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Présentation du sujet

Endomorphisme de différence finie sur les polynômes et trajectoires orthogonales de courbes du plan
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Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Le premier étudie l'application Phi qui à un polynôme P associe P(X+1) moins P(X), sa structure d'endomorphisme, son noyau et son image, puis une base de polynômes permettant de retrouver les formules de sommes de puissances d'entiers. Le second porte sur les trajectoires orthogonales de familles de courbes planes, en passant par un changement de repère orthonormé dans l'espace, puis par la résolution d'équations différentielles pour les droites et les hyperboles équilatères.

  1. 1Problème 1, partie I : préliminaires sur l'endomorphisme PhiÉtude de l'application Phi de différence finie sur les polynômes, de son caractère d'endomorphisme, de son noyau et de son image.
  2. 2Problème 1, partie II : une famille de polynômesConstruction d'une base de polynômes permettant de décomposer tout polynôme et d'en déduire les formules de sommes de puissances d'entiers, avec une question de programmation Python.
  3. 3Problème 2, partie I : calculs dans le plan (S)Calculs de produit vectoriel, produit mixte, vecteur normal, projeté orthogonal et distance à un plan de l'espace.
  4. 4Problème 2, partie II : changement de repèreConstruction d'une base orthonormée directe adaptée au plan (S) et diagonalisation de la matrice de projection orthogonale.
  5. 5Problème 2, parties III et IV : trajectoires orthogonalesDétermination des trajectoires orthogonales d'une famille de droites puis d'une famille d'hyperboles équilatères, à l'aide d'équations différentielles.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,19 / 20 · écart-type 3,56 · 1 238 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,19/ 20
Écart-type
3,56
Présents
1 238
Coefficient
8
Durée
4 h
moyenne 10,1905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre produit de polynômes et composition d'endomorphismes · Formules de produit vectoriel, scalaire et mixte mal maîtrisées · Théorème spectral utilisé sans les bonnes hypothèses
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Le sujet, progressif et respectant les exigences du programme, donnait chaque résultat nécessaire à la poursuite du problème, si bien que la méconnaissance des formules de cours a pénalisé les candidats sans forcément bloquer leur progression. Le jury note un niveau très hétérogène, avec de grosses lacunes en étude de fonction, en géométrie dans l'espace et en connaissance des formules de cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre produit de polynômes et composition d'endomorphismesQ4

    La confusion entre composition d'endomorphisme et puissance de polynômes a grandement gêné les candidats dans le premier problème.

    « la confusion entre composition d’endomorphisme et puissance de polynômes a grandement gêné les candidats »
  2. 2
    Formules de produit vectoriel, scalaire et mixte mal maîtriséesQ23, Q24, Q26, Q27

    De très nombreuses copies proposent un vecteur comme résultat d'un produit scalaire ou un nombre pour le résultat d'un produit vectoriel, et le produit mixte est méconnu.

    « De très nombreuses copies proposent un vecteur comme résultat d’un produit scalaire ou un nombre pour le résultat d’un produit vectoriel »
  3. 3
    Théorème spectral utilisé sans les bonnes hypothèsesQ40

    Une quantité non négligeable de candidats a utilisé le théorème spectral sans préciser l'appartenance aux matrices réelles.

    « Une quantité non négligeable de candidats a utilisé le théorème spectral sans préciser l’appartenance aux matrices réelles »
  4. 4
    Ensemble de définition et de dérivabilitéQ45

    Les ensembles de définition et de dérivabilité d'une fonction réelle ont révélé une méconnaissance de l'analyse de terminale chez de trop nombreux candidats.

    « Les ensembles de définition et de dérivabilité d’une fonction réelle a soulevé une méconnaissance de l’analyse de terminale »
  5. 5
    Justification de la liberté d'une famille par le seul échelonnement des degrésQ10, Q31

    Les candidats justifient la liberté de la famille par l'échelonnement des degrés mais oublient d'évoquer le cardinal de la famille pour conclure.

Ce qui a été bien réussi

  • La formule du binôme de Newton est connue par la plupart des candidats (Q1).
  • Le théorème du rang a été appliqué régulièrement par les candidats (Q8).
  • La question 25, sur la non-appartenance d'un point au plan, a été très bien traitée.
  • Les correcteurs félicitent les candidats pour leur implication dans la question de programmation Python (Q20).

