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CCINP Modélisation TSI 2024Sujet et rapport du jury

5,0(1 vote)
  • Étude de fonctions, dérivabilité
  • Interpolation de Lagrange et approximation aux moindres carrés
  • Dynamique du solide en rotation, moment d'inertie
  • Équations différentielles linéaires du premier ordre
  • Automatique : fonction de transfert et stabilité
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Présentation du sujet

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Stockage électromécanique de l'électricité : modélisation de la demande, volant d'inertie et paliers magnétiques
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Le sujet, en trois parties indépendantes, étudie le stockage électromécanique de l'électricité. La première modélise la demande journalière d'électricité en France par une fonction polynomiale, puis par interpolation de Lagrange et approximation aux moindres carrés. La deuxième dimensionne un volant d'inertie et étudie son auto-décharge par frottements. La troisième porte sur le contrôle en position d'un volant suspendu par paliers magnétiques.

  1. 1Partie I : demande d'électricité en Franceétude d'une fonction polynomiale modélisant la consommation, interpolation de Lagrange puis approximation d'une fonction au sens des moindres carrés.
  2. 2Partie II : stockage électromécaniquedimensionnement d'un volant d'inertie à partir de son moment d'inertie et étude de son auto-décharge par une équation différentielle du premier ordre.
  3. 3Partie III : contrôle des paliers magnétiquesétude dynamique de la position axiale du volant suspendu, établissement d'une fonction de transfert et analyse de sa stabilité.

Accessible. le rapport décrit un sujet de difficulté croissante contenant de très nombreuses questions faciles, sans difficulté calculatoire ni connaissances extrêmement techniques attendues.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,3 / 20 · écart-type 3,75 · 1 122 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,3/ 20
Écart-type
3,75
Présents
1 122
Coefficient
8
Durée
3 h
moyenne 10,305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Signe d'un trinôme du second degré · Confusion entre dérivabilité et continuité · Passage à la limite mal maîtrisé
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Le sujet, de difficulté croissante, comportait de nombreuses questions faciles permettant de traiter sereinement une grande partie du problème, avec de nombreux résultats donnés pour ne pas entraver la progression des candidats. Le jury déplore cependant un vocabulaire scientifique mal maîtrisé et un manque de rigueur dans l'argumentation d'une grande majorité des copies, ainsi qu'un niveau de rédaction jugé insuffisant pour un concours d'ingénieur.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Signe d'un trinôme du second degréQ3

    le rapport signale de grosses difficultés à étudier le signe d'un trinôme du second degré, utile pour l'étude des variations de la fonction modélisant la consommation.

  2. 2
    Confusion entre dérivabilité et continuitéQ1 et Q2

    le lien de conséquence entre dérivabilité et continuité est mal traité, et certains candidats pensent qu'indiquer qu'une fonction est de classe C1 prouve sa continuité.

  3. 3
    Passage à la limite mal maîtriséQ13 et Q14

    faire tendre t vers 0 dans une expression du type at carré plus bt pose des difficultés, tout comme le fait de diviser une inégalité par t sans tenir compte de son signe.

  4. 4
    Hypothèses de théorème non vérifiéesQ10 et Q19

    les hypothèses du théorème spectral et la positivité d'un produit scalaire sont rarement justifiées avec les bornes d'intégration et la continuité requises.

  5. 5
    Applications numériques non menées à leur termeQ24 et Q28

    des résultats corrects sont souvent laissés sous forme de fraction exacte sans unité au lieu d'être donnés en valeur numérique approchée.

  6. 6
    Rigueur insuffisante en mécaniqueQ26 et Q30

    les réponses de dynamique manquent souvent de rigueur : système isolé, actions mécaniques et théorème employé ne sont pas clairement précisés.

Ce qui a été bien réussi

  • la question 1 n'a posé aucune difficulté aux candidats
  • la question 21 sur l'énergie cinétique du volant a été assez bien réussie
  • la question 23, simple, a été bien réussie
  • la question 31 a été bien réussie

Conseils du jury

  • soigner la rédaction : numérotation claire, encadrements à la règle et écriture soignée
  • toujours fournir une preuve et une argumentation claire, même quand la réponse est donnée dans l'énoncé
  • éviter les tournures comme forcément ou on voit bien, qui envoient un message négatif au correcteur
  • vérifier les hypothèses avant d'invoquer un théorème
  • réaliser un schéma pour illustrer sa démarche, une compétence particulièrement appréciée par les correcteurs

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Durée : 3 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.
On pourra considérer pour les applications numériques que π/(30) ≃ 1/(10).

