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Centrale Mathématiques 1 TSI 2025Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Optimisation convexe : recherche de minimum pour des fonctions de deux variables et loi de réfraction de Descartes
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L'épreuve de mathématiques 1 de Centrale-Supélec TSI 2025 porte sur la recherche de minimum pour des fonctions de classe C1 de R2 dans R. Le sujet démontre d'abord des résultats généraux sur les minima et les fonctions coercives, les applique à la loi de réfraction de Descartes, puis introduit trois notions de convexité et leur caractérisation matricielle pour les fonctions quadratiques, avant de conclure par une méthode de descente de gradient.

  1. 1Partie A : Généralitésseconde annéePropriétés de la norme euclidienne, condition nécessaire de minimum, fonctions coercives et application à la loi de réfraction de la lumière de Descartes.
  2. 2Partie sur la convexité de fonctionsseconde annéeDéfinition de trois notions de convexité pour une fonction de R2 dans R et liens entre ces notions et l'existence d'un minimum.
  3. 3Cas particulier des fonctions quadratiquesseconde annéeCaractérisation matricielle des notions de convexité à l'aide d'une matrice symétrique et du théorème spectral.
  4. 4Recherche approchée de minimum par descente de gradientConstruction d'une suite convergeant géométriquement vers le minimum d'une fonction fortement convexe.

Difficile. Le rapport indique que le sujet aborde des notions difficiles du programme de deuxième année, avec une sous-partie sur les fonctions coercives très peu comprise, même si les meilleurs candidats se sont nettement distingués.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,15 / 20 · écart-type 4,24 · 1 092 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,15/ 20
Écart-type
4,24
Présents
1 092
Coefficient
14
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,3
3e quartile
12,1
moyenne 9,1505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 28 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Gradient confondu avec une somme de dérivées partielles · Norme euclidienne traitée comme une application linéaire · Passage aux limites omis pour montrer qu'un minimum est un point critique
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Le sujet aborde des notions difficiles du programme de deuxième année, mais les rappels fournis et la progressivité des questions ont permis à de nombreux candidats de traiter beaucoup de questions. Les parties II et III, plus abordables, ont permis à la plupart des candidats de gagner des points, tandis que la dernière partie sur la descente de gradient a été peu abordée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Gradient confondu avec une somme de dérivées partielles

    Bien que la définition du gradient soit rappelée en début de sujet, un nombre conséquent de candidats la reformule de façon erronée.

    « Un nombre conséquent de candidats ont écrit que le gradient est la somme des dérivées partielles d'ordre 1. »
  2. 2
    Norme euclidienne traitée comme une application linéaire

    Dans les préliminaires sur la norme euclidienne, le jury rappelle une confusion fréquente entre norme et application linéaire.

    « On rappelle qu'une norme n'est pas une application linéaire. »
  3. 3
    Passage aux limites omis pour montrer qu'un minimum est un point critiqueQ5, Q6

    En Q5, la réponse se limite trop souvent à l'étude des signes des taux d'accroissement sans effectuer le passage aux limites nécessaire ; en Q6, dérivée partielle et dérivée d'une fonction d'une variable sont largement confondues.

    « La réponse à la question Q5 est trop limitée à l'étude des signes des taux d'accroissement. »
  4. 4
    Fonctions coercives peu comprisesQ9, Q10, Q12

    Cette sous-partie a été très peu comprise par les candidats, qui n'ont abordé que partiellement les questions Q9 et Q10, en pensant rarement à utiliser la continuité de la fonction ou le théorème des bornes atteintes.

  5. 5
    Application géométrique à la loi de Descartes mal maîtriséeQ16

    Cette partie géométrique est rarement bien traitée, avec des confusions entre somme de points et somme de vecteurs.

    « Cette partie géométrique est rarement bien traitée. »
  6. 6
    Convexité et stricte convexité mal distinguéesQ20

    En Q20, la différence entre les deux notions est mal comprise, et la convexité d'une fonction constante, qui permet de le vérifier, est très rarement démontrée.

    « La différence entre « convexité » et « stricte convexité » est mal comprise. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les inégalités triangulaires sont souvent correctement démontrées.
  • Le contre-exemple demandé en Q7 est souvent bien analysé.
  • Les questions Q29 à Q33 sont largement abordées et souvent bien traitées.
  • Les questions Q40, Q43 et Q44 de la dernière partie sont les seules à être souvent abordées.

