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CCINP Modélisation TSI 2020Sujet et rapport du jury

Pas encore noté
  • Analyse spectrale (transformée de Fourier)
  • Induction électromagnétique (loi de Faraday)
  • Étude de fonctions (parité, limites, asymptotes)
  • Intégrales généralisées et intégrales de Wallis
  • Raisonnement par récurrence
  • Cinématique et dynamique du solide (torseurs, moment d'inertie)
  • Lois de Coulomb du frottement
  • Statistiques descriptives (corrélation, formule de Koenig-Huygens)
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  • Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficile
Générateur inertiel toroïdal : analyse de la course à pied, conversion d'énergie mécanique en énergie électrique par induction, et comportement mécanique du générateur
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Le sujet porte sur un générateur inertiel toroïdal, dispositif de récupération d'énergie par induction. La première partie analyse l'amplitude des mouvements lors de la course à pied. La deuxième modélise la conversion de l'énergie mécanique des mouvements de balancier des membres en énergie électrique. La troisième modélise le comportement mécanique du générateur, notamment le roulement d'une bille dans un tore.

  1. 1Partie I : présentationAnalyse de l'accélération humaine à partir d'un spectre de fréquences (FFT) lors de la course à pied.
  2. 2Partie II : principe de la conversion d'énergieÉtude du couplage électromécanique, de la conversion mécano-électrique, de l'énergie électrique produite et du couple d'induction.
  3. 3Partie III : comportement mécanique du générateurÉtude cinématique et dynamique du roulement d'une bille dans le tore, du moment d'inertie, des conditions de roulement sans glissement et de la puissance mécanique extraite.

Difficile. Les correcteurs s'étonnent que de nombreuses questions faciles, comme l'étude d'une fonction rationnelle, aient posé autant de difficultés, malgré un sujet conçu pour offrir un bon étalement des notes.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,92 / 20 · écart-type 3,4 · 1 230 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,92/ 20
Écart-type
3,4
Présents
1 230
Coefficient
9
Durée
3 h
moyenne 8,9205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Lecture d'un spectre mal maîtrisée · Confusion entre tangente et asymptote · Convergence d'une intégrale confondue avec limite nulle de l'intégrande
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Le sujet, volontairement long et peu calculatoire, offrait un riche panel de questions de difficultés variées permettant à chacun de s'exprimer. Le jury regrette un niveau de rédaction très insuffisant chez de nombreux candidats, en particulier sur les questions de sciences industrielles, ainsi que des locutions impératives non rationnelles comme « on voit bien que ».

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Lecture d'un spectre mal maîtriséeQ1

    Les correcteurs ont été surpris de constater que de nombreux candidats ne savent pas identifier les pics d'amplitude et la fréquence correspondante sur un tracé de FFT.

    « nombre de candidats ne savent pas lire un spectre. »
  2. 2
    Confusion entre tangente et asymptoteQ9

    L'immense majorité des candidats confond ces deux notions, avec des formulations parfois très approximatives.

    « L’immense majorité ( !) des candidats confond tangente et asymptote. »
  3. 3
    Convergence d'une intégrale confondue avec limite nulle de l'intégrandeQ11

    Beaucoup de candidats pensent à tort qu'une limite nulle à l'infini garantit la convergence de l'intégrale généralisée associée.

    « Beaucoup pensent que le fait que Pe ait une limite nulle »
  4. 4
    Récurrence entachée d'une faute de logiqueQ14

    Certains candidats écrivent d'emblée le résultat à démontrer comme s'il était déjà acquis.

    « c’est ce qu’il faut prouver ! »
  5. 5
    Notion d'équilibre mal maîtriséeQ17

    Beaucoup de candidats proposent des positions d'équilibre stable qui n'en sont pas, révélant une incompréhension de la notion.

    « ne maîtrisent pas la notion d’équilibre. »
  6. 6
    Lois de Coulomb du frottement ignoréesQ40

    La majorité des candidats se contente d'une relation de proportionnalité entre efforts normaux et tangentiels sans citer les trois lois de Coulomb.

    « Ces lois sont ignorées de la majorité »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 16 a été assez souvent bien traitée.
  • La question 26 a souvent été bien traitée, certains candidats utilisant même la trigonométrie.
  • La question 47, de cours, a été relativement bien traitée par les candidats.

