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MATHÉMATIQUES II

Définitions et notations

Dans tout le problème

n

désigne un entier naturel non nul et

E

l'espace vectoriel euclidien

ℝ^n

rapporté à sa base canonique et muni du produit scalaire usuel. On utilisera l'isomorphisme, relativement à la base canonique, entre

ℝ^n

et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre

n

; ainsi à tout élément

x

E

on associera la matrice colonne notée

X

. On identifiera les matrices carrées d'ordre 1 et

ℝ

et on pourra ainsi écrire le produit scalaire entre deux vecteurs de

E

sous la forme:

⟨x, y⟩ = ^t XY

On désigne par $𝒪_n$ l'ensemble des matrices orthogonales carrées d'ordre $n$ et par $I_n$ la matrice unité d'ordre $n$ .
On notera $𝒮_n$ l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre $n$ symétriques et $𝒮(E)$ l'espace des endomorphismes de $E$ admettant dans la base canonique une matrice symétrique réelle. Ils seront dits symétriques. On notera $𝒮(E)^+$ (respectivement $𝒮(E)^(+ +)$ ) l'ensemble des endomorphismes dont les valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives). $𝒮_n^+$ et $𝒮_n^(+ +)$ seront les espaces des matrices associées dans la base canonique.
Pour tout $n$ -uplet $(λ_1, \dots, λ_n)$ , on notera $diag(λ_1, \dots, λ_n)$ la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont, dans cet ordre, $λ_1, \dots, λ_n$ .
Toutes les questions précédées de la mention «Application» peuvent être traitées en admettant éventuellement les résultats qui les précèdent.

Partie I - Décomposition d'un isomorphisme de E

I.A - Racine positive d'une matrice symétrique réelle positive

Dans cette section on se propose d'étudier l'existence et l'unicité de solutions dans

𝒮_n^+

à l'équation matricielle (

ℛ

) :

A = M^2

où

A

désigne une matrice symétrique réelle positive fixée. On notera

u

l'unique endomorphisme de

E

de matrice

A

relativement à la base canonique.

Filière TSI

I.A.1)

a) Montrer l'existence d'une famille

(λ_i)_(1 \leq i \leq n)

de réels positifs et d'une matrice

P

dans

𝒪_n

tels que :

A = Pdiag(λ_1, \dots, λ_n)^t P

.
b) On pose :

B = Pdiag(\sqrt(λ_1), \dots, \sqrt(λ_n))^t P

. Montrer que

B

est une solution de (

ℛ

). I.A.2) On considère

M

une solution de (

ℛ

) et

v

l'unique endomorphisme de

E

de matrice

M

dans la base canonique.
a) Justifier la relation

u = v \circ v

.
b) Montrer que tout vecteur propre de

v

est un vecteur propre de

u

et préciser la relation entre les valeurs propres associées.
c) En déduire que, pour toute valeur propre

λ

u

, il existe un unique réel positif

μ

tel que l'espace propre de

u

associé à

λ

soit égal à celui de

v

associé à

μ

. Montrer aussi qu'il existe une base de

E

formée de vecteurs propres communs à

u

v

.
d) Déduire de ce qui précède que (

ℛ

) admet une solution unique qui sera appelée racine positive de

A

.
I.A.3) Application : on considère

A = (2, - 1; - 1, 2).

Montrer que c'est un élément de

𝒮_n^+

et calculer sa racine positive.

I.B - Endomorphisme exponentiel d'un endomorphisme symétrique réel

Dans toute cette section,

u

est un endomorphisme symétrique,

U

est sa matrice dans la base canonique et

ℬ = {ε_1, …, ε_n}

désigne une base orthonormale de vecteurs propres pour

u

.
I.B.1)
a) Montrer qu'il existe une famille

(λ_i)_(1 \leq i \leq n)

de réels tels que la matrice de

u

dans

ℬ

soit

D = diag(λ_1, \dots, λ_n)

.
b) On note alors

exp(u)

l'unique endomorphisme de

E

dont la matrice dans

ℬ

est

diag(exp(λ_1), \dots, exp(λ_n))

. Montrer que

u

exp(u)

ont les mêmes espaces pro-
pres et qu'on définit bien ainsi un unique endomorphisme symétrique strictement positif, indépendamment du choix de

