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Centrale Mathématiques 1 TSI 2021Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Séries entières et séries de Fourier : modélisation d'un jeu de dé et résolution de l'équation de la chaleur
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L'épreuve de mathématiques 1 de Centrale-Supélec TSI 2021 comporte deux problèmes indépendants. Le premier calcule la somme d'une série entière liée aux coefficients binomiaux pour modéliser un jeu de dé à l'aide de variables aléatoires. Le second démontre des propriétés des coefficients de Fourier, construit un prolongement 2-périodique d'une fonction, puis résout l'équation de la chaleur dans une barre métallique à l'aide d'un développement en série de Fourier.

  1. 1I.A : Calcul de la somme d'une série entière liée aux coefficients binomiauxÉtude du rayon de convergence et de la somme de la série entière de terme général le coefficient binomial, obtenue par récurrence.
  2. 2I.B : Étude d'une expérience aléatoireLoi, espérance et variance de deux variables aléatoires modélisant un jeu de dé à deux étapes, avec la formule des probabilités totales.
  3. 3II.A : Propriétés des coefficients de FourierLiens entre parité d'une fonction et coefficients de Fourier, relations entre les coefficients d'une fonction et de sa dérivée, convergence de séries associées.
  4. 4II.B : Un problème de prolongementConstruction géométrique du prolongement impair et 2-périodique d'une fonction de classe C1 nulle en 0 et en 1.
  5. 5II.C : L'équation de la chaleurRésolution de l'équation de la chaleur dans une barre à l'aide d'un développement en série de Fourier et d'une équation différentielle sur les coefficients.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet de parfaitement calibré, équilibré et progressif, sans difficulté majeure, mais relève un niveau général faible et de nombreuses erreurs inattendues.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,78 / 20 · écart-type 4,38 · 1 063 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,78/ 20
Écart-type
4,38
Présents
1 063
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,5
3e quartile
12
moyenne 8,7805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre fonction paire et fonction impaire · Fonction nulle en un point et dérivée nulle · Règle de d'Alembert appliquée hors programme
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Le sujet est jugé équilibré et progressif, permettant de valoriser à la fois la justification des propriétés et les compétences calculatoires. Le découpage en deux problèmes indépendants a permis aux candidats en difficulté sur le premier de rebondir sur le second. Le jury déplore cependant un niveau général faible, avec de nombreuses erreurs inattendues et un manque de rigueur et de justifications.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre fonction paire et fonction impaireQ19

    Une part importante des candidats affirme qu'une fonction est nécessairement soit paire soit impaire, ce qui est faux et intervient notamment en Q19.

    « Au moins 30% des candidats écrivent qu'une fonction est soit paire soit impaire. »
  2. 2
    Fonction nulle en un point et dérivée nulle

    De nombreux candidats croient qu'une fonction nulle en un point a nécessairement une dérivée nulle en ce point, ce qui pose problème dans les deux dernières parties du second problème.

    « Une fonction nulle en un point n'entraine pas que sa dérivée soit nulle en ce point. »
  3. 3
    Règle de d'Alembert appliquée hors programmeQ2

    La règle de d'Alembert pour les séries entières n'est pas au programme ; les candidats qui l'ont utilisée en Q2 ont eu moins de points que ceux qui ont justifié la règle pour les séries numériques.

    « La règle de d'Alembert pour les séries entières est hors programme. »
  4. 4
    Récurrence mal initialisée en Q7Q7

    L'énoncé demandait de montrer l'égalité pour tout k entier naturel, donc d'initialiser au rang k=0. Une partie des candidats utilise la propriété demandée pendant l'hérédité au lieu de la démontrer.

    « Environ 20% des candidats ont utilisé la propriété demandée lors de la phase d'hérédité. »
  5. 5
    Formule des probabilités totales peu mobiliséeQ12

    Cette formule est attendue en Q12 pour l'expérience aléatoire à deux étapes, mais elle n'est citée et appliquée que dans de très rares copies.

    « Elle n'est citée et appliquée que dans de très rares copies. »
  6. 6
    Dérivation terme à terme injustifiée d'une série de FourierQ35

    En Q35, une part importante des candidats dérive terme à terme un développement en série de Fourier sans vérifier les hypothèses nécessaires.

