CCINP Modélisation PC 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• Ne pas utiliser de correcteur.
• Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Étude d'une réaction à solide consommable

Présentation du problème

Figure 1 - Représentation schématique de l'évolution du front de réaction en fonction du temps

• le transport du fluide réactif à travers la couche limite externe des particules (généralement par convection),
• le transport du fluide réactif à travers la couche de produit solide poreux par diffusion dans les pores,
• la réaction chimique qui est localisée au niveau du front de réaction,
• le transport du produit fluide (s'il existe) dans les pores, puis à travers la couche limite externe.

Partie I - Mise en équation du modèle à cœur rétrécissant

1.1 - Étude de la diffusion du fluide dans la couche de produit poreux

Figure 2 - Schéma de la particule de solide d'épaisseur 2e

1.2 - Établissement de l'équation de la diffusion de A dans la couche de produit poreux B

Figure 3 - Volume élémentaire de la couche de produit poreux de section S et d'épaisseur dx(a) Vue en 3 dimensions, (b) Vue de profil

• en x = 0, D_e(∂C)/(∂x)|_(x = 0) = k_D(C_e − C_s)
• en x = x_f, D_e(∂C)/(∂x)|_(x = x_f) = k_C C_f
  avec:
• k_D la conductance de transfert du fluide dans la couche limite (en m ⋅ s^(− 1) ) ;
• C_e la concentration molaire du fluide dans la phase gazeuse en dehors de la couche limite du fluide ;
• C_s la concentration en surface de la particule, en x = 0 (donc C_s = C(x = 0) );
• C_f la concentration au niveau du front de réaction, en x = x_f (donc C_f = C(x = x_f) );
• k_C la constante cinétique de la réaction de consommation du solide B par le fluide A (en m ⋅ s^(− 1) ) (figure 4).

Figure 4 - Schéma de la particule de solide (sur l'intervalle [0, e] ) partiellement consommée avec la représentation de la couche limite du fluide et du front de réaction

1.3 - Modèle simplifié : hypothèse du régime stationnaire pour la phase fluide

• la résistance au transfert externe (notée R_(te) ) dans la couche limite externe ;
• la résistance au transfert interne (notée R_(ti) ) par la diffusion dans la porosité ;
• la résistance par la réaction chimique (notée R_(rc) ) localisée au niveau du front de réaction.

Figure 5 - Représentation schématique du problème en termes de résistances en série

• t_(0e) = Ke/(k_D), le temps caractéristique de transport dans la couche limite externe ;
• t_(0i) = K1/(D_e)(e^2)/2, le temps caractéristique de transport interne par diffusion dans la porosité ;
• t_(0c) = Ke/(k_C), le temps caractéristique de consommation par la réaction chimique.

Partie II - Résolution numérique du problème

Figure 6 - Discrétisation spatiale dans la direction x

• C_(i, k + 1) représente la concentration au point d'abscisse x_i à la date t_(k + 1) = t_k + Δt;
• C_(i + 1, k) représente la concentration au point d'abscisse x_(i + 1) = x_i + Δx à la date t_k.

• pour 0 ≤ x < x_f, d'une partie qui a réagi dans laquelle diffuse le réactif ;
• pour x_f ≤ x < e, d'une partie qui n'a pas encore réagi et dans laquelle la concentration en réactif fluide est nulle.
  L'indice spatial correspondant à la position du front de réaction sera noté i_(fr) (variable Python : ifr).
  L'équation (11) est valable uniquement pour les indices i de 1 à i_(fr) − 1.
  Pour les indices i = 0 et i = i_(fr), il est nécessaire d'utiliser les conditions aux limites (équations (3) et (4)) pour calculer les valeurs particulières de C_(0, k) et C_(i_(fr), k). La discrétisation des conditions aux limites conduit aux deux relations de récurrence suivantes:
• en x = 0, C_(0, k) = (C_e + sC_(1, k))/(1 + s)
• en x = x_f, C_(i_(fr), k) = u/(1 + u)C_(i_(fr) − 1, k)

• initialisation des variables;
• boucle d'intégration :
• calcul de l'indice i_(fr) correspondant au front de réaction;
• calcul des concentrations à chaque pas d'espace à l'aide des relations de récurrence ;
• stockage des concentrations dans une matrice.

