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CCINP Modélisation TSI 2025Sujet et rapport du jury

3,5(2 votes)
  • Méthode des moindres carrés et projeté orthogonal dans l'espace
  • Diagonalisation d'une matrice symétrique réelle, bases orthonormées de vecteurs propres
  • Fonctions de transfert, pôles, forme canonique et stabilité en asservissement
  • Théorème de l'énergie cinétique et liaison hélicoïdale
  • Loi géométrique, loi conditionnelle, formule des probabilités totales, loi binomiale
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Présentation du sujet

Accessible
La Machine à Mesurer Tridimensionnelle ZEISS DuraMax : planéité, asservissement en vitesse et déchets de production
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L'épreuve de modélisation TSI du CCINP 2025 (3 heures) étudie une machine à mesurer tridimensionnelle ZEISS DuraMax en trois parties indépendantes. La première modélise le traitement des données pour déterminer les défauts de planéité et de cylindricité d'une pièce par la méthode des moindres carrés. La seconde analyse la chaîne d'asservissement en vitesse de l'axe X pour vérifier le respect du cahier des charges. La troisième modélise le déchet d'une production à l'aide des probabilités.

  1. 1Partie I : modélisation du traitement des donnéesDétermination du plan le plus proche d'un nuage de points par la méthode des moindres carrés pour le défaut de planéité, puis détermination du rayon d'un cylindre par diagonalisation d'une matrice 3x3 pour le défaut de cylindricité.
  2. 2Partie II : étude de la chaîne de puissance de l'axe XModélisation de l'asservissement en vitesse de l'axe X en quatre sous-parties : analyse de la structure de la boucle, modélisation mécanique, modélisation du moteur à courant continu, conception du correcteur, conclue par une simulation.
  3. 3Partie III : étude du déchet d'une productionModélisation probabiliste du déchet d'une production à l'aide de la loi géométrique, des lois conditionnelles, de la loi binomiale et de la loi de Bernoulli.

Accessible. Le jury qualifie le sujet de niveau très accessible et de longueur raisonnable, sans question bloquante, ce qui a permis à la majorité des candidats d'aborder un grand nombre de questions.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,86 / 20 · écart-type 3,19 · 1 252 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,86/ 20
Écart-type
3,19
Présents
1 252
Coefficient
8
Durée
3 h
moyenne 9,8605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Système de 3 équations à 3 inconnues non résolu · Vecteur normal non normé · Base orthonormée non vérifiée
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Le sujet a permis de distinguer les candidats en révélant des lacunes persistantes sur des notions de base ainsi que des difficultés de rédaction et de justification. En mathématiques, le jury relève un manque de recul sur les objets manipulés (dimensions incompatibles, égalités entre vecteurs et scalaires) et une connaissance lacunaire du cours, notamment sur les formules de changement de base et de projection orthogonale.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Système de 3 équations à 3 inconnues non résoluQ2

    Résoudre le système 3x3 est une difficulté insurmontable pour la majorité des candidats, qui se contentent souvent d'affirmer que la solution est bonne car il y a trois équations et trois inconnues, sans mener le calcul par la méthode du pivot de Gauss.

    « Résoudre le système 3 x 3 est une difficulté insurmontable pour la majorité, des candidats. »
  2. 2
    Vecteur normal non norméQ3

    Dans la moitié des copies le vecteur fourni n'est pas normal au plan, et dans la plupart des autres cas il est normal mais non normé.

    « le vecteur fourni n'est pas un vecteur normal au plan »
  3. 3
    Base orthonormée non vérifiéeQ4

    On parvient le plus souvent à une base de vecteurs propres, mais très rarement orthonormée, alors que tous affirment qu'elle l'est ; normer les vecteurs n'est pas suffisant pour l'orthogonalité.

    « très rarement orthonormée (même si tous affirment qu'elle l'est) »
  4. 4
    Formule de changement de base non connueQ5

    La formule de changement de base n'est pas connue de la majorité des candidats, qui produisent des expressions dénuées de sens.

