Centrale Physique 2 TSI 2005Sujet

On se propose d'examiner quelques principes de fonctionnement de deux types de moteurs électriques, à la fois sous les aspects électromagnétique et dynamique. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. L'étude est réalisée dans un référentiel galiléen ℛ auquel on associe un repère Oxyz (de vecteurs unitaires respectifs e_x^(→−), e_y→, e_z→ ).

Un segment conducteur filiforme rectiligne AD, de résistance négligeable, parcouru par un courant i (dirigé de A vers D ), est astreint à tourner autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire constante ω, dans un champ magnétique uniforme et indépendant du temps: B⃗ = − Be_z→(B > 0). Les points O, A, et D sont toujours alignés et on appelle e_r→ le vecteur unitaire radial dirigé selon OA : on pose θ = (e_x^(→−), e_r→) et donc ω = dθ/dt.

Les deux extrémités A et D du segment glissent sur deux conducteurs circulaires fixes, de centre O, de rayons respectifs r_1 et r_2(r_1 < r_2), de résistance négligeable, qui permettent de collecter le courant i (figure 1).
I.A - Calculer la f.e.m. e_(AD) induite qui apparaît aux extrémités du segment AD en fonction de B, r_1, r_2 et ω.
I.B - Calculer le moment en O de la force de Laplace, soit Γ_1^(→−) = Γ_1 e_z→, qui s'exerce sur AD en fonction de B, r_1, r_2 et i.
I.C - À présent, on considère une nappe conductrice formée de N segments conducteurs identiques à AD, placés dans le plan Oxy et régulièrement

distribués autour de l'axe Oz. Le système rigide ainsi constitué tourne autour de l'axe Oz avec la vitesse angulaire uniforme ω = dθ/dt.
I.C.1) Quelle est l'expression de la f.e.m e_(1 → 2) qui apparaît entre les deux conducteurs circulaires?
I.C.2) Chaque segment conducteur étant parcouru par un courant électrique →−_(_N)^(i_N) = I/N, donner l'expression du moment total en O des forces de Laplace, Γ⃗ = Γe_z→ qui s'exerce sur la nappe par rapport à l'axe Oz.
I.D - On branche entre les deux conducteurs circulaires, un générateur de f.e.m. U_0 constante et de résistance interne R, la borne positive étant reliée au conducteur circulaire intérieur.
I.D.1) Donner l'expression du courant total I débité par le générateur et qui traverse le moteur (on néglige l'inductance propre du circuit).
I.D.2) Montrer que le moment Γ peut s'écrire sous la forme suivante Γ = M_1 U_0 − M_2 ω et exprimer M_1 et M_2 en fonction de B, R, r_1 et r_2.
I.D.3) Application numérique :

On donne U_0 = 45 V, R = 1, 2Ω, B = 1T, r_1 = 1 cm, r_2 = 4 cm, ω = 4πrad ⋅ s^(− 1). Calculer Γ.

II.A - On considère le circuit électrique de la figure 2 qui comporte un générateur idéal de tension sinusoïdale u(t) = U_0 cos(ωt + φ_0), ou encore :
u(t) = U_(eff)√2cos(ωt + φ_0) un condensateur de capacité C et deux bobines identiques ( b_1 ) et (b_2), d'inductance propre L et de résistance