Conseils du jury

  • Ne pas se contenter de recopier la formule demandée précédée de « d'après les questions précédentes » sans démonstration.
  • Préciser systématiquement les hypothèses des théorèmes utilisés, notamment le caractère réel et symétrique pour le théorème spectral.
  • Vérifier la cohérence des dimensions dans les calculs matriciels et vectoriels.
  • Soigner la lisibilité de la copie et respecter les règles de grammaire pour ne pas gêner la lecture du correcteur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

PROBLÈME 1

Application sur ℝ_n[X], Φ : P(X) ↦ P(X + 1) − P(X) avec n ∈ ℕ^⋆

Le but de cet exercice est l'étude de l'application Φ définie sur_n[X] avec n un entier fixé non nul par :
Φ : P(X) ↦ P(X + 1) − P(X)
afin de permettre le calcul de somme d'entiers.
On note pour tout k entier non nul Φ^k la composée k-ième de l'application Φ.

Partie I - Préliminaires

Q1. Donner la formule du binôme de Newton.
Q2. Soit k un entier non nul. Montrer que:
(X + 1)^k = ∑_(i = 0)^k(k/i)X^i
Q3. On considère les polynômes P_0(X) = 1, P_1(X) = X, P_2(X) = X^2 et P_3(X) = X^3.
Montrer que :
Φ(P_0)(X) = 0,; Φ(P_1)(X) = 1,; Φ(P_2)(X) = 2X + 1,; Φ(P_3)(X) = 3X^2 + 3X + 1.
Q4. Calculer Φ^2(P_2)(X) et Φ^3(P_2)(X).
Q5. Montrer que Φ est un endomorphisme de ℝ_n[X].
Q6. Montrer que pour tout polynôme non constant P de degré k avec k un entier non nul, Φ(P) est un polynôme de degré k − 1.
Q7. Calculer le noyau de Φ.
Q8. Donner l'image de Φ.
Q9. Soient P et Q, deux éléments de ℝ_n[X], tels que Φ(Q) = P.
Montrer que :
∑_(i = 0)^n P(i) = Q(n + 1) − Q(0)

Partie II - Une famille de polynômes

Q10. Considérons la famille (H_i)_(i ∈ [0, n]) de ℝ_n[X] où pour chaque i non nul,
H_i(X) = (X(X − 1)…(X − i + 1))/(i!) = (∏_(k = 0)^(i − 1)(X − k))/(i!); et H_0 = P_0 le polynôme constant égal à 1.
Prouver que (H_i)_(i ∈ [0, n]) est une base de ℝ_n[X] :
Q11. Montrer que pour tout i entier entre 1 et n, H_i(0) = 0.
Q12. Montrer que pour tout i entier entre 1 et n, Φ(H_i) = H_(i − 1).
Q13. Montrer que pour tout i entier entre 1 et n, Φ^i(H_i) = 1.
Q14. Soit P un polynôme de ℝ_n[X] tel que P(X) = ∑_(k = 0)^n a_k H_k(X) avec a_k réel pour tout k entier entre 0 et n. Montrer que P(0) = a_0 et que pour l, un entier fixé entre 1 et n, a_l = Φ^l(P)(0).
Q15. En déduire que tout polynôme P de ℝ_n[X] peut s'écrire (de manière unique) sous la forme :
P(X) = ∑_(k = 0)^n Φ^k(P)(0)H_k(X)
Q16. Vérifier que X = 0 × H_0(X) + 1 × H_1(X).
Q17. Déduire à l'aide de Q9, de Q12 et de Q16 que :
∑_(k = 0)^n k = (n(n + 1))/2
Q18. Vérifier que X^2 = 0 × H_0(X) + 1 × H_1(X) + 2 × H_2(X).
Q19. En déduire que ∑_(k = 0)^n k^2 = (n(n + 1)(2n + 1))/6.
Q20. Proposer en Python une fonction qui renvoie la valeur de la somme des cubes des n premiers entiers prenant en argument un entier naturel n passé en paramètre.

PROBLÈME 2

Trajectoires orthogonales

Le problème ne nécessite aucune connaissance sur les courbes orthogonales.
Soient (S) un plan et (Γ_λ)_(λ ∈ Λ) une famille de courbes tracées sur (S), Λ étant un sous-ensemble de ℝ. On appelle trajectoire orthogonale de (Γ_λ)_(λ ∈ Λ) sur (S), toute courbe C, tracée sur (S) et coupant orthogonalement chacune desΓ_λ(λ ∈ Λ).
On se place dans la situation suivante.
Soit (Γ_λ)_(λ ∈ Λ) une famille de courbes du plan. Chaque courbe Γ_λ est la courbe représentative d'une fonction y d'une variable réelle x de classe C^1 qui vérifie une équation différentielle :
(ED) f(x, y, y^′) = 0
appelée équation différentielle du premier ordre de la famille de courbes (Γ_λ)_(λ ∈ Λ).
On admet qu'une équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales de (Γ_λ)_(λ ∈ Λ) est :
(EDO) f(x, y, − 1/(y^′)) = 0.
On remplace donc y^′ par (− 1)/(y^′) dans (ED). On caractérisera les courbes orthogonales à la famille (Γ_λ)_(λ ∈ Λ) par les solutions de l'équation ( EDO ).
On se place dans l'espace ℝ^3 muni de son produit scalaire usuel et du repère orthonormé usuel ( O, B ), où B est la base orthonormée directe usuelle ( i⃗, j⃗, k⃗ ). Nous allons montrer sur un exemple qu'il est possible de se ramener au plan ( xOy ) d'équation z = 0.
On considère le plan ( S ) d'équation :
(E) : x + y + z = 0

