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Isométries et matrices symétriques, étude asymptotique d'une intégrale de Wallis, optimisation d'une stratégie de stationnementAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
Isométries et matrices symétriques, étude asymptotique d'une intégrale de Wallis, optimisation d'une stratégie de stationnement
Trois problèmes indépendants : le premier étudie une isométrie de l'espace et un endomorphisme sur les matrices symétriques de taille 2, le deuxième établit un équivalent de la suite des intégrales de Wallis puis développe la fonction génératrice associée en série entière, le troisième modélise par les probabilités la recherche d'une place de stationnement et optimise la distance moyenne à l'arrivée.
- 1Problème 1, partie I : isométrie de R^3Étudier une matrice orthogonale, déterminer son noyau associé et caractériser l'isométrie qu'elle représente.
- 2Problème 1, partie II : espace vectoriel des matrices symétriques de taille 2Munir l'espace des matrices symétriques 2x2 d'un produit scalaire et en exhiber une base orthonormée.
- 3Problème 1, partie III : application linéaire sur EÉtudier un endomorphisme de cet espace, sa matrice dans deux bases et la conservation de la trace et du déterminant.
- 4Problème 2, partie I : étude de la suite des intégrales de WallisÉtablir une relation de récurrence et un équivalent de la suite (u_n).
- 5Problème 2, partie II : série entière associéeDéterminer le rayon de convergence de la série entière de terme u_n et calculer sa somme.
- 6Problème 3, partie I : loi de la variable aléatoire XDéterminer la loi du numéro de la première place libre trouvée à partir d'un rang donné.
- 7Problème 3, partie II : calcul de la distance moyenne à l'arrivéeExprimer la distance moyenne à l'objectif en fonction du rang de départ de la recherche.
- 8Problème 3, partie III : optimisationDéterminer le rang optimal à partir duquel commencer à chercher une place et illustrer le résultat par un programme Python.
L'épreuve en chiffres
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Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 29 avril 2019. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE TSI
MATHÉMATIQUES
Lundi 29 avril :
14h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est composé de
3 problèmes, tous indépendants.
PROBLÈME 1
Partie I - Isométrie de
ℝ^3
Soit
A la matrice définie par :
Q1. Montrer que
A ∈ O_3(ℝ) .
Q2. L'isométrie associée à la matriceA est-elle directe ou indirecte?
Q3. Démontrer queker(A − I_3) = Vect(u⃗) , où
u⃗ est un vecteur non nul de
ℝ^3 .
Q4. Soitj⃗ = (0; 1; 0) , calculer
det(j⃗, Aj⃗, u⃗) .
Q5. Déterminer les caractéristiques de l'isométrie associée àA dans
ℝ^3 .
Q2. L'isométrie associée à la matrice
Q3. Démontrer que
Q4. Soit
Q5. Déterminer les caractéristiques de l'isométrie associée à
Partie II - Espace vectoriel des matrices symétriques de taille 2
On note
M_2(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille 2 et
E l'ensemble des matrices de taille 2 , réelles et symétriques.
PourM = (a, b; b, c) et
M^′ = (a^′, b^′; b^′, c^′) , on pose
φ(M, M^′) = aa^′ + 2bb^′ + cc^′ .
Q6. Montrer queE est un sous-espace vectoriel de
M_2(ℝ) et que
dim(E) = 3 .
Q7. Montrer queφ est un produit scalaire sur
E .
Q8. SoitB la famille définie par :
Pour
Q6. Montrer que
Q7. Montrer que
Q8. Soit
Montrer que
B est une base orthonormée de
E pour ce produit scalaire.
Partie III - Application linéaire sur
E
On considère
E muni du produit scalaire
φ défini dans la partie II.
On définit l'applicationf sur
E par :
∀M ∈ E avec
M = (a, b; b, c) ,
On définit l'application
Q9. Montrer que
f est un endomorphisme de
E .
Q10. Déterminer la matrice def dans la base
B .
Q11. À l'aide de la partieI , déterminer une base
B^′ de
E telle que la matrice
B de
f dans cette base soit :
Q10. Déterminer la matrice de
Q11. À l'aide de la partie
Q12. Montrer que
f conserve la trace et le déterminant.