ℬ

.
c) Déterminer

exp(u)

lorsque

u

est l'endomorphisme nul et lorsque

u

est l'identité sur

E

.
d) Montrer que

exp(u)

est inversible d'inverse

exp(- u)

.
e) Vérifier la relation

exp(2u) = exp(u) \circ exp(u)

On notera désormais

Φ

l'application de

𝒮(E)

dans

𝒮(E)^(+ +)

qui, à un endomorphisme symétrique, associe son endomorphisme exponentiel.
I.B.2) Application. Dans cette unique question on pose

U = (0, 0, 1; 0, 0, 0; 1, 0, 0)

Déterminer la matrice de

exp(u)

dans la base canonique en fonction de

ch(1)

et sh(1).
I.B.3) Dans cette question

a

est un endomorphisme orthogonal de

E

et on note

a(ℬ) = {a(ε_1), …, a(ε_n)}

.
a) Vérifier que

w = a \circ u \circ a^(- 1)

est un endomorphisme symétrique.
b) Montrer que

a(ℬ)

est une base orthonormale de vecteurs propres pour

w

et exprimer la matrice de

w

dans cette base. En déduire la matrice de

exp(w)

dans

a(ℬ)

.
c) Exprimer la matrice de

a \circ exp(u) \circ a^(- 1)

dans

a(ℬ)

. Conclure.
d) Montrer que

Φ

est surjective.
e) En considérant les espaces propres respectifs de

u

et de

exp(u)

, montrer que

Φ

est injective.

I.C - Décomposition d'un isomorphisme réel

Dans cette section

f

est un isomorphisme de

E

M

désigne sa matrice dans la base canonique.
I.C.1)
a) Montrer que

^t MM

est un élément de

𝒮_n^(+ +)

.
b) Montrer qu'il existe un unique élément

B

𝒮_n^(+ +)

tel que

^t MM = B^2

.
c) On pose

V = MB^(- 1)

. Montrer que

V

ainsi définie est élément de

𝒪_n

.
d) Déduire de ce qui précède l'existence et l'unicité d'un couple (

V, B

) de matrices (

B

élément de

𝒮_n^(+ +)

V

élément de

𝒪_n

) tel que

M = VB

.
I.C.2) Application. Déterminer les matrices

V

B

, puis identifier géométriquement l'endomorphisme associé à

V

dans la base canonique, dans les deux cas suivants :
a)

M = 1/5(- 3, 8; 4, 6)

M = (- 2, - 1, 2; 2, - 2, 1; 1, 2, 2)

I.C.3) Montrer qu'il existe un unique couple (

v, u

), avec

v

endomorphisme orthogonal de

E

u

élément de

𝒮(E)

tel que

f = v

exp(u)

.
Vérifier de plus que

^t MM

est la matrice, dans la base canonique, de

exp(2u)

Partie II - Endomorphismes invariants d'une forme quadratique

II.A - Forme quadratique associée à une matrice symétrique

II.A.1)
a) Montrer que, pour toute matrice symétrique réelle

A

, on définit une forme bilinéaire symétrique en posant

\forall(x, y) \in E, φ(x, y) = ^t XAY

. On notera

Q

la forme quadratique associée.
b) Montrer qu'on définit ainsi une application injective de

𝒮_n

dans l'ensemble des formes quadratiques sur

E

. On admettra que cette application est aussi surjective.
II.A.2) Dans toute la suite de cette partie,

A

est un élément de

𝒮_n

fixé, a est l'endomorphisme associé dans la base canonique et

Q

désigne la forme quadratique associée. De plus

f

désigne un endomorphisme de

E

de matrice

M

relativement à la base canonique. On dira que

Q

est invariant par

f

\forallx \in E, Q(f(x)) = Q(x)

.
On note

ℋ(E)

l'ensemble des endomorphismes laissant

Q

invariant et

ℋ_n

l'ensemble de leurs matrices dans la base canonique.
a) Montrer que

x \to Q(f(x))

définit une forme quadratique sur

E

.
b) En utilisant ce qui précède, en déduire la caractérisation

(M \in ℋ_n) \Leftrightarrow (^t MAM = A).