Conseils du jury

  • Comprendre la perspective du sujet et l'enchaînement des questions pour savoir quand mobiliser le cours.
  • Se concentrer d'abord sur les questions les plus faciles ou classiques en les traitant rigoureusement.
  • Vérifier la validité des expressions mathématiques et distinguer clairement les inégalités strictes et larges.
  • Soigner la présentation de la copie et souligner ou encadrer les résultats.
  • Comprendre et apprendre le cours des deux années sans faire d'impasse, puis s'entraîner avec des exercices progressifs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Introduction à l'optimisation convexe

L'optimisation est le domaine des Mathématiques dont le but est d'établir des méthodes pour la recherche de minimum d'une fonction à valeur réelle. Le problème traite de la recherche de minimum pour les fonctions de classe 𝒞^1 de ℝ^2 vers ℝ, et plus spécifiquement sous diverses hypothèses de convexité des applications.
Le ℝ-espace vectoriel ℝ^n est muni de son produit scalaire usuel ⟨.|. ⟩etdesanormeassociée‖. ‖.Ainsi, pouru⃗ = (x_1, x_2, …, x_n) et v⃗ = (x_1^′, x_2^′, …, x_n^′) :
⟨u⃗|v⃗⟩ = x_1 x_1^′ + x_2 x_2^′ + ⋯ + x_n x_n^′ et ‖u⃗‖ = √(x_1^2 + x_2^2 + ⋯ + x_n^2).
Le vecteur nul est noté 0→.
Pour une application f : ℝ^2 ⟶ ℝ on note l'image par f d'un vecteur u⃗ = (x, y), soit f(x, y) soit f(u⃗). Lorsque f est de classe 𝒞^1, le vecteur gradient de f en u⃗ est noté ∇f(x, y) ou ∇f(u⃗); c'est le vecteur :
∇f(u⃗) = ∇f(x, y) = ((∂f)/(∂x)(x, y), (∂f)/(∂y)(x, y)) ∈ ℝ^2
On dit que f atteint en u⃗_∗ ∈ ℝ^2 un minimum f(u⃗_∗) si pour tout u⃗ ∈ ℝ^2, f(u⃗) ⩾ f(u⃗_∗).
On dit alors que f admet un minimum.
Le problème comporte 4 parties. Les parties 3 et 4 sont indépendantes entre elles.

Partie A - Généralités

On établit quelques résultats préliminaires ainsi que quelques résultats généraux sur l'optimisation que l'on applique pour interpréter la loi de Descartes de réfraction de la lumière.

I - Préliminaires : propriétés de la norme euclidienne

Dans cette partie n désigne un entier naturel non nul.
Q1. Soit λ ∈ ℝ, u⃗ ∈ ℝ^n et v⃗ ∈ ℝ^n; montrer que ‖λ ⋅ u⃗‖ = |λ| × ‖u⃗‖ et que ‖u⃗ + v⃗‖^2 = ‖u⃗‖^2 + 2⟨u⃗|v⃗⟩ + ‖v⃗‖^2.
Q2. Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Q3. En déduire l'inégalité triangulaire : ∀u⃗ ∈ ℝ^n, ∀v⃗ ∈ ℝ^n,
‖u⃗ + v⃗‖ ⩽ ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖.
Q4. Montrer que: ∀u⃗ ∈ ℝ^n, ∀v⃗ ∈ ℝ^n,
|‖u⃗‖ − ‖v⃗‖| ⩽ ‖u⃗ + v⃗‖.
(On pourra appliquer deux fois l'inégalité triangulaire (1) avec (u⃗ + v⃗) et − v⃗ puis avec (u⃗ + v⃗) et − u⃗.)

II - Tout minimum est un point critique

Q5. Soit g : ℝ ⟶ ℝ dérivable qui atteint son minimum en x_∗, c'est-à-dire tel que pour tout x ∈ ℝ, g(x) ⩾ g(x_∗). Soient x_1, x_2 deux réels tels que x_1 < x_∗ < x_2. Déterminer les signes des deux taux d'accroissement :
(g(x_1) − g(x_∗))/(x_1 − x_∗) et (g(x_2) − g(x_∗))/(x_2 − x_∗)
En déduire que g^′(x_∗) = 0.
Q6. Soit f : ℝ^2 ⟶ ℝ une fonction de classe 𝒞^1 atteignant un minimum en u⃗_∗ = (x_∗, y_∗); montrer que ∇f(u⃗_∗) = 0→. (On pourra considérer les deux fonctions d'une seule variable réelle f^(y_∗) : x ⟼ f(x, y_∗) et f_(x_∗) : y ⟼ f(x_∗, y).)
Q7. En considérant la fonction f : (x, y) ⟼ (x − y)^3 montrer qu'un point critique n'est pas nécessairement un point en lequel f atteint un minimum.