Stockage électromécanique de l'électricité

Partie I-Demande d'électricité en France

En 2050, l'électricité pourrait représenter environ un tiers de l'énergie consommée au total. Les réseaux de transmission et de distribution de cette énergie sont donc cruciaux; on constate une inquiétude croissante sur la sécurité de l'approvisionnement en électricité dans un contexte de changement climatique. L'électricité ayant pour particularité de ne pas pouvoir être stockée en grande quantité de façon économique pour l'instant, la quantité d'électricité produite et injectée dans le réseau doit être égale à tout moment à la quantité d'électricité consommée.
La modélisation de la consommation journalière d'électricité en France peut être utile pour prévoir la demande suivant le temps et adapter la production à la demande. Cette question est majeure à notre époque. La consommation journalière d'électricité en France est dépendante de la variable temps. Le graphique de la figure 1 représente la consommation d'une journée type en fonction de l'heure. Nous ne nous intéresserons pas à la méthode expérimentale d'obtention de cette courbe mais à une modélisation possible par une fonction polynomiale de la fonction f consommation journalière d'électricité en France.
Plusieurs méthodes d'approximation dans cette partie vont être proposées pour répondre à cette problématique. Les parties sont indépendantes et peuvent être traitées dans l'ordre de choix du candidat.
Figure 1 - Exemple de l'évolution de la consommation journalière d'électricité en France [source ADEME]
On note f la fonction de la consommation journalière en France en fonction du temps x en heure. On supposera que f est une fonction continue sur [0; 24].
Q1. On se propose de considérer une fonction g définie sur [ 0; 24 ] par :
g(x) = − 0, 02x^3 + 0, 72x^2 − 5, 27x + 45.
Montrer que g(0) = 45.
Q2. Justifier que la fonction g est dérivable sur ]0; 24[ et admet pour dérivée :
g^′(x) = − 0, 06x^2 + 1, 44x − 5, 27.
Q3. Donner les variations de g (on donnera des valeurs approchées des valeurs où g change de variations) et comparer au graphique de la figure 1.
On pourra utiliser que : 1, 44^2 − 4 × 5, 27 × 0, 06 = 0, 8088.
Une telle fonction n'est évidemment pas satisfaisante. Une meilleure idée est l'interpolation polynomiale de Lagrange. Celle-ci contraint les valeurs du polynôme à coïncider avec celles de la fonction en un nombre fini de points.
Soient n ∈ ℕ^∗ et des réels a_0, a_1, …, a_n deux à deux distincts appartenant à l'intervalle [0; 24]. Pour tout entier i appartenant à [ [0; n] ], on appelle i-ème polynôme interpolateur de Lagrange, le polynôme :
L_i(X) = ∏_(j = 0; j ≠ i)^n(X − a_j)/(a_i − a_j)
Q4. Dans cette question uniquement, on se restreint à n = 1 avec a_0 = 3 et a_1 = 13. Écrire les polynômes de Lagrange.
Q5. Soit i un entier fixé appartenant à [ [0; n] ]. Montrer que le polynôme L_i est de degré n.
Q6. Soient i et k deux entiers fixés dans [ [0; n] ] avec i ≠ k.
Montrer que L_i(a_i) = 1 et L_i(a_k) = 0.
Q7. Montrer que la famille formée par les polynômes L_i avec i appartenant à [ [0; n] ] forme une base de l'ensemble ℝ_n[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Q8. En déduire que :
Q = ∑_(i = 0)^n f(a_i)L_i
est l'unique polynôme de ℝ_n[X], tel que pour tout k dans [ [0; n] ], Q(a_k) = f(a_k).
Q9. Écrire en langage Python une fonction lagrange ( i, A, x ) qui prend comme arguments un entier i, une liste de flottants A correspondant à la séquence [a_0, a_1, …, a_n], un flottant x et qui renvoie le flottant correspondant à L_i(x).
L'interpolation a ses limites, notamment en termes de convergence, notion que nous n'aborderons pas dans le problème présent. Pour simplifier les calculs, nous nous placerons sur l'intervalle [ 0; 1 ] et non plus [ 0; 24 ].
Une deuxième possibilité est de considérer une distance et de chercher un polynôme P de degré au plus n tel que la distance à la fonction donnée f soit minimale. On souhaite réaliser une approximation au sens des moindres carrés, on choisit donc la distance en moyenne quadratique dont le carré est :
d(f, P)^2 = ∫_0^1|P(x) − f(x)|^2 dx
Soient f et g, deux fonctions continues sur [0; 1] et à valeurs dans ℝ. On note :
⟨f, g⟩ = ∫_0^1 f(x)g(x)dx
Q10. Montrer que ⟨.,. ⟩définitunproduitscalairesurl^′ ensembledesfonctionscontinuessur[0; 1] à valeurs dans ℝ.
Soit n un entier non nul fixé.
On cherche un polynôme P à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n, tel que :
∀Q ∈ ℝ_n[X], ∫_0^1|P(x) − f(x)|^2 dx ≤ ∫_0^1|Q(x) − f(x)|^2 dx
Nous allons supposer dans un premier temps qu'un tel polynôme P existe.
On pose Q = P + tR avec t un réel et R un polynôme de ℝ_n[X].
Q11. Expliquer pourquoi l'inéquation (1) est équivalente à l'inéquation suivante :
⟨f − P, f − P⟩ ⩽ ⟨f − P − tR, f − P − tR⟩.
Q12. En déduire que :
t^2⟨R, R⟩ − 2t⟨f − P, R⟩ ⩾ 0
Q13. En faisant tendre t vers 0 par valeur positive, montrer que :
⟨f − P, R⟩ ⩽ 0
Q14. En faisant tendre t vers 0 par valeur négative, montrer que :
⟨f − P, R⟩ ⩾ 0
Q15. En déduire que ∀R ∈ ℝ_n[X], ⟨f − P, R⟩ = 0.
Q16. En déduire que si P existe, alors P est unique.
Ce polynôme, s'il existe, est appelé approximation de f au sens des moindres carrés. Nous allons chercher à construire un tel polynôme P en considérant P(X) = ∑_(j = 0)^n a_j X^j, avec pour tout entier j appartenant à [ [0; n] ], a_j un réel.
Q17. Montrer à l'aide de la question Q15 que les coefficients a_j pour 0 ⩽ j ⩽ n vérifient pour 0 ⩽ k ⩽ n :
∑_(j = 0)^n a_j∫_0^1 x^(j + k) dx = ∫_0^1 x^k f(x)dx
Q18. En déduire que la matrice du système linéaire d'inconnue associée au n + 1 uplet (a_0, a_1, …, a_n) précédent est:
H_(n + 1) = (1, 1/2, 1/3, ⋯, 1/(n + 1); 1/2, 1/3, 1/4, ⋯, 1/(n + 2); 1/3, 1/4, 1/5, ⋯, 1/(n + 3); ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; 1/(n + 1), 1/(n + 2), 1/(n + 3), ⋯, 1/(2n + 1)).
Q19. Justifier que la matrice H_(n + 1) est diagonalisable.
Q20. On admet que 0 n'est pas une valeur propre de la matrice H_(n + 1). En déduire qu'il existe un polynôme P de degré k ≤ n vérifiant l'égalité établie à la question Q17.
La résolution de ce système est un problème potentiellement difficile, cependant, l'approximation au sens des moindres carrés est de pratique courante.