Conseils du jury

  • Toujours commenter et argumenter ses calculs, en particulier lorsque le résultat final est donné par l'énoncé.
  • Vérifier l'homogénéité puis la cohérence de tout résultat avant de l'encadrer.
  • Éviter les locutions impératives non rationnelles comme « il y a forcément » ou « on voit bien que ».
  • Bien rédiger un raisonnement par récurrence, en écrivant la formule au rang n+1 avant de la démontrer.
  • Préciser systématiquement la base de dérivation d'un vecteur en l'absence de base canonique.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Mardi 5 mai : 8 h-11 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de trois parties, toutes indépendantes.
Si besoin, le candidat pourra admettre le résultat d'une question et l'utiliser dans les questions suivantes.

Générateur inertiel toroïdal

Ce sujet est inspiré du travail de thèse de doctorat de Matthias Geisler intitulé Récupération d'énergie mécanique pour vêtements autonomes connectés soutenue à l'Université Grenoble-Alpes en 2017.

Partie I - Présentation

I. 1 - Contexte général

Document 1 - Extrait de la thèse de doctorat de Matthias Geisler

L'idée qu'un système puisse convertir localement des formes d'énergie pour fonctionner de façon autonome est séduisante. Les êtres vivants en sont un parfait exemple, par les processus biologiques ou chimiques qui tirent profit de flux d'énergie entrants en permanence - lumière, nourriture, chaleur. Dans le domaine des systèmes électroniques, la récupération d'énergie désigne les techniques qui permettent de convertir une forme d'énergie présente dans l'environnement d'un dispositif pour alimenter celui-ci. Sur ce principe, elle se distingue de l'utilisation de l'énergie électrique produite de façon centralisée et au recours à des unités de stockage pré-chargées (batteries/piles électrochimiques).
L'idée d'exploiter l'énergie mécanique de la personne pour alimenter des objets connectés de son environnement a été proposée assez tôt dans le développement de l'Internet des objets. Les premières publications sur le sujet datent des années 1990. On peut donner l'exemple du premier concept de «chaussure dynamoélectrique», breveté en 1992. Dès lors, on peut distinguer deux familles de récupérateurs d'énergie sur la personne, caractérisées par la nature de l'énergie mécanique convertie :
  • les systèmes inertiels (ou indirects) qui sont formés d'un corps de générateur et d'une masse en déplacement libre sous l'effet des accélérations du corps de l'utilisateur. L'énergie convertie est l'énergie cinétique de la partie mobile et est par conséquent proportionnelle à sa masse;
  • les systèmes directs qui exploitent les contraintes, les déformations ou les frottements. La source d'énergie mécanique est alors directement l'effort (musculaire) fourni par la personne pour produire ces effets.
    Un générateur inertiel toroïdal est un modèle de récupérateur d'énergie inertiel à induction (figure 1). Il comprend une bille magnétique mobile, dont le mouvement sur une trajectoire fermée est déclenché à la fois par les accélérations latérales du générateur et par sa rotation. Par ce principe, il est équivalent à un générateur rotationnel avec masse excentrée.
Figure 1 - Structure du récupérateur d'énergie inertiel toroïdal

Document 1 (suite)

Le récupérateur d'énergie toroïdal est particulièrement adapté pour exploiter la rotation des articulations. En cela, il est plus polyvalent que les générateurs résonants unidirectionnels et peut être implémenté de façon pertinente aux niveaux des bras, des poignets ou des pieds (figure 2). Sa forme peut être particulièrement adaptée pour une intégration dans certains objets (montres, chaussures).
Figure 2 - Implémentations possibles du générateur toroïdal

