Le sujet étudie un spectromètre infrarouge en deux parties indépendantes. La première décrit l'absorption vibrationnelle d'une molécule diatomique par trois modèles : classique (potentiel de Morse, loi de Hooke), quantique (résolution numérique de l'équation de Schrödinger) et ondulatoire (loi de Beer-Lambert). La seconde traite la source infrarouge (cristallographie, bilan thermique, dichotomie) puis le monochromateur à réseau, avec de nombreuses questions Python.

1Partie I.1 : modèle classique de la vibration (Q1 à Q14)Potentiel de Morse, approximation harmonique au voisinage de l'équilibre, fréquence propre de la molécule et effet de la multiplicité de la liaison par association de ressorts.
2Partie I.2 : modèle quantique (Q15 à Q26)Équation de Schrödinger pour un potentiel harmonique, discrétisation par différences finies et programme NumPy de calcul, normalisation et tracé de la fonction d'onde.
3Partie I.3 : modèle ondulatoire (Q27 à Q36)Propagation d'une onde électromagnétique dans une solution absorbante : relation de dispersion, vecteur d'onde complexe, vecteur de Poynting et loi de Beer-Lambert.
4Partie II.1 : source infrarouge (Q37 à Q47)Structure cristalline d'un alliage nickel-chrome, bilan de puissance d'une tige chauffée (effet Joule, rayonnement, conducto-convection) et calcul de la température par dichotomie en Python.
5Partie II.2 : monochromateur à réseau (Q48 à Q56)Différence de marche pour un réseau, puis programme de calcul de l'intensité diffractée et de la largeur spectrale sélectionnée par une fente.

Difficulté moyenne. Le jury juge la longueur adaptée, la plupart des candidats ayant abordé l'essentiel des questions, et la variété des niveaux de difficulté a permis un bon classement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,04 / 20 · écart-type 3,88 · 4 827 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 11,04/ 20
Écart-type: 3,88
Présents: 4 827
Coefficient: 7
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Équilibre confondu avec stabilité · Développement limité non détaillé · Calcul avec les nombres complexes

Le sujet mêlait physique, chimie et informatique, avec de nombreuses questions indépendantes et une longueur adaptée. Le jury déplore des résultats parachutés sans justification, des erreurs d'homogénéité et des difficultés sur les outils mathématiques de base (dérivées, complexes, développements limités). La partie ondulatoire, plus calculatoire, a posé problème à beaucoup de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Équilibre confondu avec stabilitéQ2
Beaucoup confondent équilibre et stabilité et associent l'équilibre à une énergie potentielle nulle plutôt qu'à une dérivée nulle.
« Beaucoup de copies semblent considérer que la seule façon d’avoir un équilibre est d’être à un minimum d’énergie potentielle. »
2
Développement limité non détailléQ4, Q5
Le développement limité est rarement écrit, les dérivées première et seconde sont absentes ou fausses, et les premiers termes disparaissent sans justification.
3
Calcul avec les nombres complexesQ29, Q30, Q33
Le vecteur d'onde approché, le passage à la forme réelle et le vecteur de Poynting ont souvent échoué, faute de maîtrise des complexes et du conjugué.
« Les candidats ont beaucoup de difficultés pour faire des calculs avec les complexes. »
4
Bilan thermique bricoléQ41 à Q44
Les candidats ont souvent ajusté leurs expressions pour retrouver le résultat de Q44 au lieu de définir le système et d'appliquer le premier principe en régime stationnaire.
« Pratiquement aucun candidat n’a suggéré l’application du 1er principe, ni expliquer ce qu’impliquait le régime stationnaire. »
5
Paramètre de maille mal calculéQ39, Q40
Erreurs sur le volume de la maille, oubli du nombre d'Avogadro ou de la population des atomes, et mauvaise lecture de l'énoncé pour la distance entre voisins.
6
Code Python peu rigoureuxQ21, Q23, Q24, Q46, Q53
Bornes de range erronées, oubli du return, condition d'arrêt de la dichotomie absente et double boucle manquante sont les erreurs les plus fréquentes.
« On observe fréquemment une dégradation de la lisibilité et de la rigueur dès que les candidats passent à l’écriture du code. »

Ce qui a été bien réussi

Q1, Q3 et Q10 sur le potentiel de Morse et le nombre d'onde ont été globalement bien traitées.
L'équation de Schrödinger et sa discrétisation (Q15 à Q19) ont été globalement bien traitées.
Les questions de cours Q27 et Q28 sur l'onde électromagnétique ont été bien traitées et presque tous ont cité la loi de Beer-Lambert.
La configuration électronique du nickel et le décompte des atomes par maille (Q37, Q38) ont été globalement réussis.

