Centrale Physique 2 TSI 2007Sujet et corrigé

Les calculatrices sont autorisées.
Le problème étudie un dispositif susceptible de détecter la présence d'un matériau métallique situé à une distance plus ou moins grande d'un capteur selon la sensibilité du dispositif. Les différentes parties qui analysent le fonctionnement des éléments successifs constituant le détecteur sont indépendantes et la dernière partie qui appréhende le capteur dans son intégralité prend en compte l'interaction de tous les éléments.
Le principe de détection s'appuie sur le phénomène de couplage magnétique de deux circuits conducteurs qui engendre une variation de l'inductance apparente d'un circuit.

Afin de simplifier l'étude, le capteur est assimilé à une bobine ℬ_1 de rayon a_1, de hauteur nulle parallèlement à son axe, sur laquelle sont enroulés N tours d'un fil conducteur en cuivre. On négligera dans toute l'étude l'étalement radial et axial du bobinage de telle sorte que chaque spire qui le constitue sera considérée comme un cercle de rayon a_1, centré sur le même point O_1. La position d'un point P d'une spire est décrite dans le repère ( O_1, u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_z ) représenté sur la figure I.A. Les évolutions au cours du temps des courants impliqués dans ce dispo-

sitif permettent de mener l'étude dans le cadre des régimes quasi permanents.
On donne μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7) S.I.
I.A - Le bobinage est parcouru par un courant d'intensité i_1 représenté sur la figure I.A. Calculer le champ magnétique B⃗(O_1), créé par tout le bobinage au point O_1.
I.B - Soit M un point appartenant à la section du bobinage et dont les coordonnées vérifient z = 0 et r < a_1. Déterminer en le justifiant, la direction de B⃗(M). Justifier que l'amplitude de ce champ ne dépende pas de θ.
I.C - La figure I.B propose le profil du rapport
(B⃗(M) ⋅ u⃗_z)/(B⃗(O_1) ⋅ u⃗_z) noté f, en fonction de la variable u = r/(a_1).

Commenter l'allure de ce profil. Quels aspects de cette courbe sont conformes ou en désaccord avec celle qui serait obtenue lors d'un relevé expérimental ? Que faut-il faire pour établir une expression théorique du champ magnétique en meilleur accord avec l'expérience?
On définit le champ magnétique moyen B_m sur la section de la spire par la relation admise :

I.D - Pour i_1 = 1A, a_1 = 6, 5 cm et N = 100, calculer la valeur de B_(10) = ‖B⃗(O_1)‖.
I.E - On admet B_m ≈ 1, 56B_(10). Calculer B_m et commenter la valeur du rapport B_m/B_(10). Calculer l'inductance propre L_1 du circuit ℬ_1, définie par le rapport L_1 = Φ_1/i_1 avec

I.F - Quelle serait la valeur de B_m pour un bobinage identique mais parcouru par un courant d'intensité 2 A ? La valeur de L_1 change-t-elle?
I.G - Un objet métallique est placé au voisinage de la bobine ℬ_1 étudiée précédemment. Afin de simplifier l'étude, cet objet est assimilé à un anneau filiforme ℬ_2, conducteur, de

rayon a_2 et dont la position par rapport à ℬ_1 est décrite sur la figure I.C.
On supposera de plus que a_2 « a_1 et que d = O_1 O_2»a_1, de telle sorte que le champ magnétique créé par ℬ_1 sur la section de ℬ_2 puisse être considéré comme uniforme. Calculer le champ magnétique B⃗(O_2) créé par ℬ_1, parcourue par le courant i_1 au point O_2.
I.H - Calculer le flux magnétique φ envoyé par ℬ_1 à travers ℬ_2. En déduire l'expression de M, mutuelle inductance des deux circuits, définie par M = φ/i_1.
Application numérique : d = 12 cm; a_2 = 1 cm. Calculer la valeur de M.
On alimente maintenant ℬ_1 par la tension u_1(t) = U√2cos(ωt) (figure I.C) alors que l'anneau filiforme ℬ_2 modélisant le métal est en court-circuit. On désigne par R_1 et R_2 les résistances respectives des circuits ℬ_1 et ℬ_2 puis par L_2, l'inductance propre de ℬ_2. L'inductance propre de ℬ_1 est toujours notée L_1.
I.I - Écrire le système des deux équations couplées reliant les grandeurs instantanées u_1(t), i_1(t), i_2(t) faisant intervenir les paramètres R_1, R_2, L_1, L_2 et M. En régime sinusoïdal forcé de pulsation ω, on désigne par U_1_–, I_1_– et I_2_– les représentations complexes respectives de u_1(t), i_1(t), i_2(t).
Écrire le système en représentation complexe.
I.J - Calculer l'impédance apparente de ℬ_1 définie par Z_–_(app) = U_1_–/I_1_–. On pose Z_–_(app) = R_(app) + jL_(app)ω. Identifier les valeurs de R_(app) et L_(app).
I. K - Donner l'expression ΔL_1 = L_(app) − L_1 et en déduire la valeur numérique de la variation relative ΔL_1/L_1 qui résulte de la présence du métal.
On prendra: L_2 = 1 ⋅ 10^(− 9)H, R_2 = 0, 1 mΩ et f = ω/(2π) = 100kHz.