I. 2 - Analyse de l'accélération humaine

La conception d'un récupérateur d'énergie s'appuie tout d'abord sur l'étude de la signature fréquentielle de l'excitation mécanique visée. Dans le cas de notre étude, nous examinons les propriétés de la course à pied. L'accélération le long des membres a été mesurée par Matthias Geisler sur un sujet courant lentement ( 6, 4 km ⋅ h^(− 1) ) sur un tapis roulant, au moyen d'un accéléromètre analogique (ADXL 326) placé successivement en différents points du corps : sur le bras, le côté de la poitrine et de la hanche. On donne sur la figure 3 des kinogrammes stylisés de la course à pied. On donne sur la figure 4 les signaux temporels enregistrés lors de la course à pied et de leurs signatures spectrales, calculées par transformée de Fourier rapide (FFT).
Figure 3 - Kinogrammes stylisés de la course à pied [adapté de Leboeuf et col. (2006) ^1 ]
Les signaux temporels enregistrés montrent des pics d'accélérations qui correspondent aux impacts des pas ( 1g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2) ).
Figure 4 - Accélérations mesurées le long des membres en course à pied et FFT correspondantes [adapté de Geisler (2017)]
Q1. À partir des spectres de la figure 4, déterminer, en nombre de g, l'amplitude maximale des raies d'accélérations mesurées au niveau du bras, de la poitrine et de la hanche et, dans chaque cas, la fréquence associée.
Q2. Sachant que la vitesse moyenne de la course est v = 6, 4 km ⋅ h^(− 1), en déduire la longueur de foulée, c'est-à-dire la distance moyenne au sol parcourue entre un appui du pied gauche et un appui du pied droit. Préciser si cette valeur semble cohérente.
Dans ce qui suit, on se focalise sur le format toroïdal du générateur qui vise à exploiter les mouvements de balancier des membres de la personne.
Q3. Déterminer l'amplitude angulaire du mouvement des bras à 10^∘ près et justifier le choix d'exploiter les mouvements de balancier des membres de la personne.

Partie II - Principe de la conversion d'énergie

Le principe de fonctionnement du générateur toroïdal est celui d'un générateur électromagnétique où le déplacement d'un conducteur dans un champ magnétique se traduit par une induction de Lorentz. Le champ magnétique est créé par une bille magnétique en néodyme-fer-bore ( NdFeB ), en mouvement dans la bobine.
Dans cette partie du sujet, on cherche à étudier le principe de la conversion d'énergie électromagnétique utilisé et notamment l'origine d'un courant induit dans la bobine et la puissance électrique produite par un passage de bille. Sans perte de généralités, on se limitera à l'étude d'un tronçon de bobine dont on négligera le rayon de courbure et la longueur.

II. 1 - Principe du couplage électromécanique

Pour étudier le principe de la conversion d'énergie électromécanique, on considère que la bille magnétique se comporte comme un dipôle magnétique au point G, de moment magnétique m⃗. La bille est libre de tourner et de translater sur l'axe d'une bobine plate (épaisseur négligeable) d'axe ( O, e_z→ ), de rayon R_b et constituée de N spires (figure 5).
Elle induit au point M le champ magnétique :
B⃗(M) = (μ_0)/(4πr^3)[3(m⃗ ⋅ e_r→)e_r→ − m⃗],
avec GM^(→−) = re_r→, r > 0 et μ_0 = 4π10^(− 7)H ⋅ m^(− 1) la perméabilité absolue du vide.
Figure 5 - Interaction entre la bille et une spire
Le flux magnétique Φ embrassé par une spire de la bobine, de centre O, tel que GO^(→−) ⋅ e_z→ = z, z ∈ ℝ, est défini par l'intégration du champ magnétique B⃗ sur une surface sphérique limitée par le cercle de centre O et de rayon R_b. Ce flux est maximal si le moment magnétique de la bille m⃗ est colinéaire et de même sens que e_z→. Autrement dit si :
Φ = (μ_0 mR_b^2)/(2(z^2 + R_b^2)^(3/2)).
Dans ce qui suit, on suppose que le circuit associé à la bobine est fermé et on note R_c sa résistance ohmique. Sur la figure 5, le courant I dans une spire est dirigé selon + e_φ^(→−), la base (e_r→, e_θ→, e_φ^(→−)) étant choisie orthonormée directe.
Q4. Expliquer l'origine d'un courant induit I dans le circuit et prévoir son sens en donnant son signe d'après la loi de Lenz.

