Endomorphisme d'échange des coefficients d'un polynôme, polynômes réciproques et loi de coïncidence
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L'épreuve de mathématiques TSI du CCINP 2025 (4 heures) comporte un problème en trois parties et un exercice indépendants. Le problème étudie un endomorphisme s qui inverse l'ordre des coefficients d'un polynôme, cherche les racines de ses vecteurs propres, puis modélise par une variable aléatoire le nombre de coïncidences entre un polynôme et son image par s, avec un volet de simulation informatique. L'exercice porte sur une équation différentielle de type Bessel dont on étudie les solutions développables en série entière sous forme d'intégrales à paramètre.
1Problème, partie I : étude d'une application linéaire (Q1 à Q4)Propriétés élémentaires de l'endomorphisme s qui inverse les coefficients d'un polynôme, étude d'un cas particulier n=1 puis diagonalisation dans le cas général.
2Problème, partie II : recherche des racines d'un vecteur propre de s (Q5 à Q6)Étude des polynômes réciproques invariants par s et recherche de leurs racines par une méthode de réduction de degré à l'aide d'une suite de polynômes auxiliaires.
3Problème, partie III : étude d'une variable aléatoire (Q7 à Q9)Formalisation de l'échange aléatoire des coefficients d'un polynôme et étude de la loi du nombre de coïncidences, d'abord par simulation informatique puis de manière théorique.
4Exercice : équation différentielle de Bessel (Q10 à Q17)Recherche d'une solution développable en série entière d'une équation différentielle, expression sous forme d'intégrales à paramètre et étude du comportement asymptotique de la solution et de sa dérivée.
Difficulté moyenne. Le jury indique que le sujet est équilibré et sans réelle difficulté technique, permettant à un candidat maîtrisant son cours de bien s'en sortir, tout en offrant des questions plus exigeantes pour les candidats les plus aguerris.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Application linéaire mal comprise dès la première question · Équation du second degré mal résolue · Lois de probabilité fantaisistes
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Le sujet a permis de balayer un large spectre du programme des deux années de TSI : algèbre linéaire, réduction, équations différentielles, séries entières, intégrales et probabilités. Le jury regrette que trop de candidats trébuchent dès la première question sans comprendre le comportement de l'application s, et note un manque global de rigueur dans la vérification des hypothèses des théorèmes.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Application linéaire mal comprise dès la première questionQ1
Trop de candidats ne comprennent pas l'énoncé malgré l'exemple donné, certains allant jusqu'à affirmer que l'exemple comportait une erreur.
« Trop de candidats ne comprennent pas l'énoncé malgré l'exemple donné »
2
Équation du second degré mal résolueQ5
Trop peu de candidats savent résoudre correctement l'équation du second degré pourtant élémentaire, avec de nombreuses erreurs de calcul et des lacunes dans la gestion des cas.
« on constate trop d'erreurs de calcul et de profondes lacunes dans la gestion des différents cas »
3
Lois de probabilité fantaisistesQ9
Les lois proposées sont souvent non justifiées, certains candidats invoquant la loi de Poisson ou la loi normale alors que le support est manifestement fini.
« Certains vont même jusqu'à invoquer la loi de Poisson (alors qu'il est manifeste que le support est fini), voire la loi normale ! »
4
Convergence de l'intégrale mal justifiéeQ11
La justification de la convergence est souvent fausse et mal rédigée ; certains évoquent le critère de Riemann sans transformation du dénominateur et ne voient pas que l'intégrale est généralisée en 1.
« Certains évoquent le " critère de Riemann " (ou pire " Reiman ", " Rayman "), généralement sans transformation du dénominateur »
5
Formule de Taylor-Young utilisée hors contexteQ14
Certains candidats pensent s'en sortir par des références approximatives à la formule de Taylor-Young, qui est une formule locale et donc inadaptée au contexte de cette question.
