CCINP Modélisation TSI 2022Sujet et rapport du jury

Pas encore noté

Mécanique du solide
Électrocinétique (condensateur, loi des nœuds)
Algèbre linéaire (sous-espaces vectoriels, familles libres, matrices)
Rotations de l'espace et quaternions
Résistance des matériaux (flexion, moment quadratique)

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2022 FilièreTSI MatièrePhysique Modelisation

Annales CCINP TSI Physique Modelisation CCINP TSI 2022 TSI Physique Modelisation Physique Modelisation 2022

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficile

Stabilisateur d'images Slick : capteur d'accélération, représentation mathématique de l'orientation et optimisation du matériau d'un bras

Le sujet étudie un stabilisateur d'images, le Slick, à travers trois parties indépendantes. La première modélise le capteur d'accélération pour établir la relation entre accélération et tension de sortie. La deuxième, essentiellement mathématique, étudie deux façons de représenter une rotation de l'espace : les angles de Cardan et les quaternions représentés par des matrices 4x4. La troisième propose une démarche pour choisir un nouveau matériau pour le bras du dispositif, permettant de réduire la masse tout en conservant la raideur.

1Partie I : étude du capteur d'accélérationModéliser le capteur mécanique et le circuit électrique associé pour établir la relation entre accélération et tension de sortie.
2Partie II : représentation mathématique de l'orientation de la caméraÉtudier les angles de Cardan puis les quaternions, représentés par des matrices 4x4, pour décrire une rotation de l'espace.
3Partie III : optimisation du matériau du brasDéterminer, à partir du moment fléchissant et du moment quadratique, un matériau permettant de diminuer la masse du bras tout en conservant sa raideur.

Difficile. Le rapport indique que la partie II, sur l'algèbre linéaire et les rotations, n'a globalement pas été bien réussie, les notions du programme semblant très peu assimilées même dans les bonnes copies, et que la fin des parties I et III a été peu abordée ou peu comprise.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,71 / 20 · écart-type 3,72 · 1 238 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,71/ 20
Écart-type: 3,72
Présents: 1 238
Coefficient: 8
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 10 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Réponses données recopiées sans justification · Confusion entre matrice orthogonale et déterminant égal à 1 · Confusion entre sous-espace vectoriel et famille libre

Le sujet, d'une durée de 3 heures avec un nombre de questions raisonnable, a permis à de nombreux candidats de traiter toutes les questions. La partie I a été abordée par presque tous les candidats mais le modèle électrique a souvent été mal traité. La partie II, bien comprise dans son énoncé, n'a globalement pas été bien réussie, les notions d'algèbre étant peu assimilées. La partie III a été bien traitée sur ses premières questions mais peu comprise en fin de partie, peut-être par manque de temps.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Réponses données recopiées sans justificationQ10b
Les correcteurs n'accordent aucun point aux réponses déjà données dans l'énoncé lorsqu'elles ne sont pas argumentées, par exemple à la question 10.b où recopier le résultat sous forme de matrice sans détail de calcul n'a rapporté aucun point.
« après calculs, on trouve bien que QQT = N(Q)2 x I4 »
2
Confusion entre matrice orthogonale et déterminant égal à 1Q5a
À la question 5.a, de nombreux candidats affirment sans détail de calcul que det(A) = 1 suffit à caractériser une matrice de rotation, ce qui ne rapporte que les points de connaissance de la définition.
« il ne suffit pas d'avoir det(A) = 1 pour être une matrice de rotation »
3
Confusion entre sous-espace vectoriel et famille libreQ8
À la question 8, la plupart des candidats concluent à une dimension 4 pour H sans argument, alors que contenir une famille libre de quatre éléments ne suffit pas à conclure sur la dimension.
« contenir une famille libre de quatre éléments ne fait pas de H un espace de dimension 4 »
4
Confusion entre moment fléchissant et contrainteQ13
À la question 13, beaucoup de candidats ne connaissent pas la relation entre le moment fléchissant et la déformée, ou confondent contrainte et moment fléchissant.
5
Loi des nœuds et intensité dans un condensateur mal maîtriséesQ2
À la question 2, l'intensité traversant un condensateur n'est pas connue par la majorité des candidats lors de l'écriture de la loi des nœuds.

