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CCINP Modélisation TSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Dynamique des solides et théorème de la résultante
  • Thermodynamique des gaz parfaits (loi de Laplace)
  • Asservissement et fonction de transfert
  • Lois de Snell-Descartes
  • Coordonnées cylindriques et courbes paramétrées
  • Intégration sur un segment
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Présentation du sujet

Difficile
Étude d'un système dish-Stirling : moteur Stirling double effet et miroir parabolique de concentration solaire
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Le sujet porte sur une unité de conversion d'énergie solaire en énergie électrique de type dish-Stirling. La première partie modélise thermomécaniquement un moteur Stirling « double effet » innovant (dynamique, thermodynamique des gaz parfaits, asservissement). La seconde étudie la concentration des rayons solaires par un miroir parabolique, à l'aide des lois de Snell-Descartes, des coordonnées cylindriques et de l'intégration.

  1. 1Partie I : modélisation thermomécanique du moteur Stirling double effetDynamique des solides rigides, thermodynamique des gaz parfaits et asservissement du système, avec peu de calculs.
  2. 2Partie II : miroir parabolique de concentration solaireJustification du paraboloïde de révolution par les lois de Snell-Descartes, puis calcul de la puissance rayonnée dans le plan focal à l'aide de coordonnées cylindriques et d'intégrales.

Difficile. La partie I, avec peu de calculs, a plutôt bien réussi aux candidats, mais la partie II, plus calculatoire, a mis en lumière de nombreuses carences des candidats sur les techniques de base des mathématiques.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,35 / 20 · écart-type 3,51 · 1 276 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,35/ 20
Écart-type
3,51
Présents
1 276
Coefficient
8
Durée
3 h
moyenne 9,3505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 4 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre lois de réflexion et de réfraction · Calculs « trichés » pour retomber sur le résultat donné · Raisonnement circulaire dans les démonstrations
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La première partie, comportant peu de calculs, a plutôt bien réussi aux candidats qui pouvaient dès lors aborder sereinement la suite du sujet. La seconde partie faisait davantage de place au calcul qu'à l'abstraction, ce qui a mis en lumière de nombreuses carences des candidats, alors que la maîtrise des techniques calculatoires de base reste un prérequis indispensable.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre lois de réflexion et de réfraction

    Un nombre anormal de candidats semble ignorer les lois de réflexion de Snell-Descartes ou les confondre avec les lois de réfraction.

    « qu'un nombre anormal de candidats semble d'ailleurs ignorer, ou simplement confondre avec les lois de réfraction »
  2. 2
    Calculs « trichés » pour retomber sur le résultat donné

    Les calculs entachés d'erreurs multiples qui conduisaient malgré tout au résultat attendu n'ont pas rapporté de points et ont laissé une impression négative de la copie.

    « les calculs entachés d'erreurs multiples qui conduisaient miraculeusement au résultat attendu ont »
  3. 3
    Raisonnement circulaire dans les démonstrationsQ18, Q19

    De nombreux candidats abordent une propriété à démontrer comme un acquis de départ pour en déduire autre chose, ce qui invalide la démonstration.

    « candidats abordaient une propriété à prouver comme un acquis de départ »
  4. 4
    Confusion entre torseur des actions mécaniques et torseur cinématiqueQ1

    De trop nombreux candidats confondent ces deux torseurs lors de la modélisation de la liaison cinématique.

    « de trop nombreux candidats confondent torseur des actions mécaniques et torseur »
  5. 5
    Confusion entre précision, stabilité et amortissementQ13

    De nombreux candidats confondent ces trois notions d'automatique, alors que chacune repose sur un critère objectif distinct à calculer et argumenter.

    « confondent les notions de précision, de stabilité et d'amortissement »
  6. 6
    Confusion entre réfraction et réflexionQ14

    Cette question, bien que souvent abordée, a été assez peu réussie, les candidats confondant réfraction et réflexion.

    « souvent confondu réfraction et réflexion »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 2 sur l'action de liaison a été assez bien réussie.
  • La question 5 sur l'inversion d'une somme de fractions a été assez bien réussie.
  • La question 10 sur la transformée de Laplace a été globalement bien traitée.
  • La question 16 a été bien réussie dans l'ensemble.

Conseils du jury

  • Bien relire les questions : les réponses doivent être argumentées et ne pas se limiter à une succession de calculs anarchiques.
  • Ne jamais forcer un calcul pour retomber sur un résultat donné : un calcul mené honnêtement jusqu'au bout, même erroné, est mieux valorisé.
  • Maîtriser les techniques calculatoires de base (dérivation, intégration, résolution d'équations du second degré).
  • Soigner la présentation : écriture soignée, trait de séparation entre les questions, encadrement des résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Durée : 3 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux parties qui peuvent être traitées indépendamment.