« qui est une formule locale, et donc inadaptée au contexte »
6
Calcul de G(0) raté à un niveau terminaleQ15
Le calcul de G(0) est très souvent abordé, mais les correcteurs sont très surpris par le nombre de réponses fausses à une question de niveau terminale.
« les correcteurs ont été très surpris par le nombre de réponses fausses à une question de niveau terminale »
Ce qui a été bien réussi
La première sous-question de la Q5 est, dans l'ensemble, réussie.
Les sous-questions a) et b) de la Q6 sont en général correctement traitées.
L'écriture des huit éléments attendus à la Q7 est souvent correcte.
Le changement de variable de la Q12 est souvent correctement trouvé.
Conseils du jury
Consacrer quelques minutes à lire l'ensemble du sujet, y compris les exemples, avant de commencer la rédaction.
Toujours vérifier les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, notamment pour le théorème spectral et le changement de variable.
Justifier précisément les lois de probabilité invoquées plutôt que d'avancer des réponses non démontrées.
Recourir systématiquement à un brouillon pour limiter les ratures dans la copie finale.
Définir précisément les variables utilisées et expliciter les quantificateurs dans les raisonnements par récurrence.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet se compose d'un problème et d'un exercice tous deux indépendants.
Le problème est constitué de trois parties indépendantes.
Si besoin, le candidat pourra admettre le résultat d'une question et l'utiliser dans les questions suivantes.
PROBLÈME
Dans ce problème, n désigne un entier naturel non nul et E = ℝ_(2n)[X] désigne le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2n.
Si a_0, a_1, …, a_(2n) sont 2n + 1 réels et Q est le polynôme défini par : Q = ∑_(k = 0)^(2n)a_k X^k, on définit le polynôme s(Q) par : s(Q) = ∑_(k = 0)^(2n)a_(2n − k)X^k.
Autrement dit, s(Q) est le polynôme obtenu à partir de Q en "inversant l'ordre des coefficients ". Par exemple, si n est égal à 2 et si Q = 7X^3 + 2X^2 + 1, on obtient s(Q) = X^4 + 2X^2 + 7X.
Partie I - Étude d'une application linéaire
Q1. Calculer s(1), s(X^n) et s(X^(2n)).
Q2. Montrer que l'application s : Q ↦ s(Q) est un endomorphisme de E.
Q3. Diagonalisation dans le cas où n = 1.
a) Vérifier que M = (0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0) est la matrice de l'endomorphisme s dans la base canonique ( 1, X, X^2 ) de ℝ_2[X] et justifier, sans calcul, que M est diagonalisable.
b) Montrer que -1 et 1 sont les seules valeurs propres de la matrice M et, pour chacune d'entre elles, donner une base du sous-espace propre associé.
c) Déterminer alors une base de E formée de vecteurs propres de s. Préciser la matrice de s dans cette base.
Q4. Étude du cas général.
On ne suppose plus que n est égal à 1 . On définit la famille ( A_0, …, A_(2n) ) de polynômes de E par :
A_k = {X^(2n − k) + X^k, si 0 ⩽ k ⩽ n − 1; X^n, si k = n; X^k − X^(2n − k), si n + 1 ⩽ k ⩽ 2n
a) Justifier que s est une symétrie. Que peut-on en déduire pour le spectre de s ?
b) Vérifier que ( A_0, …, A_(2n) ) est une famille de vecteurs propres de s.
c) Montrer que la famille ( A_0, …, A_(2n) ) est libre dans E.
d) En déduire que l'endomorphisme s est diagonalisable et préciser la dimension de chacun de ses sous-espaces propres.
Partie II - Recherche des racines d'un vecteur propre de s
Q5. Préliminaires.
On définit la suite (R_k)_(k ∈ ℕ^∗) de polynômes par : R_1 = X, R_2 = X^2 − 2 et, pour tout entier k supérieur ou égal à 2 :
R_(k + 1) = XR_k − R_(k − 1)
a) Déterminer les polynômes R_3 et R_4.