Partie II - Stockage électromécanique

Une des solutions possibles pour maintenir l'équilibre consommation-production électrique est de stocker l'énergie du réseau lors des pics de production afin de la restituer lorsque la demande augmente sur une journée. Il existe plusieurs types de stockage, on pourra citer entre autres :
  • le stockage électrochimique par batteries;
  • les systèmes de transfert d'énergie par pompage (STEP);
  • le stockage électromécanique ou inertiel.
Le stockage inertiel de l'énergie est une solution intéressante, en particulier dans les dispositifs de production à faible et moyenne puissance. Le stockage inertiel se distingue par sa grande capacité au cyclage (possibilité de 10^6 cycles de charge/décharge) se traduisant ainsi par une durée de vie élevée et donc un coût de fonctionnement relativement faible par rapport au stockage par batteries ou aux STEP.
On peut également mentionner un contrôle aisé de la charge et de la décharge, une bonne connaissance de l'état de charge (image de la vitesse de rotation), et enfin, un recyclage en fin de vie pouvant être peu coûteux économiquement et énergétiquement.
Le stockage inertiel utilise le plus souvent des volants d'inertie mis en rotation de façon à stocker l'énergie électrique sous forme d'énergie cinétique. Dans cette optique, des centrales inertielles constituées de plusieurs centaines de volants d'inertie ont été développées (figure 2).
Figure 2 - Centrale inertielle de 20MW, 2011, New-York, © Beacon Power.