Si besoin, le candidat pourra admettre le résultat d'une question et l'utiliser dans les questions suivantes.

Étude d'un système dish-stirling

Présentation générale

Le support étudié (figure 1) est une unité de conversion d'énergie solaire en énergie électrique constituée principalement :
  • d'un miroir parabolique (" dish " en anglais) qui concentre le rayonnement solaire sur un récepteur plan situé en son foyer;
  • d'un moteur à air chaud de type Stirling dont la source chaude est fournie par le récepteur précédent;
  • d'un générateur électrique entraîné par le moteur.
Un dispositif de poursuite (ou tracking) permet également d'orienter le miroir afin de suivre le mouvement du soleil.
Figure 1 - Unité dish-stirling

Objectifs de l'étude

Dans la partie I du sujet, on présente un concept innovant de moteur Stirling dont on effectue ensuite une modélisation thermomécanique.
Dans la partie II, on propose de déterminer les caractéristiques géométriques et les performances optiques d'un miroir parabolique.

Partie I - Moteur Stirling " double effet " de type β

Figure 2 - Structure du moteur Stirling " double effet "
Le fonctionnement du moteur Stirling " double effet " (figure 2) est caractérisé par le travail en opposition de phase thermodynamique de ses deux moteurs Stirling β.
Chaque moteur est ainsi muni d'un déplaceur dont le mouvement résulte des échanges thermiques et des transferts de gaz entre les chambres froides et chaudes. Les variations de pression de chaque moteur permettent alors de mouvoir le piston 3 qui transforme cette énergie mécanique en énergie électrique via la génératrice électrique. Afin d'optimiser le rendement, il est important de faire fonctionner les deux moteurs en opposition de phase et donc de contrôler le déplacement du piston 3.
Ainsi, le moteur Stirling " double effet " évite une grande partie des pertes mécaniques liées au système d'entraînement, des usures et notamment des bruits engendrés par des liaisons mécaniques externes.
Le moteur Stirling à piston libre " double effet " présente les avantages suivants :
  • la cinématique est réduite à l'extrême; il n'y a que 3 solides en mouvement avec l'absence totale de liaisons mécaniques (ex. bielle, ressort...);
  • la compacité du moteur Stirling " double effet " devrait permettre d'obtenir un meilleur rendement par rapport à des moteurs Stirling " simple effet ".
Néanmoins, cette technologie présente un certain nombre de défis :
  • le fonctionnement en mode opposition de phase thermodynamique des deux moteurs élémentaires est difficile à maîtriser;
  • la position instantanée du piston 3 doit être maîtrisée par une commande dont la variable de commande est la force électromagnétique de la génératrice électrique;
  • les positions des deux déplaceurs 1 et 2 restent " libres " et résultent du couplage thermomécanique non-linéaire avec le piston 3.

I. 1 - Modélisation de la chaîne thermomécanique

Figure 3 - Modèle thermomécanique du moteur 1
Figure 4 - Déplaceur seul

Notations et hypothèses associées au modèle :

  • p_f, T_f et V_f sont respectivement la pression, la température et le volume de la chambre froide;
  • p_c, T_c et V_c sont respectivement la pression, la température et le volume de la chambre chaude;
  • p_b et V_b sont respectivement la pression et le volume de la chambre B;
  • p_m et V_m sont respectivement la pression et le volume de la chambre M;
  • F_(gen)x_0^(→−) l'action de la génératrice sur le piston 3;
  • R_0 = (O, x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) le repère lié au bâti ;
  • les liaisons sont supposées parfaites et l'action de la pesanteur est supposée négligeable devant les autres actions mécaniques.

