Centrale Physique 2 TSI 2002Sujet

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Premier principe de la thermodynamique pour un système fermé
Circuits RC et bilan énergétique
Équations de Maxwell (Maxwell-Ampère) et vecteur de Poynting
Mouvement à force centrale et lois de Kepler
Théorème du moment cinétique
Champ magnétique terrestre et force de Lorentz
Stabilité d'une trajectoire circulaire

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Bilans énergétiques de composants électriques (résistance, condensateur) et mouvement d'un satellite terrestre

L'épreuve comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie des bilans énergétiques : échauffement d'un conducteur ohmique parcouru par un courant constant, charge d'un condensateur dans un circuit RC, puis rayonnement électromagnétique d'un condensateur via le vecteur de Poynting et les équations de Maxwell. Le second étudie le mouvement d'un satellite terrestre : trajectoire circulaire et ses caractéristiques, influence du champ magnétique terrestre sur un satellite chargé, et stabilité de la trajectoire circulaire face à une perturbation radiale.

1I.A : bilan énergétique d'un conducteur ohmiqueÉtablissement de l'équation différentielle de la température d'une résistance parcourue par un courant constant, échangeant de la chaleur avec l'extérieur, et détermination de la densité de courant maximale admissible.
2I.B et I.C : bilans énergétiques d'un circuit RC et rayonnement d'un condensateurBilan énergétique de la charge d'un condensateur dans un circuit RC, puis calcul du champ magnétique à l'intérieur d'un condensateur par l'équation de Maxwell-Ampère et de l'énergie électromagnétique échangée via le vecteur de Poynting.
3II.A-B : trajectoire circulaire du satelliteÉtude qualitative du mouvement à force centrale, établissement des équations du mouvement en coordonnées polaires et caractéristiques (période, énergie mécanique) d'une trajectoire circulaire à 600 km d'altitude.
4II.C : influence du champ magnétique terrestre sur le satellite chargéÉtude de la force magnétique subie par un satellite chargé électriquement se déplaçant dans le champ magnétique terrestre et de la tension électrique induite entre deux points du satellite.
5II.D : stabilité de la trajectoire circulaireÉtude au premier ordre de la stabilité de la trajectoire circulaire face à un écart radial initial, montrant l'existence d'oscillations autour du rayon d'équilibre.

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PHYSIQUE II

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants.

Partie I - Bilans énergétiques

Ce premier problème fait l'étude de bilans énergétiques de composants électriques tels un conducteur ohmique de résistance

R

ou un condensateur parfait de capacité

C

. La section I.A est indépendante des sections I.B et I.C. Les sections I.B et I.C sont dans une très large mesure indépendantes.

I.A - Bilan énergétique d'un conducteur ohmique

Le conducteur ohmique étudié est assimilable à un corps cylindrique homogène ayant les caractéristiques suivantes :

section $s = πr^2 = 0, 5 mm^2$ et longueur $l = 50 cm$ constantes,
résistivité électrique
$ρ = ρ_0(1 + α(T - T_0))$ où $T$ est la température du conducteur ohmique
$ρ_0 = ρ(T_0) = 1, 2 \cdot 10^(- 7)Ω \cdot m, T_0 = 300 K$ et $α = 4 \cdot 10^(- 3)U.S.I$ . un coefficient caractéristique,
capacité thermique supposée constante $K = 0, 5 J \cdot K^(- 1)$ ,
énergie interne $U \approx KT$ .

On modélise le fonctionnement du conducteur ohmique, encore appelé résistance dans la suite de ce problème, par les hypothèses suivantes :

la résistance est parcourue par un courant d'intensité constante $I_0$ ,
à chaque instant $t$ , la température $T(t)$ est uniforme dans la résistance,
la résistance est placée dans un milieu gazeux de température supposée constante égale à $T_0$ et de pression constante,
la résistance est en contact thermique avec l'extérieur par sa surface latérale $S = 2πrl$ . À travers cette surface la résistance échange avec son environnement gazeux une puissance thermique $P = - hS(T(t) - T_0)$ , $h = 45 W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 1)$ .

I.A.1)

a) Donner l'unité du paramètre

α

. À quelle condition la formule

R = ρ(l/s)

donne -t-elle la résistance d'un conducteur ohmique?

