Sujet Centrale Mathématiques 2 TSI 2024

On note ℝ[T] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de la variable réelle t. Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini ( Ω, P(Ω), P ) et à valeurs dans ℕ. On définit sa fonction génératrice G_X par:

Soit n ∈ ℕ^∗. On note X(Ω) = {x_1, …, x_n} ⊂ ℕ.
Q1. Montrer que:

et en déduire que G_X est fonction polynomiale en t.
Q 2. Calculer G_X(1).
Q 3. Calculer G_X sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire X suit une loi de Bernouilli de paramètre p ∈ ]0, 1[.
Q 4. Calculer G_X sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ [1, n] ].
Q 5. Calculer G_X sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p ∈ ]0, 1[.
Q 6. Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé fini ( Ω, P(Ω), P ) et à valeurs dans ℕ alors G_(X + Y) = G_X G_Y.

On jette deux dés à six faces. On note X et Y les variables aléatoires donnant la valeur de la face obtenue par le premier et le second dé. On suppose que ces deux variables aléatoires sont indépendantes. On note Z = X + Y la variable aléatoire donnant la somme des deux faces obtenues.
Q 7. Préciser l'univers Ω modélisant cette expérience aléatoire.
Q 8. Calculer Z(Ω).
On suppose qu'il est possible de piper les deux dés de sorte que la variable aléatoire Z suive une loi uniforme sur [ [2, 12] ].
On note alors pour k ∈ [ [1, 6] ], α_k = P(X = k) et β_k = P(Y = k).
Q 9. Montrer que la fonction génératrice de Z est de la forme G_Z(t) = t^2 P(t) avec P un polynôme de degré 10 à coefficients réels.
Q 10. Proposer une autre écriture de la fonction génératrice de Z de la forme G_Z(t) = t^2 Q(t)R(t) avec Q ∈ ℝ_5[T] et R ∈ ℝ_5[T].
Q 11. Montrer que P = QR puis que Q et R sont de degré 5 .
Q 12. Résoudre dans ℂ l'équation ∑_(k = 0)^(10)z^k = 0 et montrer qu'elle n'admet aucune solution réelle.
Q 13. Prouver que Q et R ont chacun au moins une racines réelles.
Q 14. Aboutir à une contradiction. Conclure.

On considère un univers Ω dénombrable muni d'une probabilité P : P(Ω) → [0, 1]. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω et à valeurs dans ℕ. On définit sa fonction génératrice G_X par :

pour les rééls t ∈ ℝ tels que la série ∑_(k ⩾ 0)P(X = k)t^k converge (ce qui revient à dire par le théorème de transfert que t^X admet une espérance finie).
Q 15. Montrer que la série entière définissant la fonction génératrice de X a un rayon de convergence R supérieur ou égal à 1 .
Q 16. Montrer que G_X est de classe C^∞ sur ] − R, R[.
Q 17. Montrer que si R > 1 alors G_X est deux fois dérivable en 1 , puis que X admet une espérance et une variance données par :

Un exemple :
Q 18. Soit X↪P(λ) une variable aléatoire qui suit un loi de Poisson de paramètre λ > 0 :

Montrer que la fonction qénératrice G_X de cette loi a un rayon de convergence égal à R = + ∞ et pour tout t ∈ ℝ, on a :

Q 19. En déduire que X admet une espérance et une variance finie puis l'expression de cette espérance et de cette variance.

Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Soit Y la variable aléatoire réelle définie par :

Q 20. Montrer que P(Y = 0) = e^(− λ)(1 + f(λ)) avec f(λ) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(λ^(2k + 1))/((2k + 1)!).
Q 21. Montrer que ∀λ > 0, f(λ) = (e^λ − e^(− λ))/2.
Q 22. Déterminer la loi de Y.
Q 23. Calculer l'espérance de Y.

Soit Ω un univers dénombrable muni d'une probabilité P : Ω → [0, 1]. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur Ω telles que :
− X↪P(λ) avec λ > 0;
− Y↪B(p) avec p ∈ ]0, 1[;