Modèle mécanique d'un moteur Stirling " libre "

Pour établir le modèle du moteur Stirling " double effet ", nous ne considérons tout d'abord que le moteur 1 (figures 2 et 3 ). Ce modèle sera par la suite complété par analogie avec le moteur 2. Le système présente alors deux pièces mobiles :
  • le déplaceur 1 de masse m_1, de section S, de section interne S_(int) et de centre de gravité G_1. On note OG_1^(→−) = (l_1 + x_1(t))x_0^(→−) avec l_1 la position de référence du déplaceur et x_1(t) son déplacement par rapport à cette position de référence;
  • le piston 3 de masse m_3, de section S et de centre de gravité G_3. On note OG_3^(→−) = (l_3 + x_3(t))x_0^(→−) avec l_3 la position de référence du piston et x_3(t) son déplacement par rapport à cette position de référence.
    Un premier principe fondamental de la dynamique appliqué au piston 3 dans le repère R_0 a permis d'obtenir une première loi de mouvement pour le déplacement x_3(t) du piston :
x¨_3(t) = 1/(m_3)(F_(gen)(t) + S ⋅ (p_f(t) − p_m(t))).
Q1. Étant donné la forme cylindrique du déplaceur 1 et du bâti 0 (figures 3 et 4 ), proposer une liaison cinématique pour modéliser le contact entre 1 et 0 , lorsqu'il n'est pas en butée. Argumenter ce choix. Donner alors la forme du torseur des actions mécaniques {T_(0 → 1)} dans la base (x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)).
Q2. Réaliser le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur le déplaceur 1 en prenant soin d'exprimer chaque torseur d'action mécanique en fonction des paramètres du système.
Q3. Quelle équation du principe fondamental de la dynamique permet d'obtenir la relation suivante :
x¨_1(t) = 1/(m_1)(S ⋅ p_c(t) − (S − S_(int)) ⋅ p_f(t) − S_(int) ⋅ p_b(t)).

Modèle thermodynamique des gaz

Le modèle mécanique est étroitement couplé au modèle thermodynamique des gaz des chambres chaude V_c(t) et froide V_f(t). De plus, la quantité de gaz à l'intérieur de la chambre B est fixe. Il joue le rôle de " ressorts de rappel " pour le déplaceur 1. De la même façon, le gaz dans l'espace fermé de la chambre M fait office de ressort gazeux pour le piston 3.
On pose le paramétrage suivant pour définir les différents volumes gazeux du moteur (figure 3) :
  • V_0 : volume de référence de la chambre froide et chaude;
  • chambre froide : volume V_f(t) = V_0 − (S − S_(int)) ⋅ x_1(t) + S ⋅ x_3(t), de pression p_f et de température T_f;
  • chambre chaude : volume V_c(t) = V_0 + S ⋅ x_1(t), de pression p_c et de température T_c;
  • chambre adiabatique B : volume de référence V_b^0 et de pression de référence p_b^0 pour x_1 = 0;
  • chambre adiabatique M : volume de référence V_m^0 et de pression de référence p_m^0 pour x_3 = 0.
On négligera le volume de gaz présent dans le régénérateur.

Modèle thermodynamique des chambres froide et chaude

On rappelle qu'un gaz parfait vérifie la relation :
p ⋅ V = m ⋅ r ⋅ T
avec m la masse du gaz et r la capacité thermique massique du gaz. On note m_f la masse de gaz de la chambre froide et m_c, la masse de gaz de la chambre chaude. On supposera que la masse de gaz dans le régénérateur est négligeable.
Q4. On note ici m, la masse de l'ensemble des gaz du système : { chambre chaude, chambre froide, régénérateur}. Appliquer le principe de conservation de la masse et exprimer m en fonction de m_f et m_c, puis montrer que :
m ⋅ r = p_f(V_f)/(T_f) + p_c(V_c)/(T_c)
L'approche étudiée est la méthode de Schmidt qui est, en thermodynamique, une méthode d'ordre 1 très utilisée. Pour pouvoir utiliser cette méthode, on considère qu'en régime permanent :
  • les variations des volumes sont sinusoïdales selon le temps, ce qui se traduit par :
  • x_3(t) = x_3^0 cos(ω_0 t);
  • x_1(t) = x_1^0 cos(ω_0 t + φ_1)
    avec x_3^0, x_1^0 respectivement les amplitudes de la course du piston 3 et du déplaceur 1 . On note ω_0 la pulsation des oscillations mécaniques et φ_1 le déphasage entre le mouvement du piston et du déplaceur 1;
  • les étapes de détente et de compression sont considérées isothermes;
  • le gaz est idéal : pas de perte de charge ni de fuite.
Si toutes les conditions sont satisfaites, la pression instantanée du gaz de travail au sein du moteur est identique dans les deux chambres soit :
p(t) = p_c = p_f.
Q5. En utilisant les équations (4) et (5), exprimer p(t) en fonction de m, r, V_f, T_f, V_c et T_c.
En prenant les expressions des volumes V_f et V_c définies précédemment, on montre que :
p(t) = (m ⋅ r)/(A_0(1 + (A_1)/(A_0)x_1(t) + (A_3)/(A_0)x_3(t)))
avecA_0 = (V_0)/(T_c) + (V_0)/(T_f), A_1 = S/(T_c) − (S − S_(int))/(T_f) et A_3 = S/(T_f).
Q6. En supposant de petits déplacements x_1(t) et x_3(t) tels que |(A_1)/(A_0)x_1(t) + (A_3)/(A_0)x_3(t)|≪1, réaliser un développement limité à l'ordre 1 de l'équation (6). On mettra le résultat sous la forme :
p(t) = p^0 − k_1 x_1(t) − k_2 x_3(t).
Préciser alors les expressions de p^0, k_1 et k_2 en fonction de m, r, A_0, A_1 et A_3.