Filière TSI

Calculer numériquement la résistance

R

pour

T = T_0

.
b) Déterminer l'expression du transfert thermique

δQ

réalisé entre la résistance et son environnement gazeux entre les instants

t

t + dt

. En supposant par exemple

T > T_0

, justifier le signe négatif figurant dans l'expression de la puissance thermique.
c) Déterminer l'expression du travail électrique

δW_e

échangé par la résistance avec le reste du circuit électrique entre les instants

t

t + dt

. Que peut-on dire du travail des forces de pression

δW_m

échangé par la résistance avec son environnement gazeux entre les instants

t

t + dt

?
d) Énoncer littéralement le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé quelconque. Préciser la signification des termes «fonction d'état» et «extensif».
I.A.2)
a) Déduire des questions précédentes une équation vérifiée par la variable

X = T - T_0

. On écrira l'équation sous la forme

X^'(t) + X/τ = X_\infty/τ

en précisant l'expression des paramètres

τ

X_\infty

en fonction de

ρ_0, α, l, s, S, I_0, h

K

. Indiquer et interpréter la condition sur l'intensité

I_0

pour que

τ > 0

.
b) Donner la signification physique des paramètres

τ

T_\infty = X_\infty + T_0

. Calculer numériquement

τ

T_\infty

pour

I_0 = 1 A

.
c) On désire que la température de la résistance ne dépasse pas

T_(lim)

. Quelle est la densité maximale de courant

j_(max)

qu'on ne doit pas dépasser? Calculer numériquement

j_(max)

pour

T_(lim) = 310 K

I.B - Un bilan énergétique pour un circuit série $RC$

Un circuit série

RC

est alimenté par un générateur idéal de tension dont la force électromotrice

e(t)

est constante:

e(t) = U_0

. À un instant pris pour origine des temps on ferme le circuit, le condensateur étant déchargé. On note

i(t)

l'intensité du courant et

q(t)

la charge électrique portée par l'une des armatures du condensateur.
I.B.1)
a) Réaliser un schéma du circuit en adoptant une orientation pour l'intensité qui satisfasse la relation

i = dq/dt

. On fera figurer sur le schéma l'orientation proposée du courant ainsi que la position de l'armature portant la charge

q(t)

.
b) Établir une équation vérifiée par l'intensité du courant où figure une expression intégrale de l'intensité. Quel est le temps théorique de charge du condensateur? Indiquer pourquoi en pratique la charge dure un temps fini

t_c

. Évaluer littéralement le temps

t_c

de la charge du condensateur.
I.B.2)
a) En partant de l'équation établie à la question précédente, réaliser un bilan énergétique du circuit entre les instants

t

t + dt

. Préciser la signification de chaque terme intervenant dans ce bilan.
b) Déterminer l'énergie théorique échangée par le condensateur lors de sa charge en fonction des paramètres

Q

C, Q

désignant la charge finale du condensateur. Où est localisée cette énergie ? Pourquoi peut-on qualifier cette énergie d'énergie potentielle?

I.C - Un bilan énergétique pour le condensateur

Le circuit série

RC

est alimenté par un générateur idéal de tension dont la force électromotrice

e(t)

est maintenant une fonction croissante quelconque du temps. Le condensateur initialement déchargé acquiert une charge finale

Q

.
On repère un point

M

de l'espace par ses coordonnées cylindriques

r, θ, z

. On exprimera les grandeurs physiques vectorielles sur la base cylindrique directe

e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z

avec

e⃗_z = e⃗_r \land e⃗_θ

. L'intérieur du condensateur (

0 \leq r \leq a, 0 \leq z \leq e, 0 \leq θ < 2π

) est rempli d'un diélectrique parfait dont la permittivité diélectrique relative vérifie

ε_r \approx 1

.
L'armature inférieure porte une densité surfacique de charge uniforme

σ(t) > 0

, l'armature supérieure une densité surfacique de charge uniforme

- σ(t)

. On suppose que le

Figure 1 : schéma du condensateur

régime de fonctionnement du circuit permet d'écrire que le champ électrique à l'intérieur du condensateur s'écrit

E⃗(M, t) = (σ(t)/ε_0)e⃗_z

.
On néglige les effets de bord. On admettra donc que le champ électrique est nul en dehors du condensateur.
I.C.1) Énoncer littéralement le théorème de Gauss. Ce théorème est-il valable pour tous les régimes temporels? Dans le cadre des hypothèses de l'énoncé peut-on dire que le champ électrique est uniforme à l'intérieur du condensateur? Quel phénomène physique a-t-on négligé pour pouvoir écrire la relation

