Modélisation cinématique et dynamique d'un robot Lézard grimpant
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Le sujet étudie un robot inspiré d'un lézard grimpant, composé d'une colonne vertébrale, d'épaules et de pieds actionnés. Il vise à valider une hypothèse géométrique simplificatrice, à établir la loi de commande du robot à partir d'une fermeture cinématique et d'une analyse vidéo du mouvement d'un vrai lézard, puis à dimensionner les moteurs nécessaires à son ascension d'une paroi verticale.
1Partie I : structure du robotestimation de l'erreur liée à l'hypothèse simplificatrice θ1 = -θ2 puis validation par une construction graphique.
2Partie II : calculs de cinématiqueétude de la fermeture cinématique du mécanisme, puis détermination de la vitesse angulaire par régression linéaire sur des données de tracking vidéo d'un lézard.
3Partie III : dimensionnement des moteurs du robotapplication du principe fondamental de la dynamique, linéarisation puis résolution d'une équation différentielle pour vérifier le cahier des charges des moteurs choisis.
Difficile. le rapport signale que le volume à traiter en trois heures devient extrêmement réduit et que de nombreuses questions de la fin du sujet (de Q26 à Q41) ont été très peu abordées, l'une d'elles étant presque jamais traitée.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 25 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Confusion ligne/colonne dans les matrices de changement de base · Formules de trigonométrie mal maîtrisées · Confusion entre mouvement et liaison
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Le rapport signale que le volume de ce qui peut être traité en trois heures devient extrêmement réduit, ce qui conduit les correcteurs à attribuer des points dès qu'une question est commencée. Un manque de rigueur global a été noté, en particulier sur les conditions d'existence, les justifications de signe et la vérification de l'homogénéité des résultats. Les copies sont jugées insuffisamment rédigées, avec parfois aucune phrase pour expliquer la démarche suivie.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion ligne/colonne dans les matrices de changement de baseQ1 et Q2
les réponses aux premières questions sont souvent fausses à cause d'une inversion entre ligne et colonne dans la matrice de changement de base.
2
Formules de trigonométrie mal maîtriséesQ8
des difficultés apparaissent pour dériver une expression en sinus carré et pour retrouver la décomposition de sinus de 2t.
3
Confusion entre mouvement et liaisonQ14
des confusions sont relevées entre le mouvement de rotation et la liaison pivot, avec un oubli fréquent du torseur et de l'axe de la liaison.
4
Expressions inhomogènes en dynamiqueQ27 et Q28
beaucoup de candidats appliquent à tort le théorème de la résultante dynamique et produisent des expressions exotiques et inhomogènes, révélant un cours de dynamique très peu su.
5
Liaisons oubliées lors de l'isolementQ30 et Q31
des liaisons sont oubliées lors de l'isolement du solide et des erreurs apparaissent sur les changements de point.
Ce qui a été bien réussi
les réponses graphiques des questions 10 et 11 sont souvent correctes, même si les justifications manquent de clarté
la question 16 est assez traitée car le résultat était donné dans le système de la question suivante
Conseils du jury
oser proposer une réponse à toutes les questions, même incomplète, car des points sont attribués dès qu'une question est commencée
bien lire l'énoncé pour répondre à toutes les parties d'une question
vérifier systématiquement l'homogénéité et les signes des résultats
donner un argument, un théorème ou une définition plutôt que des formules comme on voit bien que
ne pas arranger un calcul pour qu'il colle à la forme attendue, mieux vaut laisser un résultat non abouti
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé d'une Introduction suivie de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment.
Le sujet comporte :
le texte du sujet : 8 pages,
le Document-Réponse (DR) : 1 page.
Le Document Réponse doit être rendu avec la copie.
Étude d'un Robot Lézard
Introduction
Comme dans tout problème d'ingénierie, l'évolution d'une espèce animale est souvent issue de compromis. La capacité de ces "systèmes" naturels à être optimisés pour une tâche spécifique est limitée par des contraintes structurelles, historiques ou fonctionnelles.
Les lézards grimpants en sont un bon exemple. Leur capacité d'escalade nécessite l'optimisation de paramètres conflictuels tels que la vitesse, la stabilité ou l'efficacité.
En s'inspirant de la morphologie d'un lézard, un groupe de chercheurs a conçu un robot, composé d'une colonne vertébrale, d'épaules et de pieds actionnés. Ces derniers adhèrent à la surface grâce à des griffes. Cette conception a permis aux chercheurs de faire varier indépendamment la vitesse, les angles de pied et la plage de mouvement, tout en collectant simultanément des données sur la distance grimpée, la stabilité et l'efficacité. Le robot est présenté sur la figure 1.