Partie I - Quelques calculs dans le plan S

Q21. Montrer que l'origine O et les points M, N de coordonnées respectives (1, 0, − 1) et (− 1/2, 1, − 1/2) appartiennent au plan ( S ).
Q22. Démontrer que les vecteurs OM^(→−) et ON^(→−) forment une base du plan (S).
Q23. Calculer le produit vectoriel des vecteurs OM^(→−) et ON^(→−).
Q24. Donner une interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel des vecteurs OM^(→−) et ON^(→−).
Q25. Montrer que le point A de coordonnées (0, 1, 1) n'appartient pas au plan (S).
Q26. Calculer le produit mixte des vecteurs OM^(→−), ON^(→−) et OA^(→−).
Q27. Donner une interprétation géométrique du produit mixte des vecteurs OM^(→−), ON^(→−) et OA^(→−).
Q28. Donner un vecteur normal au plan (S).
Q29. Donner les coordonnées du projeté orthogonal A^′ de A sur le plan (S). On pourra réaliser un schéma pour expliciter la démarche utilisée.
Q30. Calculer la distance du point A au plan ( S ).

Partie II - Changement de repère

On souhaite effectuer un changement de base orthonormée directe B de telle sorte qu'une équation du plan ( S ) soit définie z = 0 dans l'espace affine muni de la nouvelle base orthonormée directe.
On considère la famille B^′ formée par les vecteurs :
u_x^(→−) de coordonnées ((√2)/2, 0, − (√2)/2), u_y^(→−) de coordonnées (− (√6)/6, (√6)/3, − (√6)/6) et u_z^(→−) de coordonnées ((√3)/3, (√3)/3, (√3)/3).
Q31. Montrer que la famille B^′ est une base de ℝ^3.
Q32. Montrer que la base B^′ est une base orthonormale.
Q33. Montrer que la base B^′ est une base orthonormale directe.
Q34. Donner la matrice de passage P_(B, B^′) de la base B vers la base B^′.
Q35. Justifier que la matrice de passage P_(B^′, B) de la base B^′ vers la base B est:
P_(B^′, B) = ((√2)/2, 0, − (√2)/2; − (√6)/6, (√6)/3, − (√6)/6; (√3)/3, (√3)/3, (√3)/3).
Q36. Vérifier que le vecteur n⃗ de coordonnées (1, 1, 1) dans la base B a pour coordonnées (0, 0, √3) dans la base B^′.
Q37. Justifier que l'équation du plan ( S ) dans le repère ( O, B^′ ) est z = 0.
Q38. Dans l'espace ℝ^3 muni du repère ( O, B^′ ), donner la matrice R de la projection orthogonale sur le plan ( S ) dans la base B^′.
Q39. Donner la relation permettant d'obtenir la matrice Q de la projection orthogonale sur le plan ( S ) dans la base B en fonction de R, P_(B^′, B) et P_(B, B^′). On admet que l'on obtient après calculs :
Q = (2/3, − 1/3, − 1/3; − 1/3, 2/3, − 1/3; − 1/3, − 1/3, 2/3)
Q40. Justifier que Q est diagonalisable. Sans calcul et à l'aide des questions précédentes, justifier que les valeurs propres sont 0 et 1 .
Q41. Montrer que l'espace propre associé à la valeur 1 est engendré par les vecteurs OM^(→−) et ON^(→−). On rappelle que les points M et N sont définis à Q21.
On admet que le travail effectué dans cette partie peut être aussi réalisé pour un plan quelconque. Dans la suite de tout le problème, le plan ( S ) aura pour équation z = 0.