On étudie le montage électrique représenté sur la figure II.A.
Le facteur α est un réel positif qui peut être modifié afin de permettre d'ajuster la valeur de la résistance R^′ = R/α.
II.A - Dans un premier temps on isole le circuit noté 𝒞_1, inclus dans le domaine délimité par les traits en pointillés, dont les grandeurs d'entrée, définies sur la figure, sont u_e, i_e et la grandeur de sortie est u_s.
II.A.1) L'amplificateur opérationnel
a) Pour un amplificateur opérationnel idéal, tracer la caractéristique de transfert statique, c'est-à-dire les variations de u_s en fonction de ε. On notera V_(sat) la valeur absolue de la tension de saturation.
b) Cette caractéristique fait apparaître deux domaines. Nommer et définir ces domaines.

c) Définir le modèle «amplificateur opérationnel idéal ». Celui-ci sera adopté en ce qui concerne l'amplificateur opérationnel de 𝒞_1.
Dans toute la suite, nous admettrons que le comportement de l'amplificateur opérationnel, même en régime variable, reste celui du régime statique.

On désigne par caractéristique d'entrée les variations de i_e en fonction de u_e.
a) En prenant pour hypothèse |u_s| < V_(sat), établir la relation (1) liant u_e, i_e, α et r.
b) Établir les relations (2) et (3), liant u_e et i_e respectivement lorsque u_s = V_(sat) et u_s = − V_(sat). Expliciter en fonction des paramètres du problème les deux valeurs I_m et − I_m de i_e correspondant aux limites de validité des relations précédentes. Représenter la caractéristique globale d'entrée du montage étudié, dans le cas où αr < R. On fera apparaître sur le graphique V_(sat) et I_m.

Le dipôle d'entrée est désormais connecté (figure II.A) au dipôle formé de l'association série d'un condensateur de capacité C et d'une inductance L. Lorsque les dipôles sont connectés, l'intensité circulant dans l'inductance est initialement nulle et le condensateur présente une tension u_c(t = 0) = U_0 suffisamment faible pour que |u_s| < V_(sat).
a) Montrer que i_e(t) est solution de l'équation différentielle ( E ) du second ordre

Exprimer l'amortissement ξ et ω_0 en fonction de L, C, R_1, r et α.
b) D'après les conditions initiales, quelles sont les valeurs de i_e(t = 0) et

c) Que se passe-t-il si U_0 est nul? Commenter.
d) On suppose donc que U_0 n'est pas nul mais de très faible valeur. Quelle est la condition sur ξ puis sur α pour que les oscillations de i_e présentent une amplitude croissante au cours du temps? On suppose désormais que cette condition est réalisée.
e) Application numérique :
r = 1kΩ, R_1 = 100Ω, C = 1, 28nF, L = 2mH, α = 0, 35.
Calculer la valeur de ξ et de T_0 = 2π/ω_0
II.B.2) Amplitude des oscillations
a) Représenter l'allure de l'évolution de i_e(t) en fonction du temps à compter de t = 0. En utilisant la caractéristique d'entrée établie en II.A.2, montrer que cette loi d'évolution n'est valable que sur une durée limitée. Donner l'autre équation différentielle régissant l'évolution de i_e(t).
b) Après un régime transitoire que l'on n'étudiera pas, les variations de i_e en fonction du temps suivent un
régime périodique établi. La figure II.B montre les évolutions de i_e/I_m en fonction de la variable réduite θ = t/T_0.