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier k strictement positif, R_k est un polynôme de degré k vérifiant, pour tout nombre complexe x non nul, l'égalité :
R_k(x + 1/x) = x^k + 1/(x^k)
c) Pour tout réel a, déterminer, s'ils existent, les complexes x non nuls qui vérifient la relation suivante : x + 1/x = a. On distinguera trois cas.
Q6. Étude des racines d'un vecteur propre de s.
Dans cette question, Q désigne un polynôme de degré 2n défini par : Q = ∑_(k = 0)^(2n)a_k X^k, tel que a_(2n) soit non nul et tel que, pour tout entier k de l'intervalle [ [0; n] ], l'on ait : a_k = a_(2n − k).
a) Vérifier que Q est vecteur propre de s et préciser la valeur propre associée.
b) Justifier que 0 n'est pas racine de Q.
c) On définit le polynôme Q˜ par : Q˜ = a_n + ∑_(k = 1)^n a_(n − k)R_k.
Soit x un complexe non nul, on pose : y = x + 1/x.
Exprimer x^n Q˜(y) en fonction de Q(x).
En déduire que Q(x) est nul si et seulement si Q˜(y) est nul.
Quel est l'intérêt de ce résultat dans la recherche des racines de Q ?
d) On suppose dans cette question que n est égal à 3 et que Q est défini par : Q = X^6 + X^5 − 9X^4 + 2X^3 − 9X^2 + X + 1.
i. Vérifier que Q˜ = X^3 + X^2 − 12X.
ii. En déduire les racines de Q˜ puis celles de Q.
Partie III - Étude d'une variable aléatoire
Dans cette partie, p désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On désigne par Ω l'ensemble des éléments de E dont les coefficients sont des entiers de l'intervalle [ [1; p] ] et par 𝒫(Ω) l'ensemble des parties de Ω.
On munit (Ω, 𝒫(Ω)) de la probabilité uniforme; autrement dit, pour tout polynôme Q de Ω :
ℙ({Q}) = 1/(Card(Ω))
On admet que cela revient à choisir de manière équiprobable et indépendante chacun des 2n + 1 coefficients du polynôme Q dans [ [1; p] ].
On rappelle que, si a_0, a_1, …, a_(2n) sont 2n + 1 réels et Q est le polynôme défini par :
Q = ∑_(k = 0)^(2n)a_k X^k
on définit le polynôme s(Q) par :
s(Q) = ∑_(k = 0)^(2n)a_(2n − k)X^k
Si Q est un élément de Ω et i un entier naturel non nul, on dit que Q et s(Q) présentent i coïncidences lorsqu'il existe exactement i entiers k dans [ [0; 2n] ] vérifiant a_k = a_(2n − k).
Par exemple, pour n = 2 et Q = X^4 + 7X^3 + 2X^2 + 5X + 1, on a:
− a_0 = a_(2 × 2 − 0) = 1; − a_1 = 5 ≠ a_(2 × 2 − 1) = 7; − a_2 = a_2 = 2; − a_3 = 7 ≠ a_1 = 5; − a_4 = a_(2 × 2 − 4) = 1.
Il y a donc exactement trois indices k(0, 2 et 4) pour lesquels a_k = a_(2n − k).
On définit alors l'application Z qui à tout polynôme Q de Ω associe le nombre de coïncidences entre Q et s(Q), et on admet que Z est bien une variable aléatoire sur ( Ω, 𝒫(Ω) ). Dans l'exemple précédent, on a Z(Q) = 3.
Q7. Description d'un cas simple.
Dans cette question seulement, on suppose que n est égal à 1 et que p est égal à 2 .
a) Justifier que Ω est de cardinal 8. Écrire les huit éléments de Ω, puis déterminer la loi de Z.
b) Calculer l'espérance de Z et montrer que sa variance est égale à 1 .
Q8. Simulation informatique.
