Étude de quelques aspects du phénomène de résonance en électricité et en mécanique
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Le sujet étudie la résonance sous plusieurs formes. La partie I étudie un circuit RLC en résonance série puis parallèle. La partie II étudie un montage électronique à amplificateurs opérationnels reproduisant un comportement résonant. La partie III étudie les oscillations forcées d'une bobine plongée dans un champ magnétique radial et reliée à un ressort de rappel. La partie IV étudie les oscillations forcées d'une tige pesante reliée à un ressort, soumise à la vibration sinusoïdale de son support.
1Partie I : résonance série et parallèle d'un circuit RLCOn étudie l'impédance, l'amplitude du courant et l'acuité de la résonance d'un circuit RLC en série puis en dérivation.
2Partie II : montage électronique résonantOn étudie un amplificateur à amplificateur opérationnel puis un circuit à deux amplificateurs dont la réponse en fréquence présente une résonance réglable par un gain proche de 2.
3Partie III : oscillations d'une bobine dans un champ magnétiqueOn établit l'équation différentielle couplée électrique et mécanique d'une bobine oscillante soumise à un couple de rappel élastique et à un champ magnétique radial, et on étudie sa résonance en amplitude.
4Partie IV : oscillations d'une tigeOn étudie les petites oscillations d'une tige pesante reliée à un ressort, soumise à la vibration sinusoïdale verticale de son support, dans le référentiel non galiléen lié au sol vibrant.
Étude de quelques aspects du phénomène de résonance
Les quatre parties de ce problème sont largement indépendantes.
Partie I - Étude d'un circuit RLC
I.A - Résonance série
Le dipôle de la figure 1 (une bobine d'inductance L et de résistance R est montée en série avec un condensateur de capacité C ), alimenté par une tension sinusoïdale
E = E_0 cosωt
de pulsation ω variable, est parcouru par un courant
I = I_0 cos(ωt − φ)
I.A.1) Exprimer l'impédance complexe Z_s de ce dipôle.
I.A.2) En déduire l'impédance (réelle) Z_s^– de ce dipôle et le retard de phase φ du courant I sur la tension E en fonction de la pulsation propre
ω_0 = 1/(√(LC))
et du facteur de qualité
Q = (Lω_0)/R
de ce circuit.
I.A.3) Tracer le graphe du rapport (Z_s)/R
en fonction du rapport
x = ω/(ω_0).
Filière TSI
I.A.4) Quelle est la valeur maximale I_(0 Max) de l'amplitude I_0 du courant? Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte?
Tracer les graphes du rapport
(I_0)/(I_(0Max))
et de la phase φ en fonction de x.
I.A.5) L'acuité de la résonance est définie par le rapport
A = (Δω)/(ω_0) où Δω = ω_2 − ω_1(avecω_2 > ω_1)
représente la bande de pulsations dans laquelle l'amplitude du courant vérifie
I_0(ω) ≥ (I_(0Max))/(√2).
Déterminer A en fonction de Q. Dans quel domaine varie la phase φ pour ω ∈ [ω_2, ω_1] ?
I.B - Résonance parallèle
On considère maintenant le dipôle de la figure 2 (la bobine L, R est montée en dérivation avec le condensateur C ), alimenté par la tension sinusoïdale E = E_0 cosωt de pulsation ω variable.
I.B.1) Exprimer l'impédance complexe Z_P de ce dipôle en fonction de R, L, C et ω.
I.B.2) En déduire l'expression Z_P en fonction de R, C, ω, Q, ω_0 et Z_s(Q, ω_0 et Z_s ayant été définis à la question précédente).
I.B.3) Montrer que, lorsque le facteur de qualité est très élevé ( Q » 1 ) et la pulsation ω pas trop faible
(Qω/(ω_0)»1)
Z_P_– peut se mettre sous la forme approchée :
Z_P ≈ (Q^2 R^2)/(Z_s)
On utilisera ce résultat dans toute la suite de la question I.B.
I.B.4) Quelle est la valeur de Z_P pour la pulsation ω_0 ? Quel est alors le comportement de ce circuit?
I.B.5) On suppose ω = ω_0. Déterminer les valeurs approximatives des intensités réelles I_L et I_C qui traversent respectivement la bobine et le condensateur en fonction de R, Q, ω, du temps t et de l'amplitude E_0 de la tension d'alimentation du dipôle. Commenter les résultats obtenus.
Partie II - Étude d'un montage électronique
II.A - Dans le montage amplificateur de la figure 3, l'amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire. Alimenté par une tension d'entrée V_E, il délivre une tension de sortie V_S.
Figure 3
Calculer le rapport (V_S)/(V_E). Que vaut le courant d'entrée I_E ?
II.B - La figure 4 représente de manière symbolique l'amplificateur de tension équivalent au circuit de la figure 3. Déterminer le gain G ( G est une constante réelle et positive), la résistance d'entrée R_E et la résistance de sortie R_S de cet
amplificateur.