PROBLÈME 2
Dans ce problème, on étudie l'intégrale
u_n = ∫_(− π/2)^(π/2)cos^n(t)dt où
n ∈ ℕ .
Partie I - Étude de la suite
(u_n)_(n ∈ ℕ)
Q13. Calculer
u_0, u_1, u_2 .
Q14. Montrer que pour toutn ∈ ℕ, u_n ≥ 0 et étudier la monotonie de la suite
(u_n)_(n ∈ ℕ) .
Q15. Établir que(n + 1)u_(n + 1) = nu_(n − 1) , pour
n ⩾ 1 .
Q16. Soit(v_n)_(n ∈ ℕ) définie par
v_n = (n + 1)u_(n + 1)u_n , pour
n ∈ ℕ .
Vérifier que(v_n)_(n ∈ ℕ) est constante et donner sa valeur.
Q17. En déduire que(n + 1)u_(n + 1)^2 ⩽ 2π ⩽ (n + 1)u_n^2 pour tout
n ∈ ℕ .
Q18. Donner, à partir de la question précédente, un encadrement deu_n en fonction de
n pour
n ⩾ 1 .
Q19. En déduire queu_n ∼ _∞√((2π)/n) .
Q14. Montrer que pour tout
Q15. Établir que
Q16. Soit
Vérifier que
Q17. En déduire que
Q18. Donner, à partir de la question précédente, un encadrement de
Q19. En déduire que
Partie II - Série entière
Dans cette partie, on étudie la série entière de rayon de convergence
R définie par :
Q20. La série
∑_(n ≥ 1)u_n converge-t-elle ?
Q21. Déterminer le rayon de convergenceR de cette série entière.
Q22. Établir la formule suivante pour tout nombre entier natureln et tout nombre réel
x ∈ ] − 1; 1[ :
Q21. Déterminer le rayon de convergence
Q22. Établir la formule suivante pour tout nombre entier naturel
Q23. En déduire l'égalité
∑_(k = 0)^(+ ∞)u_k x^k = ∫_(− π/2)^(π/2)(dt)/(1 − xcos(t)) pour tout
|x| < 1 .
Q24. Montrer queS(x) = ∫_(− 1)^1 2/((1 − x) + (1 + x)u^2) du pour
|x| < 1 à l'aide du changement de variable
u = tan(t/2) .
Q25. En déduire l'expression deS(x) pour
|x| < 1 .
Q24. Montrer que
Q25. En déduire l'expression de
PROBLÈME 3
Optimisation du choix d'une place de parking
Présentation générale
On considère une rue infiniment longue et rectiligne. On souhaite aller à un numéro précis de cette rue.
Devant chaque numéro se trouve une place de parking. On cherche à savoir à partir de quel moment on doit commencer à s'intéresser aux places disponibles pour pouvoir se garer au plus près de l'arrivée.
Au départ, nous sommes au début de la rue. Par convention, nous poserons que le début de la rue a pour numéro 0 . Devant chaque numéro
n , il y a une place de parking qui peut être libre avec une probabilité
p ∈ ]0; 1[ . On suppose que
p ne dépend pas de
n et que les occupations des places sont indépendantes les unes par rapport aux autres.
Notre stratégie est la suivante : on se donne
s un entier naturel. On roule sans interruption jusqu'au numéro
s de la rue et on choisit la première place disponible à partir du numéro
s (inclus).
On note
X le numéro de la place libre trouvée par cette méthode.
Partie I - Loi de
X
Q26. Donner l'univers-image de
X(Ω) .
Q27. Déterminer la loi deX .
Q28. SoitY = X − s + 1 .
Montrer queY est une loi géométrique de paramètre
p dont on donnera l'espérance et la variance.
Q29. En déduire l'espérance et la variance deX .
Q27. Déterminer la loi de
Q28. Soit
Montrer que
Q29. En déduire l'espérance et la variance de
Partie II - Calcul de la distance moyenne à l'arrivée
On souhaite aller au numéro
d de cette rue avec
d ∈ ℕ^∗ . Notre stratégie reviendra à choisir un numéro
s compris entre 0 et
d . Pour rappel,
s = 0 correspond à chercher une place dès le début de la rue.