Ce qui a été bien réussi

La question 9.a, sur la multiplication d'un quaternion par la matrice identité, a été très bien réussie.
Les questions 6.a et 6.b, sur les angles de Cardan, ont été assez bien traitées.
Le calcul du moment fléchissant à la question 13 a été bien fait dans l'ensemble.
La définition d'endomorphisme, en question 11.a, est connue et de nombreuses réponses sont correctes.

Conseils du jury

Justifier chaque réponse par un raisonnement argumenté, même lorsque le résultat est déjà donné dans l'énoncé : les affirmations du type « on voit bien que » ne rapportent pas de points.
Écrire les calculs intégralement sur la copie, y compris lorsque la réponse finale est fournie.
Préférer un calcul bien construit menant à un résultat différent de celui attendu plutôt qu'un calcul arrangé pour retomber sur la réponse donnée.
Numéroter précisément les sous-questions (5a, 5b, 5c) et soigner la présentation et la rédaction.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Durée : 3 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois parties toutes indépendantes.

Le sujet comporte 12 pages.

Stabilisateur d'images Slick

Présentation générale

Un stabilisateur d'images est un support sur lequel on fixe une caméra.
Il permet d'obtenir une image parfaitement fluide des différents milieux filmés, tels que terrestre, aérien, sur l'eau et de techniques de films, plongée, contre plongée, travelling, suivi « au ras du sol », etc. (figure 1). Le résultat obtenu est une image très agréable à regarder ainsi qu'un suivi au plus près de l'action et des acteurs dans tous les déplacements.

Figure 1 - Photos prises à l'aide du stabilisateur Slick

Le Slick (figure 2) est un stabilisateur WeatherProof, il fonctionne sous la pluie ou sous la neige; il est pratique pour le ski ou pour des activités exposées à de légères éclaboussures d'eau. Avec sa batterie au lithium-polymère de

900 mA \cdot h

, le Slick dispose d'une autonomie allant de 3 à 4 heures. Il est composé de matériaux durables :

30%

de fibres de verre et

70%

de nylon.

Figure 2 - Stabilisateur Slick

Figure 3 - Stabilisateur Slick fixé sur un guidon de vélo

Le modèle mécanique du Slick est composé de quatre classes d'équivalence (figure 4), chaque repère (

O_i, x⃗_i, y⃗_i, z⃗_i

) est lié à la pièce

i \in {0, 1, 2, 3}

un support 0 qui est par exemple en liaison encastrement avec le guidon du vélo (figure 3);
un bras 1 en liaison pivot d'axe ( $O_0, z_0^(\to-)$ ) avec $0$ ;
un bras 2 en liaison pivot d'axe ( $O_1, x_1^(\to-)$ ) avec 1;
un bras 3 sur lequel est fixée la caméra, 3 en liaison pivot d'axe ( $O_2, y_2^(\to-)$ ) avec 2.

Chacun de ces trois degrés de liberté est piloté à l'aide d'un moteur brushless.

Figure 4 - Graphe des liaisons du Slick

La figure 5 présente les différents composants du Slick.

Figure 5 - Diagramme de définition des blocs (bdd) du Slick

Problématiques

Le capteur d'accélération de la centrale inertielle sera analysé pour comprendre son fonctionnement (partie I).
Une étude mathématique de deux méthodes pour appréhender l'orientation de la caméra sera abordée (partie II).
La partie III permettra de choisir un nouveau matériau pour le bras $1$ qui réalise le meilleur compromis raideur-masse.

