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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Jeudi 3 mai : 8 h-11 h

Abstract

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de

3

parties, toutes indépendantes.

COMPRESSEUR À SPIRALES

Présentation générale

Un compresseur d'air est un composant qui permet d'augmenter la pression de l'air.
Le groupe Danfoss produit des compresseurs d'air, notamment pour la réfrigération et le conditionnement de l'air.

Le groupe Danfoss utilise deux technologies de compresseurs d'air :

les compresseurs à pistons;
les compresseurs à spirales aussi couramment appelés compresseurs scroll (spirale en anglais). Cette dernière technologie sera l'objet de ce sujet.

Problématique

L'objectif de ce sujet est de déterminer certaines caractéristiques d'un compresseur à spirales afin de valider deux performances attendues du compresseur :

un rapport volumétrique de 1,5 (le rapport volumétrique sera défini à la partie II, page 8);
une atténuation des vibrations dues, entre autres, au mouvement alternatif de la spirale mobile.

Démarche retenue

Afin de répondre à la problématique, trois parties sont proposées :

analyse du fonctionnement du compresseur à spirales;
détermination de la géométrie de la spirale en vue d'obtenir le rapport volumétrique attendu;
méthode de détermination des masselottes additionnelles.

Partie I - Analyse du fonctionnement du compresseur à spirales

I. 1 - Fonctionnement du compresseur à spirales

Un compresseur à spirales (figure 1, page 3) est composé :

d'un moteur électrique qui convertit l'énergie électrique en énergie mécanique de rotation;
d'un ensemble de compression qui permet d'augmenter la pression de l'air (figure 2, page 3).

L'ensemble de compression est composé de deux spirales :

une spirale fixe par rapport au corps du compresseur (scroll fixe sur la figure 2);
une spirale mobile (scroll mobile sur la figure 2).

Le mouvement de la spirale mobile par rapport à la spirale fixe, permet d'aspirer l'air puis de l'emprisonner dans un volume qui diminue avec le mouvement (figure 3, page 4). Le refoulement a lieu au centre de la spirale fixe.

Figure 1 - Perspective écorchée d'un compresseur à spirales

Figure 2 - Perspective éclatée de l'ensemble de compression

Figure 3 - Fonctionnement de l'ensemble de compression

I. 2 - Analyse du mouvement de la spirale mobile

On donne le schéma cinématique de l'ensemble de compression (figure 4, page 5).
On associe :

le repère $R_0 = (O, x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0)$ au bâti (0);
le repère $R_1 = (A, x_1^(\to-), y_1^(\to-), z_1^(\to-))$ à l'arbre moteur (1) avec $z_1^(\to-) = z_0^(\to-)$ ;
le repère $R_2 = (A, x_2^(\to-), y_2^(\to-), z_2^(\to-))$ à la spirale mobile (2) avec $z_2^(\to-) = z_1^(\to-) = z_0^(\to-)$ ;
le repère $R_3 = (B, x_3^(\to-), y_3^(\to-), z_3^(\to-))$ au joint d'oldham (3) avec $x_3^(\to-) = x_0^(\to-), y_3^(\to-) = y_0^(\to-)$ et $z_3^(\to-) = z_0^(\to-)$ .

Données géométriques

L'arbre moteur (1) est en liaison pivot avec le bâti (0) d'axe (0,

z⃗_0

) avec

θ_(10) = (x⃗_0, x⃗_1) = (y⃗_0, y⃗_1)

.
La spirale mobile (2) est en liaison pivot avec l'arbre moteur (1) d'axe (

A, z_0^(\to-)

) avec :

θ_(21) = (x⃗_1, x⃗_2) = (y⃗_1, y⃗_2)