Modèle thermodynamique des chambres adiabatiques B et M

Les chambres B et M subissent des transformations adiabatiques réversibles. Elles jouent le rôle de " ressorts gazeux " à l'intérieur du piston et du déplaceur 1 . On a alors dans ces chambres :
p ⋅ V^γ = cste
avec γ l'indice adiabatique du gaz.
Q7. Exprimer la pression instantanée du gaz p_b(t) en fonction du volume instantané V_b(t), de γ et des grandeurs de références p_b^0 et V_b^0.
Q8. Après avoir donné l'expression de V_b(t) en fonction de x_1(t) et des dimensions de la chambre B , exprimer p_b en fonction de V_b^0, p_b^0, γ, S_(int) et x_1.
Q9. Réaliser un développement limité à l'ordre 1 de l'expression pour des petits déplacements x_1(t) tels que |(S_(int)x_1(t))/(V_b^0)|≪1 et montrer que :
p_b(t) = p_b^0 − k_3 x_1(t).
Exprimer alors k_3 en fonction des dimensions de la chambre B .
Pour la chambre M , on obtient de façon analogue :
p_m(t) = p_m^0 − k_4 x_3(t).

Modèle thermomécanique du moteur Stirling " double effet "

Différentes sources de frottement (perte de charges, frottement visqueux/sec) sont également prises en compte dans le modèle. On peut alors rassembler les modèles mécaniques (équations (1) et (2)) avec les modèles thermodynamiques des différentes chambres (équations (7), (9) et (10)). Une étude analogue est également menée sur le deuxième moteur. Le modèle se résume à :
x¨_1(t) = K_(13)x_3(t) + K_(11)x_1(t) + D_(13)x˙_3(t) + D_(11)x˙_1(t);; x¨_3(t) = K_(33)x_3(t) + 2K_(31)x_1(t) + D_(33)x˙_3(t) + 1/(m_3)F_(gen)(t),
où les coefficients K_(ij) et D_(ij) sont des constantes.
Q10. Réécrire le système d'équation (11) et (12) dans le domaine de Laplace. On supposera que les conditions de Heaviside sont respectées.
La fonction de transfert globale H_(mot)(p) = (X_3(p))/(F_(gen)(p)) du moteur Stirling " double effet " peut se mettre sous la forme :
H_(mot)(p) = K_(mot)(1 + a_1 p + a_2 p^2)/(1 + b_1 p + b_2 p^2 + b_3 p^3 + b_4 p^4)
où les coefficients K_(mot), a_i et b_i s'expriment en fonction des coefficients K_(ij), D_(ij) et m_3.
Q11. L'étude de H_(mot)(p) permet de faire apparaître quatre pôles:
p_(1, 2) = 20 ± 178i p_(3, 4) = − 113 ± 173i.
Conclure sur la stabilité du système.

I. 2 - Commande du moteur Stirling " double effet "

La variable de commande du modèle est la force électromagnétique instantanée. Les sorties du modèle sont les mouvements instantanés du piston. La force électromagnétique doit être asservie afin de stabiliser le moteur Stirling au point de fonctionnement nominal. On propose l'architecture suivante :
Figure 5 - Schéma-bloc de l'asservissement en position du piston
Le correcteur C(p) présente une action intégrale et une double avance de phase, tel que :
C(p) = (K_i)/p((1 + T_2 p)/(1 + T_1 p))^2 avec T_2 > T_1
Q12. Rappeler les avantages associés à ce correcteur.
Une simulation du système permet d'obtenir la réponse indicielle de x_3(t) (pour un échelon unitaire x_3^∗(t)) :
Figure 6 - Réponse indicielle (adimensionnée) de l'asservissement
Q13. Conclure sur la stabilité de l'asservissement. Puis estimer sa rapidité, sa précision et son amortissement.