II. 2 - Étude de la conversion d'énergie mécano-électrique

En notant c_e le coefficient d'amortissement dynamique, la puissance mécanique convertie en puissance électrique peut être définie par :
𝒫_m = − c_e v^2.
Dans cette partie, on cherche à déterminer une expression de c_e avec la magnétisation m⃗ conduisant au flux Φ maximum.
Q5. En supposant que la bille se déplace à vitesse constante v = − z˙ > 0, déterminer la force électromotrice induite e_(ind) sur la bobine de N spires supposées confondues. En déduire une expression du courant induit I puis de la puissance électrique extraite.
Q6. Déterminer une expression du coefficient d'amortissement c_e en fonction des paramètres de la bille et de la bobine puis expliquer pourquoi et comment le maximiser.

II. 3 - Étude de l'énergie électrique produite

Pour un déplacement de la bille à vitesse constante v > 0, on peut montrer que pour toute position de bille, c'est-à-dire pour tout z ∈ ℝ, la puissance électrique produite 𝒫_e est de la forme :
𝒫_e : z ↦ (Az^2)/((z^2 + R_b^2)^5),
avec A = 6, 52 ⋅ 10^(− 14) N ⋅ m^9 ⋅ s^(− 1) une constante réelle positive.
Q7. Étudier la parité de 𝒫_e. Que peut-on en déduire pour ses variations?
Q8. Calculer la dérivée (d𝒫_e)/(dz) de 𝒫_e.
En déduire les variations de la fonction 𝒫_e sur ℝ_+. Vérifier qu'elle admet un maximum global sur ℝ_+en R_b/2 dont on précisera l'expression en fonction de A et R_b.
On pourra utiliser le fait que 5^5 = 3125.
Q9. Déterminer la limite de 𝒫_e en + ∞.
Que peut-on en déduire pour sa courbe?
Q10. À l'aide des questions précédentes, dresser le tableau de variation de 𝒫_e sur ℝ_+le plus complet possible et tracer l'allure de son graphe sur ℝ en précisant les tangentes horizontales.
On définit l'énergie électrique produite entre deux positions z_1 et z_2(z_1 ⩽ z_2) par :
ℰ_e(z_1 → z_2) = ∫_(z_1)^(z_2)𝒫_e(z)dz
L'énergie électrique totale produite par la bille s'écrit alors :
ℰ_e^T = ∫_(− ∞)^(+ ∞)𝒫_e(z)dz
Q11. Montrer que l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)𝒫_e(z)dz définissant ℰ_e^T est une intégrale convergente.
On se propose dans la suite de montrer que ℰ_e^T vaut (5Aπ)/(128R_b^7).
Pour tout entier naturel n non nul, on pose :
I_n = ∫_0^(+ ∞)(dz)/((z^2 + R_b^2)^n)
On admet que I_n est une intégrale convergente.
Q12. En posant z = R_b tanu et en justifiant soigneusement ce changement de variable, prouver que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
I_n = 1/(R_b^(2n − 1))∫_0^(π/2)(cosu)^(2(n − 1))du
On pose pour tout entier naturel n :
W_n = ∫_0^(π/2)(cosu)^(2n) du
Q13. À l'aide d'une intégration par parties, que l'on justifiera soigneusement, montrer que pour tout n ∈ ℕ :
W_(n + 1) = (2n + 1)/(2n + 2)W_n
Q14. Calculer W_0 et en déduire que pour tout n ∈ ℕ :
W_n = ((2n)!)/(2^(2n + 1)(n!)^2)π
Q15. Vérifier que :
ℰ_e^T = 2A(I_4 − R_b^2 I_5),
puis que :
ℰ_e^T = (2A)/(R_b^7)(W_3 − W_4)
Q16. Exprimer W_3 comme le produit de π et d'une fraction irréductible.
En déduire la valeur de ℰ_e^T.