    « La formule de changement de base n'est pas connue de la majorité des candidats. »
  5. 5
    Notion de pôle mal maîtriséeQ10, Q11

    La notion de pôle est très mal maîtrisée en asservissement, avec des confusions fréquentes avec le mode ou la constante de temps.

    « avec des confusions fréquentes avec le mode ou la constante de temps »
  6. 6
    Loi conditionnelle confondue avec la loi simpleQ14

    De nombreux candidats évoquent « la loi de Z » tout court au lieu de « la loi de Z sachant X=n », avec des confusions entre loi de Bernoulli et loi binomiale.

    « de nombreux candidats évoquent « la loi de Z » (tout court) »

Ce qui a été bien réussi

  • L'application numérique de la question 13.b sur la loi géométrique est souvent bien traitée.
  • Les questions 10a et 10b sont souvent bien traitées.
  • La question 7a a globalement été bien réussie.
  • La question 8c et 8d ont généralement été bien traitées.
  • La question 12b a été globalement bien traitée.

Conseils du jury

  • Soigner la présentation de la copie : numérotation des questions et mise en valeur des résultats.
  • Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système linéaire, et mentionner les manipulations effectuées sur les lignes.
  • Vérifier concrètement qu'une base de vecteurs propres est bien orthogonale avant de la qualifier d'orthonormée.
  • Rédiger des réponses claires, précises et concises, avec une véritable argumentation plutôt que de simples calculs.
  • Ne pas essayer de masquer une erreur de calcul pour retrouver artificiellement un résultat donné par l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Durée : 3 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois parties, toutes indépendantes.

Machine à Mesurer Tridimensionnelle ZEISS DuraMax

Présentation générale

Une Machine à Mesurer Tridimensionnelle (MMT) est un appareil qui permet de mesurer la géométrie d'une pièce mécanique. Les MMT utilisent un système de palpage pour mesurer la position de points discrets sur les surfaces de la pièce. Généralement, le système de palpage se translate le long de trois axes notés X, Y et Z (figure 1). Ces axes sont orthogonaux les uns aux autres dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct. Chaque axe est doté d'un capteur qui mesure la position du palpeur (figure 2). Cette mesure est enregistrée lorsque le palpeur entre en contact avec la pièce. Ces points forment alors un nuage de points, image de la surface que les utilisateurs souhaitent mesurer.
Figure 1 - Machine à Mesurer Tridimensionnelle ZEISS DuraMax
Les MMT sont le plus souvent utilisées pour mesurer une pièce afin de déterminer si elle respecte ou non l'intention de conception initiale. Les MMT sont intégrées dans le contrôle de la qualité pour vérifier les dimensions des composants fabriqués afin de prévenir ou de résoudre les problèmes de qualité.
L'entreprise ZEISS développe, produit et distribue des solutions innovantes dans le domaine de la métrologie industrielle multidimensionnelle. Sa gamme de produits comprend, entre autres, des machines à mesurer tridimensionnelle pour les industries automobile, aéronautique, de l'énergie, de la défense et du médical.
Ce sujet s'intéresse à la MMT ZEISS DuraMax (figure 1) qui est une MMT peu encombrante, ce qui permet de réaliser des mesures en ligne directement dans le hall de production.
Les trois parties sont indépendantes entre elles.
  1. Dans la partie I, on étudie des modélisations des résultats obtenus par la MMT pour une étude de planéité, puis de cylindricité.
    Les sous-partie 1.1 et sous-partie 1.2 sont indépendantes.
  2. La partie II analyse et modélise la chaîne de puissance de l'axe X de la MMT.
  3. La partie III étudie la modélisation d'une chaîne de production dont les pièces fabriquées sont testées par la MMT.
Figure 2 - Zoom sur une pièce installée sur la MMT

Partie I- Modélisation du traitement des données

Les mesures effectuées par la MMT doivent être interprétées pour décider si la pièce mesurée répond aux attentes.
Dans cette partie, on étudie deux cas particuliers :
  • la planéité d'une pièce (sous-partie l.1);
  • la cylindricité d'une pièce (sous-partie I.2).
L'objectif de cette partie est de présenter des outils de modélisation du problème qui vont permettre une conclusion éventuelle.

