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Centrale Mathématiques 2 TSI 2025Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Projections orthogonales en dimension finie et application à la régression linéaire simple
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Le sujet étudie les projections orthogonales en dimension finie et leur application à la régression linéaire simple. Il s'organise en trois parties : une exploration des relations entre image, noyau et orthogonal d'une matrice, la construction générale d'un projecteur orthogonal dans une base arbitraire, puis l'application à la minimisation des moindres carrés et une étude probabiliste sur des variables aléatoires.

  1. 1Partie A : l'égalité (Im(A))⊥ = Ker(Aᵀ)Exploration des relations entre image, noyau et orthogonal d'une matrice, avec résolution de systèmes linéaires et démonstration de l'égalité.
  2. 2Partie B : expression de la matrice d'un projecteur orthogonal dans une base quelconqueConstruction générale d'un projecteur orthogonal, utilisant le théorème du rang et l'inversibilité de la matrice AᵀA.
  3. 3Partie C : régression linéaire simpleMinimisation de fonctions de deux variables par dérivation, lien avec la projection orthogonale des parties précédentes, puis étude probabiliste avec espérance et variance des estimateurs.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que les candidats ayant une bonne connaissance du cours et utilisant correctement les définitions rappelées dans l'énoncé pouvaient obtenir un résultat honorable, avec des difficultés calculatoires jugées modérées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,96 / 20 · écart-type 4,3 · 1 076 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,96/ 20
Écart-type
4,3
Présents
1 076
Coefficient
14
Durée
4 h
1er quartile
6,2
Médiane
9,1
3e quartile
12
moyenne 8,9605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Liberté d'une famille mal justifiée · Produit de matrices nul mal interprété · Confusion entre résultat pour un vecteur et pour tous les vecteurs
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Le sujet, qui comportait 48 questions, contenait de nombreuses questions proches du cours et a permis aux candidats aux connaissances solides de se distinguer. Le jury relève des erreurs récurrentes dans la résolution de systèmes linéaires, dans l'utilisation des théorèmes et dans la clarté du raisonnement, montrant l'importance d'une préparation rigoureuse et d'une attention aux détails.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Liberté d'une famille mal justifiéeQ2

    Il ne suffit pas de justifier la non-colinéarité des vecteurs deux à deux pour prouver la liberté d'une famille, mais cette erreur a été fréquente à la question 2.

    « il ne suffit pas de justifier la non colinéarité des vecteurs deux à deux pour prouver la liberté d’une famille »
  2. 2
    Produit de matrices nul mal interprétéPartie A

    Une erreur trop fréquente a été observée : certains candidats affirment que si le produit de deux matrices est nul, alors l'une des deux matrices est nulle.

  3. 3
    Confusion entre résultat pour un vecteur et pour tous les vecteursPartie A

    Beaucoup d'erreurs de raisonnement proviennent d'un manque d'attention à la quantification des variables, en confondant un résultat valable pour un seul vecteur et un résultat valable pour tous les vecteurs.

  4. 4
    Théorème du rang rarement bien appliquéPartie B

    Dans la partie B, courte mais assez théorique et peu réussie, le théorème du rang a rarement été correctement appliqué aux matrices, et il était essentiel de préciser que la matrice AᵀA est carrée pour justifier son inversibilité.

  5. 5
    Raisonnement par équivalence confondu avec une implication

    Un raisonnement par équivalence ne doit pas être confondu avec une simple implication ; il faut préciser clairement le sens du raisonnement utilisé.

Ce qui a été bien réussi

  • La partie C, sur la régression linéaire simple, a été celle qui a été le mieux traitée par les candidats en général.
  • Les manipulations de calculs de sommes et d'inversion de matrices de la partie C n'ont pas posé de difficultés aux meilleurs candidats.
  • Les candidats sachant citer et reconnaître les théorèmes du cours ont pu se démarquer.