Conseils du jury

Citer explicitement les lois, définitions et théorèmes utilisés au lieu d'écrire « on a ».
Vérifier l'homogénéité des résultats, par exemple pour la fréquence propre d'un oscillateur masse-ressort.
Préparer au brouillon les codes élaborés et les tester mentalement sur un exemple de quelques valeurs.
Ne pas abandonner après un blocage : les questions indépendantes permettent de continuer à gagner des points.
Pour un bilan thermique, préciser le système, appliquer le premier principe et le sens des transferts.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

56 questions

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ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux parties indépendantes et d'une annexe.

Sujet : page 2 à page 13
Annexe : page 14 à page 16

Étude d'un spectrophotomètre infrarouge

La spectroscopie infrarouge est une spectroscopie moléculaire d'absorption dans laquelle la substance étudiée est exposée à un rayonnement électromagnétique. Certaines radiations sont absorbées par la molécule et leur examen permet d'en déduire des informations sur la structure de la molécule.
La première partie de ce sujet aborde l'absorption vibrationnelle sous divers modèles.
Le principe d'un spectrophotomètre (figure 1)est étudié dans la seconde partie.

Figure 1 - Spectrophotomètre infrarouge

Partie I - Absorption vibrationnelle

I. 1 - Modèle classique de la vibration d'une molécule diatomique

Dans le modèle classique d'une molécule diatomique, on assimile les deux atomes

A

B

unis par une liaison covalente à deux masses ponctuelles

m_A

m_B

. On suppose que la molécule est isolée et que les noyaux vibrent selon l'axe

Ox

. L'énergie potentielle de ce système est notée

E_p(x)

, où

x

est la distance internucléaire

AB

(

x = x_B - x_A

, où

x_A

x_B

sont les positions de

A

et de

B

dans un référentiel d'étude supposé galiléen) (figure 2).

Figure 2 - Molécule diatomique

AB

Dans cette sous-partie, le mouvement des atomes sera traité dans le cadre de la mécanique newtonienne.

I.1.1 - Potentiel de Morse

L'énergie potentielle d'interaction peut être modélisée par le potentiel de Morse (figure 3) :

E_p(x) = D(1 - e^(- α(x - x_e)))^2

où

D, α

x_e

sont des constantes positives appelées constantes de Morse.
Q1. Préciser les unités de

D, α

et de

x_e

dans le Système International. Justifier.

Q2. En utilisant la courbe de la figure 3, indiquer si le système possède une position d'équilibre. Si oui, laquelle ? Indiquer si cet équilibre est stable. Justifier votre résultat à l'aide d'une phrase, sans calcul.

4 Figure 3 - Énergie potentielle d'une molécule diatomique en fonction de la distance entre les noyaux

Q3. Dessiner la courbe

E_p(x)

sur la copie et y indiquer la constante

D

en justifiant la réponse. Préciser si le système se trouve dans un état lié ou un état libre lorsque son énergie mécanique

E_m

est supérieure à

D

, puis lorsqu'elle est inférieure à

D

I.1.2 - Modèle élastique

On se place dans l'approximation harmonique, c'est-à-dire que l'on ne considère que des petites variations de

x

autour de

x_e

Q4. Dans cette approximation, en effectuant un développement limité à l'ordre deux (rappelé en annexe) de

E_p(x)

autour de

x_e

, donner une expression approchée de

E_p(x)

Q5. En déduire que, dans cette approximation, l'énergie potentielle prend la forme d'une énergie potentielle élastique

E_p(x) = 1/2k(x - x_e)^2

où

k

est appelée constante de force dont on donnera l'expression en fonction des constantes de Morse. Quel est le signe de

k

À proximité de leur position d'équilibre, le modèle précédent montre que l'on peut considérer que les noyaux sont liés entre eux par un ressort qui aurait une raideur

k

Q6. On considère comme système l'atome

A

repéré par l'abscisse

x_A

. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir la relation entre

x_A¨, m_A, k, x

x_e

(relation 1).

Q7. On considère comme système l'atome

B

repéré par l'abscisse

x_B

. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir la relation entre

x_B¨, m_B, k, x

x_e

(relation 2).

Q8. En combinant les relations (1) et (2), montrer que la variable

x

vérifie l'équation différentielle :

ù é è μx¨ + kx = kx_e où μ est la masse réduite du système AB.

Exprimer

μ

en fonction de

m_A

et de

m_B

.
Q9. Exprimer la fréquence

f_0

des petites oscillations de la molécule

AB

en fonction de

μ

et de

k

.
Lorsque cette molécule est soumise à l'action d'une onde électromagnétique de fréquence

f = f_0

, on observe que la molécule entre en résonance et absorbe l'onde.

Q10. En spectroscopie, on préfère introduire le nombre d'onde

σ_0 = 1/(λ_0)

où

λ_0

est la longueur d'onde dans le vide d'une onde électromagnétique de fréquence

f_0

. Exprimer

σ_0

en fonction de

f_0

et de

c

, la célérité de la lumière dans le vide, puis en fonction de

μ, c

et de

k

(loi de Hooke).