II. 4 - Couple d'induction

Durant le mouvement de la bille magnétique, le courant I induit dans la bobine génère un champ magnétique :
B⃗_(ind)(G) = (μ_0 IR_b^2)/(2(R_b^2 + z^2)^(3/2))e⃗_z
qui a pour conséquence l'application d'un couple d'induction sur la bille :
C_(ind)^(→−)(G) = m⃗ ∧ B⃗_(ind)(G)
qui tend à l'orienter de façon à limiter la variation du flux magnétique Φ dans la bobine.
Figure 6 - Modélisation du couplage électromécanique [adapté de Geisler (2017)]
Ainsi :
  • lorsque la bille se rapproche de la bobine, le champ magnétique qu'elle émet est répulsif et le couple d'induction tend à retourner la bille pour annuler l'induction;
  • si la bille s'éloigne, le champ magnétique est au contraire attractif et le couple d'induction tend à aligner l'axe polaire de la bille avec celui de la bobine.
    L'énergie potentielle de la bille dans le champ magnétique induit s'écrit :
E_p = − m⃗ ⋅ B⃗_(ind)(G).
Q17. Déterminer les positions d'équilibre et d'équilibre stable de la bille en fonction de son orientation magnétique β = (e_z→; m⃗).
Q18. Déterminer le couple d'induction subi par la bille en fonction de son orientation magnétique β = (e_z→; m⃗). Préciser si la bille peut rester dans sa position d'équilibre stable et rouler à vitesse constante sur l'induit.

Partie III - Comportement mécanique du générateur

Dans cette partie, on se propose d'étudier le comportement mécanique du générateur vis-à-vis d'une excitation humaine (course à pied), à partir d'un modèle simple. On considère pour cela que le générateur toroïdal est constitué d'une bille S_2 de centre G, de rayon R_b et de masse m_b guidée dans un bâti S_1 auquel on associe le repère R_1 = (O, x_1^(→−), y_1^(→−), z_1^(→−)). Le bâti S_1 est attaché à un bras du coureur, supposé en liaison pivot d'axe ( O_0, z_1^(→−) ) par rapport à l'épaule. En accord avec les kinogrammes stylisés de la course à pied de la figure 3, on suppose que le buste du coureur est en translation rectiligne dans la direction x_0^(→−) à vitesse constante, tel que l'on puisse associer au coureur le référentiel supposé galiléen R_0, de repère R_0 = (O_0, x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) avec O_0 un point de l'épaule.

III. 1 - Mouvement d'excitation

Tout d'abord, on cherche à étudier le mouvement d'excitation du générateur toroïdal lorsqu'il est attaché sur le côté du bras de l'utilisateur pendant la marche ou la course. Par simplicité, on considère aussi que le mouvement du générateur est contenu dans un plan (O, x_0^(→−), y_0^(→−)), de normale z_0^(→−) = z_1^(→−).
Figure 7 - Modélisation du générateur toroïdal [adapté de Geisler (2017)]
Figure 7 - Modélisation du générateur toroïdal [adapté de Geisler (2017)]
La position du bâti dans le référentiel supposé galiléen R_0 est définie par O_0 O^(→−) = − ℓy_1^(→−), avec ℓ ∈ ℝ^+une constante et son orientation est repérée par l'angle φ = (x_0^(→−), x_1^(→−)) = (y_0^(→−), y_1^(→−)). L'accélération de la pesanteur est notée g⃗ = − gy_0^(→−) avec g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2).
Q19. Justifier que l'on puisse modéliser le mouvement d'excitation comme φ : t ↦ φ_m sin(ωt) et proposer des valeurs numériques pour les constantes φ_m et ω en supposant la fréquence d'excitation f = 2, 5 Hz.
Q20. Déterminer les éléments de réduction, au point O, du torseur associé au champ de vitesses du bâti S_1 par rapport au référentiel galiléen ℛ_0, noté {𝒱_(1/0)}.

III. 2 - Comportement cinématique de la bille dans le tore

La surface du bâti S_1 sur laquelle roule la bille (sans glisser) est celle d'un tore de centre O engendré par la rotation d'un cercle de rayon R_b autour d'une droite ( O, z_1^(→−) ) à une distance R > R_b de son centre. La position de la bille S_2 dans ce tore est définie par la coordonnée θ = (x_1^(→−), x_b^(→−)) = (y_1^(→−), y_b→) ∈ [0, 2π[ telle que OG^(→−) = Rx_b^(→−). On associe à la bille S_2 le repère R_2 = (G, x_2^(→−), y_2^(→−), z_1^(→−)).
Dans cette partie, on cherche à déterminer une expression du torseur cinématique associé au champ de vitesses de la bille S_2 par rapport au bâti S_1, noté {𝒱/2/1} et en particulier ses éléments de réduction au point G :
{𝒱_(2/1)} = {ω_(2/1l_1→); V_(G, 2/1)^(→−)}}}{{.
Q21. Par dérivation, déterminer une expression de V_(G, 2/1)^(→−), puis, en supposant que la bille roule sans glisser sur le tore au point I, tel que GI^(→−) = R_b x_b^(→−), déterminer une expression de ω_(2/1) et de V_(G, 2/1)^(→−) en fonction de R, R_b et θ˙.
Q22. Préciser si le champ de vitesses de la bille S_2 dans le tore du bâti S_1 est adapté à la conversion d'énergie sachant que cette dernière est maximale si l'axe polaire de la bille m⃗ est aligné avec celui de la bobine. Expliquer comment maximiser cette dernière.

