CCINP Mathématiques TSI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Série harmonique, matrices tridiagonales liées à la suite de Fibonacci et calcul d'une borne inférieure par optimisation

Le sujet comprend un exercice et deux problèmes indépendants. L'exercice démontre la divergence de la série harmonique puis en tire une application probabiliste sur un tirage de boules dans une urne. Le premier problème étudie une famille de matrices tridiagonales, leur diagonalisabilité et un lien avec la suite de Fibonacci, avec une partie d'algorithmique. Le second problème calcule une borne inférieure à l'aide d'un produit scalaire, puis en minimisant une fonction de deux variables.

1Exercice : autour de la série harmoniqueDémontre la divergence de la série harmonique par minoration, puis étudie une variable aléatoire liée à un tirage de boules dans une urne dont la composition évolue.
2Problème 1, partie I : un exemple dans M3(C)Étudie une matrice tridiagonale particulière d'ordre 3, son polynôme caractéristique, sa diagonalisabilité et ses sous-espaces propres.
3Problème 1, partie II : cas général dans M2(C)Généralise le calcul du polynôme caractéristique et du déterminant à une matrice 2x2 dépendant de deux coefficients complexes.
4Problème 1, partie III : la suite de FibonacciÉtablit l'expression du terme général de la suite de Fibonacci puis analyse une fonction récursive avant d'en écrire une version non récursive.
5Problème 1, partie IV : déterminant dans le cas généralCalcule le déterminant des matrices tridiagonales de taille n à l'aide d'une relation de récurrence identique à celle de la suite de Fibonacci.
6Problème 2, partie I : étude d'une suite d'intégralesÉtudie la monotonie et la limite d'une suite d'intégrales et relie cette suite à la série alternée de terme (-1)^n/n.
7Problème 2, partie II : étude d'un produit scalaireDéfinit un produit scalaire sur R[X] et utilise une projection orthogonale pour exprimer la borne inférieure cherchée.
8Problème 2, partie III : utilisation d'une fonction de deux variablesRetrouve la borne inférieure par minimisation d'une fonction de deux variables, en recherchant son unique point critique.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet équilibré et de difficulté progressive, qui a permis à tout candidat ayant régulièrement appris son cours d'obtenir une note convenable.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,11 / 20 · écart-type 3,65 · 1 122 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,11/ 20
Écart-type: 3,65
Présents: 1 122
Coefficient: 8
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Récurrence utilisée pour une inégalité sur une variable réelle · Vocabulaire imprécis en probabilités · Théorème du rang mal cité

Le rapport décrit un sujet équilibré, aux questions variées, touchant presque toutes les parties du programme, et correctement réussi par les candidats ayant travaillé régulièrement toute l'année. La partie probabilités a cependant été souvent délaissée ou mal traitée. Les correcteurs demandent un effort supplémentaire sur l'orthographe, la rédaction et la rigueur.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Récurrence utilisée pour une inégalité sur une variable réelleQ3
Pour démontrer l'inégalité e^x ≥ 1+x, de nombreux candidats tentent une démonstration par récurrence alors que l'inégalité porte sur une variable réelle et non sur un entier.
« Faire une démonstration par récurrence pour démontrer une inégalité portant sur une variable réelle. »
2
Vocabulaire imprécis en probabilitésQ6, Q7
La partie probabilités a été souvent délaissée ou mal traitée, avec des affirmations non justifiées sur la loi suivie par une variable aléatoire et des confusions entre une loi et une variable aléatoire.
« des confusions entre lois et variables aléatoires »
3
Théorème du rang mal citéQ11
Le théorème du rang est souvent mal énoncé, en particulier en confondant l'espace M3(C) avec l'espace des matrices colonnes M3,1(C) utilisé comme espace de départ.
« Le théorème du rang est souvent mal cité »
4
Récurrence double mal menée pour la suite de FibonacciQ22
La question attend une récurrence double, mais une part des candidats se contente de vérifier la propriété sur deux ou trois termes, ce qui ne constitue pas une démonstration.
5
Théorème des séries alternées appliqué sans vérifier les hypothèsesQ34
Citer le théorème des séries alternées est pertinent, mais ses hypothèses doivent être vérifiées avec précision, notamment la limite nulle de la suite avant de conclure à la convergence du terme alterné.
« Citer le théorème des séries alternées est une bonne idée »
6
Formule de projection appliquée à une base non orthonorméeQ38
Pour calculer le projeté orthogonal de X^2, certains candidats utilisent une formule de projection valable uniquement pour une base orthonormée, alors que la base (1, X) ne l'est pas pour ce produit scalaire.