.
On note

OA^(\to-) = ex⃗_1

avec

e > 0

constant.
Le joint d'oldham (3) est en liaison glissière avec la spirale mobile (2) de direction

x⃗_0

.
On note

AB^(\to-) = xx⃗_0

.
Le joint d'oldham (3) est en liaison glissière avec le bâti (0) de direction

y⃗_0

.
On note

BD^(\to-) = yy⃗_0

OD^(\to-) = d_x x⃗_0 + d_y y⃗_0

Notations

Ω⃗(i/j)

est le vecteur rotation de la pièce

i

par rapport au repère lié à la pièce

j

V⃗(M, i/j)

est la vitesse du point

M

appartenant à la pièce

i

par rapport au repère lié à la pièce

j

.
Le torseur cinématique de la pièce

i

par rapport au repère lié à la pièce

j

, exprimé au point

M

et projeté dans la base

(x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0)

, sera noté :

{v_(i/j)} = {Ω⃗(i/j); V⃗(M, i/j)}_M = {ω_(ij)^x x⃗_0 + ω_(ij)^y y⃗_0 + ω_(ij)^z z⃗_0; V_(ij)^x(M)x⃗_0 + V_(ij)^y(M)y⃗_0 + V_(ij)^z(M)z⃗_0}.

Figure 4 - Schéma cinématique minimal de l'ensemble de compression

Q1. En utilisant la notation précédente et en écrivant seulement les termes non nuls, donner, dans la base (

x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0

), la forme des torseurs cinématiques des liaisons entre (1) et (0) au point

O

, entre (2) et (1) en

A

, entre (3) et (2) en

A

et entre (3) et (0) en

A

.
Q2. À l'aide des expressions des torseurs de la question Q1, écrire les 6 équations scalaires de la fermeture cinématique au point

A

, projetées dans la base

(x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0)

. Les paramètres géométriques

e

θ_(10)

interviendront dans ce système d'équations.
Pour la question Q3, nous supposerons que le système obtenu est

ù{0 = 0; 0 = 0; ω_(10)^z + ω_(21)^z = 0 {K_1 ω_(10)^z + V_(32)^x(A) = 0; K_2 ω_(10)^z − V_(30)^y(A) = 0; 0 = 0 où K_1 et K_2 sont des fonctions de e et θ_(10).

Q3. Donner le rang

r_c

du système, le nombre d'inconnues cinématiques

N_c

et en déduire le degré de mobilité cinématique

m_c

.
Q4. Donner l'expression de

Ω⃗(1/0)

en fonction de

θ˙_(10)

. À l'aide du système d'équations de la fermeture cinématique, en déduire, en fonction de

e, θ_(10)

θ˙_(10)

, les expressions des torseurs cinématiques de la liaison entre (1) et (0) au point

O

, entre (2) et (1) en

A

, entre (3) et (2) en

A

et entre (3) et (0) en

A

.
Q5. Écrire, en fonction de

e

θ˙_(10)

, le torseur cinématique de (2) par rapport à ( 0 ) au point

A

. Quel est alors le mouvement de la spirale mobile (2) par rapport à la spirale fixe liée au bâti (0) ? Justifier votre réponse.

I. 3 - Critique du modèle

Q6. Est-il utile que le repère

R_0

soit galiléen et que les liaisons soient parfaites pour établir le mouvement de la spirale mobile (2) par rapport à la spirale fixe liée au bâti (0) ? Justifier.
Q7. À partir de la figure 2, justifier succinctement la modélisation de la liaison entre la spirale mobile (2) et le joint d'oldham (3) par une glissière.

I. 4 - Analyse de la compression

Dans toute la suite du sujet, on note

ω = θ˙_(10)

la vitesse de rotation de l'arbre moteur (1) définie dans la sous-partie I. 2 page 4 .
La spirale fixe est modélisée par une courbe

F

paramétrée par :

s \mapsto M(s)

pour

s \in [π, 5π + π/2]

.
La spirale mobile est modélisée par une courbe

Γ_t

où

t

désigne le temps.
Pour tout temps

t, Γ_t

est paramétrée par

s \mapsto N(t, s)

avec

s \in [π, 5π + π/2]

.
Chacune des figures

5, 6, 7

8

, pages 6 et 7 , représente

F

Γ_t

avec le paramètre

s

décrivant l'intervalle

[π, 5π + π/2]

. À chaque figure correspond une valeur du temps

t

.
Ainsi la figure 5 (à gauche) représente

F

Γ_0

(courbe

Γ_t

pour

t = 0

), le paramètre

s

décrivant

[π, 5π + π/2]

pour les deux spirales.
Dans ces figures, nous avons suivi une même quantité d'air (partie grisée) au cours du temps depuis

t = 0

(début de l'aspiration de l'air) jusqu'à son évacuation en sortie (au point O ).