On rappelle que la commande np. arange (1, n + 1) du module numpy renvoie un vecteur contenant les entiers de 1 à n et que la commande plt.bar(X,Y) suivie de plt.show() affiche un diagramme en bâtons dont les barres sont situées aux abscisses listées dans le vecteur X et dont les hauteurs sont données par le vecteur Y.
On dispose par ailleurs :
d'une fonction aleaQ qui renvoie un polynôme choisi au hasard et de manière équiprobable dans Ω et dont les différents appels sont indépendants entre eux;
d'une fonction Z qui prend en argument un polynôme Q et qui renvoie Z(Q).
On considère le programme suivant :
n, p = 2, 3
Support = np.arange(1, 2*n+2)
N = 10000
Obs = np.array([Z(aleaQ()) for _ in range(N)])
def tabeff(Obs):
eff = np.zeros(len(Support))
for i in Support:
eff[i-1] = sum(Obs == i)
return eff
plt.bar(Support, tabeff(Obs)/len(Obs))
plt.show()
a) Que fait la partie du programme située à la ligne 5 ?
b) Que fait la fonction tabeff ? On justifiera précisément et on commentera en particulier la ligne 10.
c) Le programme affiche le diagramme suivant :
Que représente-t-il?
On justifiera précisément en s'appuyant notamment sur la ligne 13.
Q9. Étude générale de la variable aléatoire Z.
On revient au cas général : n est strictement positif et p est supérieur ou égal à 2 .
Pour tout entier k dans [ [0; 2n] ], on définit les variables aléatoires N_k et Z_k de la manière suivante : pour tout polynôme Q de Ω,
N_k(Q) est le coefficient d'indice k du polynôme Q (noté a_k précédemment);
Z_k vaut 1 si le polynôme présente une coïncidence à l'indice k et vaut zéro sinon, autrement dit : Z_k(Q) = {1, si N_k(Q) = N_(2n − k)(Q); 0, sinon.
a) Quelle est la loi de Z_n ?
b) Soit k ∈ [ [0; 2n] ]. Justifier que N_k suit la loi uniforme sur [ [1; p] ].
Donner son espérance et sa variance.
c) Soit k ∈ [ [0; n − 1] ]. Montrer que ℙ(N_k = N_(2n − k)) = 1/p.
Indication : on pourra utiliser la formule des probabilités totales.
d) En déduire, pour tout k ∈ [ [0; n − 1] ], la loi de Z_k, puis reconnaître, en justifiant, celle de Y = ∑_(k = 0)^(n − 1)Z_k.
e) Écrire Z en fonction de Y et de Z_n. En déduire l'espérance et la variance de Z.
EXERCICE
Dans tout l'exercice, on désigne par :
x une variable réelle;
y une fonction de la variable x définie sur une partie de ℝ, y^′ et y^(′′), si elles existent, les dérivées première et seconde de y.
Le but de cet exercice est d'étudier différentes propriétés d'une solution sur ℝ de l'équation différentielle:
(E) xy^(′′) + y^′ + xy = 0
Plus précisément, on s'intéresse à la recherche d'une solution de ( E ) développable en série entière et on exprime, de deux façons différentes, cette solution sous la forme de l'intégrale d'une fonction dépendant d'un paramètre.
Q10. Dans cette question, on étudie l'existence d'une solution F : x ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n de ( E ) développable en série entière et on note R son rayon de convergence.
a) On suppose tout d'abord qu'une telle solution existe.
i. Montrer que pour tout entier naturel n ⩾ 2, a_n = − 1/(n^2)a_(n − 2).
ii. Justifier que pour tout entier naturel p, a_(2p + 1) = 0.
iii. Déterminer, pour tout entier naturel p, l'expression de a_(2p) en fonction de p et de a_0.
b) Conclure quant à l'existence d'une solution de ( E ) développable en série entière et préciser son rayon de convergence.
Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de ( E ) qui sont développables en série entière?