E⃗(M, t) = (σ(t)/ε_0)e⃗_z

à l'intérieur du condensateur?
I.C.2)
a) Donner l'expression de l'équation locale de Maxwell-Ampère dans le cas général. Simplifier cette expression pour un point

M

intérieur au condensateur. En déduire l'expression intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère pour un point

M

intérieur au condensateur sous la forme :

\oint _Γ B⃗(M, t) \cdot dOM^(\to-) = d/(dt)f(E⃗)

où

f(E⃗)

est une expression intégrale contenant le champ électrique

E⃗

.
On rappelle la relation

\iint_s rot^(\to-)(G⃗) \cdot dS⃗ = \oint _Γ G⃗ \cdot dOM^(\to-)

où

S

est une surface s'appuyant sur le contour fermé et orienté

Γ

.
b) Pour un point

M

intérieur au condensateur :

préciser soigneusement quelles sont les sources du champ magnétique $B⃗(M, t)$ ,
indiquer la direction du champ magnétique $B⃗(M, t)$ en analysant soigneusement les symétries des sources du champ magnétique.
indiquer les coordonnées dont dépend a priori le champ magnétique $B⃗(M, t)$ en analysant les transformations laissant invariant les sources du champ magnétique,
c) Calculer le champ magnétique $B⃗(M, t)$ pour un point $M$ intérieur au condensateur en fonction de $dσ/dt$ et d'autres paramètres. Quelle est l'expression du champ magnétique en un point extérieur au condensateur situé dans la région $0 \leq z \leq e, r \geq a$ ?
On considère une surface $S$ séparant deux milieux repérés par les indices 1 et 2 . On note $n⃗_(1 \to 2)$ un vecteur normal à la surface $S$ , orienté du milieu 1 vers le milieu 2 . Rappeler l'expression de la relation liant les champs magnétiques $B⃗_1$ et $B⃗_2$ régnant dans les milieux 1 et 2 à proximité immédiate de la surface $S$ . En relation avec l'expression précédente, que peut-on dire du champ magnétique $B⃗(M, t)$ à la traversée de la surface $0 \leq z \leq e, r = a$ ?
I.C.3)
a) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting $Π⃗$ pour un point $M$ intérieur au condensateur.
b) Déterminer la puissance électromagnétique rayonnée $P_(em)(t)$ à travers la surface $Σ$ (définie ci-après) en fonction de $σ(t)$ et d'autres paramètres.
La surface $Σ$ est la surface fermée constituée des éléments suivants :
les deux disques du condensateur,
le cylindre d'axe $Oz$ , de rayon $r = a$ et de hauteur $e$ .

En déduire l'énergie électromagnétique

E_(em)

échangée par le condensateur avec son environnement en fonction de

Q

C = ε_0 πa^2/e

. Commenter le signe et la forme de l'expression obtenue.

Partie II - Étude du mouvement d'un satellite

La terre est assimilée à une boule homogène de centre

O

de rayon

R = 6370 km

et de masse

M = 5, 98 \cdot 10^(24) kg

. On note

k = 6, 67 \cdot 10^(- 11)

U.S.I. la constante de gravitation universelle. On étudie le mouvement du centre d'inertie

G

d'un satellite de masse

m = 10^3 kg

en se plaçant dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Le satellite évolue à une altitude suffisamment importante pour qu'on puisse négliger l'action de l'atmosphère terrestre.

Figure 2 : notations adoptées

La figure 2, qui n'est pas à l'échelle, précise les coordonnées adoptées pour ce problème.

II.A - Analyse qualitative

II.A.1)
a) Donner l'expression de la force de gravitation

F⃗

exercée par la terre sur le satellite. On note respectivement

M, L, T

la dimension d'une masse, d'une longueur et d'un temps. Déterminer la dimension de la constante de gravitation

k

en fonction des symboles

M, L, T

. On exprimera la dimension de

k

sous la forme

M^α L^β T^γ

et on déterminera la valeur numérique des exposants

α, β

γ

. Indiquer pourquoi on peut dire que le mouvement de

G

est un mouvement à force centrale?
Quelles sont les conséquences de la remarque précédente (aucun calcul n'est demandé) ?
b) Définir le référentiel géocentrique. Est-ce que ce référentiel est solidaire de la terre dans son mouvement de rotation autour des pôles? Indiquer pourquoi ce référentiel n'est pas en toute rigueur galiléen. Citer le nom d'un référentiel galiléen.
À quelle condition qualitative peut-on considérer que le référentiel géocentrique est galiléen lorsqu'on réalise une expérience ?
II.A.2)
a) Donner l'expression de l'énergie potentielle de gravitation

E_p(z)

en fonction de

z = r - R

. Que peut-on dire de l'énergie mécanique du système? Définir les
termes «état lié» et «état de diffusion» pour un système soumis à une force conservative.
b) Donner l'ordre de grandeur de la hauteur de l'atmosphère terrestre. Si l'on tenait compte de l'action de l'atmosphère sur le satellite comment évoluerait qualitativement l'énergie mécanique du satellite (on justifiera la réponse). En déduire l'évolution qualitative de l'altitude

z

et la vitesse

v

du satellite si l'on prenait en compte l'action de l'atmosphère terrestre.