Partie II - Étude d'un concentrateur solaire

Le rôle du miroir parabolique est de concentrer le rayonnement solaire au niveau du récepteur (ou absorbeur) du moteur afin d'obtenir une température élevée de la source chaude.
Dans la première sous-partie de l'étude, on justifie le choix d'une surface parabolique également nommée paraboloïde de révolution pour concentrer les rayons réfléchis.
Dans la deuxième sous-partie, on s'emploie à caractériser l'image du soleil, vu comme un disque lumineux, dans le plan focal du miroir.
Enfin la dernière sous-partie s'achève par une estimation de la puissance rayonnée (ou flux énergétique) reçue par l'absorbeur.

II. 1 - Équation de la surface réfléchissante

On recherche une équation de la surface d'un miroir parfait (c'est-à-dire sans absorption) vérifiant la propriété que les rayons du soleil incidents parallèles à une direction donnée possèdent un point de concours après réflexion.
On considère ainsi un rayon lumineux dirigé selon le vecteur unitaire e_I^(→−) et incident en un point M d'un miroir de surface régulière quelconque. Le rayon réfléchi est lui dirigé selon le vecteur e_R^(→−) également unitaire.
On introduit le vecteur n⃗ normal au plan tangent à la surface en M et de même sens que e_R^(→−). Le plan (M, n⃗, e_I^(→−)) est alors appelé plan d'incidence (choisi arbitrairement dans le cas où n⃗ et e_I^(→−) sont colinéaires). Avec t⃗ vecteur directeur commun au plan d'incidence et au plan tangent, ( n⃗, t⃗ ) forme une base orthonormée directe du plan d'incidence.
On définit enfin l'angle d'incidence α_I = (n⃗, − e_I^(→−)) ( > 0 sur la figure 7) et l'angle réfléchi α_R = (n⃗, e_R^(→−)) (< 0 sur la figure 7).
Figure 7 - Réflexion sur un miroir dans un cas général
Q14. Rappeler les lois de réflexion de Snell-Descartes. En déduire la relation vectorielle :
e_R^(→−) = e_I^(→−) − 2(e_I^(→−) ⋅ n⃗)n⃗.
On munit l'espace d'un repère cartésien orthonormé direct (F, i⃗, j⃗, k⃗) où l'origine F est supposée concentrer, après réflexion, les rayons lumineux initialement dirigés selon − k⃗.
(F, e_r→, e_θ→, e_z→) est le repère cylindrique associé (figure 8) tel que k⃗ = e_z→ et θ = (i⃗, e_r→) = (j⃗, e_θ→) ∈ [0; 2π[.
Un point géométrique M est alors caractérisé aussi bien par ses coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) que cylindriques ( r, θ, z ) et sa position est donnée par FM^(→−) = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗ = r_r→(θ) + ze_z→(r ∈ ℝ_+).
On suppose enfin la surface du miroir (notée S_G ) suffisamment régulière pour pouvoir être décrite en premier lieu par l'équation cartésienne G(x, y, z) = 0 où G est une fonction 𝒞^1 de ℝ^3 vers ℝ. Par abus de notation, on écrira également dans la suite G(x(r, θ), y(r, θ), z) = G(r, θ, z).
Figure 8 - Repères utilisés
Figure 9 - Courbe et plan d'étude
Q15. Soit M(x, y, z) un point de S_G.
a) Rappeler les expressions de x et y en fonction de r et θ puis de e_r→ et e_θ→ en fonction de i⃗ et j⃗.
b) Démontrer, par dérivation de fonction composée, la relation (∂G)/(∂θ)(r, θ, z) = r∇G(x, y, z) ⋅ e_θ→ où ∇G(x, y, z) désigne le vecteur gradient de G dirigeant la normale n⃗ à la surface S_G au point considéré.
c) Montrer que n⃗ est dans le plan (F, e_r→, e_z→) et en déduire que S_G est une surface de révolution d'axe ( F, e_z→ ).
