CCINP Modélisation PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES
Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

Impact de la carbonatation d'un béton sur son intégrité structurelle

Introduction - Contextualisation de l'étude

Figure 1 - Exemple de dalle d'une terrasse (a) et exemple d'un béton carbonaté (b)

• la partie I visera à déterminer la valeur du pH à la suite de la dissolution du dioxyde de carbone de l'air dans le béton;
• la partie II abordera la diffusion du CO_2 dans le béton;
• la partie III traitera de l'oxydation de la structure métallique et de son impact sur le risque d'écaillement du béton.

Partie I - Acidification du milieu

I. 1 - Risque de carbonatation à l'air ambiant

Figure 2 - Schématisation du problème

1.2 - Calcul du pH dans la solution interstitielle

Partie II - Propagation du front de carbonatation

II. 1 - Mise en équation du problème

• la carbonatation n'a pas d'impact sur la densité du béton ni sur sa microstructure ;
• le taux de CO_2 dans l'air ne varie pas au cours du temps;
• le béton est à l'équilibre hygrométrique avec l'humidité relative ambiante.

• Φ : la porosité, nombre entre 0 et 1 qui correspond à la fraction volumique non occupée par le matériau ;
• S : le taux de saturation des pores, nombre entre 0 et 1 qui correspond à la fraction volumique des cavités remplies de solution interstitielle.

Figure 3 - Schématisation du problème

II. 2 - Résolution numérique de l'équation de transport

• la première section définit les grandeurs fixes du problème ;
• la deuxième section initialise les listes résultats;
• la troisième section permet de déterminer l'évolution en fonction du temps de la concentration;
• la quatrième section permet de vérifier si la valeur minimale de la concentration est supérieure à la valeur seuil et renvoie la valeur de la profondeur le cas échéant;
• La cinquième section est destinée à la visualisation de ces résultats.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#Section 1 : Définition des données
N_x = 50
N_T = 1000
T_max = 100
L_max = 20
k2 = 3*10**(-7)
S = 0.5
Phi = 10**(-3)
Alpha = 3*10**(-2)
D_CO2 = 10**(-3.4)
CO = 2.5*10**(-3)
#Section 2 : Initialisation des résultats
#Instruction 1
for i in range(N_T):
    #Instruction }\overline{2
#Section 3: Implantation de la méthode d'Euler
#Instruction 3.a
#Instruction 3.b
#Instruction 4
for i in range(0, N_T-1):
    for j in range( }\overline{1},N\_x-1\mathrm{ ):
        #Instruction 5
#Section 4 : Application du seuil
def C_seuil(C, Vseuil):
    Res = #Instruction 6.a
    for i in range(#Instruction 6.b) :
        for j in range(#Instruction 6.c):
            if #Instruction 6.d:
                #Instruction 6.e
                break
    return Res
#Section 5 : Visualisation des résultats
LT, Front = #Instruction 7.a
#Instruction 7.b
#Instruction 7.c
#Instruction 7.d
#Instruction 7.e
plt.show()

Figure 5 - Évolution de la profondeur du front de carbonatation au cours du temps

Partie III - Oxydation des armatures

III. 1 - Oxydation de l'armature

• le liquide interstitiel est assimilé à une solution aqueuse basique ;
• le liquide interstitiel entoure entièrement et uniformément les armatures;
• l'armature est uniquement composée de fer pur Fe ;
• la réaction de carbonatation est totale.

Figure 6 - Modélisation du problème

• oxydation anodique du fer solide en Fe^(2 +)_((aq)),
• réduction cathodique de l'oxygène en ions hydroxides,
• formation du précipité d'hydroxyde de fer Fe(OH)_(2(s)) à la surface de l'acier.

Figure 7 - Diagramme de Pourbaix du fer

• F, la constante de Faraday ;
• M, la masse molaire de l'hydroxyde Fe(OH)_2;
• I, l'intensité du courant induit par la réaction d'oxydo-réduction;
• t, le temps;
• m(t), la masse de l'hydroxyde Fe(OH)_2 formée à l'instant t;
• z, la valence de l'hydroxyde Fe(OH)_2.

III. 2 - Validation numérique

Figure 8 - Vue du béton et coupe

Figure 9 - Définition du contour

[Instruction 1]
for $i$ in range([Instruction 2]):
    for $j$ in range([Instruction 3]):
        I = image[i,j]
        if I==0 and ( ... or ... or ...):\#[Instruction 4]
            [Instruction 5]

Annexe 1 - Quelques commandes utiles en langage Python

Bibliothèque NUMPY

• np.linspace(start, stop, N point) :
• Description : renvoie un nombre d'échantillons espacés uniformément, calculés sur l'intervalle [start, stop];
• Argument d'entrée : début, fin et nombre d'échantillons dans l'intervalle ;
• Argument de sortie: un tableau.

• np.zeros(i) :
• Description : renvoie un tableau de taille i rempli de zéros;
• Argument d'entrée : un scalaire
• Argument de sortie: un tableau.

• np.array(liste) :
• Description : crée une matrice (de type tableau) à partir d'une liste.
• Argument d'entrée : une liste définissant un tableau à 1 dimension (vecteur) ou 2 dimensions (matrice).
• Argument de sortie : un tableau (matrice).

• A[i, j] : _–
• Description : retourne l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A. Pour accéder à l'intégralité de la ligne i + 1 de la matrice A, on écrit A[i, : ]. De même, pour obtenir toute la colonne j + 1 de la matrice A , on utilise la syntaxe A[ :, j].
• Argument d'entrée: une liste contenant les coordonnées de l'élément dans le tableau A.
• Argument de sortie : l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A.

Bibliothèque MATPLOTLIB. PYPLOT

• Description : fonction permettant de tracer un graphique de n points dont les abscisses sont contenues dans le vecteur x et les ordonnées dans le vecteur y. Cette fonction doit être suivie de la fonction plt. show () pour que le graphique soit affiché.
• Argument d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de n éléments) et un vecteur d'ordonnées y (tableau de n éléments). La chaîne de caractères 'SC' précise le style et la couleur de la courbe tracée. Des valeurs possibles pour ces deux critères sont :

• Argument de sortie: un graphique.

x = np.linspace(3, 25, 5)
y = np.sin(x)
plt.plot(x,y,'-b') # tracé d'une ligne bleue continue
plt.title('titre_graphique') # titre du graphe
plt xlabel('x') # titre de l'axe des abscisses
plt ylabel('y') # titre de l'axe des ordonnées
plt.show()

Annexe 2 - L'algorithme de Newton

Présentation de la méthode :

• Initialisation de x_0 à une valeur quelconque.
• Calcul de x_1 à partir de la tangente à C_f en x_0. Cette dernière intersecte l'axe des abscisses en x_1.
• Calcul de x_(i + 1) en fonction de x_i tant que la distance |x_(i + 1) − x_i| est supérieure à l'erreur souhaitée.
  

  

Formule de récurrence :