I.1.3 - Validité de la loi de Hooke sur la multiplicité de la liaison

La loi de Hooke associe une liaison simple entre deux atomes à un ressort de raideur

k

et de longueur à vide

x_e

.
Une liaison double entre deux atomes est alors modélisée par deux ressorts identiques, de même raideur

k

et de longueur à vide

x_e

, placés en parallèle (figure 4).
Une liaison triple entre deux atomes est modélisée par trois ressorts identiques, de même raideur

k

et de longueur à vide

x_e

, placés en parallèle.

- Figure 4 - Masse reliée à deux ressorts identiques, placés en parallèle et fixés à l'autre extrémité

Q11. Considérons un solide assimilé à un point matériel de masse

μ

et relié à un support fixe par deux ressorts identiques de constante de raideur

k

et de longueur à vide

x_e

, placés en parallèle et dont l'autre extrémité est fixe (figure 4).
Établir, en fonction de

k

, l'expression de la constante de raideur

k_(eq)

du ressort unique équivalent.
Q12. Sans démonstration, exprimer alors, en fonction de la constante

k

, la constante de raideur du ressort unique équivalent à trois ressorts en parallèle.

Q13. En déduire, dans le cadre de ce modèle, le nombre d'onde

σ_0

de l'onde en fonction de

μ, c

et de

k

lorsque l'onde est :

a)absorbée par une double liaison,
b)absorbée par une triple liaison.

Conclure.
Q14. En s'aidant des résultats de la question Q13 et en justifiant la réponse, attribuer les trois valeurs de nombre d'onde suivantes

1650 cm^(- 1), 1300 cm^(- 1)

2200 cm^(- 1)

aux trois liaisons suivantes :

C - N

C \equiv N

C = N

I. 2 - Le modèle quantique

Même s'il permet d'expliquer approximativement les valeurs des fréquences d'absorption, le modèle classique ne permet pas de décrire le comportement discret de la vibration d'une liaison soumise à une onde électromagnétique, c'est pourquoi une étude quantique plus pertinente est présentée.
D'après la mécanique quantique, l'énergie vibrationnelle

E

est discrète et est donnée par la relation

E = ℏω_0(v + 1/2)

où

v

est un nombre entier positif ou nul appelé nombre quantique vibrationnel,

ℏ = h/(2π)

la constante de Planck réduite et

ω_0

la pulsation d'absorption.

On considère un problème unidimensionnel dans lequel une particule de masse

μ

est placée dans un potentiel :

V(x) = 1/2kx^2 = 1/2μω_0^2 x^2.

On rappelle l'équation de Schrödinger :

iℏ(\partialψ(x, t))/(\partialt) = - (ℏ^2)/(2μ)(\partial^2 ψ(x, t))/(\partialx^2) + V(x)ψ(x, t).

On s'intéresse à des états stationnaires de la forme :

ψ(x, t) = φ(x)e^(- iE/ℏt).

Q15. Montrer que la fonction d'onde spatiale

φ(x)

vérifie l'équation différentielle :

(d^2 φ(x))/(dx^2) + μ/(ℏ^2)(2E - μω_0^2 x^2)φ(x) = 0.

Résolution numérique de l'équation

On cherche à résoudre numériquement l'équation de la question Q15.

On définit une valeur

L

déterminée par l'intersection du potentiel

V

avec le niveau d'énergie correspondant à

v = 5

(figure 5).

- Figure 5 - Représentation graphique de

L

déterminée par l'intersection de

V(x)

avec

E_5

On discrétise l'intervalle

[ - L, L]

représentant les valeurs de

x

accessibles à la particule en

N = 10000

points régulièrement espacés d'un pas spatial

dx

. On souhaite déterminer

φ(x)

en chacun de ces points.

Q16. À l'aide d'un développement limité à l'ordre deux (rappelé en annexe), exprimer

φ(x + dx)

d'une part et

φ(x - dx)

d'autre part au second ordre par rapport à

x

Q17. En déduire une expression de

(d^2 φ(x))/(dx^2)

en fonction de

dx, φ(x), φ(x - dx)

et de

φ(x + dx)

On note

x_i, i \in [0, N[

, les abscisses des points discrétisés.
On pose

φ_i

V_i

les valeurs de la fonction d'onde spatiale

φ

et du potentiel

V

à l'abscisse

x_i

.
Q18. En reformulant le résultat de la question Q17, écrire une relation entre

φ_(i + 1), φ_(i - 1), φ_i, (d^2 φ(x))/(dx^2)

dx

Q19. À partir des questions Q15 et Q18, montrer que :

φ_(i + 1) = (2 + (2μω_0)/(ℏ^2)dx^2(1/2μω_0 x_i^2 - ℏ(v + 1/2)))φ_i - φ_(i - 1)

Le programme 1 permet de déterminer les valeurs de la fonction d'onde spatiale aux points de discrétisation pour des nombres quantiques de vibration

v

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#données du problème
hbar=1.05e-34
mu=1e-28
omega0=1e14
N=10000
#discrétisation de l'axe x
[instruction 1.1]
[instruction 1.2]
[instruction 1.3]
def fonction_onde(v):
    #calcul de la fonction d'onde pour chaque valeur de x
    [instructions 2]
    #normalisation de la fonction d'onde
    [instruction 3.1]
    [instruction 3.2]
    return phi
#tracé des courbes
[instructions 4]

Programme 1 - Résolution numérique de l'équation de Schrödinger
Dans les questions suivantes, on cherchera à compléter les instructions manquantes.
Q20. Donner l'instruction 1.1 qui permet de calculer

L

.
Q21. Écrire l'instruction 1.2 qui crée un tableau unidimensionnel (ou vecteur) appelé

X

contenant les

N

positions discrètes accessibles à la particule dans l'intervalle [-L, L].

