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Centrale Mathématiques 1 TSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

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Traitement de signaux discrets : discrétisation d'une équation différentielle et filtre linéaire récursif
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Le sujet présente différentes méthodes de traitement des signaux en s'appuyant sur un signal à temps discret modélisé par une suite de nombres réels. Il s'articule autour de la discrétisation d'une équation différentielle en équation aux différences finies, puis de l'étude d'un filtre linéaire récursif modélisé par un opérateur linéaire, résolu à la fois par une méthode matricielle et par une méthode analytique utilisant des développements en séries entières.

  1. 1I. Discrétisation d'une équation différentielleÉtude des opérateurs agissant sur les signaux à temps discret, discrétisation d'une équation différentielle linéaire homogène et comparaison des solutions de l'équation discrétisée à celles de l'équation de départ.
  2. 2II. Traitement d'un signal par filtre linéaire récursifÉtude des propriétés générales des filtres linéaires récursifs, calcul du signal de sortie par une méthode algébrique puis par une méthode analytique utilisant les séries entières.

Accessible. Le rapport précise que le sujet utilise peu le programme de deuxième année, que les notions de première année utilisées sont classiques et qu'elles sont maîtrisées dans un nombre conséquent de très bonnes copies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,37 / 20 · écart-type 4,19 · 1 048 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
6,37/ 20
Écart-type
4,19
Présents
1 048
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
3
Médiane
5,6
3e quartile
8,5
moyenne 6,3705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 27 juin 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Recopier l'énoncé sans démontrer · Locutions comme « évident » ou « trivial » déconseillées · Confusion entre hypothèse et conclusion en Q11
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Le sujet mobilise des notions d'analyse et d'algèbre linéaire conformes au programme des deux années de TSI, utilisant peu le programme de deuxième année. La longueur de l'épreuve a permis aux candidats de traiter un grand nombre de questions, mais le jury déplore un manque de rigueur et de justifications, y compris sur les questions faciles, ainsi que des copies parfois incompréhensibles ou peu soignées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Recopier l'énoncé sans démontrer

    Beaucoup de candidats s'imaginent qu'il est possible de répondre en recopiant simplement l'énoncé, et relier l'hypothèse et le résultat par un simple « donc » ne suffit pas.

    « Relier l'hypothèse et le résultat par un simple « donc », ne suffit pas »
  2. 2
    Locutions comme « évident » ou « trivial » déconseillées

    Le jury déconseille vivement les locutions comme « évident », « trivial », « il est clair que », qui masquent souvent la difficulté à donner l'argument mathématique attendu.

  3. 3
    Confusion entre hypothèse et conclusion en Q11Q11

    En Q11, prendre la conclusion comme hypothèse pour calculer les premiers termes de la suite est inacceptable ; il faut d'abord calculer u1 et u2 avant d'en déduire le terme général.

  4. 4
    Difficulté à appliquer le produit matricielQ19, Q21, Q25

    En Q19, Q21 et Q25, de nombreuses expressions fantaisistes sont proposées, certaines ne respectant pas la taille des matrices pour que le produit ait un sens.

  5. 5
    Règle de d'Alembert utilisée à mauvais escientQ32, Q39

    En Q32 et Q39, la règle de d'Alembert est trop souvent citée alors qu'elle ne permet pas d'aboutir ou n'est pas la méthode appropriée.

  6. 6
    Résolution de systèmes linéaires malgré la calculatrice autoriséeQ10, Q11, Q28, Q29, Q36

    Il est étonnant de constater que la résolution de systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues pose souvent problème, alors que la calculatrice est autorisée.

Ce qui a été bien réussi

  • Les outils du programme de première année sont maîtrisés dans un nombre conséquent de très bonnes copies
  • La question Q27 est souvent bien traitée
  • Les questions Q17 et Q18, proches du cours, sont souvent réussies par les candidats qui ont procédé avec méthode
  • Les candidats à l'aise avec les séries géométriques réussissent bien les questions Q37 et Q38

Conseils du jury

  • Justifier chaque étape d'un raisonnement plutôt que de se contenter d'un « donc » entre hypothèse et résultat
  • Éviter les locutions comme « évident » ou « trivial » et donner l'argument mathématique attendu
  • Pour les questions fermées, fournir un calcul et un raisonnement honnêtes en se référant précisément à la question si elle n'est pas résolue
  • Se concentrer sur les questions les plus faciles ou les plus classiques et les traiter rigoureusement plutôt que d'aborder trop de questions en les bâclant
  • Apprendre et comprendre le cours pour pouvoir le restituer avec précision, et s'entraîner sur des exercices couvrant tout le programme des deux années