On suppose désormais que G peut s'écrire sous forme séparable G(r, θ, z) = z − g(r) où g est une fonction 𝒞^1 de ℝ_+vers ℝ et on restreint l'étude de S_G à une demi-méridienne C_g c'est-à-dire la courbe (figure 9 ) obtenue par l'intersection de S_G et d'un plan méridien (F, e_r→, e_z→) pour θ ∈ [0; 2π[ fixé et r ∈ ℝ_+.S_G peut donc être vue comme la surface engendrée par la rotation de C_g autour de l'axe de révolution (F, e_z→).
La courbe C_g est l'ensemble des points M de paramètre r ∈ ℝ_+tels que FM^(→−) = re_r^(→−) + g(r)e_z→. On définit en tout point de C_g une base orthonormée directe (t⃗, e_θ→, n⃗) où t⃗ est choisi tangent à la courbe, de sorte que t⃗ et (dFM^(→−))/(dr) soient colinéaires et de même sens; quant à n⃗, il vérifie par construction la relation n⃗ = t⃗ ∧ e_θ→.
On considère dans la suite un rayon lumineux parallèle à (F, e_z→) incident au point M(r) appartenant à C_g et réfléchi en direction du point F.
Par abus de notation, on notera g au lieu de g(r) et g^′ au lieu de g^′(r).
Q16. Calculer t⃗ = ((dFM^(→−))/(dr))/(‖(dFM^(→−))/(dr)‖). En déduire que n⃗ = (− g^′)/(√(1 + g^(′2)))e⃗_r + 1/(√(1 + g^(′2)))e⃗_z.
Q17. a) Justifier que (FM^(→−))/(‖FM^(→−)‖) = e_z→ − 2(e_z→ ⋅ n⃗)n⃗.
b) Calculer e_z→ − 2(e_z→ ⋅ n⃗)n⃗ en fonction de g^′.
c) Calculer (FM^(→−))/(‖FM^(→−)‖) en fonction de r et g.
d) Déduire des questions précédentes le signe de g^′ et que g^′ vérifie l'équation :
g^(′2) − 2g/rg^′ − 1 = 0, pour tout r ∈ ℝ_+^∗.
Q18. a) Trouver l'unique solution positive de X^2 − 2g/rX − 1 = 0. On justifiera la réponse.
b) Sachant que X = g^′, déterminer une expression de g^′ en fonction de g et r.
c) Montrer à l'aide du changement de fonction h(r) = (g(r))/r que h est solution sur ℝ_+^∗ de l'équation différentielle :
(h^′)/(√(1 + h^2)) = 1/r
Q19. Pour faciliter les calculs et par abus de notation, on écrira h au lieu de h(r).
a) Soit k ∈ ℝ_+^∗. Vérifier que la fonction r ↦ (kr)/2 − 1/(2kr) est solution sur ℝ_+^∗ de l'équation (15).
b) Déterminer l'ensemble des primitives sur ℝ_+^∗ de r ↦ 1/r.
c) Résoudre l'équation Y + √(1 + Y^2) = A d'inconnue Y où A ∈ ℝ_+^∗.
d) On considère la fonction H : r ↦ ln(h + √(1 + h^2)) définie sur ℝ_+^∗ où h est solution de (15). Calculer sa dérivée H^′.
e) Montrer que ln(h + √(1 + h^2)) = ln(r) + λ où λ ∈ ℝ, puis en déduire h en fonction de r.
f) Conclure à propos des solutions de l'équation (15).
Q20. Soit M(0) le point de C_g, situé sur l'axe (F, e_z→) et défini par FM^(→−) = − fe_z→ où f, appelée distance focale du miroir, est un réel > 0. On rappelle que h(r) = (g(r))/r pour tout r > 0. Montrer que g, fonction 𝒞^1 sur ℝ_+, peut y être définie par :
g(r) = (r^2)/(4f) − f
C_g est donc un arc de parabole. Cette expression de g sera conservée dans toute la suite du sujet.
Q21. On souhaite représenter la courbe C_g pour r ∈ [0; f]. Déterminer, puis tracer sur la copie des points de C_g en utilisant un pas Δr = f/5 à partir de r = 0. En déduire l'allure de la courbe. On prendra f = 5 m pour les calculs et on adoptera une échelle de 1/100 pour le tracé. Les coordonnées ( r, z ) des points seront présentées dans un tableau et, concernant z, écrites sous forme fractionnaire et décimale approchée à 0, 1 m près. Enfin, on indiquera sur la figure, en justifiant la construction, la direction de la normale au point de paramètre r = 3.

