Centrale Mathématiques 2 TSI 2019Sujet et corrigé

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Présentation du sujet

Matrices compagnons, matrices symétriques positives et produits de Kronecker

Le sujet étudie d'abord les matrices compagnons associées à un polynôme, puis caractérise les matrices symétriques positives par le signe de leurs valeurs propres. Il introduit ensuite le produit de Kronecker de deux matrices et l'applique à la stabilité des entiers algébriques par produit, avant de conclure sur les états quantiques de Werner, illustration physique des matrices symétriques positives de trace 1.

1I. Matrices compagnonsÉtudie la diagonalisabilité des matrices compagnons à partir d'exemples puis dans le cas général.
2II. Matrices symétriques positivesCaractérise les matrices symétriques positives par le signe de leurs valeurs propres et par une écriture sous la forme B transposée B.
3III. Produits de KroneckerDéfinit le produit de Kronecker de deux matrices, en établit les propriétés algébriques, et l'applique à la stabilité des entiers algébriques par produit.
4IV. États quantiques de WernerApplique les résultats des parties II et III à l'étude d'états quantiques modélisés par des matrices symétriques positives de trace 1.

L'épreuve en chiffres

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Moyenne: 8,79/ 20
Écart-type: 3,58
Présents: 892
Durée: 4 h
1er quartile: 6,1
Médiane: 8,3
3e quartile: 11

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

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Notations

Pour

n, p \in ℕ^*

, on note:

$M_(n, p)(ℝ)$ l'espace vectoriel réel des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels;
$M_n(ℝ)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels ;
$I_n$ la matrice identité de $M_n(ℝ)$ ;
$O_n(ℝ)$ le sous-ensemble de $M_n(ℝ)$ constitué des matrices orthogonales ;
$S_n(ℝ)$ le sous-espace vectoriel de $M_n(ℝ)$ constitué des matrices symétriques ;
$A^⊤$ la transposée de $A \in M_n(ℝ)$ ;
$tr(A)$ la trace de $A \in M_n(ℝ)$ ;
$- diag(λ_1, \dots, λ_n)$ la matrice diagonale $(λ_1, 0, \dots, 0; 0, λ_2, ⋮; ⋮, ⋱, 0; 0, \dots, 0, λ_n)$ de $M_n(ℝ);$
$ℝ[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels;
$χ_A$ le polynôme caractéristique de la matrice $A \in M_n(ℝ)$ ;
$E_(i, j)^((n, p))$ la matrice de $M_(n, p)(ℝ)$ qui a tous ses coefficients nuls sauf le coefficient situé sur la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne qui vaut 1 . Lorsque $n = p$ , on simplifie l'écriture en notant $E_(i, j)^((n))$ la matrice $E_(i, j)^((n, n))$ .
On identifie $ℝ^n$ et $M_(n, 1)(ℝ)$ , ensemble des matrices à $n$ lignes et 1 colonne.
On admet que $(E_(i, j)^((n, p)))_(1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ p)$ est une base de $M_(n, p)(ℝ)$ .
Mis à part les questions 31 et 38, les parties I, II et III sont indépendantes. Dans la partie III, les questions 34, 35, 36 et 37 sont indépendantes de ce qui précède. La partie IV dépend fortement des parties II et III.

I Matrices compagnons

(a_1, \dots, a_p)

est un

p

-uplet de nombres réels, on note

C(a_1, \dots, a_p)

la matrice de

M_p(ℝ)

égale à

(0, 0, \dots, 0, a_1; 1, 0, ⋱, ⋮, a_2; 0, ⋱, ⋱, 0, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, ⋮; 0, \dots, 0, 1, a_p)

I.A - Étude d'un premier exemple

Dans cette question on suppose

p = 3

A = C(- 2, 1, 2) = (0, 0, - 2; 1, 0, 1; 0, 1, 2)