Partie III - Soit (D_λ)_(λ ∈ ℝ) la famille des droites du plan (S) : z = 0 passant par l'origine. Détermination des trajectoires orthogonales de la famille de droites (D_λ)_(λ ∈ ℝ)

L'espace est rapporté à son repère habituel. On considère le plan ( S ) d'équation z = 0. Il est possible, en toute généralité, de se placer dans le cas où ( S ) est le plan d'équation z = 0 dans la base usuelle de ℝ^3.
Q42. Déterminer l'équation dans le plan (S) : z = 0 de la droite D_λ passant par l'origine O et par le point M_λ de coordonnées (1, λ, 0) avec λ réel. Faire un dessin mettant en jeu D_λ, O et M_λ pour expliquer la situation.
Q43. En déduire que la famille de courbes (D_λ)_(λ ∈ ℝ) admet pour équation différentielle du premier ordre :
(ED_1) y − xy^′ = 0.
Q44. En utilisant le résultat admis énoncé au début du problème 2 , démontrer que les courbes orthogonales ont pour équation différentielle :
(EDO_1) y^′ y + x = 0.
Q45. Soit μ un réel positif. Donner les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction :
f_μ : x ↦ √(μ − x^2).
Q46. Montrer que la fonction f_μ est solution de (EDO_1) sur ] − √μ; 0[ ∪ ]0; √μ[.
Q47. Montrer que les trajectoires orthogonales obtenues vérifient l'équation:
(EC_1) x^2 + y^2 = μ avec μ un réel positif non nul.
Q48. Donner la nature géométrique des courbes avec leurs éléments caractéristiques vérifiant l'équation (EC_1).

Partie IV - Détermination des trajectoires orthogonales de la famille des hyperboles équilatères (H_λ)_(λ ∈ ℝ) du plan (S)

On considère la courbe paramétrée C d'équation :
{x(t) = 1/(cos(t)); y(t) = tan(t).
Q49. Proposer un ensemble d'étude de la courbe paramétrée C en justifiant votre démarche.
Q50. Étudier la courbe paramétrée C sur l'ensemble [0; π/2[. On indiquera en justifiant les tangentes parallèles aux axes le cas échéant.
Q51. Tracer sur votre copie dans un repère orthonormé d'unité 1 cm les droites d'équation D : y = x et D^′ : y = − x.
On admet que ce sont les asymptotes à la courbe.
Q52. Montrer que D et D^′ sont orthogonales.
Q53. Tracer la courbe C sur le graphique précédent réalisé à la Q51.
Une hyperbole équilatère est une hyperbole dont les asymptotes forment un angle droit. L'équation caractéristique des hyperboles équilatères dont la famille est notée (H_λ)_(λ ∈ ℝ) est :
(EC_2) x^2 − y^2 + λy = 1.
Q54. Trouver la valeur de λ pour que C vérifie l'équation (EC_2).
Q55. Démontrer que famille (H_λ)_(λ ∈ ℝ) admet pour équation différentielle :
(ED_2) 2xy + (1 − x^2 − y^2)y^′ = 0.
Q56. En utilisant le résultat admis énoncé au début du problème et rappelé ici :
Une équation différentielle de la famille des trajectoires orthogonales de (Γ_λ)_(λ ∈ Λ) est :
(EDO) f(x, y, − 1/(y^′)) = 0
Démontrer que les courbes orthogonales à la famille ( H_λ ) ont pour équation différentielle :
(EDO_2) 2xyy^′ − 1 + x^2 + y^2 = 0 avec y^′ ≠ 0
Q57. En prenant la fonction z = y^2, justifier que z est de classe C^1, montrer que l'équation (EDO_2) peut s'écrire sous la forme :
(E_1) xz^′ + z − 1 + x^2 = 0
Q58. Trouver une solution particulière de ( E_1 ) sous forme polynomiale.
Q59. Résoudre (E_1).
Q60. Déduire que les courbes orthogonales (C_μ)_(μ ∈ ℝ) à la famille (H_λ) vérifient l'équation :
x(x^2 + 3y^2 − 3) − 3μ = 0

FIN

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques TSI 2022 du concours CCINP ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques TSI 2022 du concours CCINP ?

Le premier problème porte sur l'algèbre linéaire et les polynômes, avec l'étude d'un endomorphisme de différence finie. Le second porte sur la géométrie dans l'espace (produit vectoriel, produit mixte, changement de repère) et sur les équations différentielles appliquées aux trajectoires orthogonales.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de mathématiques TSI 2022 ?

Le jury relève une confusion entre composition d'endomorphismes et produit de polynômes, une connaissance approximative des formules de produit vectoriel, scalaire et mixte, l'utilisation du théorème spectral sans vérifier les hypothèses, et des lacunes sur les ensembles de définition et de dérivabilité.

Le sujet de mathématiques CCINP TSI 2022 nécessite-t-il des connaissances hors programme ?

Non, le rapport indique que le sujet respectait explicitement les exigences du programme et que chaque résultat nécessaire à la poursuite était donné dans l'énoncé.

Pas de description pour le moment