II.B - Étude de la trajectoire circulaire du satellite

II.B.1)
a) En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement de

G

est plan. On admettra qu'à un instant pris comme origine des dates le moment cinétique du satellite calculé en

O

est non nul :

L⃗_O(t = 0) \neq 0

. On précisera où cette dernière hypothèse intervient dans le raisonnement. Préciser alors le plan de la trajectoire.
b) Dans le plan du mouvement, on repère la position de

G

par ses coordonnées polaires

r, θ

. Montrer que l'accélération de

G

s'écrit

a⃗ = ((d^2 r)/(dt^2) - r((dθ)/(dt))^2)e⃗_r + 1/rd/(dt)(r^2(dθ)/(dt))e⃗_θ

Déterminer les deux équations du mouvement. On notera

C

une constante intervenant dans l'une des équations.
II.B.2)
a) On étudie la possibilité d'une trajectoire circulaire de rayon

r = r_0

. Montrer que le mouvement est uniforme. Déterminer alors la vitesse angulaire

dθ/dt = ω_0

du mouvement en fonction de

k, M

r_0

. Déterminer la constante

C

en fonction de

k, M

r_0

.
b) Le satellite évolue à une altitude

z = 600 km

sur une trajectoire circulaire. Calculer numériquement :

la période de révolution $T_0 = (2π)/(ω_0)$ dans le référentiel géocentrique,
l'énergie mécanique $E_m$ ,
la constante $C$ .
II.B.3) On suppose dorénavant que le satellite possède une trajectoire circulaire contenue dans le plan équatorial. On note $T \approx 24 h$ la période de révolution terrestre dans son mouvement autour de l'axe des pôles. Évaluer la période relative $T_r$ de révolution du satellite pour un observateur terrestre en fonction des paramètres $T_0 = 2π/ω_0$ et $T$ .
On pourra, par exemple, raisonner dans le référentiel géocentrique à partir d'un schéma figurant deux positions successives du satellite à l'aplomb d'un observa-
teur terrestre. On tiendra compte d'une part du fait que que le satellite possède une période de rotation $T_0$ inférieure à la période de rotation terrestre et d'autre part du fait que le satellite et la terre tournent dans le même sens. Calculer numériquement la période $T_r$ pour un satellite évoluant à une altitude $z = 600 km$ .

II.C - Étude de l'influence du champ magnétique terrestre sur le satellite

Lors de sa mise sur orbite circulaire, le satellite acquiert une charge électrique négative

Q

due aux interactions avec l'atmosphère terrestre. On étudie dans cette partie, l'influence du champ magnétique terrestre

B_0^(\to-)

sur le mouvement du satellite chargé. On raisonne dans un référentiel terrestre. On suppose qu'initialement la trajectoire du satellite est une trajectoire circulaire, de rayon

r = R + z, z = 600 km

, contenue dans le plan équatorial. Le mouvement du satellite s'effectue à la vitesse angulaire

ω_r = 2π/T_r

d'ouest en est.
On modélise grossièrement la forme des lignes de champ magnétique terrestre par des cercles (fixes dans un référentiel terrestre) dont les caractéristiques vérifient les éléments suivants :

les cercles ont pour centre le point $O$ , centre de la terre,
le plan de chaque cercle est un plan méridien, perpendiculaire au plan équatorial,
les cercles sont orientés du pôle sud géographique vers le pôle nord géographique.
On supposera de plus que le champ magnétique terrestre varie peu sur des distances de l'ordre de grandeur des dimensions du satellite.
II.C.1) Donner un ordre de grandeur du module du champ magnétique terrestre mesuré au sol. Connaissez-vous l'une des sources du champ magnétique terrestre? Donner un ordre de grandeur des champs magnétiques continus les plus intenses que l'homme sait réaliser à l'heure actuelle.
II.C.2) Donner l'expression de la force magnétique $F⃗$ subie par le satellite. Réaliser un schéma représentant :
le plan de la trajectoire orientée du satellite vue du pôle Nord géographique,
le sens du champ magnétique terrestre $B_0^(\to-)$ ,
le sens de la force magnétique.