.
Q 1. Calculer le polynôme caractéristique de

A

.
Q 2. Montrer que

A

est diagonalisable dans

M_3(ℝ)

et déterminer une matrice diagonale

D = diag(λ_1, λ_2, λ_3)

avec

λ_1 ⩽ λ_2 ⩽ λ_3

M_3(ℝ)

et une matrice inversible

P

M_3(ℝ)

telles que

A = PDP^(- 1)

I.B - Étude d'un second exemple

Dans cette question on suppose

p = 3, B = C(1, - 3, 3) = (0, 0, 1; 1, 0, - 3; 0, 1, 3)

.
Q 3. Déterminer le polynôme caractéristique de

B

et une base de chacun des sous-espaces propres de

B

.
Q 4. Montrer que

B

n'est pas diagonalisable dans

M_3(ℝ)

mais qu'elle est trigonalisable dans

M_3(ℝ)

.
On considère le vecteur colonne

v_1 = (1; - 2; 1)

M_(3, 1)(ℝ)

Q 5. Déterminer un vecteur colonne

v_2 = (x; y; 0)

M_(3, 1)(ℝ)

tel que

Bv_2 = v_1 + v_2

.
Q 6. Déterminer un vecteur colonne

v_3 = (z; t; 0)

M_(3, 1)(ℝ)

tel que

Bv_3 = v_2 + v_3

.
Q 7. En déduire une matrice

R

inversible de

M_3(ℝ)

telle que

B = RTR^(- 1)

où

T = (1, 1, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1)

I.C

- On revient au cas général, où

p \in ℕ^*

. On pose

C = C(a_1, \dots, a_p)

.
Q 8. Montrer par récurrence sur

p

que le polynôme caractéristique de

C

est

χ_C(X) = X^p - a_p X^(p - 1) - \dots - a_2 X - a_1

Q 9. Montrer que si

λ \in ℝ

alors le rang de

C - λI_p

est supérieur ou égal à

p - 1

; en déduire que les sous-espaces propres de

C

sont de dimension 1 .
Q 10. Montrer que

C

est diagonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique de

C

est scindé à racines simples.

I.D -

Q 11. On considère un polynôme unitaire

P

ℝ[X]

de degré

p

. Montrer qu'il existe un unique

(a_1, \dots, a_p) \in ℝ^p

tel que

P = χ_C

où

C = C(a_1, \dots, a_p)

.
Q 12. Étant donné un polynôme

Q

ℝ[X]

, donner une condition nécessaire et suffisante portant sur

Q

pour que ce polynôme soit le polynôme caractéristique d'une matrice.

II Matrices symétriques positives

Dans cette partie, on considère un entier naturel

n

non nul. On rappelle que la norme euclidienne de

M_(n, 1)(ℝ)

est définie par

‖X‖ = \sqrt(X^⊤X)

où

X \in M_(n, 1)(ℝ)

, en particulier

\forallX \in M_(n, 1)(ℝ), X^⊤X ⩾ 0

.
Soit

A \in S_n(ℝ)

, une matrice réelle symétrique. On dit que

A

est positive si pour tout

X \in M_(n, 1)(ℝ), X^⊤AX ⩾ 0

II.A -

Q 13. Montrer que si

(λ, μ) \in ℝ^(+ 2)

et si

A

B

sont des matrices symétriques positives de

M_n(ℝ)

alors

λA + μB

est une matrice symétrique positive.
Q 14. Montrer que si

A

est une matrice symétrique positive, alors

A^⊤

l'est aussi.
II.B - On considère une matrice symétrique positive

A

M_n(ℝ)

Q 15. Justifier qu'il existe une matrice

P \in O_n(ℝ)

et des réels

λ_1, \dots, λ_n

tels que

A = Pdiag(λ_1, \dots, λ_n)P^⊤

Q 16. On considère

i \in {1, \dots, n}

et un vecteur propre

X_i \in M_(n, 1)(ℝ)

A

associé à

λ_i

. Montrer que

λ_i‖X_i‖^2 = X_i^⊤AX_i

Q 17. En déduire que les valeurs propres

λ_1, \dots, λ_n

A

sont toutes positives.
Q 18. Soit

A = (a, b; b, c)

une matrice symétrique positive de

M_2(ℝ)

. Montrer que

a + c ⩾ 0

ac - b^2 ⩾ 0

.
II.