III - Fonctions coercives

Une fonction f : ℝ^2 ⟶ ℝ est dite coercive si :
  • f est continue, et
  • lim_(‖(x, y)‖ → + ∞)f(x, y) = + ∞, c'est à dire si : ∀m ∈ ℝ, ∃a ⩾ 0, ∀(x, y) ∈ ℝ^2, ‖(x, y)‖ ⩾ a ⟹ f(x, y) ⩾ m
Le but de cette partie est de montrer le résultat :
  • Toute fonction coercive admet un minimum.
Soit 𝒜 = {(x, y) ∈ ℝ^2|f(x, y) ⩽ f(0, 0)} = f^(− 1)(] − ∞; f(0, 0)]); montrons d'abord que 𝒜 est un fermé borné de ℝ^2.
Q8. Montrer que 𝒜 est un ensemble non vide et borné.
Q9. Soit u⃗ ∉ 𝒜; notons ε = f(u⃗) − f(0→) > 0. Justifier l'existence de r > 0 tel que :
∀v⃗ ∈ ℝ^2, ‖v⃗ − u⃗‖ ⩽ r ⟹ |f(v⃗) − f(u⃗)| ⩽ ε/2
En déduire que :
∀v⃗ ∈ ℝ^2, ‖v⃗ − u⃗‖ ⩽ r ⟹ f(v⃗) − f(u⃗) ⩾ − ε/2
Q10. Pour cette valeur de r, soit B_F(u⃗, r) = {v⃗ ∈ ℝ^2|‖v⃗ − u⃗‖ ⩽ r} la boule fermée centrée en u⃗ et de rayon r.
Déduire de Q9 que pour tout v⃗ ∈ B_F(u⃗, r), f(v⃗) − f(0→) ⩾ ε/2.
En déduire que B_F(u⃗, r) est incluse dans ℝ^2∖𝒜 = {v⃗ ∈ ℝ^2|v⃗ ∉ 𝒜}.
Q11. En déduire que ℝ^2∖𝒜 est un ouvert de ℝ^2 puis que 𝒜 est un fermé de ℝ^2.
Montrons maintenant que f admet un minimum.
Q12. Justifier que f restreinte à 𝒜 y admet un minimum, c'est à dire que ∃u⃗_∗ ∈ 𝒜 tel que ∀u⃗ ∈ 𝒜, f(u⃗) ⩾ f(u⃗_∗).
Q13. En déduire que la fonction f admet un minimum sur ℝ^2.