Ce qui a été bien réussi

Les copies sont généralement bien présentées, avec les résultats mis en valeur et les questions traitées dans l'ordre.
Les questions de calcul du déterminant et de réduction de la matrice M3, dans la partie I du problème 1, ont été bien traitées.
Les correcteurs sont satisfaits du respect des règles élémentaires de présentation et de rédaction pour une partie des candidats.

Conseils du jury

Consolider la maîtrise des résultats fondamentaux du cours avant l'épreuve, les outils usuels restant à améliorer.
Soigner la précision du vocabulaire en probabilités, en particulier pour nommer correctement les lois usuelles comme la loi de Bernoulli.
Travailler la rigueur de rédaction et l'orthographe, un effort étant attendu par les correcteurs sur ces points.
En informatique, ne pas assimiler récursivité et complexité de calcul élevée sans le justifier.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

EXERCICE

Autour de la série harmonique

Dans cet exercice, on s'intéresse à la série harmonique

\sum_(n \geq 1)1/n

.
Le but est de démontrer que celle-ci est une série divergente. On donne ensuite une application probabiliste des résultats obtenus.

On pose :

\foralln \geq 1, H_n = \sum_(k = 1)^n 1/k

Q1. Énoncer la définition de convergence pour une série

\sum_(n \geq 0)u_n

de nombres réels ou complexes.
Q2. Pour quelle(s) valeur(s) du réel

α

, la série

\sum_(n \geq 1)1/(n^α)

est-elle convergente?
Q3. Montrer que :

\forallx \in ℝ, e^x \geq 1 + x

Q4. En déduire alors que:

\foralln \geq 1, e^(H_n) \geq \prod_(k = 1)^n(1 + 1/k)

puis, en remarquant l'égalité

1 + 1/k = (k + 1)/k

, que pour tout entier naturel

n \geq 1, e^(H_n) \geq n + 1

.
Q5. Montrer que :

lim_(n \to + \infty)e^(H_n) = + \infty

En déduire la divergence de la série harmonique.
Soit

n \in ℕ^*

. Une urne contient initialement une boule noire. On effectue

n

tirages dans l'urne de la manière suivante :

au cours de chaque tirage, on tire une boule de l'urne, puis on la remet dans celle-ci en y ajoutant une boule blanche;
on considère les $n$ tirages indépendants.

Pour tout entier

k \in [ [1, n] ]

, on note

X_k

la variable aléatoire définie par :

$X_k = 0$ si la boule tirée lors du $k$ -ième tirage est blanche;
$X_k = 1$ si la boule tirée lors du $k$ -ième tirage est noire.

On définit enfin la variable

Z_n

par:

Z_n = \sum_(k = 1)^n X_k

Q6. Que représente la variable

Z_n

?
Q7. Soit

k \in [ [1, n] ]

. Reconnaître la loi de

X_k

et préciser son espérance.
Q8. Vérifier que l'espérance de

Z_n

est

H_n

.
Q9. En utilisant Q4, déterminer une valeur de

n

pour laquelle on peut espérer obtenir en moyenne au moins 4 fois la boule noire.
On pourra utiliser le fait suivant :

e^4 \in ]54, 55[

PROBLÈME 1
Étude de matrices tridiagonales particulières

Présentation générale

Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés (diagonalisabilité, valeur du déterminant) de certaines matrices tridiagonales.

Plus précisément, pour un entier naturel

n \geq 2

, on considère

n - 1

couples de nombres complexes

(a_k, b_k)

, pour

k

variant de 1 à

n

, tels que

a_k b_k = - 1

et on s'intéressera alors à la matrice suivante de

M_n(ℂ)

M_n = (1, b_1, 0, 0, \dots, 0; a_1, 1, b_2, 0, \dots, 0; 0, a_2, 1, b_3, \dots, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; 0, 0, 0, ⋱, 1, b_(n - 1); 0, 0, 0, \dots, a_(n - 1), 1).