Comme on le verra dans la partie II.2, page 9, pour tout temps

t

, les points de contact de la spirale fixe

F

avec la spirale mobile

Γ_t

sont les points

D = M(s_5(t)) = N(t, s_6(t))

F = M(s_3(t)) = N(t, s_4(t))

avec

s_k(t) = π/2 - ωt + kπ

et lorsque

s_k(t)

appartient à

[π, 5π + π/2]

pour

3 \leq k \leq 6

.
Le fluide suivi est aspiré (à partir du temps

t = 0

), puis enfermé dans un domaine délimité par les spirales entre les points

D

F

.
Lorsque

D

F

existent, ils sont communs aux deux spirales et apparaissent sur la figure.

Figure 5 - Aspiration de l'air

Figure 6 - Fermeture et début de compression de l'air

Figure 7 - Compression de l'air

Figure 8 - Sortie de l'air comprimé

Q8. Justifier que l'on a

s_3(t) \leq s_4(t) \leq s_5(t) \leq s_6(t)

pour tout

t

.
Déterminer, en fonction de

ω

, pour quelles valeurs de

t \in [0, + \infty[, s_3(t), s_4(t), s_5(t)

s_6(t)

appartiennent tous à l'intervalle

[π, 5π + π/2]

. En déduire l'intervalle de temps pendant lequel se fait la compression.
Q9. En déduire l'expression de la durée de la compression, en fonction de

T = (2π)/ω

(période du mouvement de la spirale mobile).
Commenter le résultat.

Partie II - Rapport volumétrique du compresseur

II. 1 - Construction de la spirale fixe $F$

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé (

O, ı⃗, ȷ⃗

).
La spirale fixe est modélisée par la courbe

F

d'équation

{x(s) = e(- cos(s) - ssin(s)); y(s) = e(- sin(s) + scos(s))

où

e

est un réel strictement positif et

s \in [π, 5π + π/2]

On note

M(s)

le point de

F

de paramètre

s

et on définit le vecteur

: u⃗(s) = ((cos(s))/(sin(s)))

.
Q10. Justifier que

s \mapsto u⃗(s)

est périodique, calculer les vecteurs dérivées

u⃗^'(s)

u⃗^('')(s)

.
En déduire que

OM^(\to-)(s) = e(- u⃗(s) + su⃗^'(s))

.
Si besoin, afin de simplifier les calculs de la question Q11 à la question Q16, on pourra utiliser cette dernière relation.
Q11. Pour

p \in ℤ

s + 2pπ \in [π, 5π + π/2]

, exprimer le vecteur

M(s)M(s + 2pπ)^(\to-)

en fonction de

u⃗^'(s)

. En déduire la distance entre

M(s)

M(s + 2pπ)

.
Q12. Exprimer

(dOM^(\to-))/(ds)(s)

en fonction de

s

u⃗(s)

.
En déduire les expressions de

x^'(s)

y^'(s)

, puis dresser le tableau de variations conjoint des fonctions

x

y

sur

[π, 3π]

.
On fera figurer toutes les valeurs nécessaires pour les fonctions

x

y

.
Q13. Justifier qu'au point

M(s)

F

, la tangente est dirigée par

u⃗(s)

.
En déduire que pour

p \in ℤ

s + 2pπ \in [π, 5π + π/2]

, les tangentes à

F

aux points

M(s)

M(s + 2pπ)

sont parallèles.
Q14. Pour

k \in {0, 1, 2, 3}

, on note

M_k

le point de

F

de paramètre

s = π + kπ/2 : M_k = M(π + kπ/2)