II.C - On considère le circuit de la figure 5 contenant deux amplificateurs de tension tels que celui représenté figure 4 , l'un de gain G_1 = 1 et l'autre de gain G_2 légèrement inférieur à 2 . On pose
ω_0 = 1/(RC).
II.C.1) Ce circuit est alimenté par une tension sinusoïdale E = E_0 cosωt de pulsation ω variable ; déterminer le rapport H_–
entre les tensions complexes de sortie S_– et d'entrée E_– :
H_– = (S_–)/(E_–) en fonction de G_2 et du rapport x = ω/(ω_0).
II.C.2) Calculer le module H de H_– en fonction de x. Déterminer en particulier la valeur maximale H_(Max) de H. Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte (ne pas oublier que G_2 est voisin de 2 tout en étant inférieur à 2 ) ? Calculer l'acuité de la résonance A en fonction de G_2 ( A a été définie dans la partie I). Comment peut-on faire varier facilement cette acuité ?
II.C.3) Tracer le graphe de H en fonction de x.
II.C.4) On suppose R = 100kΩ, C = 1μ F, G_2 = 1, 8. Le circuit est maintenant alimenté par une tension E(t) rectangulaire périodique de période T = 1 ms, de rapport cyclique
a = (T_1)/T = 0, 2
et d'amplitude
E_0 = 1 V,
représentée figure 6. Déterminer la valeur de la tension de sortie S en régime établi, compte tenu des valeurs numériques.
Partie III - Oscillations d'une bobine dans un champ magnétique
Dans le référentiel ( Oxyz : vecteurs unitaires e_x^(→−), e_y→, e_z→ ), supposé galiléen, une bobine MNPQ, plate, rigide, de forme carrée de côté a, constituée de N spires (d'un fil homogène de section négligeable) jointives, de résistance R, d'inductance négligeable, peut tourner autour de l'axe Oz sans frottement. L'axe Oz coïncide avec l'axe de symétrie de la bobine et on désigne par J le moment d'inertie de celle-ci par rapport à Oz. Cette bobine est plongée dans un champ magnétique radial B_0, perpendiculaire à Oz, qui règne dans les entrefers formés par les pôles d'un aimant permanent et un noyau cylindrique intérieur en fer. Elle est reliée à un générateur de tension sinusoïdale E = E_0 cosωt et, en régime sinusoïdal établi, elle est parcourue par un courant sinusoïdal I; sa position est repérée par l'angle θ = (e⃗_x, n⃗), n⃗ désignant le vecteur unitaire normal à la bobine (figures 7 et 8 ).
Enfin, la bobine est soumise à l'action d'un ressort spiral qui exerce un couple de rappel Γ⃗ = − kθe⃗_z. On supposera que la norme B_0 du champ B_0^(→−) agit sur toute la longueur a des côtés opposés MN et PQ et est supposée constante dans le domaine de variation de θ.
Figure 7 : l'aimant et le noyau ne sont pas représentés
III.A - Quel est le moment des efforts de Laplace qui s'exercent sur le côté MN ? Sur le côté PQ ? En déduire celui qui s'exerce sur la bobine puis «l'équation différentielle mécanique» qui relie les variables θ et I.
III.B - Exprimer la force électromotrice d'induction induite par le mouvement de la bobine, puis écrire «l'équation différentielle électrique» qui relie les variables θ et I.
III.C - En déduire que l'équation différentielle à laquelle satisfait l'angle θ se met sous la forme :
Jθ¨ + hθ˙ + kθ = scosωt
et exprimer les coefficients constants h et s en fonction de la constante φ_0 = Na^2 B_0, de R et E_0.
III.D - On pose
ω_0^2 = k/J, 2εω_0 = h/J, D = s/k et on suppose ε≪1 USI .
En quelles unités se mesurent respectivement les coefficients ω_0, ε et D ? Justifier brièvement vos réponses.
III.E - En régime sinusoïdal établi, on cherche une solution de la forme θ = θ_0 cos(ωt − φ).
Exprimer l'amplitude θ_0 des oscillations en fonction de D, ε, ω_0 et ω. Comparer l'expression du rapport (θ_0)/D et celle de H obtenue lors de la partie II.
Quelle est l'expression du facteur correspondant au coefficient ε dans l'expression de H ?
III.F - Déterminer la valeur maximale θ_(0 Max) de l'amplitude θ_0 de l'oscillation de la bobine. Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte (ne pas oublier que ε « 1 USI) ? Déterminer également la valeur de l'acuité A de la résonance mécanique de la bobine.
III.G - Application numérique : on donne
ω_0 = 1USI, ε = 0, 1USI, D = 0, 1USI
III.G.1) Calculer θ_(0 Max).
III.G.2) Quel est le mouvement de la bobine lorsqu'elle est alimentée par une tension sinusoïdale de fréquence f > 20 Hz ? Pourquoi évoque-t-on ce domaine de fréquences? Quel paramètre faudrait-il modifier si l'on souhaite que la bobine puisse détecter de manière significative un faible courant de fréquence f = 100 Hz ?