C

- Réciproquement, on considère une matrice symétrique

A

M_n(ℝ)

dont toutes les valeurs propres sont positives. Il existe alors une matrice

P \in O_n(ℝ)

et des réels positifs

λ_1, \dots, λ_n

tels que

A = Pdiag(λ_1, \dots, λ_n)P^⊤

Q 19. On considère

X \in M_(n, 1)(ℝ)

X^' = P^⊤X

. On note

X^' = (x_1^'; ⋮; x_n^')

, montrer que

X^⊤AX = X^('⊤)diag(λ_1, \dots, λ_n)X^' = \sum_(i = 1)^n λ_i x_i^('2)

Q 20. En déduire que

A

est une matrice symétrique positive.

Q 21. Montrer que si

A

est une matrice symétrique de

M_n(ℝ)

alors

A

est symétrique positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives.
II.D -

Soit

A \in M_n(ℝ)

Q 22. On suppose qu'il existe

B \in M_(p, n)(ℝ)

telle que

A = B^⊤B

. Montrer que

A

est symétrique positive.
Q 23. Réciproquement, on suppose que

A

est une matrice symétrique positive. En utilisant la sous-partie II.B, montrer qu'il existe une matrice

B \in M_n(ℝ)

telle que

A = B^⊤B

III Produits de Kronecker

Soient

n, n^', p, p^'

, des entiers

⩾ 1

. Pour

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ n^') \in M_(n, n^')(ℝ)

B \in M_(p, p^')(ℝ)

, on définit le produit de Kronecker (ou produit tensoriel) de

A

B

noté

A \otimes B

par

A \otimes B = (a_(1, 1)B, \dots, a_(1, n^')B; ⋮, ⋮; a_(n, 1)B, \dots, a_(n, n^')B) \in M_(np, n^' p^')(ℝ)

Par exemple dans le cas

n = n^' = p = p^' = 2

on a

(a_(1, 1), a_(1, 2); a_(2, 1), a_(2, 2)) \otimes (α, β; γ, δ) = (a_(1, 1)α, a_(1, 1)β, a_(1, 2)α, a_(1, 2)β; a_(1, 1)γ, a_(1, 1)δ, a_(1, 2)γ, a_(1, 2)δ; a_(2, 1)α, a_(2, 1)β, a_(2, 2)α, a_(2, 2)β; a_(2, 1)γ, a_(2, 1)δ, a_(2, 2)γ, a_(2, 2)δ)

III. A - On considère

A = (1, 2; 2, 4), B = (1, - 1; - 1, 1), X = (1/2)

Y = (1/(- 1))

Q 24. Calculer

A \otimes B

X \otimes Y

.
Q 25. Justifier sans calcul que la matrice

A \otimes B

est diagonalisable.
Q 26. Vérifier que

X

est un vecteur propre de

A

, que

Y

est un vecteur propre de

B

et que

X \otimes Y

est un vecteur propre de

A \otimes B

.
III.B - Dans cette sous-partie uniquement, on énonce des propriétés vraies pour tous

n, n^', p, p^' \in ℕ^*

, et on demande de faire les preuves seulement dans le cas où

n = n^' = p = p^' = 2

.
Q 27. Si

α \in ℝ, A \in M_(n, n^')(ℝ), A^' \in M_(n, n^')(ℝ)

B \in M_(p, p^')(ℝ)

montrer que

(αA + A^') \otimes B = αA \otimes B + A^' \otimes B

Dans la suite du problème, on admettra que si de plus

B^' \in M_(p, p^')(ℝ)

alors

A \otimes (αB + B^') = αA \otimes B + A \otimes B^'

Q 28. Si

A \in M_(n, n^')(ℝ)