Figure 1 - Robot lézard - architecture et identification des liaisons (spine, shoulder, foot) (https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspb.2020.2576)
Les mobilités proposées pour le Robot Lézard sont :
2 rotations spine (colonne vertébrale) : axes perpendiculaires à la surface;
4 rotations shoulder (épaule) : axes perpendiculaires à la surface;
4 rotations foot (pied) : axes parallèles à la surface.
Ce travail devra permettre de montrer comment la morphologie de plusieurs espèces de lézards (ou de geckos) découle directement de l'évolution vers un compromis sur des capacités motrices.
1 - Présentation de l'étude
L'objectif de cette étude consiste à définir un paramétrage de la géométrie et de la cinématique du robot, afin de permettre le pilotage de sa trajectoire, puis de dimensionner les moteurs nécessaires à la mise en mouvement.
La structure du robot constituant une chaîne cinématique fermée et complexe, le sujet propose la validation d'une hypothèse géométrique simplificatrice dans la partie I.
Dans la partie II, l'étude d'une fermeture cinématique permettra d'établir la loi de commande du robot. Elle sera suivie d'une analyse du mouvement d'un lézard par tracking vidéo afin d'identifier un des paramètres de sa cinématique.
Enfin, dans la partie III, une étude du dimensionnement des moteurs du robot sera effectuée afin de permettre l'ascension d'une paroi verticale.
2 - Modélisation géométrique
Un modèle cinématique simplifié du robot est présenté sur la figure 2. On se place dans l'espace muni du produit scalaire euclidien usuel et les bases considérées sont toutes orthonormales directes. On a z_0^(→−) = z_1^(→−) = z_2^(→−) = z_3^(→−). On remarquera de plus que θ_1 > 0 et θ_2 < 0 et ainsi que (x_0^(→−), x_2^(→−)) = π + θ_2.
Figure 2 - Modèle cinématique du robot ( θ_1 > 0 et θ_2 < 0 )
Pour obtenir ce modèle, deux hypothèses simplificatrices ont été prises en compte :
suppression des liaisons foot : celles-ci permettant aux griffes de s'insérer dans le revêtement mural (moquette...) facilitant l'adhérence du robot. On ne considérera pas ce réglage pour le mouvement étudié ;
suppression des liaisons shoulder et remplacement par des liaisons au niveau des griffes. Cela ne correspond pas au mouvement réel du robot, mais les conséquences de cette modélisation ont peu d'influence sur la suite.
Le mécanisme est présenté durant la phase du mouvement pendant laquelle A et D sont fixés.
Les dimensions sont les suivantes :
a = 50 mm(AM = MB = CN = ND);
b = 20 mm (ME = NF);
ℓ = 60 mm;
c = 2b + ℓ = 100 mm;
AD^(→−) = 2ax_0^(→−) − (2b + ℓ)y_0^(→−) (quels que soient θ_1 et θ_2 ); − − 10^∘ < θ_i < 10^∘ avec i ∈ [ [1, 2] ].
Partie I- Structure du robot
L'objectif de cette partie est de considérer l'hypothèse simplificatrice suivante : θ_1 = − θ_2. Dans un premier temps, il sera démontré qu'elle n'est, en toute rigueur, pas satisfaite. Dans un second temps, on verra qu'avec une certaine marge d'erreur, de l'ordre de 15%, elle est acceptable.
La première sous-partie va consister à déterminer l'erreur engendrée par cette hypothèse. Pour les premières questions, les deux angles θ_1 et θ_2 seront conservés.
1.1 - Estimation de l'erreur liée à l'hypothèse
Q1. Écrire la matrice P_(B_0, B_1) de changement de base, de la base B_0 = (x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) à la base B_1 = (x_1^(→−), y_1^(→−), z_1^(→−)).
Q2. Écrire la matrice P_(B_0, B_2) de changement de base, de la base B_0 = (x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) à la base B_2 = (x_2^(→−), y_2^(→−), z_2^(→−)).
Q3. Exprimer les coordonnées du vecteur DF^(→−) dans la base B_2 = (x_2^(→−), y_2^(→−), z_2^(→−)), puis dans la base B_0 = (x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) en fonction de a, b et de θ_2.
Q4. Exprimer les coordonnées du vecteur AE^(→−) dans la base B_1 = (x_1^(→−), y_1^(→−), z_1^(→−)), puis dans la base B_0 = (x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) en fonction de a, b et de θ_1.
