
Q 1．Justifier que G_1 = X puis donner la forme développée du polynôme G_2 ．
Q 2．Donner sans justification le rayon de convergence R_0 de la série entière ∑_(k ⩾ 0)x^k et exprimer sa fonction somme，notée D_0 ，à l＇aide des fonctions usuelles．
Pour tout entier naturel non nuln ，on note R_n le rayon de convergence de la série entière ∑_(k ⩾ 1)k^n x^k et on note
D_n : ] − R_n, R_n[ → ℝ sa fonction somme donnée par D_n : x ↦ ∑_(k = 1)^(+ ∞)k^n x^k ．
Q 3．Justifier que la suite (R_n)_(n ∈ ℕ) est constante et en déduire la valeur de R_n pour tout entier naturel n ．
Q 4．Montrer que，pour tout entier naturel n et tout x ∈ ] − R_n, R_n[ ，on a D_(n + 1)(x) = xD_n^′(x) ．
Q 5．Prouver par récurrence que，pour tout entier naturel n et tout x ∈ ] − R_n, R_n ，on a
D_n(x) = 1/(1 − x)G_n(x/(1 − x)).

II Nombres de Fubini

On considère la suite (F_n)_(n ∈ ℕ) définie par F_0 = 1 et la relation de récurrence ：
∀n ∈ ℕ^∗, F_n = ∑_(k = 0)^(n − 1)(n/k)F_k.

II．A－Dénombrement

Q 6．Justifier que F_1 = 1 et déterminer les entiers F_2 et F_3 ．
On rappelle qu＇une partition d＇un ensemble E non vide est un ensemble de parties de E non vides，deux à deux disjointes et dont la réunion constitue l＇ensemble de départ E ．Une partition ordonnée de E est un p－uplet (X_1, …, X_p) tel que {X_1, …, X_p} est une partition de E ．
Par exemple，les trois partitions ordonnées de l＇ensemble {1, 2} sont ({1}, {2}), ({2}, {1}) et ({1, 2}) ．
Par convention，on pose qu＇il existe une seule partition ordonnée de l＇ensemble vide．Pour n ∈ ℕ^∗ ，on note u_n le nombre de partitions ordonnées de l＇ensemble {1, …, n} ．
Q 7．Déterminer les partitions ordonnées de l＇ensemble {1, 2, 3} ，puis leur nombre．
Q 8．Justifier que pour tout entier n ∈ ℕ^∗ ，on a u_n = ∑_(k = 1)^n(n/k)u_(n − k) ．En conclure que les suites (F_n)_(n ∈ ℕ) et (u_n)_(n ∈ ℕ) sont égales．Pour construire une partition ordonnée，on pourra commencer par choisir le cardinal de la première partie formant cette partition．

II.B - Majoration des nombres de Fubini

Q 9. Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle avec son domaine de validité et justifier que ∑_(k = 1)^n((ln2)^k)/(k!) ⩽ 1 pour tout entier naturel n non nul.
On se propose de prouver par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 ⩽ (F_n)/(n!) ⩽ 1/((ln2)^n). Pour cela, on note P(n) la propriété ci-après qui implique l'encadrement voulu:
P(n) : ∀k ∈ [ [0, n] ], 0 ⩽ (F_k)/(k!) ⩽ 1/((ln2)^k)
Q 10. Justifier que P(0) est vraie.
Q 11. On suppose P(n − 1) vraie pour un certain entier n naturel non nul fixé. Montrer que 0 ⩽ (F_n)/(n!) ⩽ 1/((ln2)^n) et en conclure que P(n) est vraie.
Le résultat de cette question achève la récurrence et prouve l'encadrement de (F_n)/(n!) annoncé.
Q 12. En déduire une minoration du rayon de convergence R de la série entière ∑_(n ⩾ 0)(F_n)/(n!)z^n.