Soient g la fonction des deux variables x et θ définie sur ℝ × [0, π/2] par :
(x, θ) ↦ g(x, θ) = cos(xsinθ)
et h la fonction des deux variables x et t définie sur ℝ × [0; 1[ par :
(x, t) ↦ h(x, t) = (cos(xt))/(√(1 − t^2))
Q11. Montrer que l'intégrale ∫_0^1(cos(xt))/(√(1 − t^2)) dt est convergente quel que soit x dans ℝ.
On pose pour x réel :
G(x) = ∫_0^(π/2)g(x, θ)dθ et H(x) = ∫_0^1 h(x, t)dt
De plus, F désigne désormais l'unique solution de ( E ) développable en série entière et vérifiant F(0) = 1.
Q12. À l'aide d'un changement de variable, montrer que G(x) = H(x) pour tout réel x.
Q13. Dérivées successives de G.
a) Soient ω un réel et φ : x ↦ cos(ωx). Montrer que pour tout entier naturel n et pour tout réel x, φ^((n))(x) = ω^n cos(ωx + nπ/2).
b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, la fonction (x, θ) ↦ (∂^n g)/(∂x^n)(x, θ) existe et est continue sur ℝ × [0; π/2], et donner son expression en fonction de x, θ et de n.
c) Soit n ∈ ℕ. Montrer l'existence d'une fonction M : [0; π/2] → ℝ_+continue et d'intégrale convergente sur [0; π/2] telle que, pour tout x ∈ ℝ et tout θ ∈ [0; π/2], |(∂^n g)/(∂x^n)(x, θ)| ⩽ M(θ).
On admet dès lors que la fonction G est indéfiniment dérivable sur ℝ et que pour tout entier naturel n et pour tout réel x :
G^((n))(x) = ∫_0^(π/2)(∂^n g)/(∂x^n)(x, θ)dθ
Q14. Montrer que G est développable en série entière sur ℝ.
Indication : on pourra utiliser une formule de Taylor.
Q15. On note respectivement G^′ et G^(′′) les dérivées première et seconde de G.
a) Calculer G(0).
b) En utilisant l'expression de G^((n)) fournie dans la question Q13, montrer que :
∀x ∈ ℝ, G^′(x) = − x(G^(′′)(x) + G(x))
Indication : on pourra utiliser une intégration par parties.
c) Pour tout réel x, exprimer F(x) en fonction de G(x), respectivement de H(x).
Q16. Étude de F en + ∞.
On fixe un réel ε > 0.
a) Montrer qu'il existe α ∈ ]0; 1[ tel que, quel que soit le réel x :
|∫_α^1 h(x, t)dt| < ε/2
b) α étant ainsi choisi, montrer à l'aide d'une intégration par parties que :
lim_(x → + ∞)∫_0^α h(x, t)dt = 0
c) En déduire : lim_(x → + ∞)F(x).
On admet que pour tout réel x :
H^′(x) = ∫_0^1(− tsin(xt))/(√(1 − t^2)) dt
Q17. Déterminer lim_(x → + ∞)F^′(x).
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths TSI CCINP 2025 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths TSI CCINP 2025 ?
+
Sur un endomorphisme qui inverse les coefficients d'un polynôme, les polynômes réciproques, une variable aléatoire de coïncidences, et une équation différentielle de type Bessel étudiée par séries entières.
Le sujet de maths TSI CCINP 2025 est-il difficile ?
+
Le jury le qualifie de sujet équilibré, sans réelle difficulté technique pour un candidat maîtrisant son cours, avec des questions plus exigeantes pour se démarquer.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths TSI CCINP 2025 ?
+
Une mauvaise compréhension de l'application s dès la première question, des erreurs de calcul sur une équation du second degré, des lois de probabilité fantaisistes, et une justification erronée de la convergence d'une intégrale.
Le sujet de maths TSI CCINP 2025 comporte-t-il de l'informatique ?
+
Oui, la partie III comporte une question de simulation en Python avec numpy et matplotlib, mais le jury note que ces questions ont rarement été traitées avec succès.
Pas de description pour le moment
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