Centrale Mathématiques 2 TSI 2000Sujet et corrigé

Dans tout le problème, E désigne le plan affine euclidien ℝ^2 rapporté à son repère orthonormé canonique (O; I⃗, J⃗). On note i le complexe de module 1 et d'argument π/2. Si z ∈ ℂ, on note M(z) l'image de z dans E. Si K est un souscorps de ℂ, on note M_n(K) l'espace vectoriel sur K des matrices de taille ( n, n ) à coefficients dans K et S_n(K) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques. On note ℂ^2 le ℂ-espace vectoriel des vecteurs colonnes complexes de taille (2, 1). Enfin, si M = m_(i, j)_(1 ≤ i ≤ n) est une matrice carrée à coefficients complexes de 1 ≤ j ≤ n taille (n, n), on note 1 ≤ j ≤ n; tr(M) la trace, c'est-à-dire ∑_(i = 1)^n m_(i, i).

Le plus souvent, il sera possible, si nécessaire, d'admettre les résultats d'une question pour traiter les suivantes.

I.A.1) Déterminer la dimension de S_2(ℂ); on prouvera soigneusement le résultat annoncé.
Soit M et N inversibles et dans S_2(ℂ), on dit que M est harmonique relativement à N s'il existe une base ( X, X^′ ) de ℂ^2 telle que ^t XMX = ^t X^′ MX^′ = 0 et ^t XNX^′ = 0.
I.A.2) Soit M et N deux matrices inversibles de S_2(ℂ) et P une matrice inversible de M_2(ℂ). Montrer que ^t PMP et ^t PNP sont deux matrices inversibles de S_2(ℂ).
Si, de plus, M est harmonique relativement à N, montrer que ^t PMP est harmonique relativement à ^t PNP.
On suppose dans les deux questions qui suivent que M et N sont inversibles et dans S_2(ℂ), avec

I.B.1) On suppose que M est de la forme 0b. Montrer que b ≠ 0; on pose = {X ∈ ℂ^2|^t XMX = 0}.
Montrer que | est la réunion de deux sous-espaces vectoriels du ℂ-espace vectoriel ℂ^2, puis décrire les bases ( X, X^′ ) de ℂ^2 telles que X et X^′ soient dans |. En déduire que M est harmonique relativement à N si et seulement si α_c = 2bβ.
I.B.2) On suppose que M est de la forme

On note d une racine carrée de b^2 − ac. En utilisant les scalaires a, b, c, d déterminer {X ∈ ℂ^2|^t XMX = 0}. En s'inspirant du I.B.1, montrer que M est harmonique relativement à N si et seulement si αc + γa = 2βb.
I.B.3) En conclure que M est harmonique relativement à N si et seulement si N est harmonique relativement à M.
I.C - Montrer que M est harmonique relativement à N si et seulement si tr(N^(− 1)M) = 0.
Vu la symétrie de la propriété, si M est harmonique relativement à N, nous dirons jusqu'à la fin de cette partie que M et N sont conjuguées harmoniques.
I.D - Pour N ∈ S_2(ℂ) donnée, avec N inversible, on pose

Montrer que H est un sous-espace vectoriel de S_2(ℂ); en déterminer la dimension; déterminer H ∩ Vect(N); donner un supplémentaire de H dans S_2(ℂ).
I.E - Soit k ∈ ℕ∗ et M_1, M_2, …, M_k dans S_2(ℂ), inversibles, telles que M_i et M_j soient conjuguées harmoniques chaque fois que 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k, i ≠ j. Une telle famille sera dite harmonique.
I.E.1) Dans une famille harmonique, montrer qu'aucune matrice n'est combinaison linéaire des autres.
I.E.2) En conclure que k est inférieur ou égal à 3 et que tout triplet harmonique, c'est-à-dire toute famille harmonique à trois éléments, est une base de S_2(ℂ).
La fin de cette partie consiste en la détermination de l'ensemble des triplets ( A, B, C ) harmoniques.
I.F - On suppose dans cette question que A est de la forme