Conseils du jury

  • S'entraîner à résoudre sans difficulté des systèmes linéaires pour déterminer le noyau d'une matrice.
  • Toujours vérifier les hypothèses d'un théorème avant de l'utiliser, notamment pour le théorème du rang.
  • Préciser clairement si un raisonnement se fait par équivalence, implication double ou simple implication.
  • Éviter les successions de calculs sans explication : accompagner chaque étape d'une justification claire.
  • Faire attention à la quantification des variables pour ne pas confondre un résultat sur un vecteur particulier et un résultat général.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Mathématiques 2

Objectif du problème et articulations entre ses différentes parties

L'objectif du problème est d'établir une expression matricielle donnant la solution du problème de minimisation des moindres carrés classiquement utilisée en régression linéaire multiple. Cette expression est utilisée pour établir les formules classiques de la régression linéaire simple.
La partie A donne une description de l'orthogonal de l'image d'une matrice. Elle permet de construire dans la partie B , la matrice de la projection orthogonale sur un sous-espace de M_(p, 1)(ℝ). La partie C utilise cette approche dans le contexte de la régression linaire simple. Elle utilise donc des résultats de la partie B qui elle-même utilise des résultats de la partie A.

Notations et Rappels

Lorsque n et p sont deux entiers naturels non nuls, M_(n, p)(ℝ) désigne l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels et M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
Par exemple :
M_(n, 1)(ℝ) = {(x_1; ⋮; x_n); ∀i ∈ {1, …, n}, x_i ∈ ℝ}}}{{
Pour toute matrice M ∈ M_(n, p)(ℝ), on note M^⊤ sa transposée.
On rappelle que: ∀(M, N) ∈ (M_(n, p)(ℝ))^2, (MN)^⊤ = N^⊤M^⊤.
On rappelle la définition du noyau et la définition de l'image d'une matrice A ∈ M_(n, p)(ℝ)
Ker(A) = {X ∈ M_(p, 1)(ℝ) vérifiant AX = 0}; Im(A) = {AX avec X ∈ M_(p, 1)(ℝ)}
Le produit scalaire usuel sur M_(n, 1)(ℝ) est défini pour tout X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ) et Y = (y_1; ⋮; y_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ) par :
(X|Y) = x_1 y_1 + ⋯ + x_n y_n = X^⊤Y
Pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ), on note ‖X‖ la norme de X associée à ce produit scalaire, définie par :
‖X‖ = √((X|X)) = √(∑_(i = 1)^n x_i^2⎷) = √(X^⊤X)
L'orthogonal d'un sous-espace F de M_(n, 1)(ℝ) pour ce produit scalaire est défini par :
F^⊥ = {X ∈ M_(n, 1)(ℝ) tel que : ∀Y ∈ F, (X|Y) = 0}

Partie A - L'égalité (Im(A))^⊥ = Ker(A^⊤)

Q1. Soient C_1, …, C_p les vecteurs colonnes d'une matrice A ∈ M_(n, p)(ℝ).
Pour tout j ∈ {1, …, p}, déterminer E_j ∈ M_(n, 1)(ℝ) tel que C_j = AE_j.
Montrer que la famille ( C_1, …, C_p ) est une famille génératrice de Im(A).

I - Un premier exemple

Dans cette partie, on prend A = (1, 1, 1, 1; 0, 1, 1, 1; 1, 0, 0, 1) ∈ M_(3, 4)(ℝ).
Q2. Déterminer une base de Im(A).
Q3. Montrer que (Im(A))^⊥ = Ker(A^⊤).

II - Une démonstration

Q4. Justifier que pour tout (X, Y) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^2, on a X^⊤Y = Y^⊤X.
Q5. Soit X ∈ M_(n, 1)(ℝ). Montrer que si pour tout Y ∈ M_(n, 1)(ℝ), X^⊤Y = 0 alors X est nul.
Soit A ∈ M_(n, p)(ℝ).
Q6. Montrer que pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ) et pour tout Z ∈ M_(p, 1)(ℝ), on a X^⊤AZ = Z^⊤A^⊤X.
Q7. En déduire que : A^⊤X = 0 ⟺ (∀Z ∈ M_(p, 1)(ℝ), X^⊤AZ = 0).
Q8. En déduire que (Im(A))^⊥ = Ker(A^⊤).

