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Centrale Mathématiques 1 TSI 2007Sujet et corrigé

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MATHÉMATIQUES I

Partie I - Calculs préliminaires

Dans tout ce problème a et v désignent deux nombres réels, a est strictement positif.
I.A - Montrer que la fonction φ définie sur ℝ^∗ par
φ(x) = ((sin(x))^2)/(x^2) admet un prolongement par continuité à ℝ.
On le note encore φ.
Montrer que φ est intégrable sur ℝ^+puis que φ est intégrable sur ℝ.

I.B -

I.B.1) Soit b un réel tel que 0 < a < b. Montrer que l'on a:
∫_a^b(sin(y))/y dy = [(1 − cos(y))/y]_a^b + ∫_a^b(1 − cos(y))/(y^2) dy = [(1 − cos(y))/y]_a^b + ∫_(a/2)^(b/2)φ(x)dx
I.B.2) En déduire la convergence de ∫_0^(+ ∞)(sin(y))/y dy ainsi que l'égalité :
2∫_0^(+ ∞)(sin(y))/y dy = ∫_(− ∞)^(+ ∞)φ(x)dx
I.C - Si [α, β] est un segment réel et si h est une application de classe 𝒞^1 de [α, β] dans ℂ montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que ∫_α^β h(t)e^(itv) dt admet une limite lorsque v tend vers + ∞ et déterminer cette limite.

I.D -

I.D.1) Soit n ∈ ℕ et h_n la fonction définie sur ]0, π/2] par
h_n(t) = (sin((2n + 1)t))/(sin(t)).
Montrer que h_n admet un prolongement par continuité en 0 .
En déduire la convergence de I_n = ∫_0^(π/2)(sin((2n + 1)t))/(sin(t))dt.
I.D.2) Calculer I_0 puis, en calculant I_(n + 1) − I_n, en déduire I_n.

Filière TSI

I.D.3) Soit h l'application définie sur ]0, π/2] par
h(t) = 1/(sin(t)) − 1/t.
a) Donner un développement limité de h d'ordre 1 en 0 .
b) En déduire que h admet un prolongement continu et dérivable à [0, π/2].
On le note encore h. Préciser h(0) et h^′(0).
c) Montrer que h est de classe 𝒞^1 sur [0, π/2].
d) En déduire que
∫_0^(π/2)sin((2n + 1)t)h(t)dt tend vers 0 lorsque n tend vers + ∞.
e) Pour n ∈ ℕ on pose
J_n = ∫_0^(π/2)(sin((2n + 1)t))/t dt.
Montrer que cette intégrale est convergente puis que la suite (J_n)_(n ∈ ℕ) converge vers π/2.
En déduire les valeurs de ∫_0^(+ ∞)(sin(y))/y dy et de ∫_(− ∞)^(+ ∞)φ(x)dx.

I.E -

I.E.1) On considère à nouveau la fonction φ définie dans la première question et on pose, pour u ∈ ℝ, ψ_v(u) = aφ(a(u − v)).
On a ainsi :
{pour v ≠ u, ψ_v(u), = ([sin(a(v − u))]^2)/(a(v − u)^2); et ψ_v(v), = aφ(0)
Montrer que ψ_v est continue et intégrable sur IR.
I.E.2) Montrer que, lorsque v → + ∞, ∫_0^(+ ∞)ψ_v(u)du → π.
I.F - Montrer que, pour tout nombre réel u,
∫_(− 2a)^(2a)(1 − (|t|)/(2a))e^(it(u − v))dt = 2ψ_v(u).

I.G -

I.G.1) Montrer que, pour tout réel σ ≥ 1, u ↦ ψ_v(u)e^((1 − σ)u) est intégrable sur ℝ^+.
I.G.2) Montrer que ∫_0^(+ ∞)ψ_v(u)e^((1 − σ)u) du tend vers ∫_0^(+ ∞)ψ_v(u)du lorsque σ tend vers 1 par valeurs supérieures.