II.B - Structure des invariants des formes quadratiques associées à des matrices involutives

Dans toute la fin du problème,

A

est une matrice symétrique réelle qui vérifie

A^2 = I

.
II.B.1) Montrer que tout élément de

ℋ(E)

est inversible et que son inverse appartient à

ℋ(E)

.
II.B.2) Montrer que, si

M

est élément de

ℋ_n

, il en est de même pour sa transposée.
II.B.3) Montrer que

ℋ_n

est un sous-groupe du groupe linéaire d'ordre

n

et donc que

ℋ(E)

est un sous-groupe du groupe linéaire de

E

II.C - Caractérisation des endomorphismes orthogonaux dans $ℋ_n$

II.C.1) Soit

M

un élément de

𝒪_n

f

l'endomorphisme associé dans la base canonique. Montrer que

M

est un élément de

ℋ_n

si et seulement si

M

commute avec

A

.
II.C.2) Application. Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur (

a, b, c, d

) pour que

A

M

commutent, avec

M = (a, b; c, d) et A = (0, 1; 1, 0).

En déduire, lorsque

A

est ainsi fixée, les matrices orthogonales dans

ℋ_2

.
II.C.3) On note

F = ker(A - I)

G = ker(A + I)

.
a) Rappeler pourquoi

F

G

sont des sous-espaces vectoriels de

E

(éventuellement réduits à

{0}

), orthogonaux et supplémentaires.
b) Montrer que

f

, endomorphisme orthogonal, est élément de

ℋ(E)

si et seulement si

f(F) = F

f(G) = G

.
II.C.4) Application. Déterminer les matrices orthogonales de

ℋ_n

lorsque

n = 2 et A = 1/5(3, 4; 4, - 3).

On pourra commencer par déterminer

F, G

ainsi qu'une base de chaque sousespace, puis la forme de la matrice associée à

f

dans une base adaptée à la décomposition

E = F \oplus G

II.D - Caractérisation des endomorphismes symétriques strictement positifs dans $ℋ(E)$

II.D.1) Montrer que

f

, élément de

𝒮(E)^+

, est dans

ℋ(E)

si et seulement si

f \circ a \circ f = a

.
II.D.2) Application. Dans cette question,

a

est l'endomorphisme associé à

A = (0, 1; 1, 0).

Déterminer toutes les matrices

M

symétriques réelles d'ordre 2 telles que

MAM = A

. En déduire dans ce cas tous les endomorphismes de

𝒮(E)^+

qui sont dans

ℋ(E)

.
II.D.3) Soit

f \in 𝒮(E)^(+ +)

. On note

u

l'unique élément de

𝒮(E)

tel que

f = exp(u)

. Montrer que

f

est élément de

ℋ(E)

si et seulement si

a \circ u \circ a = - u

.
II.D.4) Application. Dans cette question a est l'endomorphisme associé à

A = (0, 1; 1, 0).

Déterminer toutes les matrices

U

symétriques réelles d'ordre 2 qui vérifient

UA = - AU

. Retrouver alors les résultats de II.D.2.
II.D.5) Soit

f \in 𝒮(E)^(+ +)

. Montrer que

f

est dans

ℋ(E)

si et seulement si

u(F) \subset G

u(G) \subset F

.
II.D.6) Application. Déterminer les endomorphismes symétriques strictement positifs de

ℋ(E)

dans le cas où a est l'endomorphisme associé dans la base canonique à

A = 1/5(3, 4; 4, - 3).

II.E - Caractérisation de $ℋ(E)$

II.E.1) Soit

v

un endomorphisme orthogonal et

u

un endomorphisme symétrique tels que

v(F) = F, v(G) = G

u(F) \subset G, v(G) \subset F

. Montrer que

f = v

exp(u)

est dans

ℋ(E)

.
II.E.2) Réciproquement, on considère

f

un élément de

ℋ(E)

.
a) Justifier rapidement l'existence d'un endomorphisme

v

orthogonal et d'un endomorphisme

u

symétrique tels que

f = v \circ exp(u)

.
b) En utilisant les différents résultats trouvés et en particulier la question I.C.3, montrer que nécessairement

exp(2u)

est dans

ℋ(E)

. En déduire que

exp(u)

puis

v

sont dans

ℋ(E)

.
II.E.3) Déduire de ce qui précède une caractérisation de

ℋ(E)