. Préciser la direction de la tangente à

F

en tout point

M_k

.
Q15. Pour

k \in {0, 1, 2, 3}

p \in ℕ

, en utilisant la question Q11, exprimer les vecteurs

M_k M(π + kπ/2 + 2pπ)^(\to-)

à l'aide de

ı⃗

ȷ⃗

Q16. Tracer

F

pour

s \in [π, 5π + π/2]

. On commencera par faire figurer les points

M_k

M(π + kπ/2 + 2pπ)

pour

k \in {0, 1, 2, 3}

p \in {0, 1, 2}

, dont les paramètres sont dans l'intervalle

[π, 5π + π/2]

, ainsi que les tangentes en ces points à la courbe.
Pour le dessin, à faire sur la copie, on prendra un repère orthonormé tel que

eπ

correspond à

1, 5 cm

II. 2 - Vérification de l'hypothèse d'étanchéité entre les chambres

L'objectif de cette sous-partie est de modéliser le compresseur complet et d'étudier les points communs entre les deux spirales pour vérifier, sur le modèle, l'étanchéité des chambres de compression.

Pour plus de simplicité nous considérons, dans cette sous-partie, les spirales modélisées avec

s \in ℝ

On rappelle que la spirale fixe du compresseur est modélisée par la courbe

F

d'équation

{x(s) = e(- cos(s) - ssin(s)); y(s) = e(- sin(s) + scos(s))

et on note

M(s)

le point de

F

de paramètre

s

avec

s \in ℝ

La courbe de la spirale mobile est obtenue à partir de

F

par une translation de vecteur tournant

v⃗(t) = ((eπcos(ωt))/(- eπsin(ωt)))

, puis par une symétrie par rapport à

O

À l'instant

t

, la spirale mobile est modélisée par

Γ_t

et on note

N(t, s)

le point de

Γ_t

obtenu à partir de

M(s)

par la transformation évoquée, pour

s \in ℝ

t \in [0, + \infty[

Q17. Montrer que l'on a :

ON^(\to-)(t, s) = - (OM^(\to-)(s) + v⃗(t))

.
Ainsi, à l'instant

t

, la spirale mobile

Γ_t

a pour équation :

{X(t, s) = - eπcos(ωt) - x(s),; Y(t, s) = eπsin(ωt) - y(s).

On considère un réel

t

fixé avec

t \in [0, + \infty[

et on rappelle que l'on a noté

s_k(t) = π/2 - ωt + kπ

pour

k \in ℤ

Q18. Pour un temps

t

fixé, montrer que, pour tout

k

dans

ℤ, x(s_(2k - 1)(t)) = X(t, s_(2k)(t))

.
On admet que

y(s_(2k - 1)(t)) = Y(t, s_(2k)(t))

et donc que

M(s_(2k - 1)(t)) = N(t, s_(2k)(t))

.
On admet aussi que

M(s_(2k)(t)) = N(t, s_(2k - 1)(t))

Ainsi, à chaque instant

t

, la spirale fixe et la spirale mobile ont les points

M(s_(2k - 1)(t))

M(s_(2k)(t))

en commun pour tout

k

(ce qui nous donne des compartiments étanches entre les deux spirales).
On admet qu'il n'y a pas d'autre point en commun.
Q19.

t

étant toujours fixé, vérifier que

(\partialON^(\to-))/(\partials)(t, s) = - (dOM^(\to-))/(ds)(s)

Q20. Justifier qu'aux points

M(s_(2k - 1)(t))

, les spirales

F

Γ_t

sont tangentes (c'est-à-dire qu'en ces points les tangentes sont les mêmes). On admet qu'il en est de même aux points

M(s_(2k)(t))

. Que peut-on en déduire sur le mouvement entre les deux spirales?

II. 3 - Calcul du rapport volumétrique théorique du compresseur

On souhaite maintenant évaluer le rendement du compresseur, c'est à dire son rapport volumétrique et donc calculer le volume de la chambre de compression en fonction du temps

t

.
On reprend le domaine délimité par les points

D

F

de la sous-partie I.4, et pour

t \in [π/ω, (5π)/(2ω)]

, on note

A(t)

l'aire de la partie du plan délimitée par les deux spirales et les points

D

F

(voir figure 5, 6, 7 et 8) .