II. 1 - Moment d'inertie

On veut pouvoir stocker 3, 0kWh par volant d'inertie, ce qui représente une énergie de 1, 0 ⋅ 10^7 J.
Le principe du volant d'inertie consiste à faire tourner un solide 1 dans une enceinte de confinement liée au bâti 0 . On note R_0 = (O, x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) le repère associé à 0 et on supposera le référentiel associé galiléen. Le solide 1 est un cylindre plein et homogène et on donne :
  • hauteur H, rayon R;
  • masse m;
  • centre d'inertie G sur son axe de rotation ( O, Z_0^(→−) );
  • moment d'inertie J_1 autour de l'axe ( O, z_0^(→−) ).
On note Ω⃗_(1/0) = ωz_0^(→−) le vecteur rotation du cylindre 1 autour d'un axe fixe (figure 3 ).
Q21. Exprimer l'énergie cinétique E_c d'un tel dispositif en fonction de J_1 et de ω.
Figure 3 - Principaux composants d'un accumulateur inertiel
Afin d'optimiser le fonctionnement du volant d'inertie, on souhaite maintenir une vitesse angulaire minimale ω_(min). De plus, pour résister aux contraintes mécaniques liées à la rotation du volant, on définit également une vitesse angulaire maximale ω_(max).
Un cycle classique d'utilisation prendra l'allure suivante :
Figure 4 - Principe du cycle de récupération d'énergie cinétique
L'énergie cinétique employable correspond donc à la différence d'énergie entre les situations de vitesses angulaires maximale et minimale.
Q22. Pour des vitesses de rotation N_(min) = 30000tr/min et N_(max) = 40000tr/min, exprimer la valeur du moment d'inertie J_1 nécessaire afin de disposer des 3, 0 kW ⋅ h demandés. Réaliser l'application numérique.
Le dispositif pouvant présenter des pertes (cas étudié en sous-partie II.2), on prendra une marge de sécurité avec une valeur de J_1 de 3, 0 kg ⋅ m^2. La forme du volant d'inertie est imposée : il s'agit d'un cylindre plein et homogène de masse m, de hauteur H et de rayon R.
Q23. Exprimer la masse m du cylindre en fonction de sa masse volumique ρ, ainsi que de ses dimensions H et R.
Le moment d'inertie d'un cylindre autour de son axe de révolution ( O, z_0^(→−) ) est donné par la relation :
J_1 = (πρHR^4)/2.
Q24. Montrer que :
J_1 = m(R^2)/2.
En déduire la valeur du rayon R permettant d'obtenir un cylindre de 300 kg .

II. 2 - Auto-décharge

Après une phase de charge, le volant d'inertie doit conserver son énergie cinétique jusqu'à la phase de décharge. Durant cette phase de stockage, différentes pertes dans le mécanisme peuvent dissiper une partie de l'énergie emmagasinée et induire un phénomène d'autodécharge (figure 5).
Figure 5 - Principe du cycle de récupération d'énergie cinétique avec prise en compte des pertes
Pour limiter ces pertes, on envisage d'abord un guidage par roulements pour réaliser la liaison pivot d'axe ( O, z_0^(→−) ) entre le cylindre 1 et le bâti 0 .
On a toujours Ω⃗_(1/0) = ωz_0^(→−) le vecteur rotation du cylindre 1 par rapport au bâti 0 .
On rappelle le paramétrage du cylindre 1 :
  • hauteur H;
  • rayon R;
  • masse m;
  • centre d'inertie G sur son axe de rotation ( O, z_0^(→−) );
  • moment d'inertie J_1 autour de l'axe ( O, z_0^(→−) ).
Figure 6 - Schéma cinématique simplifié du système
Un couple résistant C_(res)z_0^(→−) modélise les frottements visqueux et secs qui s'appliquent sur le cylindre 1 , tel que C_(res)z_0^– = − (C_s + C_v)z_0^–. On note alors C_s le couple résistant constant lié au frottement sec et C_V = μ ⋅ ω le couple résistant lié au frottement visqueux où μ est le coefficient de frottement visqueux en N ⋅ m/(rad/s) supposé constant.
Q25. Identifier qualitativement les éléments mécaniques et phénomènes physiques pouvant être à l'origine de ces différents frottements.
Q26. Préciser le(s) solide(s) isolé(s) et la démarche employée afin de montrer que :
J_1(dω)/(dt) + μ ⋅ ω = − C_s
La fonction ω de variable t est dérivable sur ℝ.
Q27. Résoudre l'équation différentielle (3) lorsque C_s est une constante réelle et pour la condition initiale ω(0) = ω_(max).
Q28. Exprimer la durée Δt pour que le système s'autodécharge jusqu'à ω_(min).
On trouve alors Δt ≃ 1 ⋅ 10^4 s.
Q29. Exprimer la durée d'autodécharge en heure et conclure.