On posera également

M_1 = (1)

(matrice carrée d'ordre 1 dont le seul coefficient vaut 1).
Les quatre parties de ce problème sont indépendantes. Elles peuvent être traitées séparément.

Notations

On note $χ_A(X)$ le polynôme caractéristique d'une matrice carrée $A$ et $E_λ(A)$ le sous-espace propre de $A$ associé à un scalaire $λ$ ;
on note $M_n(ℂ)$ (respectivement $M_n(ℝ)$ ) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $ℂ$ (respectivement dans $ℝ$ );
on note $M_(n, 1)(ℂ)$ (respectivement $M_(n, 1)(ℝ)$ ) l'espace vectoriel des matrices colonnes à $n$ lignes à coefficients dans $ℂ$ (respectivement dans $ℝ$ );
on note $I_n$ la matrice identité d'ordre $n$ ;
on note $z¯$ le conjugué d'un nombre complexe $z$ .

Partie I - Un exemple dans $M_3(ℂ)$

Dans cette partie, on considère que

n

est égal à 3 et on pose

a_1 = a_2 = - 1

b_1 = b_2 = 1

.
On s'intéresse donc à la matrice

M_3

M_3(ℂ)

définie par :

M_3 = (1, 1, 0; - 1, 1, 1; 0, - 1, 1).

Q10. Justifier que

M_3

vérifie bien les données de l'énoncé.
Q11. Déterminer le rang de

M_3 - I_3

et en déduire que

M_3

admet au moins une valeur propre réelle à préciser.
Q12. Déterminer

χ_(M_3)(X)

. Ce polynôme est-il scindé dans

ℝ

?
Q13. Déduire de la question précédente la valeur du déterminant de

M_3

Q14. Justifier que

M_3

admet 3 valeurs propres complexes distinctes, dont une seule est réelle et les deux autres conjuguées. En déduire que

M_3

est diagonalisable dans

ℂ

et donner, sans aucun calcul, la dimension de ses sous-espaces propres.

On note dans la suite

λ

l'unique valeur propre réelle de

M_3

μ

l'unique valeur propre complexe de

M_3

dont la partie imaginaire est strictement positive. Ainsi, les valeurs propres de

M_3

sont

λ, μ

μ¯

Q15. Déterminer une base du sous-espace propre

E_λ(M_3)

.
Q16. Déterminer les nombres complexes

p

tels que:

M_3(p; i\sqrt2; - p) = (1 + i\sqrt2)(p; i\sqrt2; - p)

En déduire une base du sous-espace propre

E_μ(M_3)

.
Q17. Soit

N \in M_3(ℂ)

, une matrice à coefficients réels,

z \in ℂ

et :

X = (x_1; x_2; x_3) \in M_(3, 1)(ℂ)

Montrer que si

X

est un vecteur propre de

N

associé à la valeur propre

z

, alors le vecteur :

X¯ = (x_1^-; x_2^-; x_3^-),

est un vecteur propre de

N

associé à la valeur propre

z¯

.
En déduire une base de

E_(μ¯)(M_3)

Partie II - Cas général dans $M_2(ℂ)$

Uniquement dans cette partie, on considère que l'entier naturel

n

vaut 2 . On s'intéresse donc à la matrice

M_2

M_2(ℂ)

définie par :

M_2 = (1, b_1; a_1, 1)

où

a_1

b_1

sont deux nombres complexes tels que

a_1 b_1 = - 1

.
Q18. Déterminer

χ_(M_2)(X)

.
Q19. Si on considère

a_1

b_1

réels, la matrice

M_2

est-elle diagonalisable dans

ℝ

? Trigonalisable dans

ℝ

?
Q20. La matrice

M_2

est-elle diagonalisable dans

ℂ

?
Aucune diagonalisation effective n'est demandée.
Q21. Donner la valeur du déterminant de

M_2

Objectif de la suite du problème

Dans la partie III, nous démontrerons certains résultats liés à la suite de Fibonacci.
Dans la partie IV, nous déterminerons la valeur du déterminant des matrices tridiagonales vérifiant les conditions de l'énoncé.

Partie III - La suite de Fibonacci

On définit la suite de Fibonacci

(F_n)_(n \geq 0)

de la manière suivante :

F_0 = 1, F_1 = 1

et :

\foralln \geq 0, F_(n + 2) = F_(n + 1) + F_n.