I.1 - Étude de la planéité d'une surface palpée

Dans cette sous-partie, on cherche à déterminer si la surface palpée respecte une spécification de planéité. Une des méthodes utilisées par la MMT ZEISS DuraMax est la méthode des moindres carrés qui permet de déterminer un plan proche des points palpés. On proposera ensuite une modélisation du défaut de planéité.
Les points de la surface dont les positions ont été mesurées sont notés M_i pour 1 ≤ i ≤ n où n est le nombre de points. Les coordonnées de M_i sont notées ( x_i, y_i, z_i ) (dans l'espace ℝ^3 usuel). On admet que l'on peut chercher une équation de ce plan sous la forme z = ax + by + c où a, b et c sont des réels à déterminer. Pour chaque point M_i, le défaut d'appartenance au plan est défini par e_i = z_i − (ax_i + by_i + c) et, on cherche à trouver a, b et c qui minimisent la quantité :
δ = ∑_(i = 1)^n e_i^2 = ∑_(i = 1)^n(z_i − (ax_i + by_i + c))^2.
Le plan ainsi obtenu est le plan le plus proche des points mesurés au sens de la méthode des moindres carrés.
Pour modéliser le calcul de a, b et c, on se place dans l'espace vectoriel ℝ^n, qui sera muni de sa structure euclidienne canonique usuelle : pour deux éléments A = (a_1; a_2; ⋮; a_n) et B = (b_1; b_2; ⋮; b_n) appartenant à ℝ^n, leur produit scalaire est défini par (A|B) = ∑_(i = 1)^n a_i b_i et la norme associée est définie par ‖A‖ = √((A|A)) = √(∑_(i = 1)^n a_i^2). On rappelle que n désigne le nombre de points mesurés et on note X, Y et Z les vecteurs de ℝ^n formés respectivement des abscisses, des ordonnées et des cotes des points M_i : X = (x_1; x_2; ⋮; x_n), Y = (y_1; y_2; ⋮; y_n) et Z = (z_1; z_2; ⋮; z_n), et on pose E = (1; 1; ⋮; 1).
Q1. Existence et modélisation du plan le plus proche des points M_i.
a) Justifier que le problème revient à minimiser ‖Z − Z_F‖ pour Z_F appartenant au sous-espace vectoriel F = Vect(X, Y, E) de ℝ^n.
b) Justifier l'existence de ce minimum et préciser, en fonction de Z et de F, en quel vecteur Z_0 ce minimum est atteint.
c) Montrer que Z_0 vérifie la relation : (Z_0|X) = (Z|X).
On admet pour la suite que l'on a aussi (Z_0|Y) = (Z|Y) et (Z_0|E) = (Z|E).
Dans la série de mesures étudiée, on dispose de n = 100 mesures et les calculs conduisent aux valeurs numériques suivantes :
∑_(i = 1)^(100)x_i^2 = 700, ∑_(i = 1)^(100)x_i y_i = 800, ∑_(i = 1)^(100)x_i = − 100, ∑_(i = 1)^(100)y_i^2 = 500, ∑_(i = 1)^(100)y_i = 200.∑_(i = 1)^(100)x_i z_i = − 100, ∑_(i = 1)^(100)y_i z_i = 300 et ∑_(i = 1)^(100)z_i = − 300.
Q2. Calcul de Z_0 et δ :
a) Calculer (E|E).
b) On écrit Z_0 = aX + bY + cE, justifier que a, b et c sont solutions du système : {7a + 8b − c = − 1; 8a + 5b + 2c = 3; − a + 2b + c = − 3.
c) Déterminer les valeurs de a, b et c réalisant le minimum. En déduire une équation du plan le plus proche des points M_i selon la méthode des moindres carrés.
Pour la suite, on considère que le plan le plus proche du nuage de points M_i est :
Π : x − y − z = 0
On pourra remarquer que l'origine O appartient à Π, ainsi le plan Π peut être considéré comme un plan vectoriel. La distance d'un point M au plan Π est aussi la distance du vecteur u⃗ = OM^(→−) au plan vectoriel Π.
On se place dans l'espace vectoriel ℝ^3 muni de sa structure euclidienne usuelle (le produit scalaire est toujours noté (.l.)).
Q3. Défaut de planéité de la surface.
a) Déterminer un vecteur n⃗ normé et orthogonal au plan Π.
b) Soit u⃗ un vecteur de ℝ^3. Donner en fonction de u⃗ et de n⃗, la distance de u⃗ au plan Π.
c) Proposer une méthode permettant de modéliser le défaut de planéité de la surface palpée.