    « Un grand nombre de candidats pensent qu'on peut dériver terme à terme un développement en série de Fourier sans hypothèse particulière. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les candidats qui ont déterminé la limite du quotient en Q1 ont réussi cette question.
  • 90% des candidats ont bien répondu à la question Q37 sur la résolution de l'équation différentielle.
  • La formule de Pascal et la manipulation des indices de sommation sont globalement maîtrisées lorsque les questions sont abordées.

Conseils du jury

  • Ne pas faire d'impasse sur le programme des deux années et apprendre le cours de façon approfondie.
  • Distinguer les différents statuts des assertions du sujet : ce qui est objectif à démontrer, ce qui est admis, ce qui doit être vérifié à chaque usage.
  • Justifier chaque réponse par un argument mathématique précis : hypothèse de l'énoncé, point de cours ou résultat déjà montré.
  • Soigner la numérotation des pages et des questions pour permettre au correcteur de se repérer.
  • S'entraîner à résoudre des exercices de difficulté progressive pour consolider les méthodes classiques.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier problème est consacré au calcul de la valeur d'une série et à son utilisation pour modéliser une expérience aléatoire. Le second problème est consacré à l'utilisation des séries de Fourier pour résoudre, dans un cas particulier, l'équation de propagation de la chaleur dans un solide conducteur à une seule dimension. Cette équation a été étudiée par Joseph Fourier en 1802.

I Séries et probabilités

Notations et rappels

Si (n, k) ∈ ℕ^2, on note (n/k) le coefficient binomial k parmi n. On rappelle que, si 0 ⩽ k ⩽ n, (n/k) = (n!)/(k!(n − k)!) et, si k > n, (n/k) = 0.

Objectifs

Dans la sous-partie I.A, on montre que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[ et pour tout k ∈ ℕ, la série ∑_(n ⩾ k)(n/k)x^n converge et que
∑_(n = k)^(+ ∞)(n/k)x^n = (x^k)/((1 − x)^(k + 1))
Dans la sous-partie I.B, on utilise ce résultat pour étudier une expérience aléatoire.

I.A - Calcul de la somme d'une série

Dans les questions 1 et 2, k un entier naturel fixé.
Q1. Montrer que: ((n + 1)/k) ∼ (n/k) lorsque n tend vers + ∞.
Q 2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ k)(n/k)x^n.
Lorsqu'elle est définie, on note S_k(x) la valeur de la somme ∑_(n ⩾ k)(n/k)x^n.
Q 3. Rappeler sans démonstration le domaine de définition de la fonction S_0 et, pour tout réel x dans ce domaine, la valeur de S_0(x).
Q 4. À l'aide d'un théorème de cours énoncé avec précision, justifier que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,
S_1(x) = x/((1 − x)^2).
Q 5. Montrer que, pour tout (n, k) ∈ ℕ^2 tel que k < n, on a ((n + 1)/(k + 1)) = (n/k) + (n/(k + 1)).
Q 6. En déduire que, pour tout k ∈ ℕ et tout x ∈ ] − 1, 1[, S_(k + 1)(x) = xS_k(x) + xS_(k + 1)(x).
Q 7. Démontrer par récurrence que, pour tout k ∈ ℕ et tout x ∈ ] − 1, 1[, S_k(x) = (x^k)/((1 − x)^(k + 1)).

I.B - Étude d'une expérience aléatoire

On considère un dé équilibré comportant 1 face blanche et 5 faces noires. On réalise l'expérience aléatoire suivante.
  1. On lance le dé jusqu'à obtenir la face blanche. On note N la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir la face blanche.
  2. Si N prend une valeur entière positive non nulle n lors de la première étape, on réalise alors une série de n lancers du dé. On note X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face blanche a été obtenue lors de cette seconde série de lancers.
Q 8. Reconnaitre la loi de la variable aléatoire N.
Q 9. Calculer, en explicitant les calculs, l'espérance et la variance de N.
Q 10. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , donner une expression de P(N ⩽ n) en fonction de n qui ne fasse pas intervenir le symbole Σ.
Q 11. Soit k ∈ ℕ et n ∈ ℕ^∗. En distinguant les cas k ⩽ n et k > n, déterminer la probabilité conditionnelle P_((N = n))(X = k).
Q 12. Démontrer que P(X = 0) = 5/11, puis que
∀k ∈ ℕ^∗, P(X = k) = (36)/(55)(5/(11))^k
Q 13. Vérifier que ∑_(k ∈ X(Ω))P(X = k) = 1.
Q 14. Montrer que X admet une espérance et calculer E(X).
Q 15. Calculer E(X(X − 1)).
Q 16. En déduire que X admet une variance et calculer V(X).