Q5. En déduire les coordonnées du vecteur FE^(→−) dans la base B_0 = (x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) en fonction de a, b, ℓ, θ_1 et de θ_2.
Q6. Après avoir supposé que θ_1 = − θ_2 = θ, déterminer le carré de la longueur EF en fonction de θ.
Q7. Vérifier que EF^2 peut s'écrire sous la forme EF^2 = ℓ^2 + f(θ) avec :
f(θ) = 8sin^2(θ/2)(2(a^2 + b^2)sin^2(θ/2) + ℓb)
Déterminer les valeurs de θ pour lesquelles f(θ) = 0. Conclure quant à l'hypothèse θ_1 = − θ_2 = θ.
L'erreur que l'on va commettre sur l'estimation de EF^2 en remplaçant θ_1 par θ et θ_2 par − θ est donc f(θ). On cherche à savoir pour quelle valeur de θ, f(θ) est la plus grande.
Q8. Vérifier que la dérivée de f peut s'écrire sous la forme :
f^′(θ) = 4sin(θ)(4(a^2 + b^2)sin^2(θ/2) + ℓb).
Q9. Dresser le tableau de variations de f sur [ − 10^∘; 10^∘]. Conclure quant aux valeurs de θ qui génèrent le plus grand écart.
I. 2 - Construction graphique
L'objectif ici est de tracer la configuration du mécanisme pour un de ces maxima et de déterminer l'écart entre θ_1 et − θ_2. Sur le Document Réponse, les points A, B, C, D, E, F et A^′, B^′, C^′, D^′, E^′, F^′ caractériseront respectivement les positions du robot pour θ_2 = 0^∘ et θ_2 = − 10^∘.
Q10. Tracer sur le DR le point E. Justifier les constructions.
Q11. Tracer sur le DR le point F'. Il faudra utiliser le rapporteur imprimé sur le document et justifier les constructions.
Q12. Tracer sur le DR le point E'. Justifier les constructions.
Q13. Mesurer, à partir de la variation de position du point E , l'angle θ_1 et calculer l'écart avec − θ_2. Commenter l'hypothèse θ_1 = − θ_2.
Partie II - Calculs de cinématique
II. 1 - Étude de la fermeture cinématique
Dans cette sous-partie, le sujet va traiter de la cinématique du mécanisme décrite sur la figure 2. Pour la suite, on prendra θ_1 = − θ_2 = θ et on notera de façon générale:
les éléments de réduction du torseur cinématique de la liaison entre les pièces i et j au point A dans la base B_0.
On posera aussi ω_(10z) = (dθ_1)/(dt) = θ˙_1 et ω_(20z) = (dθ_2)/(dt) = θ˙_2.
Q14. Quel est le modèle de liaison cinématique utilisé pour toutes les liaisons de ce mécanisme? Donner les éléments de réduction du torseur {V_(1/0)} au point A.
Q15. Déterminer le degré d'hyperstatisme du modèle du système tel qu'il est représenté sur la figure 2. Commenter la valeur trouvée et expliciter brièvement la localisation du jeu permettant de libérer les contraintes d'assemblage.
La fermeture cinématique suivante est déduite de l'étude des cycles du mécanisme :
{V_(2/3)} + {V_(3/1)} + {V_(1/0)} = {V_(2/0)}
Q16. Écrire les éléments de réduction des torseurs {V_(2/3)}, {V_(3/1)} et {V_(2/0)} au point A dans la base B_0 en fonction de a, b, c, θ et des inconnues cinématiques.
Q17. En utilisant la fermeture cinématique précédente au point A, montrer que l'on peut écrire le système d'équations suivant :
Q18. Montrer que l'on peut mettre ce système sous la forme A ⋅ X = B, avec A ∈ M_3(ℝ), que l'on précisera, X = (ω_(31z); ω_(23z); ω_(20z)) et B = (− ω_(10z); 0; 0).
Q19. Calculer le déterminant de la matrice A et vérifier qu'il est proportionnel à :
La figure 3 présente le tracé de la valeur du déterminant de A en fonction de θ.
Figure 3 - Tracé de det(A) pour θ ∈ [ − 10^∘; 10^∘]
Q20. Montrer, à l'aide de la figure 3, que ce système a une unique solution pour θ ∈ [ − 10^∘; 10^∘].
Il n'est pas demandé de déterminer cette solution car l'objectif de cette sous-partie était de montrer la faisabilité du problème.
Ainsi, cette sous-partie a permis de montrer que connaître ω_(10z) est nécessaire et suffisant pour déduire l'ensemble des mouvements du robot. La suite va donc consister à déterminer ω_(10z) à partir d'une étude de tracking vidéo sur un lézard.