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Traitement de signaux discrets

Le traitement des signaux est utilisé dans de nombreux domaines liés à l'analyse et à la synthèse de l'information. Un signal à temps discret, obtenu par exemple à partir de l'échantillonnage d'un signal à temps continu, est modélisé par une suite réelle x = (x_n)_(n ∈ ℕ). Dans ce modèle, le nombre réel x_n, également noté [x]_n, représente la valeur du signal au temps d'indice n.
Ce problème comprend deux parties. La partie I est indépendante de la partie II. Dans la partie II, la souspartie II.D est indépendante des sous-parties qui la précèdent.

Notations

Dans tout le problème, S désigne l'espace vectoriel réel des suites réelles indexées par ℕ et I_S désigne l'application identité de S.
On désigne par
  • τ l'opérateur de décalage, défini, pour tout x ∈ S et tout n ∈ ℕ, par [τ(x)]_n = x_(n + 1);
  • Δ l'opérateur de différence, défini, pour tout x ∈ S et tout n ∈ ℕ, par [Δ(x)]_n = x_(n + 1) − x_n;
  • Σ l'opérateur de sommation, défini, pour tout x ∈ S et tout n ∈ ℕ, par [Σ(x)]_n = ∑_(k = 0)^n x_k.
On admet que les applications τ, Δ et Σ sont des endomorphismes de S. On note L(S) l'ensemble des endomorphismes de S.
Pour tout Φ ∈ L(S), la notation Φ^k désigne I_S si k = 0 et la composée Φ ∘ ⋯ ∘ Φ_()_(k fois) pour tout k ∈ ℕ^⋆.

I Discrétisation d'une équation différentielle

I.A - Opérateurs agissant sur les signaux à temps discret

Dans cette sous-partie, on étudie les opérateurs définis en introduction agissant sur les signaux à temps discrets.
Q 1. Dans le cas où x_n = n^2 pour tout n ∈ ℕ, calculer [Δ(x)]_n, [Δ^2(x)]_n et [Δ^3(x)]_n.
Pour toutes suites x ∈ S et y ∈ S, on rappelle que le produit de x et de y est défini par [x ⋅ y]_n = x_n y_n pour tout n ∈ ℕ.
Q 2. Montrer que, pour toutes suites (x, y) ∈ S^2, Δ(x ⋅ y) = Δ(x) ⋅ y + τ(x) ⋅ Δ(y).
Q 3. Démontrer, pour toute suite x = (x_n)_n ∈ S et tout n ∈ ℕ^⋆, l'égalité ∑_(k = 0)^(n − 1)[Δ(x)]_k = x_n − x_0.

I.B - Discrétisation d'une équation différentielle

On présente ici les équations aux différences finies comme l'analogue discret des équations différentielles.

I.B.1) Étude d'une équation différentielle linéaire homogène

On considère l'équation différentielle sur ℝ
∀t ∈ ℝ, y^(′′′)(t) + 3y^(′′)(t) + 2y^′(t) = 0.
On admet que l'ensemble des solution de (I.1) est un sous-espace vectoriel de S.
Q 4. Démontrer que y est solution de (I.1) si, et seulement si, y^′ est solution de l'équation suivante, d'inconnue z :
∀t ∈ ℝ, z^(′′)(t) + 3z^′(t) + 2z(t) = 0
Q 5. Résoudre (I.2) et déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de (I.1).

I.B.2) Méthode de discrétisation de l'équation différentielle (I.1)

