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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être un erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Exercice I

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel.

  1. On considère la série de terme général u_n = sin[(2 − √3)^n π].
    1.1. Montrer qu'elle est à termes positifs.
    1.2. Etudier sa convergence.
  2. On pose A_n = (2 − √3)^n + (2 + √3)^n; montrer que A_n est entier.
  3. En déduire la nature de la série de terme général v_n = sin[(2 + √3)^n π].
  4. Quel est le rayon de convergence R de la série de terme général u_n x^n; préciser les cas x = ± R.

Exercice II

On rappelle que l'intégrale I = ∫_0^(+ ∞)(sin(u))/udu est convergente et vaut π/2.
  1. Calculer l'intégrale I(a) = ∫_0^(+ ∞)(sin(au))/udu où a est un réel
2.1. Justifier la convergence de l'intégrale J = ∫_0^(+ ∞)(sin^2(u))/(u^2)du
2.2. Calculer J.
3. On considère K(a, b) = ∫_0^(+ ∞)(sin(au) ⋅ sin(bu))/(u^2)du, où a et b sont des réels.
3.1. Exprimer K(a, b) à l'aide de I(a + b) et I(a − b).
3.2. En déduire les valeurs de K(a, b) en distinguant les différentes régions du plan ( a, b ).
3.3. Donner une expression de K(a, b) regroupant les différents cas.

Problème

Toutes les fonctions considérées dans les parties I, II et III de ce problème appartiennent à l'ensemble C^0 des fonctions continues de ℝ dans ℝ.

Partie I

On considère l'équation ( E_(1/2) ) d'inconnue f élément de C^0 :
∀x ∈ ℝ, f(x) − 1/2∫_(− 1)^(+ 1)(x + t)f(t)dt = g(x), où g est une fonction donnée de C^0.
  1. Soit f solution de l'équation (E_(1/2))
    1.1 Monter que ∀x ∈ ℝ, f(x) = g(x) + ax + b, où a et b sont des réels qui s'expriment par des intégrales dépendant de f.
    1.2. Ecrire en fonction de g le système d'équations vérifié par a et b.
  2. En déduire a et b, puis f dans le cas où g(x) = x.

Partie II

On considère l'équation ( E_λ ) d'inconnue f élément de C^0 :
∀x ∈ ℝ, f(x) − λ∫_(− 1)^(+ 1)(x + t)f(t)dt = g(x) où g est un élément donné de C^0 et λ un réel.
  1. En reprenant le procédé de la partie I, montrer que, sauf pour deux valeurs particulières λ_1 et λ_2 du paramètre λ, (E_λ) admet une solution unique pour toute fonction g.
  2. A quelle condition sur g l'équation (E_(λ_1)) admet-elle des solutions?
Même question pour ( E_(λ_2) ).
3. Calculer l'intégrale ∫_(− 1)^(+ 1)(1 − 3t^2)dt.
4. En déduire dans le cas λ = λ_1 (resp. λ = λ_2 ) un exemple de fonction g_1 (resp. g_2 ), non identiquement nulle, vérifiant la condition trouvée à la question 2 de la partie II.
5. On choisit pour g la fonction nulle.
5.1. Quelle est la solution de ( E_λ ) pour λ distinct de λ_1 et λ_2 ?
5.2. Exprimer f_1 et f_2, solutions respectives de ( E_(λ_1) ) et ( E_(λ_2) ).
5.3. Que dire de ∫_(− 1)^(+ 1)f_1(t)f_2(t)dt ?

Partie III

On note K l'application qui à toute fonction h de C^0 associe la fonction Kh définie sur ℝ par: [Kh](x) = ∫_(− 1)^(+ 1)k(x, t)h(t)dt, où k est une fonction continue sur ℝ × ℝ, à valeurs réelles.
  1. Montrer que K est linéaire et que Kh est continue sur ℝ.
  2. Comment l'équation (E) : f(x) − ∫_(− 1)^(+ 1)k(x, t)f(t)dt = g(x) s'écrit-elle?
  3. On note K^2 h = K[Kh] et K^(n + 1)h = K[K^n h]. Montrer formellement, c'est-à-dire sans considération de convergence, que f = g + ∑_(n ≥ 1)K^n g est solution de l'équation (E).
  4. On pose k(x, t) = 1/2(x + t) et g(x) = x.
    4.1. Déterminer Kg puis K^2 g.
    4.2. Exprimer par récurrence K^n g, pour n entier naturel non nul.
  5. En déduire f par application de la question 3 , et retrouver ainsi le résultat de la question I.3.

Partie IV

Soit Δ un intervalle fermé borné [α, β] de ℝ, avec α < β. Toutes les fonctions considérées dans cette partie, appartiennent à l'ensemble C^0(Δ) des fonctions continues sur Δ, à valeurs dans ℝ.
On considère l'application qui, au couple ( F, G ) de fonctions de C^0(Δ), fait correspondre le réel ∫_Δ F(t)G(t)dt.
Cette application définit un produit scalaire, noté <, >. On notera ‖‖ la norme associée.
  1. On utilise les notations de la partie III, et on pose k(x, t) = a(x)b(t) + a(t)b(x), où les fonctions a et b sont orthogonales entre elles : < a, b>=0, et normées : ‖a‖ = ‖b‖ = 1.
On pose φ_1 = a + b et φ_2 = a − b. Vérifier que Kφ_1 = φ_1 et Kφ_2 = − φ_2. En déduire que 1 et -1 sont valeurs propres de K. Que peut- on dire alors de φ_1 et φ_2 ?
On admettra que 1 et -1 sont les seules valeurs propres non nulles de K, et que les espaces propres associés sont de dimension 1 , engendrés respectivement par φ_1 et φ_2.
2. On considère l'équation d'inconnue f élément de C^0(Δ) : f − λKf = g, où g est une fonction donnée de C^0(Δ) et λ un réel non nul. On suppose qu'elle admet au moins une solution f_0.
2.1. Montrer que si λ ≠ ± 1, cette solution est unique.
2.2. Ecrire l'ensemble des solutions si λ = ± 1.
3. h étant une fonction donnée, montrer que Kh s'exprime comme combinaison linéaire des fonctions φ_1 et φ_2.
4. Exprimer K^n h, pour n entier naturel non nul.
5. En déduire que, pour 0 < |λ| < 1 la solution de l'équation f − λKf = g obtenue sous la forme : f = g + ∑_(n ≥ 1)λ^n K^n g s'écrit f = g + A_1 φ_1 + A_2 φ_2, où A_1 et A_2 sont sommes de séries géométriques.
6. Préciser f si g est orthogonal à la fois à φ_1 et à φ_2.
7. Application : on choisit Δ = [ − π, π], k(x, t) = (sin(x + t))/π, g(x) = sin2x;
7.1. Vérifier que k satisfait aux hypothèses de la question 1 de la partie IV.
7.2. Vérifier que g satisfait aux hypothèses de la question 6 de la partie IV.
7.3. Résoudre alors les équations : f − 1/2Kf = g et f − Kf = g.

Fin de l'énoncé

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