B \in M_(p, p^')(ℝ)

montrer que

(A \otimes B)^⊤ = A^⊤ \otimes B^⊤

. En déduire que si

A \in M_n(ℝ)

B \in M_p(ℝ)

sont symétriques alors

A \otimes B

est symétrique.
Q 29. Pour toutes matrices

A \in M_n(ℝ)

B \in M_p(ℝ)

démontrer que

tr(A \otimes B) = tr(A)tr(B)

.
Dans la suite du problème, on admettra que si

A \in M_(n, n^')(ℝ), A^' \in M_(n^', n^(''))(ℝ), B \in M_(p, p^')(ℝ)

B^' \in M_(p^', p^(''))(ℝ)

alors

(A \otimes B)(A^' \otimes B^') = (AA^') \otimes (BB^')

III.

C

- On revient au cas général où

n

est un entier naturel non nul et on considère

A \in M_n(ℝ), λ

une valeur propre de

A

X \in M_(n, 1)(ℝ)

un vecteur propre de

A

associée à

λ, B \in M_p(ℝ)

μ

une valeur propre de

B

Y \in M_(p, 1)(ℝ)

un vecteur propre de

B

associée à

μ

.
Q 30. Montrer que

X \otimes Y

est un vecteur propre de

A \otimes B

et que

λμ

est une valeur propre de

A \otimes B

.
Q 31. Si

A, B \in M_n(ℝ)

sont des matrices symétriques positives montrer que

A \otimes B

est une matrice symétrique positive de

M_(n^2)(ℝ)

. On pourra utiliser les résultats des questions 22 et 23 ainsi que l'égalité (III.3).
III.D - On considère la base

(E_(i, j)^((n)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

M_n(ℝ)

. On pourra aussi utiliser la base

(E_(i, j)^((n^2)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n^2)

M_(n^2)(ℝ)

.
Q 32. On suppose dans cette question que

n = 2

. Calculer

E_(1, 2)^((2)) \otimes E_(2, 1)^((2))

et plus généralement les 16 produits tensoriels

E_(i, j)^((2)) \otimes E_(k, l)^((2))

.
Q 33. Si

i, j, k, l \in ℕ^*

exprimer

E_(i, j)^((n)) \otimes E_(k, l)^((n))

en fonctions d'éléments de la base canonique de

M_(n^2)(ℝ)

On admet dans la suite du problème que la famille des

n^4

produits tensoriels

(E_(i, j)^((n)) \otimes E_(k, l)^((n)))

pour

(i, j, k, l) \in [ [1, n] ]^4

est une base de

M_(n^2)(ℝ)

.
On note

τ_2

l'endomorphisme de

M_(n^2)(ℝ)

vérifiant

\forall(i, j, k, l) \in [ [1, n] ]^4 τ_2(E_(i, j)^((n)) \otimes E_(k, l)^((n))) = E_(i, j)^((n)) \otimes (E_(k, l)^((n)))^⊤

.
Q 34. Montrer que

\forall(A, B) \in (M_n(ℝ))^2, τ_2(A \otimes B) = A \otimes B^⊤

III.E - Application aux entiers algébriques

On dit qu'un nombre complexe

α \in ℂ

est un entier algébrique s'il est racine d'un polynôme unitaire

P

à coefficients dans

ℤ

, c'est-à-dire tel que

P(α) = 0

.
Q 35. Démontrer que tout élément

α \in ℤ

est un entier algébrique.
Q 36. Montrer que i et

\sqrt2

sont des entiers algébriques.
Q 37. Prouver que le nombre d'or

φ = (1 + \sqrt5)/2

est un entier algébrique.
On admet que le polynôme caractéristique d'une matrice à coefficients dans

ℤ

est lui-même à coefficients dans

ℤ

.
Q 38. En utilisant la sous-partie I.D et la question 30 , montrer que le produit

αβ

de deux entiers algébriques

α

β

est un entier algébrique.