La distance à l'objectif est
|X − d| et l'espérance
D_s = E(|X − d|) est la distance moyenne à l'arrivée (on admet que
D_s existe).
Pour simplifier, on prendp = 1/(10) dans cette partie.
Q30. Établir queD_s = S_1 + S_2 avec
S_1 = ∑_(n = s)^d(d − n)P(X = n) et
S_2 = ∑_(n = d + 1)^∞(n − d)P(X = n) .
Pour simplifier, on prend
Q30. Établir que
Q31. Soit la suite
(u_k)_(k ∈ ℕ) définie par
∀k ≥ 0, u_k = ∑_(i = 0)^k(k − i)(9/(10))^i .
Montrer que∀k ≥ 0, u_(k + 1) = 9/(10)u_k + k + 1 .
On pourra effectuer un changement d'indicej = i − 1 .
Q32. Montrer, par récurrence, que pour toutk ≥ 0, u_k = 10k − 90 + 90(9/(10))^k .
Q33. ExprimerS_1 à l'aide de
u_(d − s) puis donner l'expression de
S_1 en fonction de
d et
s .
Q34. Justifier queS_2 − S_1 = E(X − d) .
En déduire la valeur deS_2 puis
D_s .
Montrer que
On pourra effectuer un changement d'indice
Q32. Montrer, par récurrence, que pour tout
Q33. Exprimer
Q34. Justifier que
En déduire la valeur de
Partie III - Optimisation
On admet que, pour tout
p ∈ ]0; 1[, D_s = d − s + 1 − 1/p + 2/p(1 − p)^(d − s + 1) .
Q35. SimplifierD_(s + 1) − D_s .
Q36. Étudier le signe deD_(s + 1) − D_s .
En déduire queD_s est minimale pour
s le plus petit entier strictement supérieur à
α , avec
α = d + (ln2)/(ln(1 − p)) .
Q37. Dans cette question, on s'intéresse à l'exemple pour lequelp = 1/(10) . En utilisant l'encadrement
2^(− 1/6) < 0, 9 < 2^(− 1/7) , à quelle distance de l'arrivée doit-on commencer à chercher une place?
Q38. Simulation : recopier et compléter le programme en Python suivant pour simuler notre stratégie.
Q35. Simplifier
Q36. Étudier le signe de
En déduire que
Q37. Dans cette question, on s'intéresse à l'exemple pour lequel
Q38. Simulation : recopier et compléter le programme en Python suivant pour simuler notre stratégie.
def Bernoulli(q):
return (random()<q)
def distance(s,d,p):
X =
while (...................):
X =
return (abs(X-d))
La fonction Bernouilli simule une variable de Bernouilli
X . Elle prend comme paramètre un nombre à virgule flottante q . La variable q correspond au paramètre de la variable de Bernouilli
X . Elle renvoie un booléen qui vaut True si
X = 1 et False si
X = 0 .
La fonction distance simule notre stratégie. Elle prend comme paramètres des entiers s et d et un nombre à virgule flottante p. Ces variables correspondent aux valeurs introduites dans les sections précédentes. Elle renvoie un entier représentant la distance à parcourir en sortant de la voiture.
La fonction distance simule notre stratégie. Elle prend comme paramètres des entiers s et d et un nombre à virgule flottante p. Ces variables correspondent aux valeurs introduites dans les sections précédentes. Elle renvoie un entier représentant la distance à parcourir en sortant de la voiture.
FIN
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet de maths TSI CCINP 2019 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte le sujet de maths TSI CCINP 2019 ?
Sur quels chapitres porte le sujet de maths TSI CCINP 2019 ?
Il couvre l'algèbre bilinéaire et les isométries, les intégrales de Wallis et les séries entières, ainsi que les probabilités discrètes avec une question d'optimisation.
Les trois problèmes sont-ils liés entre eux ?
Non, l'énoncé précise que les trois problèmes sont indépendants et peuvent être traités dans n'importe quel ordre.
Le sujet demande-t-il de programmer en Python ?
Oui, la dernière question du problème 3 demande de compléter un programme Python simulant la stratégie de recherche de place.
Quelles notions de probabilités sont mobilisées dans le problème 3 ?
La loi géométrique, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire discrète sont utilisées pour modéliser la recherche d'une place de stationnement.
Pas de description pour le moment