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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI - SESSION 2003

MATHÉMATIQUES 1Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les cinq parties du problème sont indépendantes
α désignant un réel non nul, on note f_α la fonction définie sur R par f_α(x) = cos(αx).

PARTIE I

  1. Montrer qu'on peut se limiter à α > 0 (ce qu'on fera dans toute la suite du problème).
  2. Vérifier que f_α est périodique ; on notera T_α une période strictement positive.
  3. De quelle équation différentielle linéaire, du second ordre, à coefficients réels constants, homogène, f_α est-elle solution ? Résoudre cette équation différentielle.
  4. On note respectivement E et d la partie entière et la partie décimale de α.
C'est-à-dire α = E + d, avec E entier naturel et 0 ≤ d < 1.
Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0, π] de f_α(x) = 0.

PARTIE II

On pose f_(α, β) = f_α + f_β, où α et β sont des réels strictement positifs distincts.
  1. Montrer que f_(α, β) est périodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p tels que : kα = pβ (on pourra envisager x = 0 ). On notera T_(α, β) une période de f_(α, β).
  2. Relier alors T_(α, β) à T_α et T_β.
  3. α et β étant à nouveau quelconques (mais toujours réels strictement positifs distincts), montrer la relation : f_(α, β)^(′′) + α^2 f_(α, β) = (α^2 − β^2)f_β.
  4. En déduire que f_(α, β) est solution de l'équation (E) : y^((4)) + (α^2 + β^2)y^(′′) + α^2 β^2 y = 0.
  5. Vérifier que f_α est solution de (E). En déduire que f_β, f_α^′, f_β^′ sont également solutions de (E).
  6. En admettant que l'ensemble des solutions de (E) est un espace vectoriel de dimension 4, montrer que la famille (f_α, f_β, f_α^′, f_β^′) en constitue une base.

PARTIE III

On s'intéresse à f_(1/2, 1), que pour simplifier on note f .
  1. Montrer que [0, 2π] est un intervalle suffisant à l'étude de f .
  2. Etudier les variations de f sur [0, 2π]; (on notera x_0 le point de ]0, 2π[ où f^′(x) = 0 ).
  3. Déterminer f(x_0).
  4. Discuter suivant c le nombre de solutions dans [0, 2π] de l'équation f(x) = c.
  5. Préciser les solutions dans les cas c = − 1 et c = 0.
  6. On se place dans le cas où l'équation f(x) = c admet, sur [0, 2π], 2 solutions distinctes x_1 et x_2. Déterminer cos((x_1)/2) + cos((x_2)/2) et cos((x_1)/2) ⋅ cos((x_2)/2).
  7. Résoudre 8y^(′′)(x) + 5y(x) = 3[cos(x/2) − cos(x)], avec y(0) = 2 et y^′(0) = 0.
  8. Reprendre la question III. 7 en appliquant le résultat de la question II. 3 à des valeurs particulières de α et β.

PARTIE IV

On pose P_n(x) = ∏_(k = 0)^n f_(1/(2^k))(x), et U_n(x) = sin(x/(2^n)) ⋅ P_n(x).
  1. Montrer que U_1 = 1/2U_0.
  2. Montrer que la suite (U_n)_(n ∈ N) est géométrique.
  3. En déduire, pour x ∈ ]0, π] la limite de P_n(x) quand n tend vers l'infini.
  4. Vérifier que le résultat précédent peut se prolonger par continuité à x = 0.

PARTIE V

On note F_α la fonction de période 2π, telle que F_α(x) = f_α(x) sur [ − π, + π].
  1. Comparer F_k et f_k si k ∈ N^∗.
Dans toute la suite, on suppose que α n'est pas entier.
2. Représenter sommairement F_1 et F_4 pour x ∈ [0, 2π].
3. Montrer que F_α est continue sur R , mais non dérivable aux points d'abscisses (2p + 1)π.
4. On note à nouveau E et d les parties entière et décimale de α.
Discuter suivant E et d les signes de F_α(π) et de (F_α)_g^′(π), dérivée à gauche de F_α en π.
5. Déterminer les coefficients de Fourier de F_α (qu'on notera pour simplifier a_n(α) et b_n(α) ). Ecrire la série de Fourier de F_α et préciser sa convergence.
6. Quelle est la limite de a_n(α) quand α tend vers un entier naturel non nul k ?
7. Déduire du résultat obtenu en 5 un développement en série de cot(απ).

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