II.C - Interprétation probabiliste et minoration des nombres de Fubini

Pour x ∈ ] − R, R[, on pose f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(F_n)/(n!)x^n.
On peut montrer que f est de classe C^∞ sur ] − R, R[ et que ses dérivées successives s'expriment à l'aide des polynômes G_n définis dans la partie Préliminaires sous la forme :
∀x ∈ ] − R, R[, f^((n))(x) = G_n(1/(2e^(− x) − 1))f(x).
On pourra librement utiliser cette expression admise de f^((n)) valable pour tout entier naturel n.
Q 13. Rappeler le lien existant entre les dérivées successives de f et les coefficients de la série entière ∑_(n ⩾ 0)(F_n)/(n!)x^n puis prouver que, pour tout entier naturel n, on a
F_n = 1/2∑_(k = 0)^(+ ∞)(k^n)/(2^k)
Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ) qui suit une loi géométrique de paramètre 1/2. Pour tout entier naturel n, on note g_n la fonction définie sur [0, + ∞[ par
g_n : t ↦ t^n e^(− tln2).
Q 14. Rappeler quel est l'ensemble X(Ω) des valeurs prises par X et rappeler la valeur de P(X = k) pour k ∈ X(Ω).
Q 15. Soit n un entier naturel non nul. Justifier que X^n est d'espérance finie puis que E(X^n) = 2F_n en citant le nom du théorème utilisé.
Q 16. Soit a un réel strictement positif que l'on suppose non entier. Montrer que P(X ⩾ a) = 1/(2^(⌊a⌋)).
Q 17. Pour n non nul, justifier que g_n admet un maximum sur [0, + ∞[, noté M_n, que l'on explicitera.
Q 18. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que E(X^n) ⩾ a^n P(X ⩾ a) pour tout réel a strictement positif.
Q 19. En déduire la minoration F_n ⩾ 1/2(n/(eln2))^n On pourra admettre que ln2 n'est pas un nombre rationnel.

III Équivalent de F_n

On rappelle que la fonction g_n a été définie dans la partie II.C pour tout entier naturel n par
g_n : {[0, + ∞[ → ℝ; t ↦ t^n e^(− tln2)
et que quelques résultats la concernant, qui peuvent directement être réinvestis, ont déjà été établis dans la question 17.

III.A - Valeur d'une intégrale

Q 20. Pour tout entier naturel n, justifier que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)g_n(t)dt converge et, à l'aide d'une intégration par parties, établir une relation entre ∫_0^(+ ∞)g_(n + 1)(t)dt et ∫_0^(+ ∞)g_n(t)dt.
Q 21. Montrer que ∫_0^(+ ∞)g_n(t)dt = (n!)/((ln2)^(n + 1)) pour tout entier naturel n.

III.B - Comparaison série/intégrale

Dans toute la suite de cette partie, n désigne un entier naturel non nul.
Q 22. Justifier qu'il existe un entier N ⩾ 1, dépendant de n tel que g_n est croissante sur [0, N] et décroissante sur [N + 1, + ∞[.
Q 23. Justifier que ∑_(k = 0)^(N − 1)g_n(k) ⩽ ∫_0^N g_n(t)dt ⩽ ∑_(k = 1)^N g_n(k).
Q 24. Justifier que la série ∑_(k ⩾ N + 1)^(+ ∞)g_n(k) converge puis établir l'encadrement
∑_(k = N + 2)^(+ ∞)g_n(k) ⩽ ∫_(N + 1)^(+ ∞)g_n(t)dt ⩽ ∑_(k = N + 1)^(+ ∞)g_n(k)
Q 25. En utilisant la relation (II.1), déduire des encadrements précédents que
− ∫_N^(N + 1)g_n(t)dt ⩽ 2F_n − (n!)/((ln2)^(n + 1)) ⩽ g_n(N) + g_n(N + 1) − ∫_N^(N + 1)g_n(t)dt
Q 26. Justifier que − (M_n)/2 ⩽ F_n − (n!)/(2(ln2)^(n + 1)) ⩽ M_n pour tout entier naturel non nul puis en déduire l'équivalent de F_n ∼ _(n → + ∞)(n!)/(2(ln2)^(n + 1)). On pourra utiliser librement la formule de Stirling qui donne l'équivalent n! ∼ _(n → + ∞)√(2πn)(n/e)^n.

IV Une suite d'Appell

Pour un polynôme P de ℝ[X], noté parfois également P(X), on note P(X + 1) le polynôme obtenu en substituant l'indéterminée X de P par X + 1.
À titre d'exemple, si P(X) = X^2 − 3X + 7 alors P(X + 1) = (X + 1)^2 − 3(X + 1) + 7 = X^2 − X + 5. On pourra admettre que, pour tout polynôme P de ℝ[X], les polynômes P et P(X + 1) ont le même degré et le même coefficient dominant.
Dans toute cette partie, on considère un entier naturel n fixé.