Partie I - Étude du capteur d'accélération

Objectif de la partie : relier l'accélération de la caméra à la tension de sortie du capteur.
L'estimation de l'orientation (ou attitude) de la caméra est réalisée par la centrale inertielle MPU 6050 fixée sur le bras 3 lié à la caméra. La centrale inertielle acquiert, entre autre, des accélérations à l'aide d'un capteur MEMS (Micro-Electro-Mechanical-System) capacitif. Ce capteur est composé de deux éléments principaux (figure 6) :

une partie fixe de même classe d'équivalence que la caméra ;
une partie dite " en suspension " en liaison glissière par rapport à la partie fixe.

Ces deux éléments ont la forme de lamelles en vis-à-vis (figure 6).

Figure 6 - Modélisation mécanique d'un capteur MEMS

Hypothèses et notations du modèle mécanique (figure 6)

le repère $(O_0, x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0)$ est lié au sol et associé à un référentiel galiléen;
le point $O_3$ est lié au bras 3, à la caméra et à la partie fixe du capteur;
le point $O_4$ est lié à la partie " en suspension " du capteur, noté 4 ;
on étudie seulement l'accélération suivant la direction $x⃗_0$ , on supposera donc que la partie fixe du capteur (encastrée avec le bras 3 et la caméra) est en liaison glissière de direction $x⃗_0$ avec le sol;
on suppose qu'entre $3$ et $4$ , il y a deux ressorts (de raideur $k$ chacun) et deux amortisseurs (de coefficient visqueux $μ$ chacun);
$- O_0 O_3^(\to-) \cdot x⃗_0 = x_3(t)$ ;
$- O_0 O_4^(\to-) \cdot x⃗_0 = x_4(t);$
$x(t) = x_4(t) - x_3(t);$
l'accélération de la caméra par rapport au sol est notée $a(t) = (d^2 x_3(t))/(dt^2)$ ;
$m_4$ est la masse de 4 ;
$2d$ est la distance entre deux lamelles de la même pièce;
l'action de pesanteur est négligée.

Q1.
a) Appliquer le théorème de la résultante dynamique à 4 en projection sur

x⃗_0

et montrer que:

(d^2 x(t))/(dt^2) + (2μ)/(m_4)(dx(t))/(dt) + (2k)/(m_4)x(t) = - a(t).

b) Proposer, en justifiant votre réponse, une expression de la fréquence de variation de

a(t)

en dessous de laquelle on peut considérer que :

a(t) \approx - (2k)/(m_4)x(t).

Hypothèses et notations du modèle électrique (figure 7)

on suppose que les lamelles en vis-à-vis définissent deux condensateurs de capacité $C_1$ (à gauche sur la figure 6) et $C_2$ (à droite sur la figure 6) dépendantes de $x(t)$ ;
deux résistors de résistance $R$ sont utilisés pour le conditionnement;
l'alimentation du capteur impose: $V_s = 5 V, v_1(t) = (V_s)/2 + V_1 sin(ωt), v_2(t) = (V_s)/2 - V_1 sin(ωt)$ avec $V_1 = 2, 5 V$ ;
on note $v_3(t)$ la tension de sortie du capteur.

Figure 7 - Modélisation électrique d'un capteur MEMS

Q2.
a) À partir de la loi des nœuds, donner la relation entre

v_1(t), v_2(t), v_3(t), V_s, C_1, C_2

R

.
b) En déduire l'équation différentielle suivante :

(dv_3(t))/(dt) + 1/τv_3(t) = (C_1 - C_2)/(C_1 + C_2)V_1 ωcos(ωt) + (V_s)/(2τ).

Donner l'expression de

τ

en fonction de

R, C_1

C_2

.
La solution de cette équation différentielle en régime permanent est :

v_3(t) = (V_s)/2 + (C_1 - C_2)/(C_1 + C_2)V_1 sin(ωt)

Nous considérerons les condensateurs comme plans (figure 8), on rappelle que :

C = (εS)/e

où :

$C$ est la capacité du condensateur plan;
$ε$ est la permittivité diélectrique du milieu entre les armatures;
$S$ est la surface d'une armature;
$e$ est la distance entre les armatures.

