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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PROBLEME

Les parties I, II et III sont totalement indépendantes. La partie IV utilise certains résultats des parties I, II et III.

Notations

On note

M_3(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices carrées à 3 lignes à coefficients dans

ℝ

. On appelle vecteur colonne de

ℝ^3

toute matrice à 3 lignes et 1 colonne à coefficients dans

ℝ

. On note

^t M

la transposée de la matrice

M

Partie I

Un exemple numérique

Dans cette partie, on se propose d'étudier le système linéaire suivant :

(S){2x - y, = 3; - x + 2y - z, = - 5; - y + 2z, = 5

Montrer que, si on pose $X = (x; y; z)$ , le système $(S)$ s'écrit sous forme matricielle $AX = B$ avec $A$ une matrice de $M_3(ℝ)$ et $B$ un vecteur colonne que l'on déterminera.
Calculer $det(A)$ . On pourra utiliser la calculatrice.

La matrice

A

est-elle inversible?
3. Déterminer l'inverse

A^(- 1)

A

. On pourra utiliser la calculatrice.
4. Montrer que le système (

S

) n'admet qu'une seule solution

Q

que l'on déterminera.
5. a. Montrer que le système

(S)

est équivalent au système

X = JX + K

avec un vecteur colonne

K

ℝ^3

que l'on déterminera et la matrice

J = (0, 1/2, 0; 1/2, 0, 1/2; 0, 1/2, 0)

b. Justifier sans calcul qu'il existe une matrice orthogonale

P

et une matrice diagonale

D

telles que

J = PD^t P

.
c. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de

J

. En déduire les matrices

P

D

.
d. Pour tout entier naturel

p

, déterminer

J^p

en fonction de

D

et de la matrice

P

On définit la suite de vecteurs colonnes

(X^((p)))_(p \in ℕ)

par

X^((0)) = (1; 2; 0)

et la relation de récurrence

\forallp \in ℕ : X^((p + 1)) = JX^((p)) + K

On appelle

x^((p)), y^((p))

z^((p))

les composantes de

X^((p))

c'est-à-dire

X^((p)) = (x^((p)); y^((p)); z^((p)))

. On pose enfin

Δ^((p)) = X^((p)) - Q

.
6. Calculer les vecteurs colonnes

X^((1))

Δ^((1))

.
7. Ecrire un programme dans le langage de Maple ou Mathematica qui calcule le vecteur colonne

X^((2008))

.
8. a. En utilisant le fait que

Q

vérifie

Q = JQ + K

, montrer que pour tout entier naturel

p

Δ^((p + 1)) = JΔ^((p))

puis que

Δ^((p)) = PD^p^t PΔ^((0))

.
b. Soit

U = (a; b; c)

un vecteur colonne de

ℝ^3

. On note

‖U‖ = \sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

sa norme euclidienne. Montrer que pour tout entier naturel

p, ‖D^p U‖ ⩽ 1/(2^(p/2))‖U‖

.
c. Exprimer

‖U‖

en fonction de

U

^t U

puis montrer que

‖PU‖ = ‖U‖

‖^t PU‖ = ‖U‖

.
d. Déduire des questions précédentes que

‖Δ^((p))‖ ⩽ 1/(2^(p/2))‖Δ^((0))‖

puis que

‖Δ^((p))‖ ⩽ \sqrt((13)/(2^p))

.
9. Prouver alors les trois inégalités :

|x^((p)) - 1| ⩽ \sqrt((13)/(2^p)); |y^((p)) - (- 1)| ⩽ \sqrt((13)/(2^p)); |z^((p)) - 2| ⩽ \sqrt((13)/(2^p)).

Quelles sont les limites respectives des suites $(x^((p)))_(p \in ℕ), (y^((p)))_(p \in ℕ)$ et $(z^((p)))_(p \in ℕ)$ ?
Déterminer une valeur de $p$ à partir de laquelle le vecteur colonne $X^((p))$ est une valeur approchée de la solution exacte $Q$ à $10^(- 3)$ près, c'est-à-dire tel que $‖Δ^((p))‖ ⩽ 10^(- 3)$ .