II. 2 - Analyse du tracking vidéo du mouvement d'un lézard
Afin "d'imiter" le comportement de l'animal, ω_(10z) sera déterminée à partir de l'analyse du mouvement d'un lézard filmé en vue de dessus comme sur la figure 4.
Figure 4 - Tracking de la position de points spécifiques sur un lézard
On a extrait de cette étude n = 100 positions successives pour chacun des points équivalents à A, B et D . Il en résulte n valeurs d'angles θ, notées (θ_i)_(1 ≤ i ≤ n), correspondant aux instants (t_i)_(1 ≤ i ≤ n). Elles sont présentées sur la figure 5 . Les moyennes suivantes sont données dans le tableau 1 :
La suite va consister à effectuer une régression linéaire à partir du nuage de points de la figure 5 en traçant une droite d'équation θ = ut + v qui passe au plus près de ces points.
Pour cela, deux séries de valeurs finies (t_i)_(1 ≤ i ≤ n) et (θ_i)_(1 ≤ i ≤ n) seront considérées, elles correspondent respectivement aux valeurs de t et de θ.
Figure 5 - Tracé des valeurs θ issues du tracking vidéo en fonction du temps t
AN
t¯
0,25
θ¯
0,4
t^2^–
0,084
θt^–
1,03
Tableau 1 - Tableau de valeurs issues des données
On pose V_t = 1/n∑_(i = 1)^n(t_i − t¯)^2.
Q21. Démontrer que V_t = t^2^– − t¯^2.
On définit la covariance des deux variables t et θ par Cov(t, θ) = 1/n∑_(i = 1)^n(t_i − t¯)(θ_i − θ¯).
Q22. Démontrer que Cov(t, θ) = θt^– − t¯θ¯.
On cherche un couple ( m, p ) qui minimise la fonction e(u, v) = ∑_(i = 1)^n(θ_i − ut_i − v)^2.
Q23. Calculer les deux dérivées partielles d'ordre 1 de la fonction e.
On admet que la fonction e admet un unique point critique, qui est aussi son minimum.
Q24. Vérifier que les coordonnées de celui-ci sont ((Cov(t, θ))/(V_t), θ¯ − (Cov(t, θ))/(V_t)t¯).
Q25. Faire l'application numérique pour m et p, on pourra arrondir aux valeurs entières.
Q26. Déduire de la question précédente la valeur de ω_(10z) constante permettant de copier le mouvement du lézard de la vidéo.
Maintenant qu'il a été montré qu'il est cinématiquement possible "d'imiter" le comportement du robot, la partie suivante va permettre de dimensionner les moteurs nécessaires à la mise en œuvre de ce mouvement.
Partie III - Dimensionnement des moteurs du robot
La morphologie du lézard permet de constater que la majorité des efforts utilisés pour grimper sur une paroi proviennent de l'articulation du bassin, c'est-à-dire la liaison entre 2 et 3 sur la figure 2.
Afin de dimensionner les moteurs à mettre en place sur cette liaison, pour la suite, il sera considéré que seul le moteur installé sur cette liaison met en mouvement le robot. L'hypothèse θ = θ_1 = − θ_2 est toujours vraie dans cette partie.
Hypothèses:
les liaisons sont supposées parfaites;
la masse de la pièce 3 vaut m = 250 g;
l'accélération de pesanteur a pour valeur g ≈ 10 m ⋅ s^(− 2);
la surface 0 sur laquelle est accrochée le robot est immobile dans le référentiel galiléen d'étude;
le vecteur vitesse du centre de gravité de la pièce 3 dans son mouvement par rapport à 0 est modélisé par le vecteur (0, v_y, 0) dans la base B_0 = (x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)), avec v_y = aω_(20z) (la relation n'est pas à démontrer);
la masse de la pièce 2 est m_2, son moment d'inertie autour de l'axe ( F, z_0^(→−) ) est appelé J_2 et son centre de gravité est le point G_2 tel que DG_2^(→−) = x_(G_2)x_2^(→−) + y_(G_2)y_2^(→−).
L'application du principe fondamental de la dynamique au solide 3 permet de déterminer le torseur suivant pour les actions mécaniques de 3 → 2, avec P = mg :
De plus, on modélisera le torseur lié au couple du moteur sur 2 :
{T_(Cm → 2)} = {0, 0; 0, 0; 0, C_m}}}{{_(F, B_0).
Q27. Déterminer la résultante dynamique Rd_(2/0)^(→−) en projection sur x_2^(→−) et y_2^(→−) en fonction de m_2, ω_(20z), (dω_(20z))/(dt), x_(G_2) et de y_(G_2).