Figure 8 - Modélisation des condensateurs

Q3.
a) Donner l'expression de

C_1

, puis de

C_2

en fonction de

ε, S, x(t)

et de

d

. En déduire l'expression de

(C_1 - C_2)/(C_1 + C_2)

en fonction de

x(t)

d

.
b) En déduire, en utilisant également les équations (2) et (4), l'expression de

a(t)

en fonction de

v_3(t)

et des données.

Partie II - Représentation mathématique de l'orientation de la caméra

Nous venons d'analyser comment la centrale inertielle mesure les accélérations.
La centrale inertielle permet également de mesurer le champ magnétique terrestre.
À partir de ces mesures, la centrale inertielle permet en outre de calculer la rotation représentant l'orientation de la caméra et par suite de la redresser.

On note (

x_0^(\to-), y_0^(\to-), z_0^(\to-)

) une base orthonormée directe fixe liée à la Terre :

x_0^(\to-)

est dirigé vers le nord magnétique et

z_0^(\to-)

vers le centre de la terre.
On note (

x_3^(\to-), y_3^(\to-), z_3^(\to-)

) une base orthonormée directe liée à la caméra (fixe par rapport à la caméra). Déterminer l'orientation de la caméra revient à identifier la rotation qui permet de passer de la base fixe (

x_0^(\to-), y_0^(\to-), z_0^(\to-)

) à la base liée à la caméra (

x_3^(\to-), y_3^(\to-), z_3^(\to-)

L'objectif de cette partie est d'appréhender mathématiquement deux méthodes utilisées pour la représentation et les calculs de l'orientation (ou attitude) de la caméra :

utilisation des angles de Cardan (sous-partie II.1);
utilisation des quaternions (sous-partie II. 2).

On se place dans

ℝ^3

muni de sa structure euclidienne canonique et on notera les vecteurs (éléments de

ℝ^3

) sous forme de colonnes.
On note

B_0 = (X_0, Y_0, Z_0)

la base canonique :

X_0 = (1; 0; 0), Y_0 = (0; 1; 0)

Z_0 = (0; 0; 1)

.
Le produit scalaire usuel entre deux éléments

X = (a_1; b_1; c_1)

Y = (a_2; b_2; c_2)

ℝ^3

sera noté

(X|Y)

.
C'est-à-dire que

(X|Y) = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2

.
Et enfin, on note

X_3, Y_3

Z_3

les vecteurs de

ℝ^3

contenant les coordonnées respectives de

x_3^(\to-)

y_3^(\to-)

z_3^(\to-)

dans la base (

x_0^(\to-), y_0^(\to-), z_0^(\to-)

). On notera

B_3 = (X_3, Y_3, Z_3)

la base de

ℝ^3

obtenue.

Q4. Justifier, sans calcul, que

R

, matrice de passage de la base

B_0

à la base

B_3

, appartient à

SO_3(ℝ)

II. 1 - Les angles de Cardan

Le principe de la description d'une rotation de matrice

R

avec les angles de Cardan est de décomposer

R

en trois matrices de rotations successives :

$R_3$ , matrice de la rotation d'axe orienté et dirigé par $Z_0$ et d'angle $φ$ qui est la matrice de passage de la base ( $X_0, Y_0, Z_0$ ) à la base notée ( $U, V, Z_0$ );
$R_2$ , matrice de la rotation d'axe orienté et dirigé par $V$ et d'angle $θ$ qui est la matrice de passage de la base ( $U, V, Z_0$ ) à la base notée ( $X_3, V, W$ );
$R_1$ , matrice de la rotation d'axe orienté et dirigé par $X_3$ et d'angle $ψ$ qui est la matrice de passage de la base ( $X_3, V, W$ ) à la base finale ( $X_3, Y_3, Z_3$ ).