Soient A un nombre réel strictement positif.
L'objectif de cette section est de construire une équation aux différences finies (I.3) associée à (I.1) sur [0, A].
Soit N un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On subdivise le segment [0, A] en N intervalles de même longueur h = A/N.
Soit y une solution de (I.1). Pour transposer à un signal u à temps discret la relation y^(′′′)(t) + 3y^(′′)(t) + 2y^′(t) = 0, notamment valable pour t = kh, on décide de remplacer respectivement y^′(kh), y^(′′)(kh) et y^(′′′)(kh) par ([Δu]_k)/h, ([Δ^2 u]_k)/(h^2) et ([Δ^3 u]_k)/(h^3).
Le signal à temps discret u vérifie alors l'équation aux différences finies
Δ^3(u) + 3hΔ^2(u) + 2h^2 Δ(u) = 0
Q 6. Montrer qu'une suite u est solution de (I.3) si, et seulement si, Δ(u) est solution de l'équation suivante, d'inconnue v :
Δ^2(v) + 3hΔ(v) + 2h^2 v = 0
Q 7. Démontrer qu'une suite v ∈ S est solution de l'équation aux différences finies (I.4) si, et seulement si, pour tout n ∈ ℕ, v_(n + 2) + (3h − 2)v_(n + 1) + (2h^2 − 3h + 1)v_n = 0.
Q 8. Montrer qu'il existe quatre réels r_1, r_2, C_1 et C_2 tels que, pour tout n ∈ ℕ, v_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n. On calculera les réels r_1 et r_2 en fonction de h.
Q 9. En déduire que les solutions de (I.3) vérifient
∀n ∈ ℕ, u_n = C_0 + C_1((1 − (1 − 2h)^n)/(2h)) + C_2((1 − (1 − h)^n)/h)
où C_0 est une constante à déterminer en fonction de u_0. On pourra utiliser le résultat de la question Q3.

I.B.3) Comparaison des solutions de (I.3) à celles de (I.1)

Q 10. Démontrer qu'il existe une unique solution y de (I.1) vérifiant y(0) = y^′(0) = y^(′′)(0) = 1 et donner la valeur de cette solution.
On se propose de comparer y avec une solution u bien choisie de l'équation aux différences finies (I.3) associée à (I.1).
Q 11. On considère la solution u de l'équation aux différences finies (I.3) vérifiant les conditions initiales u_0 = y(0), [Δu]_0 = hy^′(0) et [Δ^2 u]_0 = h^2 y^(′′)(0). Calculer u_1 et u_2 et en déduire que pour tout n ∈ ℕ,
u_n = (1 − 2h)^n − 3(1 − h)^n + 3
On note dorénavant h_N = A/N afin de souligner la dépendance de h par rapport à N. De manière analogue, on note u^((N)) le signal à temps discret défini à la question Q11. Ainsi, pour tout n ∈ ℕ,
u_n^((N)) = (1 − 2h_N)^n − 3(1 − h_N)^n + 3.
Soit t ∈ [0, A], on note φ_t(N) = ⌊t/(h_N)⌋, où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x pour tout x ∈ ℝ.
Q 12. Démontrer la double inégalité, φ_t(N)h_N ⩽ t < (φ_t(N) + 1)h_N.
Q 13. Démontrer que lim_(N → + ∞)(1 − 2h_N)^(φ_t(N)) = e^(− 2t) et que lim_(N → + ∞)(1 − h_N)^(φ_t(N)) = e^(− t).
Q 14. Justifier l'existence et déterminer la valeur de lim_(N → + ∞)u_(φ_t(N))^((N)). Comparer cette valeur au résultat de la question Q 10.

II Traitement d'un signal par filtre linéaire récursif

Dans la chaine de traitement numérique d'un signal à temps discret par filtre numérique récursif, on effectue une successions d'opérations qui transforment un signal d'entrée x = (x_n)_(n ∈ ℕ) en un signal de sortie y = (y_n)_(n ∈ ℕ). Un modèle mathématique de ce filtre est de la forme
{y_0 = x_0; y_1 = x_1 − p_1 y_0; y_2 = x_2 − p_2 y_1 − q_2 y_0; y_(n + 3) = x_(n + 3) − p_(n + 3)y_(n + 2) − q_(n + 3)y_(n + 1) − r_(n + 3)y_n, ∀n ⩾ 0
où p = (p_n)_(n ∈ ℕ), q = (q_n)_(n ∈ ℕ), r = (r_n)_(n ∈ ℕ) sont trois suites réelles telles que r_n ≠ 0 pour tout n ∈ ℕ.
L'objet de cette partie est de présenter deux méthodes permettant de calculer le signal de sortie y ∈ S en fonction du signal d'entrée x ∈ S.