IV États quantiques de Werner

Dans cette partie, on étudie certains états quantiques introduits par le physicien Reinhard Werner en 1989. Chaque état de Werner représente l'état quantique d'un système à deux particules. Actuellement, ces thèmes sont au cœur de la physique contemporaine et font l'objet d'intenses recherches.
Soit

N ⩾ 1

un entier. On dit qu'une matrice

A \in M_n(ℝ)

est un état quantique de

M_n(ℝ)

tr(A) = 1

et si

A

est une matrice symétrique positive. On note

Q_N

l'ensemble des états quantiques de

M_n(ℝ)

(c'est-à-dire l'ensemble des matrices symétriques positives de trace 1 de

M_n(ℝ)

).
Q 39. Si

(A, B) \in (Q_N)^2

montrer que

\forallt \in [0, 1], tA + (1 - t)B \in Q_N

. On dit que

Q_N

est un ensemble convexe.
Q 40. On suppose que

m

est un entier naturel non nul. Montrer que si,

\foralli \in [ [1, m] ], A_i \in Q_n, B_i \in Q_n

p_i \in ℝ^+

et si

\sum_(i = 1)^m p_i = 1

alors

\sum_(i = 1)^m p_i A_i \otimes B_i \in Q_(n^2)

.
Un état quantique

C \in Q_(n^2)

est dit séparable si on peut l'écrire sous la forme

C = \sum_(i = 1)^m p_i A_i \otimes B_i

pour un certain entier naturel

m

, des états quantiques

A_i

B_i

Q_n

et des réels

p_i ⩾ 0

vérifiant

\sum_(i = 1)^m p_i = 1

.
Q 41. Montrer que si un état

C

Q_(n^2)

est séparable alors la matrice

τ_2(C)

est symétrique positive (l'application

τ_2

a été définie dans la sous-partie III.D).
On définit la matrice ligne

Ψ

M_(1, n^2)(ℝ)

par

Ψ = 1/(\sqrtn)\sum_(i = 1)^n E_(1, i)^((1, n)) \otimes E_(1, i)^((1, n))

Q 42. Calculer le produit

Ψ^⊤Ψ

.
Q 43. Montrer que

Ψ^⊤Ψ

est un état quantique de

M_(n^2)(ℝ)

.
On suppose dans la suite que

n = 2

.
Q 44. Préciser la matrice

Ψ^⊤Ψ

M_4(ℝ)

.
Soit

0 ⩽ p ⩽ 1

. On définit la matrice

W_p = pΨ^⊤Ψ + (1 - p)1/4I_4

.
Q 45. Montrer que

W_p

est un état quantique de

M_4(ℝ)

. On l'appelle état quantique de Werner.
Q 46. Expliciter la matrice

W_p

.
Q 47. Expliciter la matrice

τ_2(W_p)

M_4(ℝ)

et calculer ses valeurs propres.
Q 48. En utilisant la question 41, démontrer qu'il existe un intervalle

I

inclus dans

[0, 1]

tel que

\forallp \in I, W_p

n'est pas séparable.

Ce résultat traduit que, pour les valeurs de

p

dans cet intervalle, l'état quantique des deux particules est global, on ne peut pas le décrire en séparant les particules l'une de l'autre.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes et des matrices symétriques, complétée par un outil hors programme, le produit de Kronecker, entièrement défini dans l'énoncé.

Quelles parties sont indépendantes ?

L'énoncé précise que les parties I, II et III sont indépendantes, à l'exception des questions 31 et 38, et que la partie IV dépend fortement des parties II et III.

Le produit de Kronecker est-il un prérequis du programme ?

Non, il est entièrement défini au début de la partie III avec un exemple numérique, et ses propriétés utiles sont démontrées ou admises au fil du sujet.

Ce sujet fait-il appel à la physique quantique ?

La partie IV utilise le vocabulaire des états quantiques de Werner comme habillage, mais les questions restent des questions d'algèbre linéaire sur des matrices symétriques positives de trace 1.

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