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NB. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations :

  • ℝ désigne l'ensemble des nombres réels.
  • ℂ désigne l'ensemble des nombres complexes.
  • C(I, K) désigne l'ensemble des fonctions continues de I dans K où K désigne ℝ ou ℂ.
  • C^k(I, K) désigne l'ensemble des fonctions de classe C^k de I dans K où K désigne ℝ ou ℂ.
  • ℝ_(n − 1)[X] désigne l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n − 1, à coefficients réels.
Convention : On convient d'identifier les fonctions polynômes au polynômes qui leur correspond.

Partie 1: Quelques résultats préliminaires

  1. On définit les fonctions φ et ψ de [1, + ∞[ dans ℝ respectivement par :
φ(x) = 1/(x + 1) − ln((x + 1)/x) et ψ(x) = 1/(x + 1) − ln((x + 2)/(x + 1)).
1.1) Étudier les variations des fonctions φ et ψ, préciser leurs limites en + ∞.
En déduire le signe de chacune des fonctions sur [1, + ∞[.
1.2) On considère un repère orthonormal (O; i⃗, j⃗), du plan.
Représenter graphiquement les fonctions φ et ψ dans ce repère.
2) On définit les suites (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) par :
∀n ∈ ℕ^∗, u_n = ∑_(p = 1)^n 1/p − ln(n) et v_n = ∑_(p = 1)^n 1/p − ln(n + 1).
Montrer que ces suites sont adjacentes.
On note γ leur limite commune, le réel γ est appelé constante d'Euler, qu'on ne cherchera pas à calculer.
3) Soit n un entier naturel, on définit la fonction f de ]0, 1] dans ℝ par :
f(x) = (1 − (1 − x)^n)/x
3.1) Montrer que la fonction f est intégrable sur ]0, 1].
3.2) Montrer que la fonction f est une fonction polynôme élément de ℝ_(n − 1)[X].
Donner l'expression de f dans la base ( 1, X, X^2, …, X^(n − 1) )
3.3) Montrer que la famille (1, X − 1, (X − 1)^2, …, (X − 1)^(n − 1)) est une base de ℝ_(n − 1)[X].
Donner l'expression de f dans cette base.
3.4) Calculer de deux façons différentes l'intégrale I = ∫_0^1 f(t)dt.
Pour n entier naturel et p entier compris entre 0 et n , on note : (n/p) = (n!)/(p!(n − p)!).
Déduire des deux expressions trouvées pour I que :
∑_(p = 1)^n((− 1)^(p − 1)(n/p))/p = ∑_(p = 1)^n 1/p

Partie 2: Transformée de Laplace

Soit E l'ensemble des fonctions f élément de C(]0, + ∞[, ℂ), telles que :
  • Pour tout réel a strictement positif, f est intégrable sur l'intervalle ]0, a].
  • A chaque fonction f on peut associer A ∈ ℝ_+^∗, β ∈ ℝ_+^∗, et n ∈ ℕ tels que :
∀x ∈ [A, + ∞[, |f(x)| ≤ βx^n
  1. Soit x et a deux réels strictement positifs, calculer ∫_x^a ln(t)dt.
Montrer que la fonction logarithme est élément de E.
5) Montrer que l'ensemble E est un ℂ - espace vectoriel.
6) Soit x un réel strictement positif.
Montrer que, si f est élément de E, alors la fonction φ_x définie de ]0, + ∞[ dans ℂ par φ_x(t) = f(t)e^(− xt), est intégrable sur ]0, + ∞[.
On définit alors et on note L(f) la transformée de Laplace d'un élément f de E par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, L(f)(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− xt)dt
  1. Montrer que l'application L définie sur E est une application linéaire.
  2. Si f est élément de C^1([0, + ∞[, ℂ) tel que f^′ soit élément de E, calculer L(f^′) en fonction de L(f) et de f(0).
  3. Soit k un entier naturel, montrer que f_k définie de ℝ_+^∗ dans ℝ par f_k(t) = t^k, est élément de E. Soit α un réel positif, on pose I_k = ∫_0^α t^k e^(− xt) dt.
    Déterminer une relation de récurrence entre I_(k + 1) et I_k.
    En déduire la transformée de Laplace de f_k.
  4. Soit ω un réel et f_ω l'application définie de ]0, + ∞[ dans ℂ par f_ω(t) = e^(iωt).
    10.1) Montrer que f_ω est élément de E.
    10.2) Calculer la transformée de Laplace de f_ω.
    10.3) En déduire les transformées de Laplace des fonctions définies de ]0, + ∞[ dans ℝ par :
cos_ω(t) = cos(ωt) et sin_ω(t) = sin(ωt)