III. 3 - Moment d'inertie de la bille

Dans cette section, on souhaite déterminer le moment d'inertie de la bille S_2 autour de l'axe ( G, z_1^(→−) ) que nous noterons I(G, z_1^(→−)). La bille étant supposée homogène, on rappelle que :
I(G, z_1^(→−)) = ∭_(M ∈ B) d(M, Gz_1^(→−))^2 ξ dx dy dz
où B désigne l'ensemble des points de la bille, M un point de B de coordonnées ( x, y, z ) dans le repère orthonormé direct (G, x_1^(→−), y_1^(→−), z_1^(→−)), d (M, Gz_1^(→−)) la distance du point M à l'axe ( G, z_1^(→−) ) et enfin ξ la masse volumique de la bille. On appelle P le projeté orthogonal de M sur le plan ( G, x_1^(→−), y_1^(→−) ) et on note, ainsi que l'illustre la figure 8, α = (x_1^(→−); GP^(→−)) dans le plan ( G, x_1^(→−), y_1^(→−) ) orienté par z_1^(→−) et β = (z_1^(→−); GM^(→−))(β ∈ [0; π]). On pose par ailleurs ρ = GM.
Figure 8 - Repérage d'un point M de la bille S_2
Q23. Montrer que ρ, α et β vérifient le système suivant appelé système de coordonnées sphériques de M :
{x = ρcos(α)sin(β); y = ρsin(α)sin(β); z = ρcos(β)
On admet que l'expression de I(G, z_1^(→−)) dans le nouveau système de coordonnées s'écrit :
I(G, z_1^(→−)) = ξ∫_0^(R_b)(∫_0^(2π)(∫_0^π d(M, Gz_1^(→−))^2|Det(J)|dβ)dα)dρ
où Det(J) désigne le déterminant de la matrice jacobienne J du changement de variables définie par :
J = ((∂x)/(∂ρ), (∂x)/(∂α), (∂x)/(∂β); (∂y)/(∂ρ), (∂y)/(∂α), (∂y)/(∂β); (∂z)/(∂ρ), (∂z)/(∂α), (∂z)/(∂β))
Q24. Calculer J en fonction de ρ, α et β, puis prouver que Det(J) = − ρ^2 sin(β).
Q25. En déduire que I(G, z_1^(→−)) = 2/5πξR_b^5∫_0^π sin^3(β)dβ.
Q26. À l'aide des formules d'Euler, prouver que pour tout réel x :
sin^3(x) = (3sin(x) − sin(3x))/4
Q27. En déduire que I(G, z_1^(→−)) = 2/5m_b R_b^2.

III. 4 - Comportement dynamique de la bille

Dans cette sous-partie, on note I¯^–_2(G) le tenseur d'inertie de la bille S_2 en son centre d'inertie G, dont la représentation dans toute base orthonormée directe est :
I¯^–_2(G) = 2/5m_b R_b^2(1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)
Q28. Par composition des champs de vitesses, déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique traduisant le mouvement de la bille S_2 dans le référentiel galiléen ℛ_0, noté {𝒱_(2/0)}, au point G.
Q29. Déterminer une expression du moment cinétique de la bille S_2 par rapport au référentiel galiléen ℛ_0 au point G, noté σ_(G, 2/0)^(→−). En déduire les éléments de réduction au point G du torseur cinétique de la bille S_2 par rapport au référentiel galiléen ℛ_0, noté {𝒞_(2/0)}.
Q30. Déterminer une expression du moment dynamique de la bille S_2 par rapport au référentiel galiléen ℛ_0 au point G, noté δ_(G, 2/0)^(→−).