II. 2 - Caractérisation de l'image du soleil

Compte tenu de la distance de la terre au soleil (1, 496 ⋅ 10^8 km), ce dernier peut être assimilé à une source lumineuse étendue de la forme d'un disque de rayon 6, 955 ⋅ 10^5 km associé en première approximation à une densité de flux uniforme sur toute sa surface.
Par conséquent, on considère qu'en chaque point du miroir les rayons incidents et réfléchis forment un cône de révolution d'angle au sommet noté 2α_0 ≈ 32^′ (une minute d'arc valant 1^′ = 1/60^∘ ). En supposant que l'axe du miroir pointe vers le centre du soleil, l'axe du cône incident est donc parallèle à l'axe optique ( F, e_z→ ) et l'axe du cône réfléchi passe, comme vu en II. 1 et représenté sur la figure 10a, par son foyer F.
On cherche alors à déterminer les caractéristiques de l'image formée lorsque le cône réfléchi rencontre le plan focal (F, e_r→, e_θ→) (figure 10b).
Soit M un point de la courbe C_g où g est la fonction définie sur ℝ_+par l'équation (16). On introduit l'angle φ = (FM^(→−), − e_z→) ∈ [0; π[ et on pose FM^(→−) = ρ(φ)e_φ^(→−) avec ρ(φ) > 0 et ‖e_φ^(→−)‖ = 1.
C_g peut donc être considérée comme une courbe paramétrée indifféremment par r ou φ.
Figure 10 - Réflexion du soleil sur le miroir
Q22. Par abus de notation et pour faciliter les calculs ρ(φ) sera noté ρ.
a) Exprimer les coordonnées ( r, z ) du point M appartenant à C_g en fonction de ses coordonnées (ρ, φ).
b) Montrer que ρ est solution de ρ^2(sin^2 φ)/(4f) + ρcosφ − f = 0.
c) En déduire que ρ est une fonction de φ définie sur [0; π[ par :
ρ(φ) = (2f)/(1 + cosφ).
Q23. On rappelle que FM^(→−) = re⃗_r^(→−) + g(r)e_z→ = ρ(φ)e_φ^(→−). On note r_m le rayon d'ouverture de la parabole que l'on prend égal à f(r_m = f); le point M de paramètre r_m (ou de manière équivalente φ_m ) est donc situé à l'extrémité de la courbe C_g, c'est-à-dire sur le bord du miroir. En déduire une expression de ρ_m = ρ(φ_m) en fonction de f ainsi que les valeurs de cosφ_m et sinφ_m correspondantes. On vérifiera également que tanφ_m = 4/3. Ces valeurs seront conservées dans la suite.
Q24. Soit P un point du cône de sommet M appartenant à C_g, d'axe (M, − e_φ^(→−)) et de demi-angle au sommet α_0 (figure 10b).
a) Montrer que P vérifie la relation (MP^(→−) ⋅ e_φ^(→−))^2 = ‖MP^(→−)‖^2 cos^2 α_0.
On recherche une équation de la courbe notée C_φ issue de la section du cône par le plan focal. On pose à cet effet FP^(→−) = Xe_r→ + Ye_θ→ ( P est dans le plan focal) et on rappelle que FM^(→−) = ρe_φ^(→−).
b) Montrer que (MP^(→−) ⋅ e_φ^(→−))^2 = (Xsinφ − ρ)^2.
c) Montrer également que l'on a ‖MP^(→−)‖^2 = X^2 − 2ρXsinφ + Y^2 + ρ^2.
d) En déduire après simplification l'équation homogène verifiée par X et Y.
C_φ représente donc le contour de l'image du soleil issue d'un point M(φ) de la parabole C_g dans le plan focal; le plan focal ayant pour vecteur normal e⃗_z, sa projection est une ellipse.
L'équation précédente peut s'écrire sous la forme ((X − X_c)^2)/(a^2) + (Y^2)/(b^2) = 1 où les paramètres a, b et X_c sont fonctions de φ sur l'intervalle d'étude [0; φ_m], pour lequel on admettra que φ_m < π/2 − α_0, avec :
a(φ) = (ρ(φ)sinα_0 cosα_0 cosφ)/(cos^2 α_0 − sin^2 φ), b(φ) = (ρ(φ)sinα_0 cosφ)/(√(cos^2 α_0 − sin^2 φ)) et X_c(φ) = − (ρ(φ)sin^2 α_0 sinφ)/(cos^2 α_0 − sin^2 φ).
On propose par la suite d'approximer ces fonctions par d'autres d'expressions plus simples.
Pour a on considère par exemple l'approximation a~ définie par a~(φ) = (ρ(φ)tanα_0)/(cosφ) obtenue en écrivant a(φ) = (ρ(φ)tanα_0 cosφ)/(1 − (sin^2 φ)/(cos^2 α_0)) ≈ (ρ(φ)tanα_0 cosφ)/(1 − sin^2 φ). On montre alors que l'erreur relative commise sur a(φ), donnée pour tout φ ∈ [0; φ_m]par|(a~ − a)/a|(φ) = tan^2 α_0 tan^2 φ, est négligeable (moins de 0, 01% ).
En procédant de la même manière pour b et X_c, on produit les approximations b~ et X~_c telles que b~(φ) = ρ(φ)tanα_0 et X~_c(φ) = 0 pour lesquelles on ne demande pas de justification.
La courbe C_φ est donc désormais approchée par une courbe C~_φ d'équation (X^2)/(a~^2) + (Y^2)/(b~^2) = 1 dans le repère (F, e_r→, e_θ→).