IV - Application : loi de réfraction de la lumière de Descartes

Figure 1 - Loi de réfraction de la lumière
Deux milieux d'indice de réfraction de la lumière homogènes n_1, n_2 sont séparés par un plan P orienté. Deux points A_1, A_2 sont situés de part et d'autre du plan P. Selon la loi de réfraction de la lumière de Descartes (voir Figure 1), un rayon lumineux reliant les deux points A_1, A_2 se déplace de manière rectiligne dans chacun des deux milieux, et en passant par le point M du plan vérifiant :
  • M est situé dans le plan perpendiculaire à P passant par A_1 et A_2,
  • n_1 sin(i_1) = n_2 sin(i_2) où i_1, i_2 désignent les angles entre MA_1^(→−), MA_2^(→−) avec une normale au plan P.
Nous nous proposons ici de vérifier, en appliquant les résultats établis précédemment, le principe de Fermat selon laquelle ce trajet lumineux de A_1 à A_2 est celui de plus courte durée.
On rappelle que l'indice de réfraction n_i d'un milieu i(i ∈ {1, 2}) est défini par :
n_i = c/(v_i)
où c et v_i désignent respectivement la vitesse de propagation de la lumière dans le vide et dans le milieu i.
Puisque dans un milieu homogène le trajet le plus rapide suit une ligne droite, on supposera que dans chacun des deux milieux le trajet est rectiligne. Soit M un point quelconque du plan P; la durée du trajet lumineux A_1 − M − A_2 est donnée par :
(A_1 M)/(v_1) + (A_2 M)/(v_2) = (n_1 A_1 M + n_2 A_2 M)/c
Il s'agit donc de déterminer, s'il existe, le point M du plan où le «chemin optique» n_1 A_1 M + n_2 A_2 M atteint un minimum.
Soient M_1 et M_2 les projetés orthogonaux de A_1 et A_2 sur le plan P.
Q14. On suppose dans cette question que M_1 = M_2; vérifier que le chemin optique atteint un minimum au point M satisfaisant la loi de Descartes.
Figure 2
On supposera désormais M_1 ≠ M_2. On construit un repère orthonormé ( O, i⃗, j⃗, k⃗ ) de la façon suivante :
  • l'origine O est l'intersection du plan P et de la droite ( A_1 A_2 );
  • le vecteur i⃗ a même direction que la droite ( M_1 M_2 );
  • le vecteur j⃗ est choisi de façon à ce que ( O, i⃗, j⃗ ) soit un repère orthonormé direct de P;
  • le vecteur k⃗ est obtenu par le produit vectoriel k⃗ = i⃗ ∧ j⃗.
Ainsi dans ce repère (cf. Figure 2) les points ont pour coordonnées :
A_1(x_1; 0; z_1); A_2(x_2; 0; z_2); M_1(x_1; 0; 0); M_2(x_2; 0; 0); M(x; y; 0).
On définit alors :
f : ℝ^2, ⟶ ℝ; (x, y), ⟼ f(x, y) = n_1 A_1 M + n_2 A_2 M = n_1√((x − x_1)^2 + y^2 + z_1^2) + n_2√((x − x_2)^2 + y^2 + z_2^2)
qui donne le chemin optique en fonction de x, y et dont il s'agit de déterminer le point où un minimum est atteint.
Q15. Justifier que f est de classe 𝒞^1 et calculer ses dérivées partielles.
Q16. Appliquer la question Q4 pour montrer que f(x, y) ⩾ n_1|‖OM^(→−)‖ − ‖OA_1^(→−)‖| + n_2|‖OM^(→−)‖ − ‖OA_2^(→−)‖|. En déduire que f est coercive.
Q17. Montrer que si ( x, y ) est un minimum de f, alors le point M est nécessairement sur le segment [M_1 M_2].
Q18. En déduire que si f atteint un minimum en ( x, y ) alors le point M satisfait :
n_1(M_1 M)/(A_1 M) = n_2(M_2 M)/(A_2 M)
On appliquera pour cela l'équation (∂f)/(∂x)(x, y) = 0.
Q19. En déduire qu'au chemin optique minimal, le point M satisfait la loi de Descartes de réfraction de la lumière.

Partie B - Convexités de fonctions

Dans cette partie on introduit trois notions de convexité plus ou moins fortes pour les applications de ℝ^2 dans ℝ et on montre l'intérêt que revêtent ces notions pour la recherche de minimum.

I - Fonction convexes; strictement convexes

Soit f : ℝ^2 ⟶ ℝ une fonction de classe 𝒞^1.
  • f est dite convexe si pour tous vecteurs u⃗, v⃗ de ℝ^2
f(u⃗) ⩾ f(v⃗) + ⟨∇f(v⃗)|u⃗ − v⃗⟩
  • f est dite strictement convexe si pour tous vecteurs u⃗, v⃗ de ℝ^2
u⃗ ≠ v⃗ ⟹ f(u⃗) > f(v⃗) + ⟨∇f(v⃗)|u⃗ − v⃗⟩
Q20. Montrer que si f est strictement convexe alors f est convexe. Montrer qu'une fonction convexe n'est pas forcément strictement convexe (on pourra considérer une fonction f constante).
Puisque f est 𝒞^1, la surface d'équation z = f(x, y) admet en tout point ( x_0, y_0, f(x_0, y_0) ) un plan tangent.
Q21. Donner l'équation du plan tangent au point ( x_0, y_0, f(x_0, y_0) ) à la surface d'équation z = f(x, y). En déduire une interprétation géométrique de f convexe (respectivement de f strictement convexe).
Q22. Montrer que si f est convexe et u⃗_∗ est un point critique (i.e ∇f(u⃗_∗) = 0→ ), alors f atteint un minimum en u⃗_∗. Montrer que si de plus f est strictement convexe, alors u⃗_∗ est l'unique point où f atteint un minimum.
Autrement dit, une fonction convexe atteint nécessairement un minimum en un point critique alors que ce n'est forcément le cas pour une fonction quelconque. Pour une fonction strictement convexe, ce point où le minimum est atteint est unique, s'il existe. Soit
f : {ℝ^2, ⟶ ℝ; (x, y), ⟼ e^x + e^y
Q23. Soit a ∈ ℝ; dresser le tableau de variation de l'application
g_a : {ℝ, ⟶ ℝ; x, ⟼ e^x − e^a(1 + x − a)
Q24. Montrer que f est strictement convexe et n'admet aucun minimum.