1.2 - Surface cylindrique

L'objectif ici est de modéliser les résultats obtenus dans le cas où la surface palpée est cylindrique.
On dispose d'une série de mesures de n points M_i de la surface.
Les coordonnées du point M_i dans le repère canonique usuel sont toujours notées ( x_i, y_i, z_i ).
On note alors x¯ = 1/n∑_(i = 1)^n x_i, y¯ = 1/n∑_(i = 1)^n y_i et z¯ = 1/n∑_(i = 1)^n z_i, les moyennes respectives des abscisses, ordonnées et cotes des points M_i.
On note également σ_(xx) = 1/n∑_(i = 1)^n(x_i − x¯)^2, σ_(xy) = σ_(yx) = 1/n∑_(i = 1)^n(x_i − x¯)(y_i − y¯), σ_(xz) = σ_(zx) = 1/n∑_(i = 1)^n(x_i − x¯)(z_i − z¯), σ_(yy) = 1/n∑_(i = 1)^n(y_i − y¯)^2, σ_(yz) = σ_(zy) = 1/n∑_(i = 1)^n(y_i − y¯)(z_i − z¯), σ_(zz) = 1/n∑_(i = 1)^n(z_i − z¯)^2 les covariances associées aux données (x_i), (y_i) et (z_i).
Enfin, on note A = (σ_(xx), σ_(xy), σ_(xz); σ_(yx), σ_(yy), σ_(yz); σ_(zx), σ_(zy), σ_(zz)) ∈ M_3(ℝ) la matrice de covariance associée.
Les données fournies par la MMT permettent d'obtenir la matrice de covariance suivante :
A = (20, − 10, − 10; − 10, 20, − 10; − 10, − 10, 20)
Q4. Réduction de la matrice A.
a) Justifier, sans calcul, que la matrice A est diagonalisable.
b) Déterminer les valeurs propres de A.
Pour la suite, les valeurs propres seront notées λ et μ avec λ = 0 < μ.
c) On munit ℝ^3 de sa structure canonique euclidienne usuelle.
Déterminer une base orthonormée directe B = (e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−)) de ℝ^3 formée de vecteurs propres de A. Le vecteur e_3^(→−) étant associé à la valeur propre λ = 0.
Q5. Analyse par composantes principales.
L'interprétation des valeurs et vecteurs propres de A, selon une méthode dite d'analyse en composantes principales, permet d'obtenir que le cylindre circulaire droit, qui est le plus proche du nuage, a son axe dirigé par un vecteur propre associé à la plus petite valeur propre de A .
Ainsi, on choisit e_3^(→−) comme vecteur dirigeant l'axe du cylindre et le point Ω de coordonnées ω = (x¯; y¯; z¯) sera un point de l'axe.
On rappelle que les coordonnées de M_i dans le repère canonique R_0 = (O, i⃗, j⃗, k⃗) sont notées X_i = (x_i; y_i; z_i). On considère le nouveau repère R_2 = (Ω, e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−)) et les coordonnées du point M_i dans ce repère sont notées X_i^(′′) = (x_i^(′′); y_i^(′′); z_i^(′′)).
a) À l'aide d'une matrice P à préciser, donner le lien entre les coordonnées X_i de M_i dans R_0 et les coordonnées X_i^′ de M_i dans R_1 = (O, e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−)).
b) Exprimer X_i^(′′) en fonction de X_i, ω et de P.
c) Donner l'expression de la distance d_i de M_i à l'axe ( Ω, e_3^(→−) ) du cylindre en fonction de x_i^(′′), y_i^(′′) et de z_i^(′′).
Q6. Détermination du rayon du cylindre approchant le nuage.
Dans cette question, on souhaite calculer le rayon du cylindre circulaire droit le plus proche des points du nuage.
La question précédente fournit les formules de calcul donnant les distances d_i de chaque point M_i à l'axe du cylindre.
On prend comme rayon du cylindre la valeur de R telle que la quantité f(R) = ∑_(i = 1)^n(d_i − R)^2 soit minimale.
a) Déterminer les variations de f sur [0, + ∞[.
b) Conclure.