Les angles des rotations successives vérifient :

φ \in [ - π/2, π/2], θ \in ] - π, π]

ψ \in ] - π, π]

Figure 9 - Visualisation des angles de Cardan

Les formules donnent alors :

R = R_3 R_2 R_1 = (cos(φ)cos(θ), cos(φ)sin(θ)sin(ψ) - sin(φ)cos(ψ), cos(φ)sin(θ)cos(ψ) + sin(φ)sin(ψ); sin(φ)cos(θ), sin(φ)sin(θ)sin(ψ) + cos(φ)cos(ψ), sin(φ)sin(θ)cos(ψ) - cos(φ)sin(ψ); - sin(θ), cos(θ)sin(ψ), cos(θ)cos(ψ))

.
Ainsi, on peut caractériser

R

par les trois angles

φ, θ

ψ

.
Q5. Exemple : on considère la matrice

A = (\sqrt2/2, 1/2, 1/2; 0, \sqrt2/2, - \sqrt2/2; - \sqrt2/2, 1/2, 1/2)

.
a) Justifier que

A

est la matrice d'une rotation de

ℝ^3

.
b) Montrer l'existence et l'unicité des angles de Cardan pour cette matrice

A

et les déterminer.

Q6. Illustration du blocage de Cardan : on considère la matrice

B = (0, 1, 0; 0, 0, - 1; - 1, 0, 0)

.
a) Justifier que

B

est la matrice d'une rotation de

ℝ^3

.
b) Montrer que la détermination des angles de Cardan pour la matrice

B

équivaut à trouver

φ \in [ - π/2, π/2], θ \in ] - π, π]

ψ \in ] - π, π]

, tels que

θ = π/2, sin(ψ - φ) = 1

cos(ψ - φ) = 0

.
c) Sachant que ces angles sont utilisés pour redresser la caméra par trois rotations successives, en quoi cela pose-t-il problème?

11.2 - Les quaternions

Pour éviter le blocage de Cardan, on peut utiliser les quaternions pour représenter une rotation de

ℝ^3

.
Une manière de représenter un quaternion est d'utiliser des matrices de l'espace vectoriel

E = M_4(ℝ)

.
La transposée d'une matrice

M

E

sera notée

M^T

.
Pour

a, b, c

d

réels, on considère la matrice

M(a, b, c, d) = (a, - b, - c, - d; b, a, - d, c; c, d, a, - b; d, - c, b, a)

.
On note

H

l'ensemble des matrices

M(a, b, c, d)

pour

(a, b, c, d)

dans

ℝ^4

.
Ainsi

H = {M(a, b, c, d)|(a, b, c, d) ∈ ℝ^4}

.
Les éléments de

H

sont appelés quaternions.

On pose enfin

I_4 = M(1, 0, 0, 0)

(matrice identité de

E

E_1 = M(0, 1, 0, 0), E_2 = M(0, 0, 1, 0)

E_3 = M(0, 0, 0, 1)

Q7. Montrer que

H

est un sous-espace vectoriel de

E

.
Q8. Montrer que la famille (

I_4, E_1, E_2, E_3

) est libre. En déduire une base et la dimension de

H

.
Q9. Produit de quaternions
a) Calculer les produits suivants:

E_1 I_4, E_1^2, E_1 E_2

E_1 E_3

Pour la suite, on pourra utiliser directement le tableau suivant qui donne le résultat du produit

AB

$A$	$I_4$	$E_1$	$E_2$	$E_3$
$I_4$	$I_4$	$E_1$	$E_2$	$E_3$
$E_1$	$?$	$?$	$?$	$?$
$E_2$	$E_2$	$- E_3$	$- I_4$	$E_1$
$E_3$	$E_3$	$E_2$	$- E_1$	$- I_4$

b) Justifier rapidement que, pour tous quaternions

Q_1

Q_2

(c'est-à-dire des éléments de

H), Q_1 Q_2

est aussi un quaternion.