III - Une application

Dans cette partie A ∈ M_n(ℝ) c'est-à-dire A est une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels.
Q9. Justifier que les sous-espaces Ker(A^⊤) et Im(A) sont supplémentaires dans M_(n, 1)(ℝ).
Q10. Justifier que les sous-espaces Ker(A) et Im(A^⊤) sont supplémentaires dans M_(n, 1)(ℝ).
Q11. En déduire que pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ), il existe (X^′, X^(′′)) ∈ Ker(A^⊤) × Im(A^⊤) tel que X = X^′ + AX^(′′). On admet que le couple ( X^′, X^(′′) ) ainsi associé à X est unique. On note alors u l'application u : X ↦ X^(′′).
Q12. Montrer que u est un endomorphisme de M_(n, 1)(ℝ).
On note B la matrice de u dans la base canonique de M_(n, 1)(ℝ).
Q13. Soit X ∈ M_(n, 1)(ℝ), et ( X^′, X^(′′) ) défini de manière unique en Q11.
A l'aide de la définition d'une projection orthogonale et de la question Q8 montrer que AX^(′′) est le projeté orthogonal de X sur Im(A).
En déduire que AB est la matrice de la projection orthogonale sur Im(A).
Q14. Montrer que BA est la matrice de la projection orthogonale surIm(A^⊤).

IV - Un deuxième exemple

Jusqu'à la fin de cette partie, on prend A = (0, 0, …, …, …, 0; 1, ⋱, ⋱, ⋮; 0, 1/2, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; 0, …, …, 0, 1/(n − 1), 0) ∈ M_n(ℝ) avec n ⩾ 2.
On note B_c = (e_1, …, e_n) la base canonique de M_(n, 1)(ℝ).
Q15. Déterminer le rang de A et le rang de A^⊤.
Q16. Déterminer une base de chacun des espaces (Im(A))^⊥ et Ker(A^⊤). On exprimera chaque base à l'aide des vecteurs de B_c.
Q17. Vérifier que l'endomorphisme u de M_(n, 1)(ℝ) construit en Q11, est l'application :
u : X = ∑_(k = 1)^n x_k e_k = (x_1; x_2; ⋮; x_(n − 1); x_n) ⟼ X^(′′) = ∑_(k = 1)^(n − 1)kx_(k + 1)e_k = (x_2; 2x_3; ⋮; (n − 1)x_n; 0)
Q18. Construire la matrice B de u dans B_c.
Q19. Vérifier le résultat de la question Q14.

Partie B - Une expression de la matrice d'un projecteur orthogonal dans une base quelconque

L'espace M_(p, 1)(ℝ) est muni de son produit scalaire canonique rappelé en préambule.
Soient F un sous-espace vectoriel de M_(p, 1)(ℝ) de dimension k et B_F = (f_1, …, f_k) une base de F.
On note p_F la projection orthogonale sur F et A la matrice de B_F dans la base canonique de M_(p, 1)(ℝ).
La matrice A est donc dans M_(p, k)(ℝ) et ses colonnes sont les vecteurs f_1, ⋯, f_k exprimés dans la base canonique de M_(p, 1)(ℝ).
Le but de cette partie est de démontrer que la matrice A^⊤A est inversible et que A(A^⊤A)^(− 1)A^⊤ est la matrice de p_F dans la base canonique de M_(p, 1)(ℝ).
Q20. Justifier que Ker(A) = {0}.
Q21. Montrer que : X ∈ Ker(A^⊤A) ⇒ ‖AX‖ = 0 ⇒ X = 0.
Q22. Montrer que A^⊤A est inversible.
Q23. Montrer que F = Im(A).
Q24. Montrer que pour tout X ∈ M_(p, 1)(ℝ), il existe Y ∈ M_(k, 1)(ℝ) tel que : p_F(X) = AY et X − AY ∈ Ker(A^⊤).
Q25. En déduire que la matrice A(A^⊤A)^(− 1)A^⊤ est la matrice de p_F dans la base canonique de M_(p, 1)(ℝ).