Les parties précédentes ont permis de montrer que

D = M(s_5(t)) = N(t, s_6(t)) et que F = M(s_3(t)) = N(t, s_4(t))

sont deux points communs aux deux spirales, les spirales étant tangentes en ces points.
La formule de Green Riemann permet alors de calculer l'aire du domaine compris entre les portions de spirales et les points

D

F

A(t) = 1/2(\int_(s_4(t))^(s_6(t))det(ON^(\to-)(t, s), (\partialON^(\to-))/(\partials)(t, s))ds - \int_(s_3(t))^(s_5(t))det(OM^(\to-)(s), (dOM^(\to-))/(ds)(s))ds)

valable pour

t \in [π/ω, (5π)/(2ω)]

. On rappelle que l'on a noté

s_k(t) = π/2 - ωt + kπ

pour

k \in ℤ

.
Q21. On reprend les notations de la sous-partie II.1, page 8.
À l'aide la question Q10 (page 8), calculer

det(u⃗(s), u⃗^'(s))

.
Q22. Montrer que l'on a, pour tout

s \in ℝ, det(OM^(\to-)(s), (dOM^(\to-))/(ds)(s)) = e^2 s^2

.
On pourra utiliser les questions

Q10

Q12

, page 8.
Q23. Pour tout

s \in ℝ

et tout

t \in [0, + \infty[

, montrer que

det(ON^(\to-)(t, s), (\partialON^(\to-))/(\partials)(t, s)) = det(v⃗(t) + OM^(\to-)(s), (dOM^(\to-))/(ds)(s))

puis que

det(ON^(\to-)(t, s), (\partialON^(\to-))/(\partials)(t, s)) = e^2(s^2 - πssin(s + ωt))

.
Q24. À l'aide d'une intégration par parties dont on rappellera les hypothèses, déterminer une primitive sur

ℝ

de la fonction

s \mapsto ssin(s + ωt)

(

t

étant fixé).
Q25. Montrer que :

A(t) = (e^2)/6[((13π)/2 - ωt)^3 + ((7π)/2 - ωt)^3 - ((11π)/2 - ωt)^3 - ((9π)/2 - ωt)^3]

.
Q26. La largeur des spirales fixes et mobiles étant la même, le rapport volumétrique théorique de ce compresseur est le rapport des aires :

r = (A(π/ω))/(A((5π)/(2ω)))

. Calculer ce rapport

r

On pourra utiliser la relation

11^3 + 5^3 - 9^3 - 7^3 = 384

et on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

II. 4 - Validation de la performance attendue pour le rapport volumétrique

On rappelle que le rapport volumétrique attendu est de 1,5 .
Q27. La modélisation étudiée dans ce sujet, permet-elle d'obtenir ce rapport volumétrique?

II. 5 - Critique du modèle

Q28. Quelle est l'influence sur le rapport volumétrique calculé en question Q27 si l'étanchéité entre les spirales fixe et mobile n'est pas totalement effective?

Partie III - Méthode de détermination des masselottes additionnelles

III. 1 - Mise en place de la problématique

L'excentrique réalisé sur l'arbre moteur (1) permet de réaliser le mouvement attendu de la spirale mobile (2) par rapport à la spirale fixe liée au bâti (0). Cependant, la forme de l'arbre moteur (1) crée un phénomène de balourd dans la liaison pivot entre l'arbre moteur (1) et le bâti (0), c'est-à-dire que les actions mécaniques de cette liaison pivot dépendent du temps. Ce phénomène crée des vibrations indésirables du bâti (0).

Pour éviter (ou atténuer) ces vibrations, on réalise l'équilibrage du compresseur.
Un solide

S

en rotation autour d'un axe fixe est dit équilibré si le torseur des actions mécaniques de la liaison pivot avec le bâti est indépendant du temps. En l'absence d'actions mécaniques extérieures, l'équilibrage consiste à ajouter des masselottes (notées contrepoids sur la figure 9, page 12) afin de modifier les caractéristiques d'inertie de l'ensemble en mouvement.