Partie III - Contrôle des paliers magnétiques

Afin de remplacer les roulements et de permettre au volant d'inertie de fonctionner dans une enceinte sous vide, on propose d'utiliser une suspension magnétique axiale. On suppose que des paliers radiaux permettent de maintenir le centrage du volant d'inertie sur son axe de rotation. Il devient nécessaire de contrôler la position axiale du volant suspendu selon z_0^(→−), notée z(t).
Dans cette configuration, on considérera uniquement les actions de la pesanteur F⃗_(pes → 1) et du palier magnétique axial F⃗_(a → 1) sur le volant 1 . On définit :
  • le champs de pesanteur g⃗ = − gz_0^(→−);
  • la force F⃗_(a → 1) = (k_i i(t) + k_a z(t))z_0^(→−) où i(t) est le courant circulant dans le bobinage du palier magnétique et, k_i en N ⋅ A^(− 1) et k_a en N ⋅ m^(− 1), deux constantes positives.
    On cherche maintenant à déterminer comment piloter le palier magnétique afin de maintenir une position d'équilibre entre le volant d'inertie 1 et le bâti 0 .
Figure 7 - Modèle du système avec paliers magnétiques
Q30. Réaliser le bilan des actions extérieures s'appliquant à 1 et montrer par une étude dynamique, en prenant soin de détailler la démarche, que :
z¨(t) = − g + (k_i)/mi(t) + (k_a)/mz(t).
On note z_(eq) la position d'équilibre du volant d'inertie par rapport au bâti.
Q31. Établir l'expression du courant i_(eq) associée à la position d'équilibre z_(eq) en fonction de m, g, k_i, k_a et de z_(eq).
On pose Δi(t) = i(t) − i_(eq) et Δz(t) = z(t) − z_(eq).
Q32. En déduire une relation entre Δz(t) et Δi(t), puis montrer que l'on obtient dans le domaine de Laplace, pour des conditions initiales nulles, la fonction de transfert suivante :
(ΔZ(p))/(ΔI(p)) = − (k_i)/(k_a) ⋅ 1/(1 − m/(k_a)p^2)
avec ΔI(p) et ΔZ(p), respectivement, les transformées de Laplace de Δi(t) et Δz(t).
La fonction de transfert (5) permet de traduire le comportement du palier magnétique axial, soit la variation de distance Δz(t) associée à la variation de courant Δi(t).
Q33. Montrer que le comportement du palier magnétique est intrinsèquement instable.
Q34. Proposer une démarche (sans calcul) afin de corriger ce problème. Illustrer la proposition par un schéma-bloc.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation CCINP TSI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation CCINP TSI 2024 ?

Le sujet aborde l'étude de fonctions et l'interpolation en mathématiques, la dynamique du solide en rotation d'un volant d'inertie et l'automatique du contrôle des paliers magnétiques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve de modélisation CCINP TSI 2024 ?

Le jury signale un vocabulaire scientifique mal maîtrisé, des hypothèses de théorème non vérifiées et des applications numériques non menées jusqu'à une valeur approchée.

L'épreuve de modélisation CCINP TSI 2024 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme un sujet de difficulté croissante, avec de très nombreuses questions faciles et sans difficulté calculatoire majeure.

L'épreuve de modélisation CCINP TSI 2024 porte-t-elle sur plusieurs parties indépendantes ?

Oui, le sujet comporte trois parties indépendantes : la demande d'électricité, le stockage électromécanique et le contrôle des paliers magnétiques.

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