CCINP Mathématiques 1 TSI 2000Sujet et corrigé

99-018 du 01.02.99.
Il est rappelé aux candidats qu'il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction des copies.
On pourra admettre un résultat pour traiter les questions suivantes.
Dans tout ce devoir les matrices seront des matrices carrées

3 \times 3

, ou des matrices colonnes

3 \times 1

, à coefficients dans

ℂ

.
On pourra identifier matrice carrée avec application linéaire dans une base canonique, et matrice colonne avec vecteur.

Rappels et Définitions

$λ^n$ , avec $λ$ complexe et $n$ entier naturel, admet une limite lorsque $n$ tend vers l'infini si et seulement si $λ = 1$ ou $|λ| < 1$ .
On note $Sp(A)$ le spectre de $A$ , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres de $A$ .
On dit que la matrice carrée $T$ de terme général $t_(i, j)$ est triangulaire supérieure si et seulement si : $\foralli > j, t_(i, j) = 0$ .
On dit que la matrice carrée $N$ est nilpotente si et seulement si $\existsn \in ℕ^*$ tel que $N^n = 0$ ( 0 est la matrice nulle et $N^n$ est le produit de $N$ par elle-même $n$ fois, par convention $N^1 = N$ et $N^0 = I$ la matrice unité).
Soit $A$ une matrice de dimension quelconque, de terme général $a_(i, j)$ . On pose $‖A‖ = sup_(i, j)|a_(i, j)|$ .

On admet que l'application

A \mapsto ‖A‖

est une norme sur l'espace des matrices ayant même dimension que

A

On appelle suite de matrices complexes une application de $D \subset ℕ$ dans $M_(n, p)(ℂ)$ ; l'image de $k$ est notée $A_k$ ou $A(k)$ , l'élément général de $A(k)$ est noté $a_(i, j)(k)$ .
On dit que la suite $A(k)$ converge vers $B$ (ou admet $B$ pour limite) si et seulement si $lim_(k \to + \infty)‖A(k) - B‖ = 0$ , et on note $lim_(k \to + \infty)A(k) = N$ ou $limA(k) = B$ .
À toute suite $A(k)$ de matrices, on associe la suite dite «des sommes partielles» $U(k) = \sum_(i = 0)^k A(i)$ . Si cette nouvelle suite converge, on note $lim_(k \to + \infty)U(k) = \sum_(i = 0)^(+ \infty)A(i)$ que l'on appelle somme de la série de terme général $A(k)$ .
On note, si cette limite existe, $exp(A) = \sum_(i = 0)^(+ \infty)(A^i)/(i!)$ .

Le but de ce problème est, pour quelques matrices

A

, de calculer, lorsque c'est possible,

\sum_(i = 0)^(+ \infty)A^i etexp(A) = \sum_(i = 0)^(+ \infty)(A^i)/(i!)

PARTIE I

Dans cette partie vous démontrerez des propriétés générales sur des limites, des suites et des séries de matrices. Les matrices sont, sauf indication du contraire, dans

M_3(ℂ)

Le terme général de $A(k)$ est $a_(i, j)(k)$ et celui de $B$ est $b_(i, j)$ .
a. Montrer que $A(k)$ converge vers $B$ si et seulement si $\foralli, j lim_(k \to + \infty)a_(i, j)(k) = b_(i, j)$ . A-t-on le même type de propriété pour les matrices colonnes?
b. Montrer que $A(k)$ converge vers $B$ si et seulement si pour toute matrice colonne $3 \times 1$ notée $X$ , $A(k)X$ converge vers $BX$ .
c. Montrer que $A(k)$ converge vers $B$ si et seulement si pour toute matrice $3 \times 3$ notée $C$ inversible, $A(k)C$ converge vers $BC$ .
d. Montrer que si $lim_(k \to + \infty)A(k) = B$ et $lim_(k \to + \infty)C(k) = D$ , alors $lim_(k \to + \infty)(A(k) + C(k)) = B + D$ .
a. Montrer que $‖AB‖ ⩽ 3‖A‖‖B‖$ . En déduire que $‖A^k‖ ⩽ 3^(k - 1)‖A‖^k$ pour $k \in ℕ^*$ .
b. Montrer que, si $A$ est inversible, on a pour tout $k \in ℕ^*, ‖A^k‖^(1/k) ⩾ 1/(3‖A^(- 1)‖)$ .

En déduire que si

lim_(k \to + \infty)‖A^k‖^(1/k) = 0

alors

A

n'est pas inversible.
3. a. Simplifier l'expression

(I - A)(\sum_(i = 0)^k A^i)

où

I

désigne la matrice unité de

M_3(ℂ)

.
b. Montrer que si

lim_(k \to + \infty)A^k = 0

, alors pour toute matrice colonne

3 \times 1

notée

X

, on a

lim_(k \to + \infty)A^k X = 0

. En déduire que

A - I

est inversible et exprimer son inverse comme somme d'une série.
En déduire l'existence de

\sum_(i = 0)^(+ \infty)A^i

.
4. Montrer que

lim_(k \to + \infty)A(k) = B

si et seulement si

lim_(k \to + \infty)P^(- 1)A(k)P = P^(- 1)BP

avec

P

une matrice inversible.
En déduire que

lim_(k \to + \infty)A^k = B

si et seulement si

lim_(k \to + \infty)(P^(- 1)AP)^k = P^(- 1)BP

, avec

P

une matrice inversible.
5. Soit

A

telle que

lim_(k \to + \infty)A^k = B

.
a. Si

B

est inversible, montrer que

A

est égale à

I

.
b. Montrer que les valeurs propres de

A

valent 1 ou ont un module strictement inférieur à 1 .
c. On suppose que

A

est diagonalisable et que

A \neq I

Montrer que si

1 \notin Sp(A)

alors

B

est nulle, et que si

1 \in Sp(A)

alors

B

est diagonalisable avec

Sp(B) \subset {0, 1}

.
6. Soit

A

quelconque.