Partie II -

Dans cette partie :
  • on désigne par (β_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres réels positifs tels que :
    ( P_1 ) la série ∑β_n n^(− s) converge pour tout nombre complexe s vérifiant ℛe(s) > 1 où ℛe(s) désigne la partie réelle de s;
  • on désigne par B une fonction continue et croissante de [ 1, + ∞ [ dans ℝ telle que
(P_2) ∀n ∈ ℕ^∗, B(n) = ∑_(k = 1)^n β_k;
  • on pose, pour tout réel x ≥ 1 et tout complexe s vérifiant ℛe(s) > 0,
F_s(x) = ((B(x))/x − 1)x^(− s)
On suppose que
( P_3 ) F_s est intégrable sur [1, + ∞[.
  • On définit ainsi pour tout complexe s vérifiant ℛe(s) > 0, G(s) = ∫_1^(+ ∞)F_s(x)dx.
On suppose que
(P_4) la fonction {ℝ^(+ ∗) × ℝ → ℝ; (σ, t) ↦ G(σ + it) est continue sur ℝ^(+ ∗) × ℝ
Dans toute la suite, on considère un nombre réel σ strictement supérieur à 1 .
II.A - On pose, pour tout n ∈ ℕ^∗,
u_n = ∑_(k = 1)^(n − 1)B(k)(k^(− σ) − (k + 1)^(− σ))
II.A.1) Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
II.A.2) On a B(k) − B(k − 1) = β_k. Exprimer u_n en fonction de
∑_(k = 1)^(n − 1)β_k k^(− σ) et de B(n − 1)n^(− σ) et en déduire que (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge.
II.A.3) En déduire la convergence de la suite (B(n)n^(− σ))_(n ∈ ℕ^∗).
II.A.4) En utilisant la croissance de B en déduire que la fonction x ↦ B(x)x^(− σ) admet une limite finie en + ∞.

II.B -

II.B.1) Transformer l'intégrale définissant G par le changement de variable x = e^u.
On pose, pour tout v appartenant à [0, + ∞[,
H(a, v) = ∫_(− 2a)^(2a)G(σ + it)(1 − (|t|)/(2a))e^(itv) dt
II.B.2) Montrer que :
|H(a, v)| ≤ ∫_(− 2a)^(2a)(∫_0^(+ ∞)|(e^(− u)B(e^u) − 1)e^(− (σ − 1)u)|du)dt
En déduire l'existence d'une constante K telle que : ∀v ∈ ]0, + ∞[, |H(a, v)| ≤ 4aK. II.B.3) En inversant l'ordre des intégrations dans la définition de H(a, v) (on admettra que l'inversion est possible), montrer que :
H(a, v) = 2∫_0^(+ ∞)(e^(− u)B(e^u) − 1)e^((1 − σ)u)ψ_v(u)du

II.C -

II.C.1) Montrer que, pour tout σ > 1, la fonction u ↦ e^(− σu)B(e^u)ψ_v(u) est intégrable sur ℝ^+.
Indication : on pourra utiliser la question II.A.4.
II.C.2) Montrer que, pour tout σ_0 > 1, la fonction
σ ↦ ∫_0^(+ ∞)e^(− σu)B(e^u)ψ_v(u)du est continue sur ]σ_0, + ∞[
Elle est donc continue sur ]1, + ∞[ et on admettra de plus que :
lim_(σ → 1; σ > 1)∫_0^(+ ∞)e^(− σu)B(e^u)ψ_v(u)du = ∫_0^(+ ∞)e^(− u)B(e^u)ψ_v(u)du
II.D - Montrer que :
lim_(σ → 1; σ > 1)∫_(− 2a)^(2a)G(σ + it)(1 − (|t|)/(2a))e^(itv) dt = ∫_(− 2a)^(2a)G(1 + it)(1 − (|t|)/(2a))e^(itv) dt
II.E - Montrer que :
∫_(− 2a)^(2a)G(1 + it)(1 − (|t|)/(2a))e^(itv) dt + 2∫_0^(+ ∞)ψ_v(u)du = 2∫_0^(+ ∞)e^(− u)B(e^u)ψ_v(u)du

II.F -

II.F.1) En admettant que le résultat de la question I.C reste valable si on suppose seulement la continuité de la fonction h, montrer que :
lim_(v → + ∞)∫_(− 2a)^(2a)G(1 + it)(1 − (|t|)/(2a))e^(itv) dt = 0
II.F.2) En déduire : lim_(v → + ∞)∫_0^(+ ∞)e^(− u)B(e^u)ψ_v(u)du = π.

FIN ••••

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