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Trois problèmes indépendants : suite récurrente liée à une racine carrée, produit scalaire sur R_3[X] et base propre orthogonale, chaîne de Markov de deux ampoules
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Le sujet comporte trois problèmes totalement indépendants. Le premier étudie la convergence d'une suite définie par u_{n+1}=sqrt(u_n^2-u_n+1). Le deuxième construit un produit scalaire sur R_3[X] à l'aide d'une intégrale généralisée, puis diagonalise un endomorphisme autoadjoint pour obtenir une base orthogonale de vecteurs propres. Le troisième modélise par une chaîne de Markov le nombre d'ampoules allumées dans un groupe de deux ampoules indépendantes, et calcule son espérance et sa variance.

  1. 1Problème IÉtudie la fonction f(x)=sqrt(x^2-x+1) et la convergence de la suite récurrente u_{n+1}=f(u_n) vers 1.
  2. 2Problème IIÉtablit la convergence de l'intégrale de t^n e^{-t}, construit un produit scalaire sur R_3[X], puis diagonalise un endomorphisme autoadjoint pour obtenir une base orthogonale de polynômes propres.
  3. 3Problème IIIModélise par une chaîne de Markov le nombre d'ampoules allumées parmi deux ampoules indépendantes au cours du temps, et détermine l'espérance et la variance de cette variable aléatoire.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : 14h - 18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois problèmes totalement indépendants.
La rédaction comptera pour une part importante de la note.

Problème I

On considère dans ce problème la suite (u_n)_(n ∈ N) définie par un premier terme u_0 dans ]0, 1[ et par la relation de récurrence :
∀n ∈ N, u_(n + 1) = √(u_n^2 − u_n + 1).
On introduit la fonction f : x ⟼ √(x^2 − x + 1).
I.1. a) Vérifier que, pour tout x ∈ R, x^2 − x + 1 = (x − 1/2)^2 + 3/4.
b) En déduire que f est bien définie sur R.
Justifier alors que, pour tout n ∈ N, u_n est bien définie.
c) Déduire de la question 1.a) que, pour tout x ∈ [0, 1], f(x) ∈ [0, 1].
d) En déduire que pour tout n ∈ N, u_n ∈ [0, 1].
I.2. a) Justifier que f est dérivable sur R et, pour tout x ∈ R, calculer f^′(x).
On détaillera les calculs effectués.
Déterminer le tableau des variations de f sur [0, 1].
b) Montrer que, pour x ∈ [0, 1], f(x) ≥ x.
c) Représenter alors la courbe représentative de f sur [0, 1].
On se placera dans un repère orthonormé ( O; i⃗, j⃗ ) et on utilisera l'échelle suivante : 10 cm pour 1 unité.
On fera apparaître la tangente horizontale et la première bissectrice.
Dans cette question uniquement, on suppose u_0 = 1/4; construire à l'aide du graphe précédent les premiers termes de la suite (u_n)_(n ∈ N).
d) Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], |f^′(x)| ≤ 1/(√3).
I.3. a) Calculer f(1).
b) En déduire que ∀n ∈ N, |1 − u_(n + 1)| ≤ 1/(√3)|1 − u_n|.
c) En déduire alors, pour tout n ∈ N, une majoration de |1 − u_n| en fonction de n et de |1 − u_0|.
d) En déduire que (u_n)_(n ∈ N) converge et déterminer sa limite.

Fin du premier problème

Problème II

Étude d'une intégrale

II.1. Justifier que I_0 = ∫_0^(+ ∞)e^(− t) dt converge et calculer sa valeur.
II.2. Soit n ∈ N. On suppose que I_n = ∫_0^(+ ∞)t^n e^(− t) dt converge.
a) Soit A ∈ R_+^∗. Montrer que
∫_0^A t^(n + 1)e^(− t) dt = − A^(n + 1)e^(− A) + (n + 1)∫_0^A t^n e^(− t) dt
b) Déterminer (et justifier) la limite de A^(n + 1)e^(− A) quand A tend vers + ∞.
c) En déduire que I_(n + 1) = ∫_0^(+ ∞)t^(n + 1)e^(− t) dt converge et que I_(n + 1) = (n + 1)I_n.
II.3. Montrer alors que, pour tout n ∈ N, I_n = ∫_0^(+ ∞)t^n e^(− t) dt converge et vaut n!.

