Centrale Mathématiques 1 TSI 2008Sujet et corrigé

Un système différentiel autonome de dimension 2 est un système différentiel qui se présente sous la forme

où φ et ψ sont des fonctions de classe C^1 sur un ouvert Ω de ℝ^2. Les fonctions inconnues x et y sont des fonctions de la variable t définies sur un intervalle I de ℝ à valeurs dans ℝ. On utilise aussi la notation matricielle

où le vecteur X représente le couple (x, y) et où F = (φ/ψ) : Ω → ℝ^2 est de classe C^1.
Un point critique de ce système est un point (x_0, y_0) de Ω tel que

Étant donné un intervalle I borné ou non, le couple de fonctions (x, y) est une solution de ( S_1 ) sur I si les applications x : I → ℝ et y : I → ℝ sont de classe C^1 et vérifient x^′(t) = φ(x(t), y(t)), y^′(t) = ψ(x(t), y(t)) pour tout t ∈ I. Une valeur initiale est un triplet ( x_0, y_0, t_0 ) de nombres réels. Une solution ( x, y ) vérifie cette valeur initiale si t_0 ∈ I, x(t_0) = x_0, y(t_0) = y_0.
Si (x, y) est une solution de (S_1) sur I, l'ensemble des points (x(t), y(t)), t ∈ I, est la trajectoire Γ de cette solution. Cette trajectoire est maximale si pour toute trajectoire Γ^′ ayant un point commun avec Γ, on a Γ^′ ⊂ Γ.
On s'intéresse au comportement des trajectoires de certains systèmes autonomes. On rappelle le résultat suivant, qui est une conséquence du théorème de CauchyLipschitz :
Tout point (x_0, y_0) de Ω appartient à une trajectoire maximale unique.
Remarque sur la rédaction Il sera demandé de tracer des courbes. Il est entendu qu'il faut le faire dans un repère cartésien, mais que la précision souhaitée n'est pas
celle d'un dessin industriel. Il suffira de tracer à main levée dans un carré de moins de 12 cm de côté, en s'attachant à bien mettre en valeur les éléments mathématiques de la figure, selon le cas : points particuliers, tangentes etc. Les courbes tracées point par point ne seront pas prises en compte.
Notation Dans le plan euclidien orienté, on note R_θ la matrice de la rotation de centre 0 , d'angle θ.

Les résultats obtenus dans cette partie seront utilisés par la suite.

I.A.1) Soit λ ∈ ℝ.
a) Donner la solution générale de l'équation différentielle x^′ = λx sur ℝ.
b) Donner la solution particulière vérifiant la condition initiale x(t_0) = x_0.
I.A.2) Soit α, β deux réels. Donner la solution générale réelle de l'équation différentielle

dans les deux cas : β ≠ 0, β = 0.
I.B - On considère l'équation différentielle autonome x^′ = x(1 − x).
I.B.1) Déterminer les solutions constantes.
I.B.2) Trouver une primitive de (x^′)/(x(1 − x)).
I.B.3)
a) Montrer que les solutions qui ne sont pas constantes peuvent se mettre sous la forme

où C est une constante non nulle.
b) Tracer, dans un repère orthonormal, la courbe représentative de la solution vérifiant la condition initiale x(0) = 1/2.

On va étudier le système linéaire :

où A est une matrice 2 × 2, ayant deux valeurs propres distinctes, réelles ou complexes, et non nulles. On admet que la solution générale du système ( S_2 ) est de la forme

où X_1 et X_2 sont deux solutions telles que le déterminant, dans une base orthormale directe, de la matrice Φ(t) = (X_1, X_2) ne s'annule jamais.
II.A - On considère le cas où A est diagonale, donc de la forme A = (λ_1, 0; 0, λ_2). II.A.1) Utiliser I.A.1) pour obtenir la solution générale de X^′ = AX, sous la forme X(t) = Φ_1(t)C où Φ_1(t) est une matrice 2 × 2 et C = ((C_1)/(C_2)) est un vecteur dont les composantes sont des constantes arbitraires.
II.A.2) Déterminer les trajectoires maximales passant par (1, 0), (− 1, 0), (0, 1), (− 1, 0).
II.A.3) Soit (x_0, y_0, 0) une valeur initiale avec x_0 ≠ 0. Démontrer que la solution a une trajectoire dont l'équation cartésienne est de la forme

On déterminera C en fonction de x_0, y_0, et α en fonction de λ_1, λ_2.
II.A.4) Décrire les trajectoires maximales passant par le point (1, 1) dans chacun des cas suivants :
(i) λ_1 = − 1, λ_2 = − 2;
(ii) λ_1 = − 2, λ_2 = − 1;
(iii) λ_1 = − 1, λ_2 = 1,
et les tracer dans un même repère.
II.B - Maintenant A n'est plus nécessairement diagonale, mais elle a toujours des valeurs propres réelles λ_1, λ_2. Soit D la matrice (λ_1, 0; 0, λ_2).
II.B.1) Montrer qu'il existe une matrice inversible P qui s'écrit en colonne : P = (X_1, X_2) telle que si X(t) = PY(t), le nouveau vecteur Y vérifie Y^′ = DY.
II.B.2) En déduire que la solution générale de X^′ = AX peut se mettre sous la forme X(t) = Φ_2(t)C où C = ((C_1)/(C_2)) est un vecteur de constantes arbitraires et Φ_2(t) une matrice 2 × 2 dont le déterminant ne s'annule pas.
II.B.3) Donner la condition sur les λ_i pour que toutes les solutions tendent vers (0, 0) lorsque t → + ∞.
II.B.4) On étudie le système différentiel : X^′ = (0, 1; 1, 0)X.
a) Calculer D et P (notations reprises du II.B.1)). Vérifier que pour P on peut prendre une matrice de rotation R_θ où θ est un angle à déterminer. Que vaut R_θ^(− 1) ?
b) Trouver la solution générale.
c) On donne la valeur initiale (1, 0, 0). Calculer la solution X(t) du système ci-dessus, et la solution Y(t) du système Y^′ = DY.
d) Tracer la trajectoire maximale de X^′ = (0, 1; 1, 0)X passant par le point (1, 0) (on pourra d'abord tracer celle correspondant à Y(t) ).
II.B.5) Mêmes questions avec le système