Q28. Déterminer la projection du moment dynamique δ_(F, 2/0)^(→−) sur z_0^(→−) en fonction de m_2, J_2, ω_(20z), (dω_(20z))/(dt), a, b, x_(G_2) et de y_(G_2).
Pour la suite, le point G_2 étant très proche du point D, les deux points seront supposés confondus, c'est-à-dire x_(G_2) = y_(G_2) = 0 mm.
Q29. En déduire les éléments de réduction du torseur dynamique simplifié de {𝒟_(2/0)} au point F dans la base B_0.
Montrer qu'il peut s'écrire sous la forme {𝒟_(2/0)} = {0, Le; 0, Me; 0, J_(eq2)(dω_(20z))/(dt)}}}{{_(F, B_0) et préciser l'expression de J_(eq2). Les expressions de Le et Me ne sont pas demandées.
On notera {T_(i → j)} = {X_(ij), L_(ij); Y_(ij), M_(ij); Z_(ij), N_(ij)}}}{{_(M, B_0) le torseur de l'action mécanique de la pièce i vers j au point M .
Q30. Après avoir isolé la pièce 2 et fait un bilan des actions mécaniques, déterminer le système de 6 équations issu du principe fondamental de la dynamique, au point D , projeté dans la base B_0.
Q31. Montrer que l'on peut alors écrire :
Ce résultat sera admis pour la suite et comme θ ∈ [ − 10^∘, 10^∘], on accepte que θ soit proche de 0 .
Q32. Donner les développements limités à l'ordre 1 des fonctions cos et sin en 0 .
Q33. En déduire que l'équation linéarisée à résoudre est alors :
On pourra négliger une grandeur dans une somme à condition que la valeur à négliger soit inférieure à 5% du reste. Pour la suite, on donne J_(eq) = J_(eq2) − ma^2 = 9 ⋅ 10^(− 4) kg ⋅ m^2.
Q34. Montrer qu'on peut écrire (bθ − a)ma + J_(eq2) ≈ J_(eq2) − ma^2, mais pas a − bθ ≈ a.
Q35. Simplifier en conséquence l'équation (2) et vérifier que l'on obtient le système de Cauchy suivant:
Q36. Résoudre le problème de Cauchy (C). En posant α = √((bP)/(J_(eq))) et K = (C_m + aP)/(bP), on écrira la solution de (C) sous la forme de l'équation (3). On précisera les expressions de k_1 et k_2 en fonction de K.
θ(t) = k_1 e^(αt) + k_2 e^(− αt) + K
On cherche à vérifier que le couple maximal des moteurs choisis permet de respecter l'exigence suivante : l'instant t à partir duquel θ(t) = 10^∘ = π/(18)rad doit être inférieur à 0, 5 s.
Q37. Vérifier que θ(t) = π/(18) est équivalente à l'équation (4).
Q38. Justifier que l'équation (4) obtenue admet des solutions réelles si et seulement si C_m ≤ − aP. On pourra poser X = e^(αt).
Q39. Cette condition étant vérifiée, exprimer les deux solutions X_1 et X_2 en fonction de K .
Q40. En faisant une application numérique, montrer qu'une seule des deux solutions peut correspondre à l'étude.
De grandes approximations peuvent être effectuées. On donne ln(2) ≈ 0, 7. Les moteurs choisis ont un couple maximal |C_m| = 0, 2 N ⋅ m
Q41. Les moteurs choisis permettent-ils de respecter le cahier des charges?
DOCUMENT RÉPONSE
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Q10. à Q13.
Figure 1 - Construction graphique (échelle 1 : 1 )
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation CCINP TSI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation CCINP TSI 2023 ?
+
Le sujet porte sur la cinématique et la dynamique d'un robot articulé : changement de base, fermeture cinématique, régression linéaire et équation différentielle du second ordre.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve de modélisation CCINP TSI 2023 ?
+
Le jury signale des confusions de ligne et de colonne dans les matrices de changement de base, des expressions inhomogènes en dynamique et un manque de rigueur dans la justification des résultats.
L'épreuve de modélisation CCINP TSI 2023 est-elle difficile ?
+
Le rapport la décrit comme longue par rapport au temps imparti, avec de nombreuses questions de la fin du sujet très peu traitées par les candidats.
L'épreuve de modélisation CCINP TSI 2023 porte-t-elle sur plusieurs parties indépendantes ?
+
Oui, le sujet comporte une introduction suivie de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment.
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