II Séries de Fourier et équation de la chaleur

Rappels

Si F est une fonction continue par morceaux sur ℝ, périodique de période 2 , alors :
i) les coefficients de Fourier trigonométriques de F, (a_n(F))_(n ∈ ℕ) et (b_n(F))_(n ∈ ℕ^∗) sont définis par
{a_0(F) = 1/2∫_(− 1)^1 F(t)dt; a_n(F) = ∫_(− 1)^1 F(t)cos(nπt)dt et b_n(F) = ∫_(− 1)^1 F(t)sin(nπt)dt, ∀n ∈ ℕ^∗;
ii) la série ∑((a_n(F))^2 + (b_n(F))^2) converge ;
iii) si F est continue et C^1 par morceau sur ℝ, alors la série de Fourier de F converge en tout nombre réel x et sa somme vaut F(x).

II.A - Propriétés des coefficients de Fourier

Dans tout cette sous-partie, F est une fonction de classe C^1 sur ℝ, périodique de période 2 . Sa dérivée est notée F^′.
Q 17. Démontrer que :
  • si la fonction F est paire, alors, pour tout entier naturel n non nul, b_n(F) = 0;
  • si la fonction F est impaire, alors, pour tout entier naturel n, a_n(F) = 0.
Q 18. Démontrer que :
  • si la fonction F est paire, alors sa dérivée F^′ est impaire ;
  • si la fonction F est impaire, alors sa dérivée F^′ est paire.
Q 19. Démontrer que
{a_0(F^′) = 0; a_n(F^′) = nπb_n(F) et b_n(F^′) = − nπa_n(F), ∀n ∈ ℕ^∗.
Pour les deux dernières égalités, on pourra effectuer une intégration par parties.
Q 20. En déduire que les deux séries ∑n^2(a_n(F))^2 et ∑n^2(b_n(F))^2 sont convergentes.
Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que la fonction F est périodique de période 2 , impaire et de classe C^3 sur ℝ. On note F^((3)) sa dérivée troisième.
Q 21. Exprimer les coefficients de Fourier trigonométriques de F^((3)) en fonction de ceux de F.
Q 22. En déduire la nature de la série ∑n^6(b_n(F))^2.
Q 23. Pour deux réels quelconques a et b, démontrer que |a||b| ⩽ 1/2(a^2 + b^2).
Q 24. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ^∗, n^2|b_n(F)| ⩽ 1/2(n^6(b_n(F))^2 + 1/(n^2)).
Q 25. Quelle est la nature de la série ∑n^2 b_n(F) ?

II.B - Un problème de prolongement

On suppose dans cette sous-partie que f est une fonction de classe C^1 sur [0, 1] vérifiant f(0) = f(1) = 0.
Q 26. Démontrer qu'il existe une unique fonction F, impaire, périodique de période 2 , telle que
∀x ∈ [0, 1], F(x) = f(x).
Q 27. Décrire l'enchainement des transformations géométriques qui permettent d'obtenir la courbe représentative de F à partir de celle de f.
Q 28. À l'aide d'arguments géométriques, justifier que la courbe représentative de la fonction F admet des tangentes aux points d'abscisses 0,1 et -1 . Déterminer les coefficients directeurs de ces trois tangentes.
On admet pour la suite du problème que, si la fonction f est de classe C^3 sur [0, 1] et vérifie
f(0) = f(1) = f^(′′)(0) = f^(′′)(1) = 0,
où f^(′′) désigne la dérivée seconde de f, alors la fonction F est de classe C^3 sur ℝ.