Partie II - Étude de la chaîne de puissance de l'axe X

La chaîne de puissance de l'axe X est asservie en vitesse de rotation de l'arbre moteur ainsi qu'en position du palpeur. Dans cette partie, la boucle d'asservissement en vitesse va être étudiée. L'objectif de cette partie est de concevoir un correcteur permettant de vérifier les critères de l'exigence «déplacer en translation selon l'axe X le système de palpage». Les critères associés à cette exigence, pour une entrée échelon de 100rad/s, sont :
  • erreur statique inférieure ou égale à 10rad/s;
  • temps de réponse inférieur à 0, 5 s;
  • aucun dépassement.
Quatre étapes vont permettre d'atteindre cet objectif :
  • analyse de la structure de la boucle d'asservissement en vitesse (sous-partie II.1);
  • modélisation mécanique de la chaîne de puissance (sous-partie II.2);
  • modélisation du moteur à courant continu (sous-partie II.3);
  • conception du correcteur de la boucle d'asservissement en vitesse (sous-partie II.4).

II. 1 - Analyse de la structure de la boucle d'asservissement en vitesse

Hypothèses et notations :

  • la transformée de Laplace d'une fonction temporelle f(t) sera notée F(p) = L[f(t)];
  • les conditions initiales sont nulles.
La structure de la boucle d'asservissement en vitesse est représentée par le schéma-blocs de la figure 3.
Figure 3 - Schéma-blocs de la boucle d'asservissement
Une génératrice tachymétrique montée directement sur l'arbre moteur mesure la vitesse de rotation ω_m(t) de l'axe moteur. L'information u_(mes)(t) est comparée à une valeur de consigne u_(cons)(t) issue d'un adaptateur et correspondant à une consigne ω_(cons)(t) de vitesse à atteindre. La carte de puissance, réglée au préalable par l'utilisateur, utilise cet écart de tension ε(t) afin d'adapter la tension du moteur u_m(t).
Le gain de la génératrice tachymétrique est de 3 V/(1000tr/min).
Q7. Analyse de la structure.
a) Parmi les fonctions de transfert du schéma-blocs de la figure 3 ( H_1(p), H_2(p), H_3(p) et H_4(p) ), indiquer celle qui correspond à la carte de puissance, à la génératrice tachymétrique, à l'adaptateur, puis au moteur.
b) Donner la valeur numérique arrondie, au centième près, de la fonction de transfert de la génératrice tachymétrique en V/(rad/s) (on fera l'approximation π ≈ 3 ).
c) Donner et justifier la relation entre H_1(p) et H_4(p).