Étude d'un produit scalaire

On rappelle que R_3[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3 .
Pour tous P et Q dans R_3[X], on pose :
⟨P, Q⟩ = ∫_0^(+ ∞)P(t)Q(t)e^(− t) dt
II.4. Justifier rapidement en utilisant II. 3 que, pour tous P et Q dans R_3[X], l'intégrale ∫_0^(+ ∞)P(t)Q(t)e^(− t) dt converge.
II.5. Montrer que l'application R_3[X] × R_3[X], ⟶ R; (P, Q), ⟼ ⟨P, Q⟩ est un produit scalaire sur R_3[X].

Construction d'une base orthogonale

Soit Φ l'application définie sur R_3[X] par :
∀P ∈ R_3[X], Φ(P) = XP^(′′)(X) + (1 − X)P^′(X).
On rappelle que la base canonique de R_3[X] est la famille B_c = (1, X, X^2, X^3).
II.6. Montrer que Φ est un endomorphisme de R_3[X].
II.7. Vérifier que la matrice de Φ dans la base canonique de R_3[X] est (0, 1, 0, 0; 0, − 1, 4, 0; 0, 0, − 2, 9; 0, 0, 0, − 3).
II.8. Montrer alors que les valeurs propres de Φ sont 0, − 1, − 2 et -3 .
L'endomorphisme Φ est-il diagonalisable?
II.9. Pour tout k ∈ {0, 1, 2}, déterminer un vecteur propre P_k de Φ associé à la valeur propre − k et dont le coefficient dominant vaut 1 .
On présentera et on expliquera les calculs effectués.
On supposera dans la suite que P_3 désigne un vecteur propre de Φ associé à la valeur propre -3 et de coefficient dominant égal à 1 .
II.10. Soient P et Q dans R_3[X].
a) On pose f : t ⟼ tP^′(t)e^(− t).
Justifier que f est de classe C^1 sur [0, + ∞[.
Pour tout t ≥ 0, exprimer f^′(t) en fonction de Φ(P)(t) et de e^(− t).
b) Montrer que
⟨Φ(P), Q⟩ = ∫_0^(+ ∞)f^′(t)Q(t)dt
c) En effectuant une intégration par parties dans l'intégrale ∫_0^A f^′(t)Q(t)dt avec A ∈ R, montrer que
⟨Φ(P), Q⟩ = − ∫_0^(+ ∞)tP^′(t)Q^′(t)e^(− t) dt
d) En déduire que ⟨Φ(P), Q⟩ = ⟨P, Φ(Q)⟩.
II.11. On rappelle que, pour tout i ∈ {0, 1, 2, 3}, P_i est un vecteur propre de Φ associé à la valeur propre − i.
Soient i et j dans {0, 1, 2, 3} tels que i ≠ j.
En remarquant que ⟨Φ(P_i), P_j⟩ = ⟨P_i, Φ(P_j)⟩, montrer que (i − j)⟨P_i, P_j⟩ = 0 puis que P_i et P_j sont orthogonaux.
II.12. En déduire que la famille ( P_0, P_1, P_2, P_3 ) est une base de R_3[X] constituée de vecteurs deux à deux orthogonaux.

Fin du second problème

Problème III

Rappels des notations

On rappelle que, pour X une variable aléatoire, E(X) désigne l'espérance de X et V(X) désigne la variance de X.
Étant donnés deux événements A et B, la notation P_B(A) désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B.

Contexte

On considère un groupe de deux ampoules que l'on observe aux instants 0, 1, 2, 3, … Ces deux ampoules sont supposées indépendantes l'une de l'autre.
À l'instant initial, on suppose que les deux ampoules sont allumées. Ces ampoules restent allumées jusqu'au moment où elles grillent. Elles peuvent donc être soit dans l'état allumé, soit dans l'état grillé. La possibilité qu'une ampoule soit éteinte n'est pas considérée ici.
À chaque instant, chaque ampoule déjà grillée reste grillée et chaque ampoule allumée a la probabilité 1/2 de rester allumée et 1/2 de griller.
On note, pour tout n entier naturel, X_n la variable aléatoire égale au nombre d'ampoules allumées à l'instant n. On remarquera que X_n peut prendre les valeurs 0,1 et 2 , c'est à dire que X_n(Ω) = {0, 1, 2}.
Pour tout n ∈ N, on introduit le vecteur colonne U_n dans M_(3, 1)(R) :
U_n = (P(X_n = 0); P(X_n = 1); P(X_n = 2))