II.A - Propriétés générales des filtres linéaires récursifs

Q 15. Existence et unicité du signal de sortie. Montrer que la donnée de la suite x = (x_n)_(n ∈ ℕ) ∈ S détermine une unique suite y = (y_n)_(n ∈ ℕ) ∈ S vérifiant (II.1).
On note alors y = T(x) l'unique signal de sortie y associé au signal d'entrée x ∈ S.
Q 16. Montrer que T est un endomorphisme injectif de S.
On note H l'ensemble des suites y = (y_n) ∈ S telles que, pour tout n ∈ ℕ,
y_(n + 3) + p_(n + 3)y_(n + 2) + q_(n + 3)y_(n + 1) + r_(n + 3)y_n = 0
Q 17. Montrer que ℋ est un sous-espace vectoriel de S.
Q 18. Justifier que l'application ψ : | H → ℝ^3; y ↦ (y_0, y_1, y_2) est un isomorphisme et en déduire la dimension de H.

II.B - Méthode algébrique de calcul du signal de sortie y pour un signal d'entrée x ∈ S donné

Dans toute cette sous-partie II.B, on suppose que l'on dispose d'une base ( a, b, c ) de H.
Si une suite réelle z = (z_n)_(n ∈ ℕ) ∈ S est désignée par une lettre minuscule, on note Z avec une lettre majuscule grasse, la suite vectorielle définie en posant, pour tout n ∈ ℕ, Z_n = (z_n; z_(n + 1); z_(n + 2)).
Q 19. Déterminer une suite de matrices (M_n)_(n ∈ ℕ) à valeurs dans M_3(ℝ), telle que l'on ait l'équivalence
(∀n ∈ ℕ, y_(n + 3) + p_(n + 3)y_(n + 2) + q_(n + 3)y_(n + 1) + r_(n + 3)y_n = x_(n + 3)) ⇔ (∀n ∈ ℕ, Y_(n + 1) = M_n Y_n + (0; 0; x_(n + 3)))
Q 20. Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ, la matrice M_n est inversible.
Q 21. Justifier, pour tout n ∈ ℕ, les égalités, A_(n + 1) = M_n A_n, B_(n + 1) = M_n B_n et C_(n + 1) = M_n C_n où A, B et C sont les suites vectorielles respectivement associées aux suites réelles a, b et c.
Q 22. Justifier que, pour tout n ∈ ℕ, la famille (A_n, B_n, C_n) est une base de M_(3, 1)(ℝ).
Soit y = (y_n)_(n ∈ ℕ) une suite vérifiant (II.1).
Q 23. Montrer qu'il existe trois suites réelles u, v et w telles que, pour tout n ∈ ℕ,
Y_n = u_n A_n + v_n B_n + w_n C_n.
Q 24. Vérifier que, pour tout n ∈ ℕ,
[Δ(u)]_n A_(n + 1) + [Δ(v)]_n B_(n + 1) + [Δ(w)]_n C_(n + 1) = (0; 0; x_(n + 3))
On note W_n ∈ M_3(ℝ) la matrice dont les colonnes sont A_n, B_n et C_n.
Q 25. Exprimer, pour tout n ∈ ℕ, les termes [Δ(u)]_n, [Δ(v)]_n et [Δ(w)]_n à l'aide de la matrice W_(n + 1) et de x_(n + 3).
Q 26. Déduire des questions qui précèdent une méthode pour calculer y = T(x) défini par le système (II.1).
II.C - Exemple de mise en œuvre de cette méthode algébrique pour un signal d'entrée de type rampe
Q 27. Montrer, pour tout q ∈ ℝ∖{1} et tout n ∈ ℕ^⋆, l'égalité ∑_(k = 1)^n kq^k = (q(nq^(n + 1) − (n + 1)q^n + 1))/((q − 1)^2).
Q 28. Montrer que les suites a = (a_n)_(n ∈ ℕ), b = (b_n)_(n ∈ ℕ) et c = (c_n)_(n ∈ ℕ) de S définies, pour tout entier naturel n, par a_n = 1, b_n = (− 3)^n et c_n = 2^n forment une base de l'ensemble H des suites vérifiant, pour tout n ∈ ℕ, y_(n + 3) − 7y_(n + 1) + 6y_n = 0.
Q 29. Résoudre, pour tout n ∈ ℕ, le système suivant, d'inconnues α, β, γ :
(1, (− 3)^(n + 1), 2^(n + 1); 1, (− 3)^(n + 2), 2^(n + 2); 1, (− 3)^(n + 3), 2^(n + 3))(α; β; γ) = (0; 0; n + 3)
Q 30. En déduire le signal de sortie y vérifiant
{y_0 = 0; y_1 = 1; y_2 = 2; y_(n + 3) − 7y_(n + 1) + 6y_n = n + 3, ∀n ⩾ 0