Partie 3 : Transformée de Laplace de la fonction de Bessel

On définit la fonction de Bessel de ℝ dans ℝ par :
J(t) = 1/π∫_0^π cos(tcosθ)dθ
  1. Montrer que J est élément de C^2(ℝ, ℝ), exprimer J^′ et J^(′′) à l'aide d'une intégrale.
  2. Montrer que :
∀t ∈ ℝ, J^′(t) = − t/π∫_0^π sin^2 θcos(tcosθ)dθ
  1. Montrer que l'application J est solution sur ℝ de l'équation différentielle :
(E) : tJ^(′′) + J^′ + tJ = 0
  1. Montrer que l'application J est élément de E défini dans la partie 2 .
  2. Soit x un réel strictement positif, on pose : I(x) = ∫_0^π(dθ)/(x^2 + cos^2 θ).
    15.1) Montrer que : I(x) = 2∫_0^(π/2)(dθ)/(x^2 + cos^2 θ).
    15.2) Calculer l'intégrale ∫_0^(π/2)(dθ)/(x^2 + cos^2 θ). En déduire I(x).
Indication : on peut faire le changement de variable u = tanθ.
16) On admet avoir le droit de permuter l'ordre d'intégration soit :
∫_0^(+ ∞)(1/π∫_0^π cos(tcosθ)dθ)e^(− xt) dt = 1/π∫_0^π(∫_0^(+ ∞)cos(tcosθ)e^(− xt) dt)dθ
Calculer la transformée de Laplace de l'application J.

Partie 4 : Transformée de Laplace de la fonction logarithme

  1. Montrer que la fonction g définie de ]0, + ∞[ dans ℝ par g(t) = e^(− t)lnt est intégrable sur ]0, + ∞[.
  2. Soit (U_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite de fonctions définies de ]0, + ∞[ dans ℝ par :
∀n ∈ ℕ^∗, U_n(x) = {(1 − x/n)^n ln(x)x si x ∈ ]0, n[; 0, si x ≥ n
18.1) Montrer que :
∀u ∈ ] − 1, + ∞[, ln(1 + u) ≤ u.
En déduire que :
∀x ∈ ℝ_+^∗, ∀n ∈ ℕ^∗, 0 ≤ |U_n(x)| ≤ e^(− x)|ln(x)|.
18.2) Pour x réel strictement positif fixé, déterminer la limite de la suite (U_n(x))_(n ∈ ℕ^∗).
On admet que :
∫_0^(+ ∞)e^(− x)ln(x)dx = lim_(n → + ∞)∫_0^(+ ∞)U_n(x)dx
  1. Soit n un entier naturel, on note J_n = ∫_0^n(1 − t/n)^n ln(t)dt.
    19.1) Montrer l'existence de l'intégrale J_n.
    19.2) Soit p un entier naturel et ε un élément de ]0, 1[, calculer l'intégrale ∫_ε^1 u^p ln(nu)du, en déduire la converge de l'intégrale ∫_0^1 u^p ln(nu)du et calculer cette intégrale.
    19.3) Soient n un entier naturel et p un entier compris entre 0 et n , montrer que :
1/(n + 1)((n + 1)/(p + 1)) = 1/(p + 1)(n/p)
19.4) Utiliser le résultat de la question 3.4.) pour exprimer J_n en fonction de u_n défini dans la partie 1 question 2.
20) En déduire la valeur de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− x)ln(x)dx en fonction de la constante d'Euler.
21) Montrer que la transformée de Laplace de la fonction logarithme est définie sur ]0, + ∞[ et calculer sa transformée de Laplace.

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