III.H - Quel intérêt peut présenter un montage électronique tel que celui de la figure 5 ?
Partie IV - Oscillations d'une tige
Sur une tige OA, de masse négligeable et de longueur a, est soudé à une distance OM = b(b < a) un point matériel de masse m. Cette tige peut osciller sans frottement autour de l'axe Oz horizontal du référentiel ( Oxyz : vecteurs unitaires e_x, e_y, e_z ), et sa position est repérée par l'angle
θ = (e⃗_x, OA^(→−))
Un ressort relie l'extrémité A de la tige à un point B fixe dont la position est définie par la longueur OB = a et l'angle constant
θ_B = (e_x^(→−), OB^(→−));
ce ressort exerce sur la tige en A une force F⃗ proportionnelle à sa longueur soit F⃗ = k ⋅ AB^(→−) ( k désignant une constante positive). Enfin, l'air ambiant exerce sur la tige un couple de frottement fluide Γ⃗ = − hθ˙e_z→ de faible intensité. L'accélération de la pesanteur vaut g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2) (figure 9).
IV.A - Montrer que le moment cinétique de la tige OA dans le référentiel ( Oxyz ) se met sous la forme :
L_0^(→−) = αmb^2 θ˙e_z→
et donner la valeur de la constante α.
IV.B - Le référentiel ( Oxyz ) lié au sol est supposé galiléen.
IV.B.1) En appliquant le théorème du moment cinétique en O à la tige OA, dans le référentiel ( Oxyz ), en projection sur l'axe Oz, déterminer l'équation différentielle à laquelle satisfait l'angle θ.
IV.B.2) Quelle est la position d'équilibre θ_E de la tige ? On souhaite que θ_E soit nul. Quelles conditions doivent vérifier les différents paramètres pour qu'il en soit ainsi? On supposera cette condition remplie dans toute la suite.
IV.C - On suppose que le sol, et donc le référentiel ( Oxyz ), est animé d'un mouvement de translation vertical et sinusoïdal de pulsation ω et d'amplitude y_0 soit :
y = y_0 cosωt
IV.C.1) Quelle est, dans le référentiel non galiléen (Oxyz), l'expression de la force d'inertie d'entraînement qui s'exerce sur la tige OA ? Quelle est celle de
son moment par rapport à O ? Quelles sont les expressions correspondantes relatives à la force d'inertie de Coriolis?
IV.C.2) En appliquant le théorème du moment cinétique en O à la tige OA, dans le référentiel ( Oxyz ), en projection sur l'axe Oz, déterminer la nouvelle équation différentielle à laquelle satisfait l'angle θ.
IV.C.3) On pose
ω_0^2 = g/(btanθ_B), 2λω_0 = h/(mb^2) et on suppose λ≪1
On suppose que θ reste petit et, en régime sinusoïdal établi, on cherche une solution de la forme θ = θ_0 cos(ωt − φ). Exprimer l'amplitude θ_0 des oscillations en fonction de y_0, λ, ω_0, b et ω.
IV.C.4) Quelle est la valeur maximale θ_(0 Max) de l'amplitude θ_0 des oscillations? Pour quelle valeur de la pulsation est-elle atteinte (ne pas oublier que λ < 1 ) ? Déterminer également la valeur de l'acuité A de la résonance.
IV.C.5) Tracer le graphe du rapport
(bθ_0)/(y_0)
en fonction du rapport
x = ω/(ω_0)
IV.C.6) Quel peut être l'intérêt de ce dispositif?
IV.C.7) Application numérique : on donne b = 10 cm, λ = 0, 1. Le sol vibre à la fréquence f = 0, 1 Hz avec une amplitude y_0 = 1 mm. Quel paramètre peut-on facilement régler pour obtenir la résonance de la tige à la fréquence f de vibration du sol ? Donner la valeur numérique correspondante de ce paramètre. Calculer la valeur numérique de θ_(0 Max).
-••FIN •••
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 2 TSI Centrale 2003 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 2 TSI Centrale 2003 ?
+
Il porte sur les circuits électriques résonants, l'électronique à amplificateur opérationnel et la mécanique de l'oscillateur forcé, tous unifiés par le phénomène de résonance.
Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?
+
L'énoncé précise que les quatre parties du problème sont largement indépendantes.
Quel est le fil conducteur de ce sujet sur la résonance ?
+
Étudier le même phénomène physique de résonance dans des contextes variés : circuit électrique RLC, montage électronique actif, bobine dans un champ magnétique et système mécanique oscillant, pour en dégager les caractéristiques communes (acuité, facteur de qualité, amplitude maximale).
Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?
+
L'étude des circuits RLC en régime sinusoïdal forcé, le fonctionnement de l'amplificateur opérationnel en régime linéaire, la force de Laplace, et le théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen.
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