Mise en place du problème

III.1. Déterminer la loi de X_0 et vérifier que E(X_0) = 2.
Déterminer la variance de X_0.
III.2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :
P_((X_n = 2))(X_(n + 1) = 2) = 1/4, P_((X_n = 2))(X_(n + 1) = 1) = 1/2
III.3. Déterminer pour tout entier naturel n et sans justification les probabilités conditionnelles :
P_((X_n = 2))(X_(n + 1) = 0), P_((X_n = 1))(X_(n + 1) = 2), P_((X_n = 1))(X_(n + 1) = 1), P_((X_n = 1))(X_(n + 1) = 0),; P_((X_n = 0))(X_(n + 1) = 2), P_((X_n = 0))(X_(n + 1) = 1), P_((X_n = 0))(X_(n + 1) = 0).
III.4. Soit n ≥ 0. À l'aide de la formule des probabilités totales, exprimer P(X_(n + 1) = 1) en fonction de P(X_n = 0), P(X_n = 1) et P(X_n = 2).
Montrer alors que U_(n + 1) = AU_n où A = (1, 1/2, 1/4; 0, 1/2, 1/2; 0, 0, 1/4).

Espérance et variance des X_n

On se propose de déterminer l'espérance et la variance de tous les X_n sans chercher leur loi. On introduit les matrices de M_(1, 3)(R)
L_1 = (0, 1, 2) et L_2 = (0, 1, 4).
III.5. Calcul de l'espérance
a) Pour tout n ∈ N, vérifier que E(X_n) = L_1 U_n.
b) Calculer L_1 A et exprimer le résultat uniquement en fonction de L_1.
En déduire que, pour tout n ∈ N, E(X_(n + 1)) = 1/2E(X_n).
c) Exprimer alors E(X_n) en fonction de n.
III.6. Calcul du moment d'ordre 2.
On rappelle la formule de transfert : pour une variable aléatoire finie X et une fonction f de R dans R
E(f(X)) = ∑_(k ∈ X(Ω))f(k)P(X = k).
a) En appliquant cette formule de transfert, exprimer, pour tout n ∈ N, E(X_n^2) en fonction de L_2 et U_n.
b) Calculer L_2 A et montrer qu'il existe deux réels α et β que l'on déterminera, tels que:
L_2 A = αL_1 + βL_2.
c) En déduire que, pour tout n ∈ N, E(X_(n + 1)^2) = 1/4E(X_n^2) + (1/2)^(n + 1). On pourra utiliser les résultats de la question III.5.
d) On introduit la suite (u_n)_(n ∈ N) définie par ∀n ∈ N, u_n = 1/(2^(n − 1)). Vérifier que la suite (u_n)_(n ∈ N) satisfait la relation de récurence
∀n ∈ N, u_(n + 1) = 1/4u_n + (1/2)^(n + 1).
e) Soit (v_n)_(n ∈ N) la suite définie par ∀n ∈ N, v_n = E(X_n^2) − u_n.
Montrer que (v_n)_(n ∈ N) est une suite géométrique et déterminer sa raison.
f) En déduire, pour tout n ∈ N, l'expression de E(X_n^2) en fonction de n.
III.7. Déterminer alors, pour tout n ∈ N, l'expression de V(X_n) en fonction de n.

Fin du troisième problème

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques TSI CCINP 2016 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques TSI CCINP 2016 ?

Il porte sur l'étude d'une suite récurrente, sur un produit scalaire et la diagonalisation d'un endomorphisme sur R_3[X], et sur une chaîne de Markov appliquée à deux ampoules.

Quelles parties sont indépendantes dans le sujet de mathématiques TSI CCINP 2016 ?

Les trois problèmes sont totalement indépendants les uns des autres.

Le sujet de mathématiques TSI CCINP 2016 porte-t-il sur les probabilités ?

Oui, le troisième problème étudie par une chaîne de Markov le nombre d'ampoules allumées au cours du temps.

Ce sujet de mathématiques TSI CCINP 2016 autorise-t-il la calculatrice ?

Oui, les calculatrices sont autorisées pour cette épreuve.

Pas de description pour le moment