CCINP Mathématiques 2 TSI 2007Sujet et corrigé
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Les calculatrices sont autorisées
NB. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Remettre à chaque candidat une feuille de papier millimétré
Problème 1
On considère l'espace vectoriel
E = R_2[X] des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à deux.
Si
P appartient à E , on désigne par
P^′ son polynôme dérivé.
Soit
φ :
- Montrer que
φ est un produit scalaire surE . - Soit
B_c = (1, X, X^2) la base canonique deE .
Vérifier que
B_c est une base orthogonale de
(E, ⟨⟩) .
Donner une base orthonorméeB de
(E, ⟨⟩) .
3) On considère la matriceS = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 4)
Donner une base orthonormée
3) On considère la matrice
- Soit u un endomorphisme de E et soit A sa matrice dans la base canonique de E. Montrer l'équivalence des deux propriétés :
a)∀(P, Q) ∈ E^2, ⟨u(P), u(Q)⟩ = ⟨P, Q⟩
b)^t ASA = S - On note
M_3(R) , l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
Montrer que
G = {A ∈ M_3(R), ^t ASA = S} est un groupe pour la multiplication des matrices carrées.
6) Soit v l'application qui à tout polynôme P de E associeQ = v(P) tel que pour tout x réel,
Q(x) = P(1 − x) .
a) Démontrer que v est un endomorphisme de E.
b) Calculer la matrice de v dans la base canonique de E .
c) Est-ce que v vérifie la propriété définie dans la question 4) ?
d) Montrer que v est bijectif et préciserv^(− 1) .
7) Soitψ : E → E, ψ_1 : E → E; P → ψ(P) = P + P^′ + P^(′′) et P → ψ_1(P) = P − P^′
a) Montrer queψ_1 et
ψ sont deux endomorphismes de E.
b) Calculer leurs matrices dans la base canonique de E.
c) Déterminerψ ∘ ψ_1 ; conclusion ?
d) En déduire une solution particulière et la solution générale de l'équation différentielley − y^′ = x^2 + 5x + 9
8) On considère l'endomorphisme r de E qui a pour matrice dans la base orthonorméeB de E :
A = 1/3(1, 1 + √3, √3 − 1; 1 − √3, 1, − 1 − √3; − 1 − √3, √3 − 1, 1)
L'espace E est orienté de telle façon que la base orthonorméeB soit directe.
a) Montrer que A est une matrice orthogonale
b) Rechercher les vecteurs invariants par r.
c) En déduire que r est une rotation dont on précisera l'axe et l'angle en ayant choisi une orientation de l'axe.
6) Soit v l'application qui à tout polynôme P de E associe
a) Démontrer que v est un endomorphisme de E.
b) Calculer la matrice de v dans la base canonique de E .
c) Est-ce que v vérifie la propriété définie dans la question 4) ?
d) Montrer que v est bijectif et préciser
7) Soit
a) Montrer que
b) Calculer leurs matrices dans la base canonique de E.
c) Déterminer
d) En déduire une solution particulière et la solution générale de l'équation différentielle
8) On considère l'endomorphisme r de E qui a pour matrice dans la base orthonormée
L'espace E est orienté de telle façon que la base orthonormée
a) Montrer que A est une matrice orthogonale
b) Rechercher les vecteurs invariants par r.
c) En déduire que r est une rotation dont on précisera l'axe et l'angle en ayant choisi une orientation de l'axe.
Problème 2
Le plan
P est muni d'un repère orthonormé
R = (O; i, j) .
- Étude complète de l'arc paramétré (C) :
x = t^2; y = t^3 - Soit (
Γ ) la courbe d'équation cartésienne dans le repèreR :y^2 = 4/(27)(x − 4/(27))
a) Quelle est la nature de (Γ ) ?
b) Vérifier quet^6 − 4/(27)t^2 + (16)/(27^2) = (t^2 − 2/9)^2(t^2 + 4/9)
c) En déduire que(C) ∩ (Γ) = {A, B} , A et B étant deux points symétriques par rapport à l'axe x'Ox dont on donnera les coordonnées ; A sera celui d'ordonnée positive.
d) Montrer que les deux courbes (C) et (Γ ) ont même tangente en A, tangente dont on donnera le point d'intersection F avecx^′ Ox . Soit (T) cette tangente.
e) Soit (N) la normale commune à (C) et (Γ ) en A; montrer que(N) ∩ (C) = {A, D} où D est un point dont on donnera les coordonnées et que(N) est tangente à(C) en D .
f) Calculer les coordonnées du deuxième point d'intersection E de ( N ) et de (Γ ). - Sur la feuille de papier millimétré, dessiner avec soin les courbes (C) et (
Γ ) :
On prendra pour unité de base :
2/(27) en abscisses et en ordonnées, et on mettra l’origine sur le bord gauche de la feuille.
On tracera (T) et (N) et on placera les points A, B, D, E, F.
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