Partie II

Un espace de matrices

Pour

(a, b) \in ℝ^2

, on considère les matrices

J(a, b) = (a, b, b; b, a, b; b, b, a) et U(b) = (b, b, b; b, b, b; b, b, b).

On définit l'ensemble

E = {J(a, b)/(a, b) ∈ ℝ^2}

.
On note

I_3 = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)

la matrice identité.

Montrer que $E$ est un espace vectoriel dont on déterminera la dimension.
Montrer que $E$ est stable par produit matriciel c'est-à-dire que pour toutes matrices $M$ et $N$ de $E$ , le produit $MN$ appartient à $E$ .

On suppose désormais que

b \neq 0

.
3. Justifier sans calcul que les matrices

J(a, b)

U(b)

sont diagonalisables.
4. Quel est le rang de la matrice

U(b)

? En déduire la dimension du sous-espace vectoriel

Ker(U(b))

.
5. Déterminer un réel

λ

tel que

U(b) = J(a, b) - λ \cdot I_3

.
6. En déduire une valeur propre de

J(a, b)

et la dimension du sous-espace propre associé.
7. A l'aide de la trace, déterminer l'autre valeur propre de

J(a, b)

Partie III
Une norme matricielle

M = (m_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ 3; 1 ⩽ j ⩽ 3)

est une matrice de

M_3(ℝ)

, on note pour tout indice

i

{1, 2, 3}, l_i = ∑_(j = 1)^3|m_(ij)|

.
Autrement dit,

l_i

est la somme des valeurs absolues des coefficients de la ligne

i

de la matrice

M

. Puis, on définit le réel positif

φ(M)

par

φ(M) = max{l_1, l_2, l_3}

X = (x; y; z)

est un vecteur colonne de

ℝ^3

alors on définit la norme infinie du vecteur

X

par

‖X‖_∞ = max{|x|, |y|, |z|}

a. Justifier que si $A = (- 1, 2, - 2; 0, 1, 0; 1, - 1, 4)$ alors $φ(A) = 6$ .
b. Justifier que si $U = (- 2; - 4; 3)$ alors $‖U‖_\infty = 4$ .
a. On note $X^' = MX$ avec $X^' = (x^'; y^'; z^')$ . Donner les expressions de $x^', y^'$ et $z^'$ en fonction de $x, y, z$ et des coefficients de la matrice $M$ .
b. Montrer que $|x^'| ⩽ (|m_(11)| + |m_(12)| + |m_(13)|)‖X‖_\infty$ . Déterminer de même une inégalité pour $|y^'|$ et pour $|z^'|$ .
c. En déduire que $‖MX‖_\infty ⩽ φ(M)‖X‖_\infty$ puis que, si $M^'$ désigne une matrice de $M_3(ℝ)$ alors $‖M^' MX‖_\infty ⩽ φ(M^')φ(M)‖X‖_\infty$ .

Partie IV

La méthode de Jacobi

On considère le système linéaire

(S){a_(1, 1)x + a_(1, 2)y + a_(1, 3)z = a; a_(2, 1)x + a_(2, 2)y + a_(2, 3)z = b; a_(3, 1)x + a_(3, 2)y + a_(3, 3)z = c

avec pour tout

i \in {1, 2, 3}

et pour tout

j ∈ {1, 2, 3}, a_(i, j) ∈ ℝ

(a, b, c) \in ℝ^3

.
On suppose que le système

(S)

admet une unique solution notée

Q = (q_1; q_2; q_3)

. On suppose de plus que

a_(1, 1) \neq 0

a_(2, 2) \neq 0

a_(3, 3) \neq 0

Montrer que le système $(S)$ est équivalent au système suivant:

(S_J){x =, − (a_(1, 2))/(a_(1, 1))y, − (a_(1, 3))/(a_(1, 1))z, + a/(a_(1, 1)); y =, − (a_(2, 1))/(a_(2, 2))x, − (a_(2, 3))/(a_(2, 2))z, + b/(a_(2, 2)); z =, − (a_(3, 1))/(a_(3, 3))x − (a_(3, 2))/(a_(3, 3))y, + c/(a_(3, 3))

Montrer que, si on pose $X = (x; y; z)$ , le système $(S_J)$ peut se mettre sous la forme matricielle $X = JX + K$ avec $J$ une matrice de $M_3(ℝ)$ et $K$ un vecteur colonne de $ℝ^3$ que l'on déterminera.