Quelle est l'influence de la force magnétique sur le mouvement du satellite ?
II.C.3) Indiquer pourquoi on peut prévoir l'existence d'un champ électrique

E⃗

dans le satellite. Donner l'expression de ce champ électrique. Préciser son sens sur le schéma précédent. Donner un ordre de grandeur d'une des dimensions du
satellite dont on rappelle que la masse est

m = 10^3 kg

. En déduire un ordre de grandeur de la tension électrique

U_m

qui peut apparaître entre deux points du satellite (

z = 600 km

). On utilisera pour la valeur numérique du champ magnétique

B_0

, la valeur retenue en II.C.1. Commenter la valeur numérique de

U_m

II.D - Étude de la stabilité de la trajectoire circulaire

On se place de nouveau dans le référentiel géocentrique et l'on ignore la charge électrique portée par le satellite (

Q = 0

). Afin d'étudier la stabilité de la trajectoire circulaire on suppose qu'à un instant pris comme origine des dates le satellite est faiblement écarté de sa trajectoire circulaire. On pose

r = r_0(1 + ε)

avec

ε

« 1 . On note

ε_0 = ε(t = 0)

et on suppose que

(dε)/(dt)(t = 0) = 0

.
Dans toute la suite du problème on raisonnera au premier ordre en

ε

. On rappelle la relation

(1 + ε)^n \approx 1 + nε

pour

ε≪1

. Compte tenu des hypothèses, on admettra qu'on peut écrire au premier ordre

r^2 dθ/dt \approx C

où la constante

C

a la valeur calculée à la question II.B.2.a.
II.D.1)
a) Déterminer, sans approximation supplémentaire, l'équation vérifiée par la variable

ε

. On établira une équation où ne figure plus le paramètre

θ

.
b) Montrer qu'au premier ordre l'équation précédente s'écrit

d^2 ε/dt^2 = - ω_1^2 ε

. Donner l'expression de la pulsation

ω_1

. Que remarque-t-on ? Conclure quant à la stabilité de la trajectoire. Déterminer

ε(t)

.
II.D.2)
a) Exprimer au premier ordre la pulsation

dθ/dt

en fonction du temps et des données du problème.
Quel résultat retrouve-t-on si dans l'expression précédente on réalise

ε_0 = 0

?
b) Esquisser la forme de la trajectoire issue de l'analyse précédente. Quelle est la forme de la trajectoire exacte ? Quelle conclusion peut-on faire concernant les résultats obtenus précédemment? On s'attachera, en particulier, à discuter l'existence de trajectoire circulaire pour le mouvement du centre d'inertie du satellite.

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de Physique II Centrale TSI 2002 ?

Le premier problème porte sur les bilans énergétiques électriques (résistance, condensateur, rayonnement électromagnétique) et le second sur la mécanique des satellites (trajectoire circulaire, stabilité, champ magnétique terrestre).

Les deux problèmes du sujet sont-ils indépendants ?

Oui, l'énoncé précise que l'épreuve comporte deux problèmes indépendants, et à l'intérieur du premier problème, la section I.A est elle-même indépendante des sections I.B et I.C.

Quel résultat de cours faut-il connaître pour la partie sur le rayonnement du condensateur ?

Il faut maîtriser l'équation de Maxwell-Ampère avec le terme de courant de déplacement et le vecteur de Poynting, pour calculer le champ magnétique à l'intérieur d'un condensateur en régime variable et l'énergie électromagnétique échangée.

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Partie I - Bilans énergétiques

I.A - Bilan énergétique d'un conducteur ohmique

I.A.1)

Filière TSI

I.B - Un bilan énergétique pour un circuit série RC

I.C - Un bilan énergétique pour le condensateur

Partie II - Étude du mouvement d'un satellite

II.A - Analyse qualitative

II.B - Étude de la trajectoire circulaire du satellite

II.C - Étude de l'influence du champ magnétique terrestre sur le satellite

II.D - Étude de la stabilité de la trajectoire circulaire

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de Physique II Centrale TSI 2002 ?

Les deux problèmes du sujet sont-ils indépendants ?

Quel résultat de cours faut-il connaître pour la partie sur le rayonnement du condensateur ?

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I.B - Un bilan énergétique pour un circuit série $RC$