IV.A - Étude d'un endomorphisme

On note φ_n l'application définie sur ℝ_n[X] par φ_n : P ↦ 2P(X) − P(X + 1).
Q 27. Montrer que φ_n est un endomorphisme de ℝ_n[X].
Q 28. Montrer que si λ est une valeur propre de φ_n alors λ = 1 (on pourra utiliser un vecteur propre associé à la valeur propre λ ). En déduire que φ_n est injectif.
Q 29. L'endomorphisme φ_n est-il diagonalisable ?
Q 30. Déduire des questions précédentes qu'il existe un unique polynôme P de ℝ_n[X] tel que 2P_n(X) − P_n(X + 1) = X^n. Dans toute la suite du problème, on note P_n cet unique polynôme.

IV.B - Premières propriétés

On rappelle que, par définition, le polynôme P_n vérifie 2P_n(X) − P_n(X + 1) = X^n.
Q 31. Justifier que degP_n = n.
Q 32. Justifier que (k^n)/(2^k) = (P_n(k))/(2^(k − 1)) − (P_n(k + 1))/(2^k) pour tout entier naturel k et en déduire que P_n(0) = F_n.
Q 33. Montrer que P_(n + 1)^′ = (n + 1)P_n.
Q 34. En utilisant la formule de Taylor pour les polynômes, montrer que
P_n = ∑_(k = 0)^n(n/k)F_(n − k)X^k

IV.C - Structure euclidienne

L'endomorphisme φ_n est celui défini dans la partie IV.A. Dans toute la suite, pour des polynômes P et Q de ℝ_n[X], on pose
⟨P, Q⟩ = ∑_(j = 0)^n((2P^((j))(0) − P^((j))(1))(2Q^((j))(0) − Q^((j))(1)))/((j!)^2)
Q 35. Soit P ∈ ℝ_n[X]. Justifier qu'il existe (a_0, a_1, …, a_n) ∈ ℝ^(n + 1) tel que P = a_0 P_0 + a_1 P_1 + ⋯ + a_n P_n.
Q 36. Justifier que φ_n(P^((j))) = (φ_n(P))^((j)) pour tout polynôme P ∈ ℝ_n[X] et tout entier naturel j puis montrer que ⟨, ⟩définitunproduitscalairesurℝ_n[X].
Q 37. Justifier que
2P_k^((j))(0) − P_k^((j))(1) = {0, si j ≠ k; k!, si j = k
pour tout couple d'entiers naturels ( j, k ) puis montrer que la famille ( P_0, …, P_n ) est une base orthonormée de ℝ_n[X] pour ce produit scalaire.
Q 38. En déduire que, pour tout polynôme P ∈ ℝ_n[X], on peut écrire
P = ∑_(k = 0)^n(φ_n(P)^((k))(0))/(k!)P_k.
Les entiers F_n définis dans ce problème sont appelés nombres de Fubini ou nombres de Bell ordonnés et apparaissent dans des problèmes de combinatoire. La suite ( P_n ) de polynômes définie à partir de ces nombres vérifie des propriétés communes avec d'autres suites de polynômes (polynômes de Bernoulli, polynômes d'Hermite...) qui sont à l'origine de la notion de suites d'Appell.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet mathématiques 1 Centrale TSI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet mathématiques 1 Centrale TSI 2024 ?

Le sujet porte sur les séries entières, le dénombrement, les probabilités discrètes (loi géométrique, espérance), les intégrales généralisées, les endomorphismes et la construction d'un produit scalaire avec une base orthonormée sur les polynômes.

Ce sujet de mathématiques 1 Centrale TSI 2024 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un sujet équilibré et progressif, sans difficulté majeure et parfaitement adapté à la filière, mais relève de nombreuses erreurs sur des questions de cours et sur le programme de première année.

Quelles notions de première année sont mal maîtrisées sur ce sujet ?

Le rapport cite notamment les questions 8, 27, 30, 34 et 35, portant en particulier sur la formule de Taylor pour les polynômes, comme généralement mal traitées.

Faut-il bien maîtriser les probabilités pour ce sujet de mathématiques 1 ?

Oui, la partie II.C s'appuie sur une variable aléatoire suivant une loi géométrique pour minorer les nombres de Fubini par une interprétation probabiliste.

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