II - Fonctions fortement convexes

Pour une fonction, être convexe ou strictement convexe n'assure pas de l'existence d'un minimum. Pour cette raison on introduit une notion de convexité plus forte.
Soit f : ℝ^2 ⟶ ℝ une fonction de classe 𝒞^1 et soit α un réel strictement positif.
  • f est dite α-fortement convexe si pour tous vecteurs u⃗, v⃗ de ℝ^2
f(u⃗) ⩾ f(v⃗) + ⟨∇f(v⃗)|u⃗ − v⃗⟩ + α‖u⃗ − v⃗‖^2;
  • f est dite fortement convexe si il existe α > 0 tel que f soit α-fortement convexe.
Q25. Montrer que si f est fortement convexe alors f est strictement convexe.
Q26. Exemple : Montrer que la fonction f : (x, y) ⟼ x^2 + y^2 est fortement convexe ; pour quelles valeurs de α est-elle α-fortement convexe?
On se propose de montrer que les fonctions fortement convexes sont coercives.
Q27. Montrer que si f est α-fortement convexe, alors pour tout u⃗ ∈ ℝ^2, v⃗ ∈ ℝ^2
f(u⃗) ⩾ f(v⃗) − ‖∇f(v⃗)‖ × (‖u⃗‖ + ‖v⃗‖) + α(‖u⃗‖ − ‖v⃗‖)^2.
(On appliquera pour cela des résultats de la partie I.1.)
Q28. En déduire que si f est α-fortement convexe, alors f est coercive, puis que toute fonction fortement convexe admet un minimum atteint en un unique point u⃗_∗, et caractérisé par l'équation ∇f(u⃗_∗) = 0→.