II. 2 - Modélisation mécanique de la chaîne de puissance

La partie mécanique de la chaîne de puissance est présentée sur la figure 4 et modélisée par le schéma cinématique de la figure 5. L'arbre 1 est en liaison pivot d'axe ( O, x⃗ ) avec le bâti 0 . II est également en liaison hélicoïdale d'axe ( O, x⃗ ) avec le chariot 2 sur lequel est encastré le système de palpage (on suppose les deux autres axes bloqués). Le chariot 2 est en liaison glissière de direction x⃗ avec le bâti 0 .

Hypothèses et notations :

  • on note R = (O, x⃗, y⃗, z⃗) le repère lié au bâti 0 , référentiel supposé galiléen;
  • l'arbre 1 est composé de l'arbre moteur (de moment d'inertie selon ( O, x⃗ ) J_m = 460 g ⋅ cm^2 ) encastré avec un arbre cylindrique d'axe ( O, x⃗ ) de diamètre d_c, de longueur L_c et de masse m_c; on note ω_m(t) la vitesse de rotation de l'arbre 1 par rapport au bâti 0 ;
  • le chariot 2 a une masse m_2 = 10 kg, on note v_2(t) sa vitesse par rapport au bâti 0 ;
  • la liaison hélicoïdale entre l'arbre 1 et le chariot 2 est réalisée par un système Uhing dont le pas est p_(12) = 7, 5 mm;
  • on suppose que toutes les liaisons sont parfaites;
  • l'accélération de pesanteur est notée g⃗ = − gz⃗;
  • le centre de gravité de l'arbre 1 appartient à l'axe ( O, x⃗ );
  • le couple moteur c_m(t)x⃗ agit sur l'arbre 1 ;
  • on donne la matrice d'inertie en son centre d'inertie G d'un cylindre homogène d'axe ( G, z⃗ ) de rayon R, de hauteur h et de masse m :
I(G, cylindre) = (m((R^2)/4 + (h^2)/(12)), 0, 0; 0, m((R^2)/4 + (h^2)/(12)), 0; 0, 0, m(R^2)/2)_((x⃗, y⃗, z⃗))
Figure 4 - Partie mécanique de la chaîne de puissance de l'axe X
Arbre 1
Figure 5 - Schéma cinématique de la partie mécanique de la chaîne de puissance
Q8. Modélisation de l'inertie équivalente.
a) Donner la valeur numérique du moment d'inertie de l'arbre moteur J_m exprimée en kg ⋅ m^2.
b) À l'aide de la matrice d'inertie d'un cylindre, donner l'expression littérale du moment d'inertie de l'arbre 1 par rapport à son axe de rotation, noté J_1, en fonction des données de l'arbre 1.
c) Donner l'expression littérale de l'énergie cinétique de l'arbre 1 par rapport à R en fonction de J_1 et de ω_m(t).
d) Donner l'expression littérale de l'énergie cinétique du chariot 2 par rapport à R en fonction de m_2 et de v_2(t).
e) En déduire l'expression littérale de l'inertie équivalente, notée J_(eq), de l'ensemble S = { arbre 1 - chariot 2 } ramenée à l'arbre 1 en fonction de J_1, de m_2 et de p_(12).
Q9. Écriture de l'équation de mouvement.
a) Donner l'expression littérale de la puissance galiléenne du moteur sur l'arbre 1.
b) Donner l'expression de la puissance galiléenne de pesanteur sur l'ensemble S = { arbre 1 - chariot 2 } en justifiant votre réponse.
c) Donner l'expression de la puissance galiléenne du bâti sur l'ensemble S = { arbre 1 - chariot 2 } en justifiant votre réponse.
d) Donner l'expression de la puissance intérieure à l'ensemble S = { arbre 1 - chariot 2 } en justifiant votre réponse.
e) En déduire l'équation de mouvement de la partie mécanique de la chaîne de puissance. Le théorème utilisé ainsi que l'ensemble isolé seront précisés. Présenter l'équation en exprimant c_m(t) en fonction de J_(eq) et de (dω_m(t))/(dt).