#Boucle itérative
#Initialisation des variables
_ _ _ #valeur ItMax
_ _ #valeur initiale pour la variable compteur
#Début de la boucle
_ _ _ compteur < _ _ _ :
    #Calcul de l'indice ifr (code non demandé ici)
    #Calcul des concentrations à chaque pas d'espace (code non demandé ici)
    #stockage des concentrations dans une matrice (code non demandé ici)
    #Incrémentation du compteur
    - - -

#Initialisation de vect_C et de vect_Cprec
vect_C = np.zeros(len(vect_x))
vect_Cprec = np.zeros(len(vect_x))
#Calcul des concentrations
#Pour i = 0
vect_C[0] = (Ce + s * vect_C[_]) / (1 + s)
#Pour i de 1 à ifr - 1
for i in range (_,_):
    vect_C[i] = r * vect_Cprec[_] + (1-2*r)*vect_Cprec[_] + r * vect_Cprec[_]
#Pour i = ifr
vect_C[ifr] = u / (1 + u) * vect_C[_]
#Stockage des valeurs de C à l'instant k pour le calcul à l'instant k+1
- - -

• la valeur des concentrations dans la matrice mat_C ;
• la date dans le vecteur vect_t ;
• l'abscisse du front de réaction dans le vecteur vect_R.

#Boucle itérative
#Initialisation des variables
mat_C = _ _ _ #matrice des concentrations
vect_t = _ _ _ #vecteur des temps
#Début de la boucle
    #Calcul de l'indice ifr (code non demandé ici)
    #Calcul des concentrations à chaque pas d'espace (code non demandé ici)
    #stockage des concentrations dans la matrice mat_C et des dates dans vect_t
    if j * 100000 _ _ _ _ _ _ :
        mat_C[ _ _ _ , _ _ _ ] = vect_C
        vect_t [j] = j * _ _ _ * Dt
        _ _ _ _ _ _
    #Incrémentation du compteur (code non demandé ici)

Partie III - Comparaison entre les deux modèles

Figure 7 - Comparaison des taux de conversion obtenus par les deux modèles

• tracer la conversion du solide en fonction du temps sur un premier graphe ;
• tracer l'évolution de la concentration de fluide réactif en fonction de l'abscisse pour le temps final d'intégration sur un second graphe.

import matplotlib.pyplot as pl
#Premier graphe
fig = pl.figure(1)
pl.plot(vect_t[:],vect_R[:])
pl.xlabel('temps')
pl.ylabel('conversion du solide')
pl.show()
#Deuxième graphe
fig = pl.figure(2)
pl.plot(vect_x,mat_C[:,ItMax])
pl.xlabel('abscisse')
pl.ylabel('concentration')
pl.show()

• une particule qui n'a pas réagi ;
• une particule qui a totalement réagi ;
• une particule qui a partiellement réagi.

ANNEXE

Bibliothèque numpy de Python

>>> import numpy as np

>>> M = np.array([[1.5, 2, 3], [4, 5, 6]])
>>> print(m)
[[1.5 2. 3.]
    [4. 5. 6. ]]

>>> M = np.array([[1.5, 2, 3], [4, 5, 6]])
>>> print(M[0, 0])
1.5
>>> M[1, 2] = -7
>>> print(M)
[[\begin{array}{lll}{1.5 2. 3.]}&{}\end{array}]
    [4. 5. -7. ]]

>>> M = np.array([[1.5, 2, 3], [4, 5, 6]])
>>> print(M[:, 1]) #Sélection de la colonne 1
[2. 5.]
>>> print(M[1, :]) #Sélection de La Ligne 1
[4. 5. 6.]

>>> vec = np.zeros(5)
>>> print(vec)
[0. 0. 0. 0. 0.]
>>> mat = np.zeros((3,2))
>>> print(mat)
[[0. 0.]
    [0. 0.]
    [0. 0.]]