II.C - On considère le cas où A = (α, − β; β, α), où α et β sont deux réels, β ≠ 0.
II.C.1) Calculer les valeurs propres de A.
II.C.2) Montrer que si X(t) = ((x(t))/(y(t))) est solution, alors x et y sont toutes deux solutions de l'équation

En déduire que la solution générale de X^′ = AX est de la forme X(t) = e^(αt)R_(βt)C, où C est un vecteur de constantes arbitraires.
II.C.3) Donner la condition sur α, β pour que toutes les solutions tendent vers 0 lorsque t → + ∞.
II.C.4) On étudie le système

a) Trouver la solution vérifiant la valeur initiale (1, 0, 0). Soit Γ la trajectoire correspondante.
b) Déterminer l'équation polaire de Γ, sous la forme r = f(θ).
c) Tracer Γ.

On va étudier le cas non linéaire

où Ω = ℝ^2 et F : ℝ^2 → ℝ^2 est définie par F(x/y) = ((y − x^2)/(x − y^2)).

III.A.1) Calculer la matrice jacobienne J(x, y) de F et donner le développement de Taylor de F au voisinage d'un point quelconque ( x_0, y_0 ).
III.A.2) Trouver les points critiques de ( S_3 ). Montrer que chaque point critique constitue une trajectoire maximale.
III.A.3) Décrire la trajectoire maximale passant par (0.5, 0.5) et celle passant par (2, 2) (on pourra utiliser la question I.B).
III.A.4) Trouver l'ensemble des points ( x, y ) où la tangente à la trajectoire passant par ( x, y ) est
a) horizontale ;
b) verticale ;
c) de coefficient directeur 1 ;
d) de coefficient directeur -1 .
III.B - On admet que pour un tel système différentiel, l'allure des trajectoires au voisinage de chaque point critique (x_0, y_0) est la même que pour le système dit linéarisé X^′ = J(x_0, y_0)X au voisinage de 0 .
La figure ci-dessous représente quelques trajectoires de (S_3).

En utilisant la partie II, justifier l'allure de ces courbes au voisinage des points fixes.

III.C - La figure précédente a été tracée en appliquant la méthode d'Euler. C'est un algorithme qui permet l'approximation d'une solution X(t) = ((x(t))/(y(t))) au moyen d'une suite X_n = ((x_n)/(y_n)), construite par récurrence de la manière suivante :

Une interpolation des points X_n permet de tracer une courbe qui constitue l'approximation cherchée de la trajectoire.
III.C.1) Soit H la fonction ℝ^2 → ℝ^2 définie par

Montrer que la méthode d'Euler consiste à construire la suite ( X_n ) définie par

On appelle aussi ( X_n ) une orbite de H.
III.C.2) Déterminer les points fixes de H, c'est-à-dire les solutions de l'équation

III.D - On veut montrer que si (x_0, y_0) est pris dans un voisinage de (1, 1), toutes les orbites de H convergent vers (1, 1). On prend ε dans ]0, 1] et on pose ρ = 1 − ε/2.
III.D.1) Commençons par le vérifier pour toutes les orbites partant d'un point de la première bissectrice. Soit g(t) = (1 − ε)t − εt^2.
a) Montrer que si |t| ≤ 0.5, alors |g(t)| ≤ ρ|t|.
b) Soit t_0 tel que |t_0| ≤ 0.5. Soit (t_n) la suite définie par récurrence en posant t_(n + 1) = g(t_n). Montrer que t_n → 0.
c) En déduire que si x_0 = y_0 et |1 − x_0| < 0.5, alors x_n → 1 et y_n → 1.
III.D.2) Pour tout X = (x/y) on appelle norme de X le réel ‖X‖ = max{|x|, |y|}.
a) Vérifier qu'une suite de vecteurs ( X_n ) converge vers une limite X^∗ si, et seulement si, la norme ‖X_n − X^∗‖ tend vers 0 .
b) Pour chaque vecteur T = (u/v) on définit

Montrer que si ‖T‖ ≤ 0.5, alors ‖G(T)‖ ≤ ρ‖T‖.
c) Partant de T_0, ‖T‖ ≤ 0.5, on définit la suite ( T_n ) comme l'orbite de G, c'est-à-dire T_(n + 1) = G(T_n). Montrer que ‖T_n‖ → 0.
d) En déduire que si ‖X_0 − (1/1)‖ ⩽ 1/2, alors X_n → (1/1).