Déterminer les domaines de cette courbe qui se rapportent respectivement aux zones (1), (2) et (3) de la caractéristique d'entrée de 𝒞_1.
c) Comment qualifier les oscillations représentées en figure II.B ? Évaluer la période, puis la fréquence f de ces oscillations ainsi que la valeur maximale de i_e.
Application numérique :
R = 2, 5kΩ et V_(sat) = 15 V.
d) Donner, pour ce régime établi, les valeurs maximales des tensions u_e(t) et u_s(t) du montage.
II.B.3) Influence de la variation de l'inductance sur la fréquence des oscillations
a) Du fait de la présence d'un matériau métallique, l'inductance L varie de la valeur L_1 = 2mH à la valeur L_1 + ΔL_1 (voir partie I) telle que ΔL_1/L_1 ≈ − 5 ⋅ 10^(− 4). Quels sont les paramètres affectés par cette variation? Calculer Δω_0/ω_0 qui résulte de cette variation.
b) On désigne par f + Δf la fréquence des oscillations lorsque L = L_1 + ΔL_1 et f, celle des oscillations lorsque L = L_1. Pourquoi, selon vous, n'essaie-t-on pas de mesurer Δf sur une courbe analogue à celle de la figure II.B, tracée pour L = L_1 + ΔL_1 ? Un calcul numérique permet d'évaluer Δf ≈ 38 Hz. Calculer Δf/f.

Dans toute la suite, on assimilera la tension de sortie u_s de l'oscillateur à son fondamental, c'est-à-dire à une sinusoïde de fréquence f calculée en II.B. 2 ou II.B.3.

L'oscillateur précédent est réalisé en double exemplaire : le premier montage utilise comme inductance la bobine ℬ_1, constituée par le circuit étudié en partie I; le deuxième montage utilise un composant de référence. Lorsque ℬ_1 est éloignée de tout métal, son inductance vaut L_1, valeur identique à celle du composant de référence, égale à 2 mH . Par ailleurs, sans la proximité de métal, tous les autres composants des deux oscillateurs autres que l'inductance étant identiques, ces derniers produisent une tension sinusoïdale de même amplitude et de même fréquence évaluée en II.B.2. Lorsqu'on approche un métal de ℬ_1, son inductance varie de ΔL_1. Ceci modifie la fréquence des oscillations de la tension de sortie de l'oscillateur contenant ℬ_1, qui devient f + Δf.

Cette partie propose une méthode de détection de cette variation de fréquence. Le principe de fonctionnement est décrit sur la figure III.A.

Les tensions de sortie des deux oscillateurs, notées u_s(t) et u_s^(ref)(t), constituent les deux entrées d'un montage multiplieur qui délivre une tension intermédiaire v(t) = ku_s(t)u_s^(ref)(t) proportionnelle au produit de ses deux tensions d'entrée, le coefficient k étant caractéristique du multiplieur.
III.A - Montrer que v(t) peut se mettre sous la forme d'une somme de deux tensions sinusoïdales dont on déterminera les fréquences respectives. En supposant que Δf/f < 0, 01, donner l'ordre de grandeur de ces fréquences (ou à défaut de leur valeur maximale).
III.B - On place à la suite du multiplieur un filtre passe bas du premier ordre de fréquence de coupure f_c = 1kHz vérifiant Δf_«f_c < f.
III.B.1) Proposer un montage simple, de gain statique égal à 1, réalisant cette fonction. On proposera des valeurs pour les composants choisis.
III.B.2) Déterminer le signal de sortie du filtre s(t). Calculer le rapport des amplitudes des deux tensions sinusoïdales qui composent s(t). Discuter la qualité du filtre.
III.C - La tension de sortie s(t), après avoir subi une amplification en puissance, alimente un haut parleur. Sachant que l'oreille humaine détecte des vibrations sonores dés lors que leur fréquence atteint 20 Hz , estimer la valeur minimale de Δf/f détectable. Peut-on détecter la variation de fréquence obtenue en II.B. 3 ?

III.D - Expliquer le fonctionnement du dispositif complet. La présence de l'anneau ℬ_2 suivant la description de la partie I peut-elle être détectée ? Quel est l'effet d'un rapprochement du capteur vers le métal à détecter sur le son émis par le haut parleur?
-••FIN •••