Partie C - Régression linéaire simple

On pose u = (1; ⋮; 1) ∈ M_(n, 1)(ℝ) le vecteur colonne à n lignes contenant que des 1 .
On note a = (a_1; ⋮; a_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ) un vecteur colonne donné et non colinéaire à u.
Soit A la matrice : A = (1, a_1; 1, a_2; ⋮, ⋮; 1, a_n) ∈ M_(n, 2)(ℝ).
Lors d'un processus expérimental d'entrée a_1 ∈ ℝ, on recueille l'observation b_1 ∈ ℝ. On répète ce même processus avec l'entrée a_2 ∈ ℝ, on recueille l'observation b_2 ∈ ℝ. Ainsi de suite jusqu'au dernier processus d'entrée a_n ∈ ℝ, où on recueille l'observation b_n ∈ ℝ.
On note le vecteur b = (b_1; ⋮; b_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ) contenant donc les n observations après les n processus expérimentaux d'entrées a_1, …, a_n.
On pose g : ℝ^2 → ℝ la fonction définie par : ∀(x_1, x_2) ∈ ℝ^2, g(x_1, x_2) = ‖A((x_1)/(x_2)) − b‖^2.

I - Minimisation de g sur un exemple

On prend dans cette sous partie, A = (1, 1; 1, − 1; 1, 0) et b = (1; 2; 3).
Q26. Expliciter la fonction g et justifier qu'elle est de classe C^1 sur ℝ^2.
Q27. Calculer les dérivées partielles de g.
Q28. En déduire que g admet un unique point critique dans ℝ^2 que l'on précisera.
Q29. Montrer qu'en ce point g atteint son minimum. Pour tout (x_1, x_2) ∈ ℝ^2, on écrira g(x_1, x_2) sous la forme β_1(x_1 − α_1)^2 + β_2(x_2 − α_2)^2 + m où β_1 > 0 et β_2 > 0.

II - Minimisation de g via une projection orthogonale

On se place dans les conditions énoncées dans le préambule de la partie C .
Q30. Démontrer que: ∀(x_1, x_2) ∈ ℝ^2, g(x_1, x_2) = ∑_(i = 1)^n b_i^2 − 2∑_(i = 1)^n(x_1 + a_i x_2)b_i + ∑_(i = 1)^n(x_1 + a_i x_2)^2. Justifier que g est de classe C^1 sur ℝ^2.
Q31. Calculer le gradient de g en (x_1, x_2) ∈ ℝ^2 noté ∇g(x_1, x_2).
Q32. Montrer que: ∀(x_1, x_2) ∈ ℝ^2, ∇g(x_1, x_2) = − 2A^⊤b + 2A^⊤A((x_1)/(x_2)).
Q33. Justifier à l'aide de la partie B que la matrice A^⊤A est inversible.
Q34. Montrer que si g admet un extremum en ( α_1, α_2 ) alors ((α_1)/(α_2)) = (A^⊤A)^(− 1)A^⊤b.
On note F = Im(A) et p_F le projecteur orthogonal sur F.
Q35. Justifier que p_F(b) = A((α_1)/(α_2)).
Q36. En déduire que g(α_1, α_2) est le minimum de g sur ℝ^2.