Montrer que, pour que ( A, B, C ) soit harmonique, il est nécessaire que B et C soient respectivement de la forme

Inversement, A, B, C étant de cette forme, déterminer une CNS sur α, α^′, β, β^′ pour que le triplet ( A, B, C ) soit harmonique. Si A est de la forme ci-dessus, en déduire tous les couples ( B, C ) tels que ( A, B, C ) soit harmonique. Dans le cas particulier où les matrices A, B, C sont à coefficients réels, déterminer le signe de detB × detC (on distinguera les cas detA > 0 et detA < 0 ).
I.G - Soit ( A_0, B_0, C_0 ) un triplet harmonique et P ∈ M_2(ℂ), avec P inversible. Montrer que le triplet ( ^t PA_0 P, ^t PB_0 P, ^t PC_0 P ) est harmonique. En déduire une description de l'ensemble de tous les triplets harmoniques (on utilisera sans démonstration le résultat suivant : si A ∈ S_2(ℂ), il existe P inversible de M_2(ℂ) telle que ^t PAP soit diagonale). Dans le cas où A ∈ S_2(ℝ), dire pourquoi on peut prendre P ∈ M_2 (IR) et ^t PAP = D diagonale réelle.
Dans le cas particulier où les matrices A, B, C sont à coefficients réels, montrer que A, B, C ne peuvent avoir toutes trois un déterminant < 0.
I. H - Déterminer {M ∈ M_2(ℂ)|∀S ∈ S_2(ℂ), tr(SM) = 0}.

Soit alors ( A, B, C ) un triplet harmonique quelconque ; montrer qu'on peut le compléter en une base ( A, B, C, D ) de M_2(ℂ), où D est inversible et vérifie

II.A - On se limite dans les questions qui suivent au cas particulier du triplet harmonique ( A, B, C ) suivant :

On considère les deux équations suivantes :

II.A.1) Montrer que ni (1) ni (2) n'ont 1 ou -1 comme solution ; montrer que (1) et (2) n'ont pas de solution commune.

On note d une racine carrée de b^2 − 1, et on pose

(ce sont les solutions respectives de (1) et (2)).
II.A.2) Montrer que :
∀i ∈ {1, 2}, (z_i − 1)/(z_i + 1) = − (z_i^′ − 1)/(z_i^′ + 1).
Exprimer (z_2 − z_1)(z^′_2 − z^′_1) + (z_2 − z^′_1)(z^′_2 − z_1) à l'aide de
p_1 = z_1 z^′_1, p_2 = z_2 z^′_2, s_1 = z_1 + z^′_1, et s_2 = z_2 + z^′_2.
En conclure que : (z_2 − z_1)/(z_2 − z^′_1) = − (z^′_2 − z_1)/(z^′_2 − z^′_1).
II.A.3) On définit φ : ℂ∖{ − i} → ℂ par φ(z) = (z − i)/(1 − zi).

Déterminer φ(φ(z)) quand cette expression a un sens.
II.A.4) Simplifier l'expression b(φ(z))^2 + 2φ(z) + b pour z ≠ − i.

En conclure que z ≠ − i est solution de (1) si et seulement si φ(z) est solution de (2).
II.B - On note respectivement P, P^′, Q, Q^′, R, R^′ les images des complexes 1 , − 1, z_1, z^′_1, z_2, z^′_2 dans ε.
II.B.1) Montrer qu'un cercle ( C ) de ε passe par P et P^′ si et seulement s' il a une équation de la forme

Si x + iy ∈ ℂ^∗, on pose X + iY = 1/(x + iy). Donner une relation simple entre F(x, y) et F(X, Y).
En conclure que pour z ≠ 0 M(z) ∈ C si et seulement si M(1/z) ∈ C.
II.B.2) Montrer que P, P^′ et Q ne sont pas alignés. En choisissant pour C le cercle circonscrit au triangle PP^′ Q montrer que P, P^′, Q, Q^′ sont sur un même cercle ∁_1, et de même montrer que P, P^′, R, R^′ sont sur un même cercle C_2.
II.B.3) On définit ψ : ℂ∖{ − 1} → ℂ par ψ(z) = (z − 1)/(z + 1).