Partie C - Cas particulier des fonctions quadratiques

Dans cette partie on étudie la cas particulier des fonctions quadratiques, ou polynomiales de degré 2.
On note ℳ_2(ℝ) l'ensemble des matrices carrées ayant deux lignes et deux colonnes et à coefficients réels.
On identifiera les vecteurs de ℝ^2 avec la matrice colonne de leurs coordonnées dans la base canonique; par exemple le vecteur u⃗ = (x, y) ∈ ℝ^2 sera représenté (x/y). Avec cette convention, pour une matrice M ∈ ℳ_2(ℝ) et un vecteur u⃗ ∈ ℝ^2, la notation Mu⃗ est définie par le produit matriciel M × (x/y) et l'application u⃗ ⟼ Mu⃗ est l'endomorphisme de ℝ^2 dont la matrice dans la base canonique est M.
Une fonction f : ℝ^2 ⟶ ℝ est dite quadratique s'il existe une matrice M ∈ ℳ_2(ℝ) symétrique, un vecteur n⃗ ∈ ℝ^2 et un réel k tel que
∀u⃗ ∈ ℝ^2, f(u⃗) = 1/2⟨Mu⃗|u⃗⟩ − ⟨n⃗|u⃗⟩ + k.
En notant u⃗ = (x/y), si M = (a, b; b, c), n⃗ = (d/e), alors : f(x, y) = 1/2(ax^2 + 2bxy + cy^2) − dx − ey + k.
Q29. Soit f polynomiale de degré 2 , f(x, y) = αx^2 + βxy + γy^2 + δx + εy + k avec (α, β, γ, δ, ε, k) ∈ ℝ^6. Donner la matrice M et le vecteur n⃗ tels que f(u⃗) = 1/2⟨Mu⃗|u⃗⟩ − ⟨n⃗|u⃗⟩ + k.
Dans la suite de cette partie, f désignera la fonction quadratique
f : u⃗ ⟼ f(u⃗) = 1/2⟨Mu⃗|u⃗⟩ − ⟨n⃗|u⃗⟩ + k.
avec M ∈ ℳ_2(ℝ) une matrice symétrique et n⃗ ∈ ℝ^2.
Q30. Établir que f est de classe 𝒞^1 et que pour tout u⃗ ∈ ℝ^2, ∇f(u⃗) = Mu⃗ − n⃗.
On souhaite maintenant établir des conditions pour que f soit convexe, strictement convexe, ou fortement convexe.
Q31. Montrer que pour tout u⃗ ∈ ℝ^2 et v⃗ ∈ ℝ^2
⟨Mu⃗|v⃗⟩ = ⟨Mv⃗|u⃗⟩.
Q32. Montrer que
∀v⃗ ∈ ℝ^2, ∀x⃗ ∈ ℝ^2, f(v⃗ + x⃗) − f(v⃗) = ⟨∇f(v⃗)|x⃗⟩ + 1/2⟨Mx⃗|x⃗⟩.
Une matrice M ∈ ℳ_2(ℝ) symétrique est dite :
  • positive si ∀x⃗ ∈ ℝ^2, ⟨Mx⃗|x⃗⟩ ⩾ 0;
  • strictement positive si ∀x⃗ ∈ ℝ^2∖{0→}, ⟨Mx⃗|x⃗⟩ > 0.
Q33. Montrer que f est :
  • convexe si et seulement si M est positive;
  • strictement convexe si et seulement si M est strictement positive ;
    − α-fortement convexe si et seulement si
∀x⃗ ∈ ℝ^2∖{0→}, ⟨Mx⃗|x⃗⟩ ⩾ 2α‖x⃗‖^2.
On caractérise maintenant la convexité de f à l'aide du signe des valeurs propres de la matrice M.
Q34. Justifier l'existence d'une matrice diagonale D ∈ ℳ_2(ℝ) et d'une matrice orthogonale P ∈ O_2(ℝ) tel que M = PDP^(− 1).
Q35. Déduire de Q33 et Q34 que f est convexe si et seulement si les valeurs propres de M sont toutes positives.
Q36. Montrer de même que f est strictement convexe si et seulement si toutes les valeurs propres de M sont strictement positives si et seulement si f est fortement convexe.
Q37. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur la trace tr(M) et le déterminant det(M) de M pour que f soit convexe, respectivement strictement convexe, fortement convexe.
Q38. Proposer une méthode n'utilisant que det(M), tr(M) et les solution du système M(x/y) = n⃗ pour déterminer tous les (éventuels) points en lesquels une fonction quadratique f atteint son minimum.

Partie D - Recherche approchée de minimum par une méthode de descente de gradient