R (on néglige l'inductance mutuelle entre les deux bobines).
Les bobines ( b_1 ) et ( b_2 ) sont disposées de manière à ce que leurs axes soient perpendiculaires en O : (b_→_1) crée ainsi en O un champ magnétique colinéaire à l'axe Ox, soit B_1^(→−) = B_1 e_x^(→−), et ( b_2 ) un champ colinéaire à l'axe Oy, soit B_2^(→−) = B_2 e_y→ (figure 3). Les mesures algébriques B_1 et B_2 des champs sont proportionnelles aux intensités qui traversent chaque bobine : B_1(t) = ki_1(t) et B_2(t) = ki_2(t) ( k constante positive donnée).
II.A.1) Déterminer les intensités i_1(t) et i_2(t) et les mettre sous la forme: i_1(t) = I_(01)cos(ωt + φ_0 − φ_1) et i_2(t) = I_(02)cos(ωt + φ_0 − φ_2). Exprimer I_(01), I_(02), φ_1 et φ_2 en fonction de R, L, C et ω (on suppose φ_1, φ_2 ∈ [ − π/2, π/2] ).
II.A.2) Quelle doit être la relation entre L, C et ω pour que les amplitudes I_(01) et I_(02) des courants soient égales ? Quelle relation lie alors les déphasages φ_1 et φ_2 ? Quel est le signe de φ_1 ? Quel est celui de φ_2 ?
II.A.3) Quelle doit être la relation entre R, L et ω si l'on souhaite en outre que φ_2 − φ_1 = π/2 ?
II.A.4) Les deux conditions précédentes étant réunies, montrer que par un choix judicieux de φ_0 que l'on précisera, B_1 et B_2 peuvent se mettre sous la forme B_1 = B_0 cos(ωt) et B_2 = B_0 sin(ωt). Exprimer B_θ en fonction de k, U_0 et R. Préciser les caractéristiques du champ total B⃗ = B_1^(→−) + B_2^(→−) créé par les deux bobines en O.
II.A.5) Application numérique :

On donne k = 10^(− 3) T ⋅ A^(− 1), L = 100mH, ω = 100πrad ⋅ s^(− 1), U_(eff) = 220 V.
Calculer B_0.
II.B - Le → champ magnétique B⃗ ci-dessus agit sur une petite bobine plate, de n spires de section S, fermée sur elle même, d'inductance propre L_1 et de résistance R_1 (on suppose que le champ B⃗

est uniforme sur toute la bobine). Le centre de la bobine coïncide avec le point O et la bobine tourne autour de l'axe Oz à la vitesse Ω que l'on suppose constante : le vecteur unitaire N⃗ normal au plan de la bobine en O reste
constamment dans le plan Oxy; l'angle θ = (e_x^(→−), N⃗) s'écrit donc θ = Ωt en supposant θ = 0 à l'instant initial (figures 4 et 5 ).
II.B.1) Déterminer la f.e.m. induite par le champ B⃗ dans la petite bobine et en déduire que cette bobine est parcourue par un courant i de la forme: i(t) = I_0 sin((ω − Ω)t − ψ). Exprimer I_0 et ψ en fonction de la constante Φ_0 = nSB_0 et de R_1, L_1, ω, Ω.
II.B.2) Exprimer le moment Γ⃗ = Γe_z→ du couple électromagnétique subi par la petite bobine en fonction de Φ_0, R_1, L_1, ω, Ω et t.
II.B.3) Calculer la valeur moyenne Γ_m de Γ en fonction de Φ_0, R_1, L_1, ω, Ω; tracer le graphe de Γ_m en fonction de Ω pour Ω ∈ [0, ω] (on suppose R_1 < L_1 ω ). Pourquoi restreint-on l'étude à l'intervalle [0, ω] ?
II.B.4) Application numérique :

On donne Φ_0 = 10^(− 3) T ⋅ m^2, L_1 = 100mH, R_1 = 1Ω, ω = 100πrad ⋅ s^(− 1).
Calculer la valeur maximale Γ_(m, Max) de Γ_m et la vitesse angulaire correspondante de la petite bobine.
II.B.5) Pour quelles valeurs de Ω le moteur a-t-il un fonctionnement stable ? Justifiez brièvement votre réponse.