Q22. Écrire l'instruction 1.3 qui calcule le pas d'espace

dx

à partir du vecteur

X

défini en Q21.
On définit une fonction appelée fonction_onde qui prend pour argument d'entrée la valeur du nombre quantique

v

et retourne un tableau unidimensionnel phi contenant les valeurs de la fonction d'onde spatiale normalisée pour chaque valeur du tableau

X

On choisit comme condition aux limites

φ(x = x_0) = 0

. Comme la valeur de

φ

x = x_1

est inconnue, on fait le choix arbitraire de prendre

φ(x = x_1) = 1

Q23. Compléter les instructions 2 qui créent le tableau phi, le remplissent à 0, puis le remplissent par les valeurs de la fonction d'onde spatiale pour chaque valeur de

X

La fonction d'onde spatiale doit être normalisée pour exprimer que la probabilité de trouver une particule dans l'espace qui lui est accessible est égale à 1. Pour normaliser la fonction d'onde, on calcule l'intégrale

\int_(- L)^L φ(x)^2 dx

, puis on divise chaque élément du tableau phi par la racine carrée de cette intégrale.

Rappel sur la méthode des rectangles à gauche (figure 6) :
On cherche à calculer de manière approchée l'intégrale

F = \int_a^b f(x)dx

d'une fonction

f : [a; b] \to ℝ

continue.
La méthode des rectangles à gauche consiste à découper l'intervalle

[a; b]

en intervalles élémentaires

[x_i; x_(i + 1)]

, puis sur chacun de ces intervalles, on remplace

f(x)

sur le segment

[x_i; x_(i + 1)]

par

f(x_i)

. L'intégrale

\int_(x_i)^(x_(i + 1))f(x)dx

est alors approchée par

(x_(i + 1) - x_i)f(x_i)

- Figure 6 - Méthode des rectangles à gauche

Q24. Compléter l'instruction 3.1 qui calcule

\int_(- L)^L φ(x)^2 dx

par la méthode des rectangles à gauche et l'appelle norm. On pourra le faire en une seule ligne (en utilisant l'annexe) ou en plusieurs lignes de code.

Q25. Compléter l'instruction 3.2 qui divise chaque élément du tableau phi par la racine carrée de cette intégrale.

Q26. Compléter les instructions 4 qui permettent d'afficher les courbes d'évolution de la fonction d'onde spatiale normalisée selon la variable

x

pour

v \in {0; 1; 2}

sur un seul graphique comme représenté sur la figure 7.

- Figure 7 - Évolution de la fonction d'onde spatiale normalisée pour

v = 0, 1

et 2

I. 3 - Le modèle ondulatoire : absorption d'une onde électromagnétique par une solution chimique

Une source de lumière émet une lumière incidente monochromatique de longueur d'onde

λ

qui traverse une cuve de longueur

e

contenant la solution chimique. On étudie l'interaction entre la lumière et ce milieu.

Ce milieu occupe la région de l'espace

0 \leq x \leq e

. L'espace est rapporté à une base orthonormée directe

(u_x^(\to-), u_y^(\to-), u_z^(\to-))

On note

μ_0

la perméabilité magnétique du vide.
Une onde plane, progressive, harmonique, de pulsation

ω

et de longueur d'onde

λ = 6000 nm

se propage dans l'air (assimilé au vide) dans la direction des

x

croissants.

Cette onde arrive sous incidence normale en

x = 0

sur une cuve d'épaisseur

e

contenant une solution chimique. L'influence des parois de la cuve et les réflexions aux différentes interfaces seront négligées.

On admet que les équations de Maxwell dans la solution chimique s'écrivent en notation complexe :

divE⃗_- = 0 rot^(\to-)(E⃗_-) = - (\partialB⃗)/(\partialt) divB⃗_- = 0 rot^(\to-)(B⃗_-) = ε_-μ_0(\partialE⃗_-)/(\partialt) avec ε_- = ε_r - jε_i et ε_i > 0,

ε_-

étant la permittivité diélectrique complexe du milieu et

j

le nombre imaginaire tel que

j^2 = - 1

.
On cherche des solutions complexes des équations de Maxwell de la forme :

E⃗_- = E_0 e^(j(ωt - k_-x))u_y^(\to-), k_- a priori complexe.