Montrer que si

A = PBP^(- 1)

et si

exp(B)

existe, alors

exp(A)

existe et

exp(A) = Pexp(B)P^(- 1)

PARTIE II

Dans cette partie nous nous intéressons plus particulièrement aux matrices triangulaires supérieures ou diagonales.
On pose

D = (a, 0, 0; 0, b, 0; 0, 0, c), M = (a, 0, 0; 0, b, 1; 0, 0, b)

Q = (a, 1, 0; 0, a, 1; 0, 0, a)

avec

a, b

c

complexes.
Remarque :

a, b

c

ne sont pas forcément différents.

a. Calculez $M^2, M^3, Q^2$ et $Q^3$ .
b. Déterminer la forme générale de $D^k, M^k$ et $Q^k$ avec $k \in ℕ^*$ .
a. Déterminer les $a$ , les $b$ et les $c$ pour que $D^k, M^k$ et $Q^k$ convergent.

Calculer dans ce cas

lim_(k \to + \infty)D^k, lim_(k \to + \infty)M^k

lim_(k \to + \infty)Q^k

.
b. Si on suppose que

lim_(k \to + \infty)D^k = 0

, calculer

\sum_(i = 0)^(+ \infty)D^i

.
c. Si on suppose que

lim_(k \to + \infty)M^k = 0

, calculer

\sum_(i = 0)^(+ \infty)M^i

.
d. Si on suppose que

lim_(k \to + \infty)Q^k = 0

, calculer

\sum_(i = 0)^(+ \infty)Q^i

.
3. Montrer que

exp(D), exp(M)

exp(Q)

existent et déterminer leur valeur.

PARTIE III

Dans cette partie nous nous intéressons plus particulièrement aux matrices nilpotentes. Dans toute cette partie, sauf indication du contraire, on considère

N

une matrice carrée

3 \times 3

nilpotente non nulle à coefficients dans

ℂ

a. Montrer que les quatre affirmations suivantes sont équivalentes :
(i) $N$ est nilpotente
(ii) $Sp(N) = {0}$
(iii) $N$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle
(iiii) $N^3 = 0$ .
Application : En déduire que l'équation $A^2 = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0)$ , d'inconnue $A$ une matrice carrée $3 \times 3$ n'admet pas de solution.
b. Montrer que $det(I - N) = 1$ .

En déduire que

I - N

est inversible. Que vaut l'inverse de

I - N

?
Quelles sont les valeurs propres de

I - N

? En déduire que

I - N

n'est pas diagonalisable.
c. Montrer que si

N^2 \neq 0

N

nilpotente alors il existe

X \in ℂ^3

telle que (

X, NX, N^2 X

) est une base de

ℂ^3

.
En déduire que :

A

commute avec

N \Leftrightarrow A

combinaison linéaire de

I, N

, et

N^2

.
En déduire que si

A

commute avec

N

alors

det(A - N) = det(A)

.
A-t-on encore

det(A - N) = det(A)

A

ne commute pas avec

N?

2. Soient

N_1

N_2

deux matrices nilpotentes telles que

N_1 N_2 = N_2 N_1

.
a. Montrer que

N_1 N_2

et que

N_1 + N_2

sont nilpotentes.
b. En développant

(N_1 + N_2)^3

(N_1 + N_2)^4

, montrer que

N_1 N_2^2 + N_1^2 N_2 = 0

et que

N_1^2 N_2^2 = 0

.
c. Montrer que

exp(N_1 + N_2) = exp(N_1)exp(N_2)

.
d. En déduire que si

N

est nilpotente alors

exp(N)

est inversible ; vous donnerez l'inverse de

exp(N)

.
3. Application : Dans cette question (et dans cette question seulement) on considère

N = (1, 1, 1; - 1, - 1, - 1; 1, 1, 0)

a. Montrer que

N

est nilpotente.
b. Calculer

\sum_(i = 0)^(+ \infty)N^i

. En déduire l'inverse de

I - N

.
c. Calculer

exp(N)

exp(- N)

PARTIE IV

Dans cette partie nous calculerons l'exponentielle d'une matrice dans deux cas particuliers.

On considère $R = (2, - 1, 2; - 1, 2, 2; 2, 2, - 1)$ et $D = (3, 0, 0; 0, 3, 0; 0, 0, - 3)$ .
a. Déterminer les valeurs propres de $R$ .
b. Déterminer les espaces propres de $R.R$ est-elle diagonalisable ?

En déduire que

exp(R)

existe. Calculer

exp(R)

.
2. On considère

M = (0, 1, 1; 1, 0, - 1; 1, 1, - 1)

T = (1, 0, 0; 0, - 1, 1; 0, 0, - 1)

.
a. Déterminer les valeurs propres de

M

.
b. Déterminer les espaces propres de

M.M

est-elle diagonalisable ?

Déterminer

U

V

, deux matrices colonnes

3 \times 1

propres de

M

, avec

U

associée à la valeur propre 1 et

V

associée à la valeur propre -1 .
c. Déterminer

W

matrice colonne

3 \times 1

telle que

(M + I)W = V

En déduire que

M

T

sont deux matrices semblables.
Déterminer une matrice

3 \times 3

notée

P

inversible telle que

M = PTP^(- 1)

.
Montrer que

exp(M)

existe. Calculer

exp(M)

Fin de l'énoncé

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