Q10. Soit

Q

un quaternion (c'est-à-dire un élément de

H

), que l'on écrit sous la forme :

Q = aI_4 + bE_1 + cE_2 + dE_3

avec

a, b, c

d

des réels. On définit

N(Q) = \sqrt(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)

.
a) Montrer que la transposée

Q^T

Q

appartient à

H

et donner ses coordonnées dans la base (

I_4, E_1, E_2, E_3

) de

H

.
b) Démontrer que

QQ^T = N(Q)^2 I_4

.
c) Montrer qu'il existe un entier

p

(à préciser) tel que

|det(Q)| = N(Q)^p

.
d) Toutes les matrices de

H

sont-elles inversibles?

Q11. On considère un quaternion

Q

que l'on suppose unitaire, c'est à dire qu'il vérifie

N(Q) = 1

. On définit l'application

u_Q

par

u_Q(M) = QMQ^T

pour tout

M

dans

H

.
a) Justifier que

u_Q

définit un endomorphisme de

H

On pourra utiliser Q9 et Q10.
b) Montrer que

I_4

Q

sont des vecteurs propres de

u_Q

associés à une même valeur propre que l'on précisera.
c) Dans cette question, on suppose que

Q

n'est pas de la forme

kI_4

avec

k \in ℝ

Déduire de la question précédente un vecteur propre

Q^'

u_Q

appartenant à

Vect(E_1, E_2, E_3)

, sous-espace vectoriel de

E

engendré par (

E_1, E_2, E_3

).
(On pourra écrire

Q

sous la forme

Q = aI_4 + bE_1 + cE_2 + dE_3

avec

a, b, c

d

des réels).
Q12. Étude d'un exemple
On définit

Q = 1/2(I_4 + E_1 + E_2 - E_3)

et on note toujours

u_Q

l'endomorphisme associé à

Q

: pour tout

M

dans

H

, on a

u_Q(M) = QMQ^T

.
On note

A_Q

la matrice de

u_Q

dans la base (

I_4, E_1, E_2, E_3

) de

H

.
a) Vérifier que

N(Q) = 1

. En déduire, à l'aide de Q11, la première colonne de la matrice

A_Q

.
b) Déterminer les termes manquants, notés *, de la matrice

A_Q = (*, 0, 0, 0; *, 0, *, 0; *, 0, *, - 1; *, - 1, *, 0)

.
c) En déduire que le sous-espace vectoriel

F = Vect(E_1, E_2, E_3)

H

est stable par

u_Q

et donner, sans aucun calcul, la matrice de l'endomorphisme

f

induit par

u_Q

sur

F

.
d) À l'aide des

Q12c

Q11

, trouver un vecteur directeur de l'axe de la rotation de matrice

B

vue en Q6.
On pourrait démontrer qu'à toute matrice de rotation

R

ℝ^3

, on peut associer un unique (au signe près) quaternion

Q

unitaire qui la représente.
Les équations permettant le calcul du quaternion sont polynomiales de degré deux et sont plus facilement implémentables sur un calculateur embarqué.

Partie III - Optimisation du matériau du bras 1

La raideur du bras 1 est un paramètre important pour la qualité de l'image. En effet, une raideur trop faible entraînerait des vibrations au niveau de la caméra que le Slick aurait du mal à corriger si les fréquences sont grandes. De plus, la masse du Slick ne doit pas être trop importante pour faciliter son utilisation. C'est pourquoi, nous allons déterminer le matériau qui permet d'obtenir le meilleur compromis. D'autres critères interviennent dans le choix du matériau :

la limite élastique doit être supérieure à 140 MPa afin d'éviter toute déformation plastique lors de " petites " chutes;
le matériau doit résister à l'eau (douce et salée) et aux UV.

Pour simplifier l'étude, on modélisera le bras 1 comme une poutre droite encastrée à une extrémité et soumise à une force

F⃗ = - Fy⃗

à l'autre avec

F > 0

(figure 10).