Q27. Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique

E⃗

.
Q28. Établir la relation de dispersion de ce milieu. On exprimera pour cela

k_-^2

en fonction de

ω, μ_0

ε_r

et de

ε_i

On suppose

0 < ε_i≪ε_r

.
Q29. En déduire une expression approchée de

k_-

. On mettra

k_-

sous la forme

k_- = k^' - jk^('')

(avec

k^'

k^('')

réels et

k^('') > 0

). Exprimer

k^'

k^('')

en fonction de

ω, μ_0, ε_r

et de

ε_i

Q30. Écrire le champ électrique sous forme réelle

E⃗(x, t)

. Pour simplifier l'expression, on écrira

E⃗(x, t)

en fonction de

k^'

et de

k^('')

et non pas en fonction de

ω, μ_0, ε_r

et de

ε_i

. Le milieu est-il absorbant ? Justifier.

Q31. Exprimer la vitesse de phase

v_φ

. Le milieu est-il dispersif ? Justifier.
Q32. Déterminer, en notation complexe, l'expression du champ magnétique

B⃗_-(x, t)

de l'onde dans le milieu. On écrira

B⃗_-(x, t)

en fonction de

k^'

et de

k^('')

pour simplifier son expression.

Q33. On définit l'intensité lumineuse

I

de l'onde comme

I = ‖⟨Π⃗(x, t)⟩‖, Π⃗(x, t)

étant le vecteur de Poynting dont la valeur moyenne est donnée en annexe. Montrer que

I

se met sous la forme :

I = I_0 exp(- x/δ).

Exprimer

I_0

en fonction de

k^', ω, μ_0

et de

E_0

δ

en fonction de

k^('')

.
Q34. On pose

δ = 1/(αc_0)

où

α

est une constante et

c_0

la concentration de la substance absorbante. Que vaut l'intensité lumineuse

I_s

juste en sortie de la cuve ?

Q35. Exprimer l'absorbance définie par

A = log(I_0)/(I_S)

et la transmittance définie par

T = (I_S)/(I_0)

en fonction de

α, c_0

et de

e

.
Q36. On pose

ε_(em) = α/(ln(10))

où

ε_(em)

est le coefficient d'extinction molaire. En déduire l'expression de l'absorbance en fonction de

ε_(em), c_0

et de

e

. Quel est le nom de la relation vérifiée par l'absorbance ?

Partie II - Principe de fonctionnement d'un spectrophotomètre infrarouge

Une source infrarouge émet un faisceau polychromatique.
Ce faisceau est ensuite dirigé vers un monochromateur à réseau qui sélectionne une bande étroite de longueur d'onde afin d'en mesurer l'intensité lumineuse.

II. 1 - Étude de la source infrarouge

La source infrarouge est une tige composée d'un alliage nickel-chrome. Traversée par un courant électrique, cette tige s'échauffe par effet Joule et émet un rayonnement infrarouge.

II.1.1 - Étude cristalline de la source infrarouge

Q37. Le numéro atomique de l'élément nickel vaut

Z = 28

. Donner sa configuration électronique et indiquer la place de cet élément chimique dans la classification périodique (numéro de la ligne et de la colonne).

Dans un alliage nickel-chrome, les atomes cristallisent dans une structure cubique à faces centrées. Dans chaque maille, les atomes de nickel occupent tous les sommets et le centre de quatre faces tandis que les atomes de chrome occupent le centre des deux autres faces opposées.

Q38. Combien y a-t-il d'atomes de chrome et de nickel par maille ?
Q39. Exprimer littéralement le paramètre de maille

a

de l'alliage en fonction de la masse volumique de l'alliage nickel-chrome

μ(NiCr)

et des masses molaires du nickel

M(Ni)

et du chrome

M(Cr)

. Le calcul conduit à la valeur numérique

a = 350pm

Q40. En déduire la valeur numérique de la distance moyenne

d

entre deux atomes voisins de l'alliage, dans un modèle où il serait formé d'atomes identiques. On pourra utiliser l'aide aux calculs donnée en annexe.

II.1.2 - Évaluation de la température ambiante autour de la source infrarouge

La source infrarouge est une tige cylindrique, de longueur

L

, de rayon

a

et de conductivité électrique

γ

.
Cette tige traversée par un courant électrique d'intensité

i

s'échauffe par effet Joule jusqu'à ce que sa température de surface

T_s

atteigne 1000 K .

Elle échange de la chaleur par rayonnement thermique et par conducto-convection avec le gaz environnant dont on cherche à déterminer la température

T_a

lorsque l'équilibre thermique est atteint.
La résistance électrique de la tige vaut

R = L/(γπa^2)

Rappelons les deux lois suivantes :
Loi de Stefan : la puissance surfacique

φ_s

rayonnée par un corps noir dont la température de surface est

T

s'écrit

φ_s = σT^4

où

σ

est la constante de Stefan qui vaut

5, 67 \cdot 10^(- 8) W \cdot K^(- 4) \cdot m^(- 2)

Loi de Newton : la puissance thermique échangée entre un solide de surface

S

, à la température

T

et un fluide à la température

T_a

s'écrit

|HS(T - T_a)|

où

H

est une constante appelée constante de conducto-convection.