Q22. Montrer que pour tout entier naturel

n, F_n

est un entier naturel.
Q23. Résoudre l'équation caractéristique associée à

(F_n)_(n \geq 0)

. En déduire l'expression de

F_n

pour tout entier naturel

n

On considère la fonction récursive suivante, prenant en argument un entier naturel

n

, et renvoyant la valeur de

F_n

def Fibo(n):
    ''' n : entier naturel.
    Renvoie la valeur de Fn'''
    if n<=1:
        return 1
    return Fibo(n-1)+Fibo(n-2)

Q24. Les trois questions suivantes sont liées à la fonction Fibo.
a) À l'aide d'un schéma, représenter les différents appels récursifs lors de l'exécution de l'instruction Fibo (4).
b) Expliquer, de manière simple et sans calcul, pourquoi cette fonction a une complexité de calcul élevée.
c) Écrire une fonction FiboV2, prenant en argument un entier naturel

n

et renvoyant la valeur du terme

F_n

. Cette fonction ne devra pas être récursive et devra avoir un coût de calcul moins élevé que Fibo.

Partie IV - Calcul du déterminant dans le cas général

On reprend les notations de la présentation générale et on considère donc les matrices

M_n

pour tout entier naturel

n \geq 1

. On note alors

d_n

le déterminant de

M_n

On rappelle que la suite de Fibonacci

(F_n)_(n \geq 0)

est définie de la manière suivante :

F_0 = 1, F_1 = 1

et :

\foralln \geq 0, F_(n + 2) = F_(n + 1) + F_n.

Q25. Donner les valeurs de

d_1

et de

d_2

puis calculer

d_3

.
Q26. Montrer que pour tout entier naturel

n \geq 1, d_(n + 2) = d_(n + 1) + d_n

. On pourra développer

d_(n + 2)

par rapport à la dernière ligne de

M_(n + 2)

.
Q27. En déduire que pour entier naturel

n \geq 1, d_n = F_n

PROBLÈME 2

Calcul d'une borne inférieure

Présentation générale

L'objectif de ce problème est d'étudier l'existence de la borne inférieure suivante:

m = inf{∫_0^1((x^2 − ax − b)^2)/(1 + x) dx, (a, b) ∈ ℝ^2}

Plus précisément, nous allons montrer que cette borne inférieure existe et est atteinte en un unique couple (

a, b

) de

ℝ^2

. Deux méthodes seront utilisées:

I'une, utilisant un produit scalaire sur un espace vectoriel bien choisi;
l'autre, en minimisant une fonction convenable de deux variables.

Dans la suite,

E = ℝ[X]

désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et

ℝ_1[X]

le sous-espace vectoriel de

E

constitué des polynômes dont le degré est inférieur ou égal à 1 .

Partie I - Étude d'une suite d'intégrales

On pose, pour tout entier naturel

n

I_n = \int_0^1(x^n)/(1 + x) dx

Q28. Calculer

I_0

.
Q29. Montrer que :

\foralln \geq 0, I_n + I_(n + 1) = 1/(n + 1)

Q30. En déduire les valeurs de

I_1, I_2, I_3

et vérifier que:

I_4 = - 7/(12) + ln(2)

Q31. Montrer que

(I_n)_(n \geq 0)

est décroissante.
Q32. Montrer que

(I_n)_(n \geq 0)

converge et que sa limite est 0 .
Q33. Montrer que:

\foralln \geq 1, (- 1)^n I_n = ln(2) + \sum_(k = 1)^n((- 1)^k)/k

Q34. En déduire que la série

\sum_(n \geq 1)((- 1)^n)/n

converge et donner sa somme.
Q35. En utilisant Q29 et Q31, montrer que :

\foralln \geq 1, 1/(2(n + 1)) \leq I_n \leq 1/(2n)

et en déduire un équivalent de

I_n

quand

n

tend vers

+ \infty

Partie II - Étude d'un produit scalaire

On rappelle que

E = ℝ[X]

et on pose :

\forall(P, Q) \in E^2, ⟨P, Q⟩ = \int_0^1(P(x)Q(x))/(1 + x) dx

Q36. Montrer que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

définit un produit scalaire sur

E

. On note

‖ \cdot ‖

la norme associée.
Q37. Les vecteurs 1 et

X

sont-ils orthogonaux pour ce produit scalaire?
Q38. On note

L(X^2)

le projeté orthogonal de

X^2

sur

ℝ_1[X]

. Justifier l'existence de deux réels

α

β

tels que :

L(X^2) = αX + β

Q39. Que peut-on dire du polynôme

X^2 - L(X^2)

par rapport à l'espace vectoriel

ℝ_1[X]

? En déduire que (

α, β

) est solution du système linéaire :

{I_1 α + I_0 β = I_2; I_2 α + I_1 β = I_3

Q40. Justifier l'existence du réel

m

et l'égalité suivante :

m = ‖X^2 - αX - β‖^2.