Figure 10 - Modélisation du bras 1

Notations (figure 10)

$L$ est la longueur de la poutre, $OA^(\to-) = Lx⃗$ ;
$G$ est le centre d'inertie d'une section, $OG^(\to-) = xx⃗, x \in [0, L]$ ;
la section est un tube rectangulaire de hauteur $h$ , de largeur $b$ et d'épaisseur $e$ ;
I est le moment quadratique de la section suivant l'axe ( $G, z⃗$ );
$m$ est la masse du bras 1;
$ρ$ est la masse volumique du matériau du bras 1;
$E$ est le module de Young du matériau du bras 1.

Q13.
a) Déterminer l'expression du moment fléchissant

M_f(x)

en fonction de

F, L

et de

x

.
b) On note

v(x)

la déformée de la poutre. Rappeler la relation entre la dérivée seconde de

v(x), M_f(x), E

I

. Donner les deux conditions aux limites qu'imposent la liaison encastrement.
c) Donner l'expression de la déformée

v(x)

en fonction de

F, L, E, I

et de

x

. En déduire l'expression de

v(x = L)

On note

K

la raideur de la poutre :

K = F/(|v(x = L)|)

.
Q14. Donner l'expression de la raideur

K

en fonction de

E, I

et de

L

.
Q15.
a) Donner l'expression du moment quadratique

I

en fonction de

b, h

et de

e

.
b) On a

e≪b

e≪h

. En ne gardant que les termes prépondérants, montrer que

I

peut s'écrire :

I \approx ((3b + h)h^2 e)/6.

De même, on peut exprimer la masse

m

en ne gardant que les termes prépondérants :

m \approx 2ρe(b + h)L.

Le cahier des charges impose les paramètres géométriques

b, h

L

ainsi que la raideur

K

Vous allez exprimer la masse

m

en fonction des paramètres matériaux et de ceux imposés.
Q16. En utilisant les équations (6) et (7), donner des expressions des fonctions

f

g

et du réel

α

telle que la masse

m

s'écrive,

m = α \times f(ρ, E) \times g(b, h, L, K).

On note

I_p

l'indice de performance du matériau :

I_p = E/ρ

.
La figure 11 donne le diagramme (log-log) du module de Young en fonction de la masse volumique de matériaux compatibles avec le procédé de fabrication du bras 1.

Figure 11 - Diagramme (log-log) du module de Young en fonction de la masse volumique

Q17. Expliquer et démontrer pourquoi il faut tracer une droite de pente 1 et choisir la plus grande ordonnée à l'origine pour avoir le meilleur indice de performance. Choisir un matériau.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de modélisation CCINP TSI 2022 ?

Le sujet porte sur la mécanique et l'électrocinétique pour un capteur d'accélération, sur l'algèbre linéaire et les rotations de l'espace (angles de Cardan, quaternions), et sur la résistance des matériaux pour l'optimisation d'un bras.

Le sujet de modélisation CCINP TSI 2022 sur le stabilisateur Slick est-il difficile ?

Le rapport indique que la partie sur l'algèbre linéaire et les rotations n'a globalement pas été bien réussie, les notions du programme étant peu assimilées, tandis que les débuts des parties I et III ont été mieux traités.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP modélisation TSI 2022 ?

Le jury relève des réponses non justifiées recopiées depuis l'énoncé, une confusion entre déterminant égal à 1 et matrice de rotation, une mauvaise maîtrise de la notion de dimension d'un espace vectoriel, et une confusion entre moment fléchissant et contrainte.

Ce sujet de modélisation TSI 2022 contient-il des questions d'algèbre linéaire ?

Oui, la partie II porte sur l'algèbre linéaire à travers l'étude des angles de Cardan et des quaternions représentés par des matrices 4x4, avec des notions de sous-espaces vectoriels, de familles libres et d'applications linéaires.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Modélisation TSI 2022

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...