Pour un système linéaire comportant un grand nombre d'équations et d'inconnues, les méthodes de résolution directe (comme celle du pivot de Gauss) aboutissant à une solution exacte deviennent très gourmandes en temps de calcul. Il est alors plus judicieux de calculer une solution approchée à l'aide d'une suite définie par récurrence convergeant vers la solution exacte, comme cela se fait dans la méthode de Jacobi que nous allons nous contenter d'illustrer sur un système

3 \times 3

On définit ainsi la suite de vecteurs

(X^((p)))_(p \in ℕ)

ℝ^3

par la donnée d'un vecteur initial

X^((0))

et la relation de récurrence

\forallp \in ℕ : X^((p + 1)) = JX^((p)) + K

On définit aussi la suite

(Δ^((p)))_(p \in ℕ)

par

Δ^((p)) = X^((p)) - Q

. Le vecteur

Δ^((p))

permet d'apprécier l'erreur d'approximation entre la solution approchée

X^((p))

et la solution exacte

Q

.
3. En utilisant le fait que

Q

est la solution de l'équation

(S_J) : X = JX + K

, montrer que pour tout entier naturel

p, Δ^((p + 1)) = JΔ^((p))

puis

‖Δ^((p + 1))‖_\infty ⩽ φ(J)‖Δ^((p))‖_\infty

.
4. En déduire que pour tout entier naturel

p, ‖Δ^((p))‖_\infty ⩽ (φ(J))^p‖Δ^((0))‖_\infty

.
5. En déduire une condition suffisante

(C_1)

sur la matrice

J

pour que la suite

(‖Δ^((p))‖_\infty)_(p \in ℕ)

converge vers 0 .
6. On pose pour tout entier naturel

p : X^((p)) = (x^((p)); y^((p)); z^((p)))

Δ^((p)) = (α^((p)); β^((p)); γ^((p)))

.
a. Montrer les trois inégalités :

|α^((p))| ⩽ ‖Δ^((p))‖_\infty; |β^((p))| ⩽ ‖Δ^((p))‖_\infty; |γ^((p))| ⩽ ‖Δ^((p))‖_\infty.

b. Lorsque la condition

(C_1)

est vérifiée, montrer que les suites

(x^((p)))_(p \in ℕ), (y^((p)))_(p \in ℕ)

(z^((p)))_(p \in ℕ)

convergent respectivement vers

q_1, q_2

q_3

.
7. La condition

(C_1)

est-elle vérifiée par la matrice

J

de la partie

I

?
8. On revient au cas général. On suppose dans cette question que la matrice

J

est diagonalisable : il existe donc une matrice diagonale

D

et une matrice inversible

P

telles que

J = PDP^(- 1)

. On peut montrer alors, comme dans la partie I que, pour tout entier naturel

p, Δ^((p)) = PD^p P^(- 1)Δ^((0))

.
a. Montrer que

‖Δ^((p))‖_\infty ⩽ φ(P)(φ(D))^p φ(P^(- 1))‖Δ^((0))‖_\infty

.
b. En déduire une condition suffisante

(C_2)surφ(D)

pour que la suite

(‖Δ^((p))‖_\infty)_(p \in ℕ)

converge vers 0 .
c. La condition (

C_2

) est-elle vérifiée par la matrice

D

de la partie

I

?
9. Dans cette question, on reprend l'exemple de la matrice

J(a, b)

avec

b \neq 0

définie à la partie II. On a vu que cette matrice est diagonalisable. Il existe donc une matrice diagonale

D

et une matrice inversible

P

telles que

J(a, b) = PDP^(- 1)

.
a. Calculer

φ(J(a, b))

φ(D)

.
b. La matrice

J(1/2, - 1/3)

vérifie-t-elle la condition

(C_1)

? la condition

(C_2)

?
c. Dessiner dans le plan l'ensemble des couples (

a, b

) de

ℝ^2

qui vérifient la condition

(C_1)

et ceux qui vérifient la condition

(C_2)

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Un espace de matrices

Partie III Une norme matricielle

Partie IV

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Partie III
Une norme matricielle