On ne demande pas de simplifier cette expression.

Partie III - Utilisation d'une fonction de deux variables

Dans cette partie, on admet l'existence de

m

et le fait que cette borne inférieure soit atteinte en un unique couple de réels. Le but est de déterminer ce couple sans utilisation d'un produit scalaire.

On considère

f : ℝ^2 \to ℝ

définie par :

\forall(a, b) \in ℝ^2, f((a, b)) = \int_0^1((x^2 - ax - b)^2)/(1 + x) dx

Q41. Justifier que

f

est définie sur

ℝ^2

par :

\forall(a, b) \in ℝ^2, f((a, b)) = a^2 I_2 + b^2 I_0 + 2abI_1 - 2aI_3 - 2bI_2 + I_4.

II n'est pas demandé de remplacer

I_0, I_1, I_2, I_3

I_4

par leur valeur.
Q42. Justifier que

f

est de classe

C^1

sur

ℝ^2

.
Q43. Montrer que

f

admet un unique point critique sur

ℝ^2

. On pourra utiliser le fait que

ln(2)

appartient à

[0.68, 0.7]

.
Q44. Répondre au problème posé en déterminant le couple cherché.

Questions fréquentes

5 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques CCINP TSI 2024 ?

Le sujet aborde les séries numériques et les probabilités dans l'exercice, la réduction des matrices et la suite de Fibonacci dans le premier problème, ainsi que l'intégration, le produit scalaire et l'optimisation à deux variables dans le second problème.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de mathématiques TSI 2024 ?

Le rapport pointe des démonstrations par récurrence utilisées à tort sur des inégalités réelles, des confusions entre une matrice et son polynôme caractéristique, et une partie probabilités souvent négligée ou traitée avec un vocabulaire imprécis.

Le sujet de maths CCINP TSI 2024 est-il difficile ?

Le rapport décrit un sujet équilibré et de difficulté progressive, qui a permis aux candidats ayant régulièrement travaillé leur cours d'obtenir une note convenable.

Faut-il bien maîtriser l'algorithmique pour ce sujet de mathématiques CCINP TSI 2024 ?

Oui, la partie III du premier problème demande d'analyser une fonction récursive calculant la suite de Fibonacci, puis d'écrire une version non récursive plus efficace.

Quels conseils donne le rapport du jury pour progresser en mathématiques TSI ?

Le rapport recommande de consolider la maîtrise des résultats fondamentaux du cours et de soigner la rigueur ainsi que la précision du vocabulaire, notamment en probabilités.

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Les calculatrices sont interdites.

EXERCICE

Autour de la série harmonique

PROBLÈME 1 Étude de matrices tridiagonales particulières

Présentation générale

Notations

Partie I - Un exemple dans M_3(ℂ)

Partie II - Cas général dans M_2(ℂ)

Objectif de la suite du problème

Partie III - La suite de Fibonacci

Partie IV - Calcul du déterminant dans le cas général

PROBLÈME 2

Calcul d'une borne inférieure

Présentation générale

Partie I - Étude d'une suite d'intégrales

Partie II - Étude d'un produit scalaire

Partie III - Utilisation d'une fonction de deux variables

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques CCINP TSI 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de mathématiques TSI 2024 ?

Le sujet de maths CCINP TSI 2024 est-il difficile ?

Faut-il bien maîtriser l'algorithmique pour ce sujet de mathématiques CCINP TSI 2024 ?

Quels conseils donne le rapport du jury pour progresser en mathématiques TSI ?

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PROBLÈME 1
Étude de matrices tridiagonales particulières

Partie I - Un exemple dans $M_3(ℂ)$

Partie II - Cas général dans $M_2(ℂ)$