III. 2 - Modèle simplifié

Afin d'étudier l'équilibrage de l'ensemble de compression, un modèle simplifié est utilisé. On suppose que :

l'inertie du joint d'oldham (3) est négligée;
les effets de pesanteur sont négligés;
les actions mécaniques transmises dans les liaisons glissières entre la spirale mobile (2) et le joint d'oldham (3), d'une part et, entre le joint d'oldham (3) et le bâti (0), d'autre part, sont négligées.
On donne le schéma cinématique du modèle simplifié (figure 10, page 12).
On associe :
le repère $R_0 = (O, x_0^(\to-), y_0^(\to-), z_0^(\to-))$ au bâti (0);
le repère $R_1 = (A, x_1^(\to-), y_1^(\to-), z_0^(\to-))$ à l'arbre moteur (1);
le repère $R_2 = (A, x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0)$ à la spirale mobile (2).

L'arbre moteur (1) est en liaison pivot avec le bâti (0) d'axe (0,

z⃗_0

) avec

θ_(10) = (x⃗_0, x⃗_1) = (y⃗_0, y⃗_1)

. La spirale mobile (2) est en liaison pivot avec l'arbre moteur (1) d'axe (

A, z⃗_0

). On supposera de plus que le mouvement de la spirale mobile (2) par rapport au bâti (0) est une translation :

Ω⃗(2/0) = 0\to

Notations

G_1

G_2

sont respectivement les centres d'inertie de l'arbre moteur (1) et de la spirale mobile (2).

m_1

m_2

sont respectivement les masses de l'arbre moteur (1) et de la spirale mobile (2).

Figure 9 - Guidage en rotation de l'arbre moteur (1) par rapport au bâti (0)

Figure 10 - Schéma cinématique minimal simplifié de l'ensemble de compression

La matrice d'inertie de l'arbre moteur (1) au point

O

exprimée dans la base (

x⃗_1, y⃗_1, z⃗_0

) s'écrit :

I(O, 1) = (A_1, 0, - E_1; 0, B_1, 0; - E_1, 0, C_1)_((x⃗_1, y⃗_1, z⃗_0))

On note

OA^(\to-) = ex_1^(\to-), OG_1^(\to-) = g_1 x_1^(\to-)

AG_2^(\to-) = g_2 x_0^(\to-)

III. 3 - Modélisation des caractéristiques d'inertie de la spirale mobile (2)

On rappelle que la spirale fixe est modélisée par la courbe

F

d'équation :

{x(s) = e(- cos(s) - ssin(s)); y(s) = e(- sin(s) + scos(s))

.
On note

M(s)

le point de

F

de paramètre

s

avec

s \in [π, 5π + π/2]

.
Q29. Calculer

‖(dOM^(\to-))/(ds)(s)‖

pour tout

s

. On pourra utiliser la question Q12, page 8 .
Q30. Calculer la longueur de la spirale fixe en fonction de

e

et de

π

.
(c'est-à-dire la longueur de la partie de

F

correspondant aux paramètres

s \in [π, 5π + π/2]

On connait la masse linéïque de la spirale

σ_2 = 6, 5 kg/m

. On ne prend en compte que la spirale pour déterminer la masse de (2).
Q31. Sachant que les spirales fixes et mobile ont la même masse, donner l'expression littérale de la masse

m_2

de la spirale mobile (2).
Sachant que pour la spirale étudiée

e = 8 mm

, donner une valeur approchée de

m_2

en prenant

π^2 ≃ 10

III. 4 - Détermination des actions mécaniques dans la liaison pivot entre l'arbre moteur (1) et le bâti (0)

On note

S

l'ensemble constitué de l'arbre moteur (1) et de la spirale mobile (2):

S = {1 \cup 2}

. On suppose que le repère

R_0 = (O, x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0)

est galiléen. On suppose de plus que la vitesse de rotation de l'arbre moteur (1) par rapport au bâti (0) est constante :