On donne

H = 1 W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 1)

.
On se place en régime permanent.
Q41. Écrire l'expression de la puissance électrique

é P_(élec)

reçue par la tige en fonction de

γ, L, a

et de

i

La tige et le gaz environnant sont considérés comme des corps noirs.
Q42. Exprimer la puissance thermique

P_(ray)

échangée par rayonnement thermique entre la tige et le gaz environnant en fonction de la constante de Stefan

σ, a, L, T_a

et de

T_s

Q43. Exprimer la puissance thermique

P_(cc)

échangée par conducto-convection entre la tige et le gaz environnant en fonction de la constante de conducto-convection

H, a, L, T_a

et de

T_s

Q44. Effectuer un bilan énergétique de la tige et montrer que

T_a

vérifie l'équation suivante :

σT_a^4 + HT_a = σT_s^4 + HT_s - (i^2)/(2π^2 γa^3).

II.1.3 - Détermination de la température $T_a$ par dichotomie

Principe de la méthode (figure 8) :
Soient deux valeurs

b

c

et une fonction

f : x \to f(x)

strictement monotone et continue sur l'intervalle

[b, c]

On suppose que

f(b)

f(c)

sont de signes opposés. Dans ces conditions, l'équation

f(x) = 0

admet une solution unique.
L'objectif est de déterminer la solution de l'équation

f(x) = 0

avec une précision p.
Pour trouver la solution, on divise l'intervalle en deux parties égales avec comme milieu

m = (b + c)/2

.
Si

f(b)

f(m)

sont de même signe, la solution se trouve alors dans l'intervalle [

m, c

], sinon elle se trouve dans l'intervalle

[b, m]

On réitère alors la recherche dans l'intervalle où la fonction change de signe jusqu'à obtenir la précision voulue.

- Figure 8 - Méthode de dichotomie

Le programme 2 permet de déterminer la valeur de

T_a

par dichotomie.

#données du problème
H=1
sigma=5.67e-8
Ts=1000
i=25
a=1e-3
gamma=1e7
#définition de la fonction considérée
def f(x):
    [instruction 4]
#recherche de la valeur de Ta par dichotomie
[instructions 5]
#résultat
print(f"La température Ta vaut : {Dichotomie(f,298,1000,1):.0f} K")

Programme 2 - Recherche par dichotomie de la température du gaz environnant la tige métallique

Q45. Compléter l'instruction 4 qui définit la fonction

f

considérée.
Q46. Compléter les instructions 5 qui définissent une fonction appelée dichotomie comprenant les arguments

f, b, c

p

et qui permet de déterminer la solution de l'équation

f(x) = 0

avec une précision

p

Q47. L'instruction finale :
print(f"La température Ta vaut : {Dichotomie(f,298,1000,1):.0f} K") renvoie le résultat : La température Ta vaut : 986 K. Commenter cette valeur.

II. 2 - Monochromateur à réseau

Un spectromètre contient un réseau qui joue le rôle de monochromateur. Un monochromateur est un dispositif optique qui permet d'obtenir une onde lumineuse quasi monochromatique à partir d'une source polychromatique.

Le réseau à transmission considéré a

n = 50

traits par millimètre et

N = 1000

traits au total.

II est éclairé sous incidence nulle par un faisceau parallèle de lumière polychromatique.

Figure 9 - Schéma d'un monochromateur

Une lentille convergente mince, de distance focale

f^' = 20 cm

, a son axe optique perpendiculaire au réseau et est placée à la distance focale de l'écran (figure 9).

Q48. Établir l'expression de la différence de marche

δ

en un point

M

de l'écran d'ordonnée

x

entre deux rayons de même longueur d'onde

λ_0

et diffractés parallèlement sous un angle

θ

par deux fentes consécutives séparées d'une distance

a = 1/n

. En déduire que le déphasage

φ

entre ces deux rayons, dans les conditions de Gauss, s'écrit

φ = (2πx)/(λ_0 nf^')

Le déphasage entre deux rayons consécutifs et de même longueur d'onde étant égal à

φ

, les amplitudes complexes des vibrations lumineuses diffractées successives ont pour expressions (du trait 1 au trait

N

) en un point

M

de l'écran :

A_0; A_0 exp(- jφ); A_0 exp(- 2jφ); \dots; A_0 exp(- j(N - 1)φ).

L'amplitude complexe totale diffractée au point

M

est la somme de chaque amplitude complexe :

A_- = A_0(1 + exp(- jφ) + exp(- 2jφ) + \dots + exp(- j(N - 1)φ)).

L'intensité lumineuse résultant de la superposition de ces

N

vibrations lumineuses au point

M

est obtenue en multipliant l'amplitude complexe

A_-

par son complexe conjugué

A^*_-

I = A_- \cdot A^*.