Partie III - Applications géométriques

III.A - Transformations affines laissant invariante une conique

Le plan affine est rapporté à une origine

O

et à une base orthonormale

{i, j}

. On pourra utiliser l'isomorphisme entre l'espace euclidien de dimension 2 sousjacent et

ℝ^2

muni du produit scalaire usuel et rapporté à sa base canonique. On considère la conique

𝒞

définie par l'équation

xy + 3x + 5y - 4 = 0

.
III.A.1)
a) À l'aide d'un changement d'origine, montrer que cette conique admet un centre de symétrie

Ω

que l'on déterminera.
b) Écrire une équation de

𝒞

dans le repère (

Ω, {i, j}

).
c) Quelle est la nature de la conique ? En donner une représentation graphique.
III.A.2) On se propose de déterminer toutes les transformations affines qui fixent

Ω

et laissent globalement invariante la conique

𝒞

.
a) Montrer que le problème équivaut à déterminer

ℋ_2

lorsque

A = (0, 1; 1, 0)

b) En utilisant ce qui a été fait précédemment achever la détermination des transformations affines laissant globalement invariante

𝒞

III.B - Transformations affines laissant invariante une quadrique

L'espace affine est rapporté à une origine

O

et à une base orthonormale

ℬ

. On pourra utiliser l'isomorphisme entre l'espace euclidien de dimension 3 sousjacent et

ℝ^3

muni du produit scalaire usuel et rapporté à sa base canonique.
On se propose d'étudier les transformations affines qui fixent

O

et laissent globalement invariante l'une des deux quadriques

𝒮_1

𝒮_2

définies par les équations :

(𝒮_1)x^2 + y^2 + z^2 = 1 et (𝒮_2)x^2 + y^2 - z^2 = 1.

III.B.1)
a) Préciser la nature de

𝒮_1

.
b) Déterminer dans les deux cas la matrice de symétrie

A

associée à la forme quadratique, ainsi que les sous-espaces vectoriels

F

G

. Montrer que les transformations affines cherchées sont entièrement déterminées par

ℋ(E)

.
III.B.2) Déterminer entièrement ces transformations dans le cas de

𝒮_1

III.B.3) Cas de $𝒮_2$ .

a) Montrer que les matrices orthogonales de

ℋ_3

sont les matrices de la forme

(cos(θ), - αsin(θ), 0; sin(θ), αcos(θ), 0; 0, 0, β)

où

θ

est élément de

[0, 2π[

(α, β)

un couple d'éléments de

{ - 1, 1}

.
b) Étudier pour

θ

fixé les quatre transformations associées lorsque

α

β

prennent les valeurs 1 et -1 . On étudiera précisément le cas particulier

θ = 0

.
III.B.4) Recherche des endomorphismes symétriques de la forme

exp(u)

.
a) Montrer que l'ensemble des endomorphismes

u

tels que

exp(u)

soit dans

ℋ(E)

est un espace vectoriel de dimension 2 et donner la forme générale de

U

, matrice de

u

dans la base canonique.
b) Déterminer une base de vecteurs propres commune à

u

exp(u)

ainsi que la matrice de

exp(u)

dans une telle base.

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MATHÉMATIQUES II

Définitions et notations

Partie I - Décomposition d'un isomorphisme de E

I.A - Racine positive d'une matrice symétrique réelle positive

Filière TSI

I.A.1)

I.B - Endomorphisme exponentiel d'un endomorphisme symétrique réel

I.C - Décomposition d'un isomorphisme réel

Partie II - Endomorphismes invariants d'une forme quadratique

II.A - Forme quadratique associée à une matrice symétrique

II.B - Structure des invariants des formes quadratiques associées à des matrices involutives

II.C - Caractérisation des endomorphismes orthogonaux dans ℋ_n

II.D - Caractérisation des endomorphismes symétriques strictement positifs dans ℋ(E)

II.E - Caractérisation de ℋ(E)

Partie III - Applications géométriques

III.A - Transformations affines laissant invariante une conique

III.B - Transformations affines laissant invariante une quadrique

III.B.3) Cas de 𝒮_2.

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II.C - Caractérisation des endomorphismes orthogonaux dans $ℋ_n$

II.D - Caractérisation des endomorphismes symétriques strictement positifs dans $ℋ(E)$

II.E - Caractérisation de $ℋ(E)$

III.B.3) Cas de $𝒮_2$ .