θ¨_(10) = 0

Notations

γ⃗(M, i/j)

est l'accélération du point

M

appartenant à la pièce

i

par rapport au repère lié à la pièce

j

R_d^(\to-)(i/j)

est la résultante dynamique de la pièce

i

par rapport au repère lié à la pièce

j

σ⃗(M, i/j)

est le moment cinétique au point

M

de la pièce

i

par rapport au repère lié à la pièce

j

δ⃗(M, i/j)

est le moment dynamique au point

M

de la pièce

i

par rapport au repère lié à la pièce

j

.
Q32. Montrer que:

γ⃗(G_1, 1/0) = - g_1 θ˙_(10)^2 x⃗_1

.
Q33. Déterminer l'expression de l'accélération

γ⃗(G_2, 2/0)

.
Q34. En déduire l'expression de la résultante dynamique

R_d^(\to-)(S/0)

.
Q35. Montrer que :

σ⃗(O, 1/0) = - E_1 θ˙_(10)x_1^(\to-) + C_1 θ˙_(10)z_0^(\to-)

Q36. En déduire l'expression du moment dynamique

δ⃗(O, 1/0)

.
Q37. Sachant que le mouvement de la spirale mobile (2) par rapport au bâti (0) est une translation, déterminer l'expression du moment dynamique

δ⃗(G_2, 2/0)

.
Q38. En déduire l'expression du moment dynamique

δ⃗(O, 2/0)

.
Q39. Donner l'expression du moment dynamique

δ⃗(O, S/0)

.
Q40. Déterminer les actions mécaniques transmises par la liaison pivot entre l'arbre moteur (1) et le bâti (0) dans la base

(x⃗_0, y⃗_0, z⃗_0)

. Le compresseur est-il équilibré ?
Les masselottes permettent de modifier les caractéristiques géométriques et d'inertie de

S

.
Q41. À partir du résultat précédent, donner la position du centre d'inertie de l'ensemble

S^′ = {S ∪

masselottes

}

et la forme de la matrice d'inertie

I(O, S^')

permettant d'équilibrer le compresseur.

III. 5 - Critique du modèle proposé

On rappelle que les principales hypothèses du modèle sont :

l'inertie du joint d'oldham (3) est négligée;
les effets de pesanteurs sont négligés;
les actions mécaniques transmises dans les liaisons glissières entre la spirale mobile (2) et le joint d'oldham (3) d'une part et, entre le joint d'oldham (3) et le bâti (0) d'autre part, sont négligées.

Q42. Pour chacune de ces 3 hypothèses, expliquer leur influence sur la détermination des masselottes. Conclure quant au modèle proposé.

FIN

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MODÉLISATION

Abstract

Les calculatrices sont interdites

COMPRESSEUR À SPIRALES

Présentation générale

Problématique

Démarche retenue

Partie I - Analyse du fonctionnement du compresseur à spirales

I. 1 - Fonctionnement du compresseur à spirales

I. 2 - Analyse du mouvement de la spirale mobile

Données géométriques

Notations

I. 3 - Critique du modèle

I. 4 - Analyse de la compression

Partie II - Rapport volumétrique du compresseur

II. 1 - Construction de la spirale fixe F

II. 2 - Vérification de l'hypothèse d'étanchéité entre les chambres

II. 3 - Calcul du rapport volumétrique théorique du compresseur

II. 4 - Validation de la performance attendue pour le rapport volumétrique

II. 5 - Critique du modèle

Partie III - Méthode de détermination des masselottes additionnelles

III. 1 - Mise en place de la problématique

III. 2 - Modèle simplifié

Notations

III. 3 - Modélisation des caractéristiques d'inertie de la spirale mobile (2)

III. 4 - Détermination des actions mécaniques dans la liaison pivot entre l'arbre moteur (1) et le bâti (0)

Notations

III. 5 - Critique du modèle proposé

FIN

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II. 1 - Construction de la spirale fixe $F$