On désigne par

I_0 = A_0^2

l'intensité lumineuse émise par chacune des fentes.
Le tracé de la variation de

I/(I_0) = (A_-)/(A_0) \cdot (A^*)/(A_0)

pour une longueur d'onde fixée en fonction de l'abscisse

x

est donné sur les figures 10 et 11. Ces tracés montrent que l'intensité lumineuse est concentrée principalement sur certaines valeurs de

x

et est nulle partout ailleurs.

Figure 10 - Répartition de l'intensité pour des interférences à

N = 1000

ondes en fonction de

x

Figure 11 - Répartition de l'intensité lumineuse en fonction de

x

sur l'écran

L'écran présente une fente fine centrée en

x_0

et de largeur

b

(figure 12). La source polychromatique émet un rayonnement infrarouge dont les longueurs d'onde sont comprises entre

2 \cdot 10^(- 6) m

6 \cdot 10^(- 6) m

. Cette fente ne laisse passer qu'une bande étroite des longueurs d'onde émises par la source.

- Figure 12 - Filtrage spectral à l'aide d'une fente

Le programme 3 détermine la résolution du monochromateur, c'est-à-dire l'ensemble des longueurs d'onde transmises par la fente.

n=50_000 # nombre de traits par mètre
f=0.2 # distance focale de la seconde lentille
N=1000 # nombre total de traits
# Définition de la fonction phi
instruction 6
# Définition de la fonction intensite
def intensite(x,lamda) :
    instructions 7
def resolution(x0,b):
    instructions 8.1
    instructions 8.2
    instruction 8.3
    instructions 8.4
    instruction 8.5

Programme 3 - Recherche de la résolution du monochromateur

Q49. Compléter l'instruction 6 qui définit une fonction appelée phi qui utilise deux paramètres

x

λ

notés x et lamda et qui retourne le déphasage

φ

exprimé à la question Q48.

Q50. Compléter les instructions 7 qui définissent une fonction appelée intensite qui utilise les mêmes paramètres précédents x et lamda, qui font appel à la fonction phi définie à la Q49 et retournent l'expression de l'intensité lumineuse I. Pour cela, on utilisera les commandes qui sont données en annexe.

La fonction resolution utilisant deux arguments

x_0

l'abscisse centrale de la fente nommée x0 et

b

sa largeur nommée b, permet d'obtenir l'ensemble des longueurs d'onde transmises par la fente.

Q51. Compléter les instructions 8.1 qui déterminent les valeurs limites

x_(min)

x_(max)

de l'abscisse

x

fixées par l'ouverture de la fente, valeurs limites que l'on notera x_min et x_max.

Q52. Compléter les instructions 8.2 qui définissent deux listes contenant 1000 éléments chacune. La première liste nommée X_list contient les valeurs de x comprises entre x_min et x_max. La seconde liste nommée Lambda_list contient les longueurs émises par la source comprises entre

2 \cdot 10^(- 6) m

6 \cdot 10^(- 6) m

On considère qu'une vibration lumineuse est transmise par la fente si son intensité est supérieure à une intensité seuil égale à 0,1 fois l'intensité maximale et si son abscisse est comprise entre

x_(min)

x_(max)

Q53. Compléter l'instruction 8.3 qui définit l'intensité seuil appelée I_seuil.
Q54. Compléter les instructions 8.4 qui initialisent une liste vide nommée longueur_onde, puis qui, pour chaque élément lamda de la liste Lambda_list et pour chaque élément x de la liste X_list, compare son intensité à I_seuil et finalement remplissent la liste longueur_onde de l'élément lamda si l'intensité est supérieure à I_seuil.

Q55. Compléter l'instruction 8.5 qui retourne

Δλ

, l'écart entre la plus grande longueur d'onde transmise par la fente et la plus petite.

Q56. Pour

x_0 = 3 cm

b = 0, 1 mm

, on obtient

Δλ = 1, 2 \cdot 10^(- 8) m

. Commenter.

ANNEXE

Quelques commandes utiles en langage Python

A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs)
B - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes)

A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs)

np.sqrt(x)

Description : renvoie la racine carrée non négative d'un tableau, élément par élément.
Argument d'entrée : un tableau dont on cherche la racine carrée de chaque élément.
Argument de sortie : un tableau de même forme que x contenant la racine carrée de chaque élément de x.

Exemple :

Commande

Résultat

np.sqrt([1,4,9])

np.sqrt(2)

[ 1. 2. 3.]

1.4142135623730951

np.linspace(start,stop,N_points)

Description : renvoie des nombres uniformément espacés sur un intervalle spécifié.
Arguments d'entrée : start : la valeur de départ de la séquence.
stop : la valeur de fin de la séquence.
N_points : Nombre d'échantillons à générer.
Argument de sortie : un tableau unidimensionnel de N_points éléments régulièrement espacés entre start et stop.