On considère un moteur à aimant inducteur du type de celui étudié en Partie I ; alimenté par une tension u, il exerce un couple moteur Γ⃗ = Γe_z→. L'ensemble des parties mobiles (rotor, arbre, pièces diverses) de ce moteur possède un moment d'inertie J par rapport à l'axe de rotation Oz.
Dans toute cette partie on suppose ω > 0.
III.A - Le moteur tourne à vide à la vitesse ω; Γ s'écrit Γ = M_1 u − M_2 ω ( M_1 et M_2 étant deux constantes positives données).
III.A.1) En supposant que les parties mobiles ne soient soumises qu'au couple moteur, écrire l'équation du mouvement.
III.A.2) Quelle est l'expression de la vitesse ω_0 en régime permanent lorsque u = U_0 = constante ?
III.A.3) On suppose u = U_0 et le régime permanent est établi. À un instant que l'on choisit comme instant initial, t = 0, la tension u passe de la valeur U_0 à la valeur constante U_1(U_1 > U_0).
Donner, pour t > 0, l'expression de la vitesse ω en fonction du temps.
On pourra poser τ = J/N. Quelle est la dimension de la constante τ ? Justifier votre réponse.
III.B - On associe au moteur un dispositif électromécanique qui permet d'avoir Γ = Γ_0 ( Γ_0 constante positive) lorsque le moteur est alimenté et Γ = 0 lorsque le moteur ne l'est pas.
III.B.1) La partie mobile du moteur est soumise, en outre, à l'action d'un couple résistant de moment Γ_R^(→−) = Γ_R e_z→ tel que Γ_R = − Γ_(R0) ( Γ_(R0) constante positive) lorsque le moteur tourne et |Γ_R| ≤ Γ_(R0) lorsque le moteur est immobile. Ce couple résistant ne peut évidement pas entraîner la rotation du moteur et ne peut que ralentir celle-ci lorsque le moteur tourne.
a) Le moteur est à l'arrêt. À l'instant que l'on choisit comme instant initial, t = 0, on alimente le moteur. À quelle condition le moteur peut-il démarrer?
b) La condition précédente étant réalisée, déterminer la vitesse ω du moteur en fonction de Γ_0, Γ_(R0), J et du temps t.
c) On coupe l'alimentation du moteur à l'instant t_0. Soit t_1 l'instant auquel le moteur s'arrête. Exprimer t_1 en fonction de t_0, Γ_0 et Γ_(R0).
d) Application numérique :

On donne Γ_0 = 4 ⋅ 10^(− 3) N ⋅ m, Γ_(R0) = 10^(− 3) N ⋅ m, t_0 = 1 s. Calculer t_1.
III.B.2) On associe au moteur un ensemble d'engrenages. Sur l'arbre du moteur est fixée une roue dentée D_1 d'axe Oz et de rayon R_1; le moment d'inertie de l'ensemble des parties mobiles (rotor, arbre, D_1, pièces diverses) par rapport à l'axe Oz est J_1. La roue dentée D_1 entraîne à son tour, sans glissement, une roue dentée D_2 d'axe Az (colinéaire à Oz ), de rayon R_2 et de moment d'inertie J_2 par rapport à Az (figure 6): le seul mouvement de

D_2 est une rotation autour de l'axe Az.
L'ensemble étant immobile, on alimente le moteur à partir d'un instant pris pour instant initial t = 0. La partie mobile du moteur et la roue D_1 sont alors soumises au couple moteur Γ⃗ = Γ_0 e_z→ ( Γ_0 constante positive) et celui-ci est suffisamment intense pour que le moteur puisse démarrer. Partie mobile du moteur et roue D_1 sont également soumises à l'action de la roue D_2 : celle-ci peut être représentée par une force F_1^(→−) = F_N e_x^(→−) − F_T e_y→ s'appliquant au point de contact I entre les deux roues (F_T > 0). La roue D_2 est soumise à l'action d'un couple résistant de moment Γ_R^(→−) = Γ_(R0)e_z→ ( Γ_(R0) constante positive) et évidemment à la force F_2^(→−) = − F_1^(→−).
a) Exprimer la vitesse de rotation ω_2 de la roue D_2 autour de son axe en fonction de celle ω du moteur et des rayons R_1 et R_2. Justifier le signe de Γ_(R0).
b) Appliquer le théorème du moment cinétique en projection sur les axes de rotation respectifs à l'ensemble (partie mobile du moteur + roue D_1 ) puis à la roue D_2. On admettra qu'aucune autre action mécanique que celles précisées ci-dessus n'interviennent dans l'application de ce théorème.
c) En déduire les vitesses angulaires ω et ω_2 en fonction de Γ_0, Γ_(R0), J_1, J_2, R_1, R_2 et du temps t.
d) Exprimer la norme F_T de la composante tangentielle de la force de contact entre les roues D_1 et D_2 en fonction de Γ_0, Γ_(R0), J_1, J_2, R_1, R_2.
e) Application numérique.

On donne :

Calculer F_T et les vitesses ω et ω_2 atteintes respectivement par D_1 et D_2 au bout de t = 1 s.