III - Une autre expression de la solution du problème de minimisation de g

On note :
m_a = 1/n∑_(i = 1)^n a_i; m_b = 1/n∑_(i = 1)^n b_i
les valeurs moyennes et
S_(a, b) = ∑_(i = 1)^n(a_i − m_a)(b_i − m_b)
Q37. Montrer que S_(a, b) = ∑_(i = 1)^n(a_i × b_i) − n × m_a × m_b.
Q38. Montrer que S_(a, a) = ‖a − m_a ⋅ u‖^2 où u = (1; 1; ⋮; 1) ∈ M_(n, 1)(ℝ).
Q39. Montrer que S_(a, a) ≠ 0.
Q40. En déduire que la matrice A^⊤A est inversible et montrer que (A^⊤A)^(− 1) = 1/(n × S_(a, a))(∑_(i = 1)^n a_i^2, − ∑_(i = 1)^n a_i; − ∑_(i = 1)^n a_i, n).
Q41. En déduire que : α_2 = (S_(a, b))/(S_(a, a)) et α_1 = m_b − α_2 × m_a
Q42. Un exemple d'application
Soit la fonction g définie sur ℝ^2 par :
g : (x_1, x_2) ⟼ (x_1 + 2x_2 − 1)^2 + (x_1 + x_2 − 2)^2 + (x_1 + x_2 − 1)^2 + (x_1 − x_2)^2 + (x_1 − 3x_2 − 1)^2
Déterminer en quel point le minimum de g sur ℝ^2 est atteint.

IV - Espérance des estimateurs de l'argmin

On suppose que chaque b_i, pour i ∈ {1, ⋯, n}, est une observation d'une variable aléatoire réelle B_i.
On suppose que les variables aléatoires B_i suivent toutes la même loi et sont deux à deux indépendantes.
On modélise le processus expérimental à l'aide du modèle linéaire, c'est à dire on suppose que :
  • Pour i ∈ {1, ⋯, n}, B_i = x_1 + x_2 a_i + E_i où E_i est une variable aléatoire réelle.
  • On suppose que les variables E_i suivent toutes la même loi, sont centrées et d'écart type noté σ > 0, et sont deux à deux indépendantes.
    On note B = (B_1; ⋮; B_n) le vecteur aléatoire dont les coordonnées sont les variables aléatoires B_i.
    De même, on note E = (E_1; ⋮; E_n) le vecteur aléatoire dont les coordonnées sont les variables aléatoires E_i.
    Q43. Déterminer l'espérance de B_i en fonction des nombres réels x_1, x_2 et a_i.
    Q44. Déterminer la variance de B_i en fonction de σ.
    On pose ((X_1)/(X_2)) le vecteur aléatoire (A^⊤A)^(− 1)A^⊤B.
    Ainsi définies, X_1 et X_2 sont des variables aléatoires réelles appelées estimateurs des coefficients par la méthode des moindre carrés.
    On note : m_a = 1/n∑_(i = 1)^n a_i ∈ ℝ et on définit les variables aléatoires
m_B = 1/n∑_(i = 1)^n B_i; S_(a, B) = ∑_(i = 1)^n(a_i − m_a)(B_i − m_B)
Q45. Déterminer l'espérance de m_B en fonction des nombres réels x_1, x_2 et m_a.
Q46. Justifier que X_2 = (S_(a, B))/(S_(a, a)) et que X_1 = m_B − X_2 m_a.
Q47. Déterminer l'espérance de X_2.
Q48. Déterminer l'espérance de X_1.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte maths 2 Centrale TSI 2025 ?
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Sur quels chapitres porte maths 2 Centrale TSI 2025 ?

Le sujet porte sur les projections orthogonales en dimension finie (noyau, image, orthogonal, projecteurs), les systèmes linéaires, le rang d'une matrice, l'optimisation de fonctions de plusieurs variables et une application probabiliste à la régression linéaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur maths 2 Centrale TSI 2025 ?

Le jury relève une justification insuffisante de la liberté d'une famille de vecteurs, une confusion sur le produit de matrices nul, un théorème du rang rarement bien appliqué, et une confusion entre raisonnement par équivalence et par implication.

Ce sujet de maths 2 Centrale TSI 2025 est-il difficile ?

Le rapport indique des difficultés calculatoires modérées et que les candidats ayant une bonne connaissance du cours pouvaient obtenir un résultat honorable, la partie B étant toutefois jugée peu réussie par la plupart des candidats.

Quelle partie du sujet de maths 2 Centrale TSI 2025 a été la mieux réussie ?

La partie C, sur la régression linéaire simple, a été celle qui a été le mieux traitée par les candidats en général, selon le rapport du jury.

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