Exemple :	Commande	Résultat
Exemple :	np.linspace(1,5,5)	[1. 2. 3. 4. 5.]

np.zeros(n)

Description : fonction créant un tableau unidimensionnel de longueur n dont tous les éléments sont nuls.

Argument d'entrée : un entier correspondant à la longueur du tableau unidimensionnel à créer.

Argument de sortie : un tableau unidimensionnel d'éléments de type flottant et égaux à 0.

Exemple :	Commande	Résultat
Exemple :	np.zeros(4)	[0. 0. 0. 0.]

np.sum(a)
Description : somme de tous les éléments de a.
Argument d'entrée : a, une liste de valeurs numériques.
Argument de sortie : somme des valeurs numériques de la liste a.

Exemple	$a = [1, 2, 3]$
	Commande	Résultat
	np. sum(a)	6

a.conjugate()

Description : renvoie le conjugué complexe de a, élément par élément.
Argument d'entrée : a, un tableau de type array.
Argument de sortie : un tableau dont les éléments sont les conjugués complexes de a.

Exemple

a=np.array([ 1j, 2+3j])
Commande	Résultat
a.conjugate()	[ -1.j, 2.-3.j]

max(), min()
Description : renvoie la plus grande (la plus petite) valeur d'un ensemble de données.
Argument d'entrée : a, une liste.
Argument de sortie : la plus grande (la plus petite) valeur de a.

Exemple

a=[1, 9.2, 6, 3.3]
Commande	Résultat
max(a)	9.2

B - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes)

Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la commande :
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x,y)

Description : fonction permettant de tracer un graphique de n points dont les abscisses sont contenues dans le tableau unidimensionnel x et les ordonnées dans le tableau unidimensionnel y. Cette fonction doit être suivie de la fonction plt.show() pour que le graphique soit affiché.

Argument d'entrée : un tableau unidimensionnel de n éléments d'abscisses x et un tableau unidimensionnel de n éléments d'ordonnées y.

Argument de sortie : un graphique.

Formules utiles

rot^(\to-)(rot^(\to-)(E⃗_-)) = grad^(\to-)(div(E⃗_-)) - Δ⃗(E⃗_-)

⟨Π⃗(x, t)⟩ = 1/2Re((E⃗ \land B^*^(\to-))/(μ_0))

où

B^*^(\to-)

est le conjugué de

B⃗_-

Re((E⃗ \land B^*^(\to-))/(μ_0))

représente la partie réelle du produit vectoriel

(E⃗ \land B^*^(\to-))/(μ_0)

log(x) = (ln(x))/(ln(10)).

Développement limité à l'ordre 2 de

f(x)

autour de

a

f(x) \approx f(a) + (x - a) \times f^'(a) + 1/2(x - a)^2 \times f^('')(a).

Aide aux calculs

350 \times 1, 4 = 490; 350/1, 4 = 250; 350 \times 1, 7 = 595; 350/1, 7 \approx 206

(2)^(1/3) \approx 1, 3; 1/(\sqrt3) \approx 0, 6

\sqrt2 \approx 1, 4; \sqrt3 \approx 1, 7; \sqrt5 \approx 2, 2

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de modélisation CCINP PC 2026 ?

Sur l'oscillateur harmonique et le potentiel de Morse, la mécanique quantique, les ondes électromagnétiques dans un milieu absorbant, la cristallographie, les transferts thermiques, les réseaux en optique et la programmation Python.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en modélisation CCINP PC 2026 ?

Des résultats parachutés, la confusion entre équilibre et stabilité, des calculs avec les complexes non aboutis, un bilan thermique sans premier principe et des codes Python aux bornes ou retours erronés.

Le sujet de modélisation CCINP PC 2026 était-il long ?

Non, le jury estime que sa longueur était adaptée : la majorité des candidats a traité ou abordé l'essentiel des questions.

Comment réussir les questions Python de modélisation CCINP PC 2026 ?

Le jury conseille de préparer le raisonnement au brouillon, de tester le code sur un cas simple pour repérer les erreurs de bornes ou d'initialisation, et de commenter une approche originale.

Pas de description pour le moment

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I. 1 - Modèle classique de la vibration d'une molécule diatomique

I.1.1 - Potentiel de Morse

I.1.2 - Modèle élastique

I.1.3 - Validité de la loi de Hooke sur la multiplicité de la liaison

I. 2 - Le modèle quantique

Résolution numérique de l'équation

I. 3 - Le modèle ondulatoire : absorption d'une onde électromagnétique par une solution chimique

Partie II - Principe de fonctionnement d'un spectrophotomètre infrarouge

II. 1 - Étude de la source infrarouge

II.1.1 - Étude cristalline de la source infrarouge

II.1.2 - Évaluation de la température ambiante autour de la source infrarouge

II.1.3 - Détermination de la température T_a par dichotomie

II. 2 - Monochromateur à réseau

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B - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes)

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Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en modélisation CCINP PC 2026 ?

Le sujet de modélisation CCINP PC 2026 était-il long ?

Comment réussir les questions Python de modélisation CCINP PC 2026 ?

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