II.C - L'équation de la chaleur

On considère une barre rectiligne métallique de longueur 1 m . On suppose qu'au cours du temps la température de chacune de ses extrémités est maintenue à 0^∘C. On prend pour origine l'une des extrémités de la barre et on repère chaque point de la barre par son abscisse x (en mètre). On note f(x) la température (en degrés Celsius) à l'instant t = 0 au point de la barre d'abscisse x. On suppose que la fonction f est de classe C^3 sur [0, 1].
On note Δ = [0, + ∞[ × [0, 1]. Pour (t, x) ∈ Δ, on note u(t, x) la température, à l'instant t, au point de la barre d'abscisse x. On admet que la fonction u vérifie l'équation de la chaleur
∀(t, x) ∈ Δ, (∂u)/(∂t)(t, x) = (∂^2 u)/(∂x^2)(t, x).
Les conditions spécifiées dans l'énoncé imposent en plus les égalités suivantes:
{u(t, 0) = u(t, 1) = 0, ∀t ∈ [0, + ∞[; u(0, x) = f(x), ∀x ∈ [0, 1]
On cherche à déterminer les fonctions u solutions de l'équation (II.1) vérifiant de plus les conditions de régularité suivantes :
∀t ∈ [0, + ∞[, la fonction g_t : | [0, 1], →, ℝ; x, ↦, u(t, x) est de classe C^3 sur [0, 1];; ∀x ∈ [0, 1], la fonction h_x : | [0, + ∞[, →, ℝ; t, ↦ u(t, x) est de classe C^1 sur [0, + ∞[.
Q 29. Démontrer que
∀t ∈ [0, + ∞[, (∂u)/(∂t)(t, 0) = (∂u)/(∂t)(t, 1) = 0.
Q 30. Que peut-on en déduire pour les valeurs de f^(′′)(0) et de f^(′′)(1) ?
Q 31. Justifier que f est prolongeable en une unique fonction F impaire, périodique de période 2 et de classe C^3 sur ℝ.
On suppose que u est une solution du problème et on fixe t ∈ [0, + ∞[.
Q 32. Démontrer que la fonction g_t est prolongeable en une unique fonction G_t impaire, périodique de période 2 et de classe C^3 sur ℝ.
Q 33. Démontrer qu'il existe une suite (β_n(t))_(n ∈ ℕ^∗) telle que
∀x ∈ ℝ, G_t(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)β_n(t)sin(nπx).
Q 34. Exprimer β_n(0) à l'aide de la fonction F.
Q 35. Justifier que la dérivée seconde de G_t, notée G_t^(′′), est égale à la somme de sa série de Fourier et écrire cette somme.
Pour (t, x) ∈ [0, + ∞[ × ℝ, on note U(t, x) = G_t(x). On admet que, pour tout n ∈ ℕ^∗, la fonction β_n est de classe C^1 sur [0, + ∞[, que la série ∑|β_n^′(t)| converge et que
∀(t, x) ∈ [0, + ∞[ × ℝ, (∂U)/(∂t)(t, x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)β_n^′(t)sin(nπx).
Q 36. En déduire que,
∀(t, x) ∈ Δ, ∑_(n = 1)^(+ ∞)β_n^′(t)sin(nπx) = − π^2∑_(n = 1)^(+ ∞)n^2 β_n(t)sin(nπx).
On admet que cette égalité entraine, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout t ∈ [0, + ∞[, l'égalité
β_n^′(t) = − n^2 π^2 β_n(t).
Q 37. Donner l'ensemble des solutions, sur [ 0, + ∞ [, de l'équation différentielle y^′(t) + n^2 π^2 y(t) = 0.
Q 38. En déduire que la solution cherchée est définie par
∀(t, x) ∈ Δ, u(t, x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)b_n(F)e^(− n^2 π^2 t)sin(nπx).
Remarque. Il est possible, mais non demandé ici, de démontrer que cette fonction vérifie bien toutes les conditions imposées.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale TSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale TSI 2021 ?

Le sujet porte sur les séries entières et les probabilités discrètes dans un premier problème, puis sur les séries de Fourier et l'équation de la chaleur dans un second problème, conformément au programme des deux années de TSI.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve ?

Le jury relève surtout la confusion entre fonction paire et impaire, la croyance qu'une fonction nulle en un point a une dérivée nulle, et un manque général de rigueur et de justification des réponses.

Le sujet de maths 1 TSI 2021 de Centrale est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme équilibré, progressif et sans difficulté majeure, mais souligne que le niveau général des candidats était faible face à ce sujet pourtant classique.

Comment est structuré le sujet de mathématiques 1 TSI 2021 ?

Il comporte deux problèmes indépendants : un premier sur le calcul d'une somme de série entière et son application aux probabilités, un second sur les coefficients de Fourier et l'équation de la chaleur.

Pas de description pour le moment