III. 5 - Étude des conditions de roulement de la bille

Le contact de la bille avec la paroi ne se fait pas sans frottement et la force tangentielle exercée par la paroi au niveau du point de contact tend à provoquer son roulement. Seulement, le couple induit tend à modifier ces conditions de roulement, pouvant aller jusqu'au glissement de la bille et donc une dissipation d'énergie. Pour éviter ce phénomène, une bande ferromagnétique périphérique a été ajoutée (figure 6) permettant d'imposer un effort d'attraction à la bille magnétique, compensé par la réaction de la paroi interne de l'induit.

III.5.1 - Estimation du coefficient de frottement

On cherche tout d'abord à estimer expérimentalement la valeur du coefficient de frottement. Pour cela, on procède à plusieurs essais au cours desquels on mesure le couple (effort normal, effort tangentiel) représenté par un couple ( X, Y ) de variables aléatoires.
On réalise n ∈ ℕ^∗ mesures notées (x_i, y_i) où i ∈ [ [1, n] ] qui sont donc autant de réalisations du couple (X, Y). L'ensemble de ces mesures a été représenté sur la figure 9.
Au vu du nuage de points obtenu, il semble raisonnable de supposer l'existence de deux réels a et b tels que Y = aX + b que l'on cherche à estimer à partir des mesures. Pour cela on introduit la fonction D de deux variables définie pour tout couple ( a, b ) dans ℝ^2 par :
D(a, b) = ∑_(i = 1)^n(y_i − ax_i − b)^2.
Les réels a et b minimisant D seront considérés comme de bonnes approximations des coefficients cherchés (méthode de régression linéaire).
Figure 9 - Valeurs mesurées du couple (effort normal, effort tangentiel) et droite de régression associée.
On introduit par ailleurs les réels suivants :
x¯ = 1/n∑_(i = 1)^n x_i; y¯ = 1/n∑_(i = 1)^n y_i; m_x = 1/n∑_(i = 1)^n x_i^2; m_y = 1/n∑_(i = 1)^n y_i^2; e = 1/n∑_(i = 1)^n x_i y_i.
Q31. On admet provisoirement que m_x ≠ x¯^2 (cela sera prouvé dans la question 35). Montrer que D possède un unique point critique (aˆ, bˆ) où :
aˆ = (e − x¯y¯)/(m_x − x¯^2) et bˆ = y¯ − aˆx¯
On appelle matrice hessienne de D au point (a, b) ∈ ℝ^2 la matrice d'ordre deux définie par :
H(a, b) = ((∂^2 D)/(∂a^2)(a, b), (∂^2 D)/(∂a∂b)(a, b); (∂^2 D)/(∂b∂a)(a, b), (∂^2 D)/(∂b^2)(a, b))
Q32. Justifier sans calcul qu'en tout point (a, b) de ℝ^2, H(a, b) est une matrice diagonalisable. On pose Hˆ = H(aˆ, bˆ) et on note λ et μ ses valeurs propres.
Q33. Justifier sans calcul que Det(Hˆ) = λμ et que tr(Hˆ) = λ + μ, où tr désigne la trace.
Q34. Déterminer les coefficients de Hˆ.
Q35. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que :
x¯^2 ⩽ m_x
Dans quel(s) cas y a-t'il égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz?
Sachant que les mesures n'ont pas toutes donné des résultats identiques pour l'effort normal, prouver que l'inégalité précédente est stricte, c'est-à-dire que :
x¯^2 < m_x
En déduire que Det(Hˆ) > 0.
On admet que si λ et μ sont toutes deux strictement positives, alors le point (aˆ, bˆ) correspond à un minimum de D.
Q36. Montrer que D atteint son minimum en (aˆ, bˆ).
Les mesures réalisées au cours d'un grand nombre d'essais ont donné les résultats suivants :
x¯ = 0, 60; y¯ = 0, 12; m_x = 0, 37; e = 0, 0741
Q37. En déduire la valeur de aˆ puis celle de bˆ.
Peut-on raisonnablement affirmer que l'effort tangentiel est proportionnel à l'effort normal?
On admet que les réels v_x = m_x − x¯^2 et v_y = m_y − y¯^2 sont respectivement une bonne estimation des variances 𝕍(X) de X et 𝕍(Y) de Y et que c = 1/n∑_(i = 1)^n(x_i − x¯)(y_i − y¯) est une bonne estimation de la covariance cov(X, Y) du couple ( X, Y ).
Q38. Montrer que c = e − x¯y¯.
On donne : v_y = 4, 9 ⋅ 10^(− 4), 3/(√(10)) ≈ 0, 95 et 2/(√5) ≈ 0, 89.
Q39. Quel outil du cours de probabilité permet de valider l'hypothèse selon laquelle il existe bien une relation de dépendance affine entre X et Y telle que formulée au début de cette sous-partie ?
Au regard des résultats expérimentaux obtenus, pensez-vous cette hypothèse raisonnable ? Justifier la réponse.