II. 3 - Performances du concentrateur

Une mesure de la puissance rayonnée reçue par l'absorbeur du moteur situé dans le plan focal s'obtient en sommant les contributions en flux lumineux de l'ensemble des points du paraboloïde S_G sur la surface délimitée par C~_0, c'est-à-dire le disque de centre F et de rayon ftanα_0 correspondant à l'image du soleil réfléchie depuis le sommet M(0) d'une parabole C_g.
Seule une fraction de la puissance émise depuis un point de la surface S_G est reçue au niveau du disque. Cette quantité est proportionnelle au rapport (A~_0)/(A~_φ)(≤ 1) où A~_0 et A~_φ désignent respectivement les aires délimitées par C~_0 et C~_φ.
La figure 11 représente un quart de la courbe C_φ~ pour un φ ∈ [0; φ_m]. Par symétries, l'aire A~_φ est donc le quadruple de l'aire délimitée par
Figure 11 - Arc de courbe
On propose le paramétrage suivant pour l'arc considéré :
{X = a~cost; Y = b~sint pour tout t ∈ [0; π/2].
Q25. Donner une interprétation de la quantité ∫_0^(a~)Y(X)dX puis la calculer. En déduire que A~_φ = πa~b~.
Figure 12 - Anneau élémentaire
On considère maintenant la puissance émise par un anneau élémentaire situé sur le paraboloïde, paramétré par l'angle φ et de longueur différentielle ds (figure 12).
L'anneau en question est constitué de facettes élémentaires de normale n⃗ telle que (n⃗, e_z→) = φ/2 et d'aire dS = r dθ ds avec ds = ‖(dFM^(→−))/(dφ)(φ)‖dφ la longueur de l'élément de courbe associé.
La puissance émise par une facette est donnée par l'expression ηp_0 dSn⃗ ⋅ e_z→ = ηp_0 cosφ/2 dS où dSn⃗ ⋅ e_z→ représente sa section apparente, p_0 est l'éclairement solaire au sol (en W/m^2 ) et η < 1 est un facteur correctif prenant en compte les pertes diverses (absorption atmosphérique, ...).
Tous les points de l'anneau générant une image du soleil de même aire A~_φ, l'absorbeur reçoit une fraction de la puissance émise par l'anneau donnée par dP = 2πηp_0(A~_0)/(A~_φ)cosφ/2r ds.
Q26. Par abus de notation, on écrira ρ pour ρ(φ) et ρ^′ pour ρ^′(φ).
a) Montrer que (de_φ^(→−))/(dφ) est unitaire et vérifie e_φ^(→−) ⋅ (de_φ^(→−))/(dφ) = 0.
b) Montrer que ds = √(ρ^2 + ρ^(′2)) dφ.
c) Montrer également que ρ^′ = ρtanφ/2.
d) En déduire que dP = 2πηp_0 f^2 sinφcosφ dφ.
e) Calculer en fonction de η, p_0, f et φ_m la puissance totale reçue par l'absorbeur en supposant la parabole totalement éclairée.
f) Effectuer l'application numérique pour p_0 = 10^3 W/m^2, f = 5 m et η = 0, 7.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte CCINP modélisation TSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte CCINP modélisation TSI 2021 ?

La première partie porte sur la dynamique des solides, la thermodynamique des gaz parfaits et l'asservissement d'un moteur Stirling, la seconde sur les lois de Snell-Descartes, les coordonnées cylindriques et l'intégration appliquées à un miroir parabolique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur CCINP modélisation TSI 2021 ?

Une confusion entre lois de réflexion et de réfraction, des calculs artificiellement forcés pour retomber sur le bon résultat, et une confusion entre torseur des actions mécaniques et torseur cinématique.

CCINP modélisation TSI 2021 est-il difficile ?

La première partie, avec peu de calculs, a plutôt bien réussi, mais la seconde, plus calculatoire, a révélé de nombreuses carences des candidats sur les techniques mathématiques de base.

Ce sujet nécessite-t-il une calculatrice ?

Non, les calculatrices étaient interdites pour cette épreuve de modélisation.

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