Déterminer le polynôme unitaire de degré 2 , noté q_1, dont les zéros sont Ψ(z_1) et ψ(z^′_1) et celui, noté q_2, dont les zéros sont ψ(z_2) et ψ(z^′_2) (chacun de ces polynômes est de la forme z^2 + w_i = 0, où le coefficient w_i est fonction de b seul).
En déduire que les images de ces quatre complexes sont les sommets d'un carré Γ de centre O.
Montrer que, les quatre points M(Ψ(z_i)) et M(Ψ(z_i^′)), i ∈ {1, 2} sont situés sur un même cercle dont une équation est zz¯ − e^2 = 0 pour un certain réel e. En déduire que, sauf dans un cas particulier que l'on mettra en évidence, les quatre points Q, Q^′, R, R^′ sont situés sur un même cercle.
II.B.4) On pose ω = (z_1 + z_1^–)/(1 + z_1 z_1^–) et T = M(ω).

Déterminer un réel λ tel que TQ^′^(→−) = λTQ^(→−). En déduire le point d'intersection des droites ( PP^′ ) et ( QQ^′ ). Montrer que les droites ( PP^′ ), ( QQ^′ ) et ( RR^′ ) sont concourantes (on pourra regarder ce que devient ω lorsque l'on remplace z_1 par φ(z_1), et remarquer que φ(z_1) ∈ {z_2, z_2^′} ).

On note S^′_3(ℝ) l'ensemble des matrices inversibles de S_3(ℝ). Désormais, on ne considérera plus que des éléments de S^′_3(ℝ). On dira que A et B sont conjuguées harmoniques si tr (A^(− 1)B) = tr(B^(− 1)A) = 0.
On cherche à discuter l'existence, pour A ∈ S^′_3(ℝ) donnée, d'une matrice B ∈ S^′_3(ℝ) telle que A et B soient conjuguées harmoniques.
III.A - On donne pour les questions III.A.1, III.A.2, III.A.3, seulement,

et B soient conjuguées harmoniques,sous la forme au, b, c; b, dv, e; c, e, fw.
III.A.1) Écrire tr(A^(− 1)B) à l'aide des coefficients de A et B.

Écrire, de même, tr(B^(− 1)A) à l'aide des coefficients de A et B.
Montrer alors que tr(A^(− 1)B) = tr(B^(− 1)A) = 0 si et seulement si:

Les coefficients réels u, v, w, b, c, e, f étant donnés, montrer que l'existence d'une solution de (3) équivaut à

III.A.2) Conclure quant à l'existence de B lorsque les valeurs propres de A sont de même signe.
III.A.3) Lorsque uv < 0, montrer qu'on peut choisir B vérifiant les propriétés imposées, avec de plus c = e = 0.
On n'oubliera pas de vérifier l'inversibilité de B.
III.A.4) A étant un élément donné de S^′_3(ℝ), conclure quant à l'existence de B ∈ S^′_3(ℝ) telle que A et B soient conjuguées harmoniques.
III.B - Exemple : on choisit les matrices A et B sous la forme

où α > 0 est un réel donné, les réels β et γ > 0 étant à déterminer.
III.B.1) Déterminer tous les couples ( β, γ ) tels que tr(A^(− 1)B) = tr(B^(− 1)A) = 0.
III.B.2) On choisit (β, γ) = (α√3, α√2) et on pose C = A^(− 1)B.

Montrer qu'il existe U inversible et D diagonale dans M_3(ℂ) telles que C = UDU^(− 1).
Peut-on choisir U et D réelles?