III.5.2 - Conditions de roulement sans glissement

Pour étudier les conditions de roulement sans glissement, on note :
  • N et T les efforts de contact respectivement normal et tangentiel exercés par le bâti S_1 sur la bille S_2 au niveau du point I;
  • 𝒞_(ind) le couple d'induction, tel que l'action mécanique induite soit :
{𝒯_(ind → 2)} = _G{0→; − 𝒞_(ind)z_0^(→−)}}}{{;
  • F_(fer) l'effort d'attraction exercé par le rail ferromagnétique sur la bille S_2, tel que l'action mécanique soit :
{𝒯_(fer → 2)} = {F_(fer)x_b^(→−); 0→}}}{{;
− g⃗ = − gy_0^(→−) le champ de pesanteur, avec g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2).
Le coefficient de frottement de glissement a été estimé à f = 0, 2.
Q40. En appliquant le modèle de frottement de glissement de Coulomb, à la limite du glissement et en supposant ω_(2/1) < 0, déterminer les éléments de réduction au point G du torseur d'actions mécaniques transmissibles par le bâti S_1 sur la bille S_2 au niveau du contact ponctuel au point I en fonction de f, N et R_b.
Q41. En précisant clairement votre démarche, déterminer une expression de l'effort normal de contact minimal N tel que le contact de la bille S_2 sur l'induit S_1 soit réellement sans glissement.
L'action d'un rail ferromagnétique de 200μ m d'épaisseur et de 1, 5 mm de largeur sur la bille magnétique a été simulée (figure 10).
Figure 10 - Valeur de la force attractive stimulant le roulement de la bille, en fonction de son orientation magnétique β
Dans ce qui suit, on cherche une expression de g : β ↦ F_(fer) définie sur ℝ à partir de la figure 10 .
Q42. Justifier que la fonction g soit paire et π-périodique.
Q43. À l'aide de la figure 10 et de la question précédente, déterminer la valeur exacte de c et des valeurs approchées de a et b telles que pour tout réel β on ait :
g(β) = a + bcos(cβ).
La rotation propre de la bille est donc finalement affectée par le frottement avec la paroi, l'induction électromagnétique et, dans une moindre mesure, le couple statique généré par le rail ferromagnétique.

III. 6 - Puissance mécanique extraite

Pour modéliser l'énergie mécanique convertie en énergie électrique, c'est-à-dire le «prélèvement d'énergie ≫, on introduit un coefficient de frottement visqueux c_e tel que la puissance dissipée soit proportionnelle au carré de la norme de la vitesse de S_2 par rapport au bâti S_1, soit :
𝒫_e = − c_e‖V_(G, 2/1)^(→−)‖^2.
Q44. Déterminer une expression de l'énergie cinétique de la bille S_2 en fonction de m, R, R_b, ℓ, φ, φ˙, θ et θ˙.
Q45. Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur E_p de la bille S_2 en supposant E_p = 0 lorsque G est confondu avec le point B défini comme BO_0^(→−) = (R + ℓ)y_0^(→−).
Q46. Déterminer une expression de la puissance dissipée au niveau du contact ponctuel entre la bille S_2 et le bâti S_1.
Q47. Expliquer comment établir l'équation différentielle vérifiée par θ. Préciser si elle est linéaire et sinon comment trouver une solution approchée.
FIN
    1. Leboeuf et col., Étude biomécanique de la course à pied. Université de Poitiers, France (2006).

Questions fréquentes

4 questions
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Sur quoi porte le sujet de Modélisation CCINP TSI 2020 ?

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