Comme on l'a vu, une fonction f : ℝ^2 ⟶ ℝ fortement convexe admet un minimum atteint en un unique point u⃗_∗ et caractérisé par l'équation ∇f(u⃗_∗) = 0→.
Mais résoudre cette dernière équation n'est pas toujours facile ni même possible. Aussi ont été inventées des méthodes de résolution approchées : elles consistent à construire une suite (u⃗_n)_(n ∈ ℕ) de points de ℝ^2 qui converge vers le point u⃗_∗ où f atteint son minimum, c'est-à-dire telle que ‖u⃗_n − u⃗_∗‖→−_(n → + ∞)^0. La méthode est d'autant meilleure que la convergence est rapide.
Parmi celles-ci, la méthode de descente de gradient (à pas fixe) construit la suite (u⃗_n)_(n ∈ ℕ) définie par :
(u⃗_n)_(n ∈ ℕ) : {u⃗_0 est un point quelconque de ℝ^2; ∀n ∈ ℕ, u⃗_(n + 1) = u⃗_n − ρ.∇f(u⃗_n)
où ρ > 0 est un réel strictement positif.
Dans cette méthode, à chaque point u⃗_n, le point suivant est obtenu en se déplaçant d'un pas fixé ρ dans la direction locale de plus grande descente − ∇f(u⃗_n).
Q39. Soit n ∈ ℕ. Notons u⃗_n = (x_n, y_n) et u⃗ = (x, y) ∈ ℝ^2; soit z(u⃗) le réel tel que le point de coordonnées ( x, y, z(u⃗) ) appartienne au plan tangent à la surface représentative de f au point de coordonnées (x_n, y_n, f(x_n, y_n)).
Exprimer z(u⃗) en fonction de u⃗_n, f(u⃗_n) et ∇f(u⃗_n).
Soit r > 0 fixé et w⃗ ∈ ℝ^2 tel que ‖w⃗‖ = 1; montrer que si ∇f(u⃗_n) ≠ 0→ alors z(u⃗_n + r.w⃗) atteint son minimum pour w⃗ = − (∇f(u⃗_n))/(‖∇f(u⃗_n)‖). C'est ce que veut dire que la direction locale de plus grande descente est − ∇f(u⃗_n).
Afin que la suite (u⃗_n)_(n ∈ ℕ) définie en (*) converge vers le point où f atteint son minimum, le pas ρ de descente doit être choisi correctement et la fonction f vérifiera une condition supplémentaire.
On établit dans cette partie le résultat suivant :
Soit f : ℝ^2 ⟶ ℝ une fonction α-fortement convexe. Si ∇f est M-lipschitzienne, c'est-à-dire si :
∃M > 0, ∀u⃗ ∈ ℝ^2, ∀v⃗ ∈ ℝ^2, ‖∇f(u⃗) − ∇f(v⃗)‖ ⩽ M‖u⃗ − v⃗‖
alors en choisissant ρ tel que 0 < ρ < (4α)/(M^2), la suite (u⃗_n)_(n ∈ ℕ) définie par u⃗_0 ∈ ℝ^2 et :
∀n ∈ ℕ, u⃗_(n + 1) = u⃗_n − ρ.∇f(u⃗_n)
converge vers l'unique point u⃗_∗ où f atteint un minimum, et la convergence est géométrique, c'est-à-dire qu'il existe k ∈ [0, 1[ tel que pour tout n ∈ ℕ :
‖u⃗_n − u⃗_∗‖ ⩽ k^n‖u⃗_0 − u⃗_∗‖ ⟶ _(n → + ∞)0
On se place sous ces hypothèses : on considère dans cette partie une fonction fα-fortement convexe atteignant un minimum en u⃗_∗, telle que ∇f est M-lipschitzienne, ainsi qu'une suite (u⃗_n)_(n ∈ ℕ) définie par la relation de récurrence u⃗_(n + 1) = u⃗_n − ρ.∇f(u⃗_n) avec ρ > 0.
Q40. Établir que pour tout n ∈ ℕ, u⃗_(n + 1) − u⃗_∗ = (u⃗_n − u⃗_∗) − ρ.(∇f(u⃗_n) − ∇f(u⃗_∗)).
Q41. Montrer que pour toute fonction f, α-fortement convexe :
∀u⃗ ∈ ℝ^2, ∀v⃗ ∈ ℝ^2, ⟨∇f(u⃗) − ∇f(v⃗)|u⃗ − v⃗⟩ ⩾ 2α‖u⃗ − v⃗‖^2
Q42. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, ‖u⃗_(n + 1) − u⃗_∗‖^2 ⩽ (1 − 4αρ + M^2 ρ^2) × ‖u⃗_n − u⃗_∗‖^2.
Q43. En notant t(ρ) = 1 − 4αρ + M^2 ρ^2, montrer que t(ρ) atteint un minimum en (2α)/(M^2). En déduire que α ⩽ M/2.
Q44. Montrer que si 0 < ρ < (4α)/(M^2), alors 0 ⩽ t(ρ) < 1, puis conclure.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 TSI 2025 de Centrale ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 TSI 2025 de Centrale ?

Le sujet porte sur l'optimisation de fonctions de deux variables : minima, fonctions coercives, convexité et descente de gradient, avec une application à la loi de réfraction de Descartes.

Le sujet de maths 1 TSI 2025 de Centrale est-il difficile ?

Le rapport le juge difficile, notamment la sous-partie sur les fonctions coercives et la dernière partie sur la descente de gradient, même si des rappels de cours facilitent la progression.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes sur ce sujet de maths 1 TSI ?

Le jury relève une définition erronée du gradient, une confusion entre norme et application linéaire, un passage aux limites souvent omis, et une distinction convexité/stricte convexité mal comprise.

Ce sujet de mathématiques 1 TSI 2025 est-il faisable en cours d'année ?

Il fait appel à des notions de deuxième année comme les fonctions de deux variables et la convexité, avec des rappels de cours, ce qui le rend plutôt adapté à une révision en fin de préparation.

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