II.D - Méthode analytique de calcul d'un signal de sortie

Soit u = (u_n)_(n ∈ ℕ) ∈ S, une suite modélisant un signal discret.
On note ρ_u le rayon de convergence de la série entière ∑u_n z^n. Si ρ_u > 0, on dit que u admet une transformée en Z, notée U, définie sur le domaine D_u = {z ∈ ℂ^⋆; |z| > 1/(ρ_u)} par
∀z ∈ D_u, U(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n z^(− n)
On admet que, si u et v sont deux suites telles que les séries entières ∑u_n z^n et ∑v_n z^n ont le même rayon de convergence strictement positif, alors, pour tout λ ∈ ℂ, la suite λu + v admet une transformée en Z égale à λU + V où U et V sont respectivement les transformées en Z des suites u et v.
Q 31. Montrer que si les transformées en Z, U et V, de deux suites u ∈ S et v ∈ S sont égales, alors les deux suites u et v sont elles-mêmes égales.
Q 32. Montrer que ρ_(τ(u)) = ρ_u.
Q 33. Calculer ρ_u et la transformée en Z de u dans le cas où u_n = (− 2)^n pour tout n ∈ ℕ.
II.E - Exemple de mise en œuvre de la méthode analytique pour un signal d'entrée exponentiel On se propose de déterminer le signal de sortie y ∈ S vérifiant
{y_0 = 0; y_1 = − 1; y_2 = − 1; y_(n + 3) + y_(n + 2) − y_(n + 1) − y_n = (− 2)^n, ∀n ∈ ℕ
Dans les deux questions qui suivent, on suppose que ρ_y > 0 et on note Y la transformée en Z de y.
Q 34. Démontrer que, pour tout k ∈ ℕ^∗, la suite τ^k(y) admet une transformée en Z , notée Y_(τ^k) et définie par
∀z ∈ D_y, Y_(τ^k)(z) = z^k Y(z) − ∑_(i = 0)^(k − 1)y_i z^(k − i)
Q 35. Déterminer τ^3(y) + τ^2(y) − τ(y) − y et en déduire que
Y(z) = (− z(z + 3))/((z − 1)(z + 1)(z + 2))
Q 36. Déterminer trois nombres réels α, β et γ tels que,
∀z ∈ ℂ∖{ − 2, − 1, 1}, (− z(z + 3))/((z − 1)(z + 1)(z + 2)) = α/(z + 1) + β/(z + 2) + γ/(z − 1).
Q 37. Si c ∈ ℝ^⋆, calculer le développement en série entière en 0 de z ↦ 1/(1 − cz) et donner son rayon de convergence.
Q 38. En déduire que 1/(z + c) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− c)^n z^(− n − 1) pour tout z ∈ ℂ tel que |z| > |c|.
Q 39. Montrer que, pour tout z ∈ ℂ tel que |z| > 2, la série numérique ∑_(n ⩾ 0)((− 1)^n − ((− 2)^n)/3 − 2/3)z^(− (n + 1)) converge.
Q 40. En utilisant les questions Q35 à Q38, déterminer l'expression générale de y_n en fonction de n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale TSI 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale TSI 2020 ?

Le sujet porte sur le traitement de signaux discrets : suites récurrentes linéaires, équations différentielles, opérateurs linéaires, calcul matriciel et séries entières.

Le sujet de maths 1 Centrale TSI 2020 est-il accessible ?

Oui, le rapport indique que le sujet utilise peu le programme de deuxième année et que les notions de première année mobilisées sont classiques et bien maîtrisées dans les bonnes copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur le sujet maths 1 Centrale TSI 2020 ?

Le jury relève surtout un manque de rigueur et de justification, des confusions entre hypothèse et conclusion, des difficultés avec le produit matriciel et un usage inapproprié de la règle de d'Alembert.

Le sujet de maths 1 Centrale TSI 2020 comporte-t-il des notions hors programme ?

Non, le rapport précise explicitement que le sujet ne comportait pas de notion hors programme.

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