II. 3 - Modélisation du moteur à courant continu

Hypothèses et notations :

  • la transformée de Laplace d'une fonction temporelle f(t) sera notée F(p) = L[f(t)];
  • les conditions initiales sont nulles;
  • u_m(t) : tension d'alimentation du moteur;
  • i_m(t) : courant circulant dans le moteur;
  • e(t) : force contre-électromotrice du moteur;
  • ω_m(t) : vitesse de rotation de l'arbre moteur;
  • c_m(t) : couple disponible sur l'arbre moteur;
  • R_m : résistance d'induit du moteur;
  • L_m : inductance d'induit du moteur;
  • J_(eq) : inertie équivalente de l'ensemble S = { arbre 1 - chariot 2 } ramenée sur l'arbre moteur;
  • k_e : constante de vitesse;
  • k_c : constante de couple.
Le moteur peut être modélisé par les quatre équations suivantes :
u_m(t) = R_m i_m(t) + L_m(di_m(t))/(dt) + e(t); J_(eq)(dω_m(t))/(dt) = c_m(t); e(t) = k_e ω_m(t); c_m(t) = k_c i_m(t)
Q10. Modélisation du moteur.
a) Écrire les quatre équations temporelles du moteur dans le domaine de Laplace.
b) En déduire l'expression littérale de la fonction de transfert du moteur sous forme canonique :
H_(mot)(p) = (Ω_m(p))/(U_m(p))
c) L'application numérique de cette fonction de transfert peut s'écrire sous la forme :
H_(mot)(p) = (15)/((1 + 0, 24p)(1 + 0, 004p))
Donner, en le justifiant, la valeur du pôle dominant. Proposer alors une approximation de H_(mot)(p).

II. 4 - Conception du correcteur de la boucle d'asservissement en vitesse

La structure de la boucle d'asservissement en vitesse (figure 3) peut aussi se modéliser par le schéma-blocs de la figure 6 où K_0 est le gain du correcteur proportionnel. Pour réaliser les applications numériques, on choisit K_1 = 0, 5(rad/s)/V et τ_1 = 0, 25 s.
Figure 6 - Schéma-blocs de la boucle d'asservissement en vitesse
Q11. Conception du correcteur.
a) Donner l'expression littérale de la fonction de transfert en boucle fermée sous forme canonique :
H(p) = (Ω_m(p))/(Ω_(cons)(p))
b) Déterminer l'expression littérale du pôle de cette fonction de transfert. Discuter alors de la stabilité de cette boucle d'asservissement.
c) Donner l'expression littérale du temps de réponse à 5%. On rappelle que le cahier des charges impose un temps de réponse à 5% inférieur à 0, 5 s. Donner alors les valeurs de K_0 qui permettent de respecter ce critère.
d) Donner l'expression littérale de l'écart statique pour une entrée échelon de ω_0 = 100rad/s. On rappelle que le cahier des charges impose un écart statique inférieur ou égal à 10rad/s. Donner alors les valeurs de K_0 qui permettent de respecter ce critère.
e) On rappelle que le cahier des charges n'impose aucun dépassement. Donner les valeurs de K_0 qui permettent de respecter ce critère.
f) Donner les valeurs de K_0 qui permettent de respecter le cahier des charges.
Une simulation a été réalisée avec la plus petite valeur de K_0 permettant de respecter le cahier des charges. Les figures 7 et 8 en montrent le résultat. La tension nominale du moteur est de 18 V .
Figure 7 - Tracé de la vitesse de rotation du moteur obtenu par simulation
Figure 8 - Tracé de la tension d'alimentation du moteur obtenu par simulation
Q12. Validation du cahier des charges :
a) Proposer un composant à ajouter à la simulation pour que le résultat de la tension d'alimentation du moteur ne dépasse pas la tension nominale.
b) Le résultat de la vitesse de rotation du moteur de la simulation ainsi modifiée est donné à la figure 9. Vérifier les critères du cahier des charges.
Figure 9 - Tracé de la vitesse de rotation du moteur obtenu par simulation avec une tension moteur ne dépassant pas la tension nominale

Partie III - Étude du déchet d'une production

Une usine fabrique des pièces cylindriques de précision. À l'issue de leur fabrication, ces pièces doivent passer au moins une fois dans une machine de finition.
À l'aide de la machine MMT ZEISS DuraMax, un ingénieur réalise un test de cylindricité : pour chaque pièce fabriquée, il calcule l'axe et le rayon du cylindre approchant le nuage (partie I ); les points mesurés ne doivent pas être éloignés de l'axe de plus de 1% du rayon du cylindre. Les pièces qui ne satisfont pas ce critère doivent repasser dans la machine de finition autant de fois que nécessaire.
On estime que le nombre de passages pour une pièce donnée est une variable aléatoire X suivant une loi géométrique G(p) où p ∈ ]0, 1[.
On pose q = 1 − p.
Q13. Étude du nombre de passages.
a) Rappeler la définition de la loi de X ainsi que son espérance.
b) Sachant que le nombre moyen de passages est proche de 4 , estimer la valeur de p.
c) Pour n ≥ 1, montrer que P(X ≥ n) = q^(n − 1).
À partir de combien de passages peut-on estimer que 90% des pièces sont finies?
On pourra prendre p = 0, 25 et (ln(0, 1))/(ln(0, 75)) ≃ 8.
Q14. Déchet.
À chaque passage dans la machine de finition, une rayure apparaît avec une probabilité p_1 où p_1 ∈ ]0, 1[ et on pose q_1 = 1 − p_1.
Pour une pièce donnée, on note Z le nombre de rayures à l'issue de ses X passages dans la machine de finition.
On note Y la variable aléatoire égale à 0 si la pièce n'est pas rayée à l'issue de ses X passages dans la machine de finition et, égale à 1 si la pièce est rayée (au moins une fois) à l'issue du dernier passage.
Les apparitions des rayures sont indépendantes les unes des autres.
a) Reconnaître, sans calcul, la loi conditionnelle de Z sachant que X = n.
En déduire que, pour tout n ∈ ℕ^∗, P_(X = n)(Y = 0) = q_1^n où P_(X = n)(Y = 0) désigne la probabilité conditionnelle de l'événement {Y = 0} sachant que {X = n}.
b) À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que P(Y = 0) = (pq_1)/(1 − qq_1).
c) Justifier que P(Y = 1) = (p_1)/(p + qp_1).
Sachant que p_1 = 0, 001, déterminer une valeur approchée du pourcentage de pièces rayées parmi les pièces usinées.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de modélisation TSI CCINP 2025 ?
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Sur quoi porte le sujet de modélisation TSI CCINP 2025 ?

Sur une machine à mesurer tridimensionnelle ZEISS DuraMax : modélisation des défauts de planéité et de cylindricité, asservissement en vitesse de l'axe X, et modélisation probabiliste du déchet de production.

Le sujet de modélisation TSI CCINP 2025 est-il difficile ?

Non, le jury le qualifie de niveau très accessible et de longueur raisonnable, sans question bloquante.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en modélisation TSI CCINP 2025 ?

Une incapacité à résoudre un système 3x3, des vecteurs normaux non normés, des bases de vecteurs propres présentées à tort comme orthonormées, et une notion de pôle mal maîtrisée en asservissement.

Le sujet de modélisation TSI CCINP 2025 comporte-t-il des probabilités ?

Oui, la partie III porte sur la loi géométrique, les lois conditionnelles, la loi binomiale et la loi de Bernoulli appliquées au déchet d'une production.

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