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Mécanique du solide indéformable : opérateur d'inertie, sous-espaces stables et symétries mécaniques
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Le problème développe les outils mathématiques de la mécanique du solide indéformable. Il étudie d'abord l'endomorphisme associé au produit vectoriel par un vecteur fixé et ses propriétés spectrales, avant de l'appliquer au calcul de distance d'un point ou d'une surface à un axe. Il établit ensuite des résultats généraux sur les droites et plans stables par un endomorphisme de R^3, notamment pour les isométries vectorielles.

  1. 1Partie I : préliminaires (endomorphisme de produit vectoriel)Étudier l'endomorphisme associé au produit vectoriel par un vecteur fixé, ses valeurs propres, puis un endomorphisme dérivé lié à la distance d'un point à un axe, et l'appliquer au calcul de la distance minimale entre une surface et une droite.
  2. 2Partie II : droites et plans stables par un endomorphisme de R^3Montrer qu'un endomorphisme de R^3 admet toujours une valeur propre réelle et une droite stable, étudier les sous-espaces stables des isométries vectorielles, et le lien entre endomorphismes qui commutent et sous-espaces stables communs.
  3. 3Partie III : matrice d'inertie d'un solide indéformableDéfinir l'opérateur d'inertie, le centre d'inertie et les moments d'inertie d'un système de points matériels, établir la symétrie de la matrice d'inertie et le lien entre ses valeurs propres et les droites principales d'inertie.
  4. 4Partie IV : symétries mécaniques et directions principales d'inertieDéfinir les symétries mécaniques d'un système et montrer comment leurs sous-espaces propres, notamment les plans de symétrie, permettent de déterminer les directions principales d'inertie du système.
  5. 5Partie V : énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixeExprimer l'énergie cinétique propre d'un solide en rotation en fonction de l'opérateur d'inertie et déterminer les conditions pour lesquelles elle est maximale à vitesse angulaire donnée.

L'épreuve en chiffres

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Mécanique du solide indéformable

Ce sujet aborde l'étude de quelques outils mathématiques utilisés en dynamique pour modéliser l'ensemble des caractéristiques inertielles d'un solide indéformable constitué d'un nombre fini de points matériels.
Rappels et notations
On note E = (ı⃗, ȷ⃗, k⃗) la base canonique de ℝ^3 et R_0 le repère ( O, ı⃗, ȷ⃗, k⃗ ).
L'espace ℝ^3 est muni de son produit scalaire canonique noté ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire. Ainsi ℝ^3 est muni d'une structure d'espace euclidien orienté par la base E.
On rappelle l'inégalité de Cauchy-Schwarz
∀(x⃗, y⃗) ∈ ℝ^3 × ℝ^3, ⟨x⃗, y⃗⟩^2 ⩽ ‖x⃗‖^2‖y⃗‖^2
Si F est un sous-espace vectoriel de ℝ^3, on note F^⊥ l'ensemble des vecteurs de ℝ^3 orthogonaux à tous les vecteurs de F, à savoir
F^⊥ = {x⃗ ∈ ℝ^3|∀y⃗ ∈ F, ⟨x⃗, y⃗⟩ = 0}
On dit que deux plans vectoriels P_0 et P_1 sont perpendiculaires si et seulement si P_1^⊥ ⊂ P_0.
On rappelle qu'un sous-espace vectoriel F de ℝ^3 est stable par un endomorphisme f de ℝ^3 si pour tout x⃗ de F, son image f(x⃗) appartient à F.

I Préliminaires

Soit u⃗ = (α, β, γ) ∈ ℝ^3 un vecteur non nul. On note Δ_0 la droite vectorielle dirigée par u⃗ et P_0 le plan vectoriel orthogonal à Δ_0.

I.A - Endomorphisme associé à un produit vectoriel

Q 1. Montrer que l'application g_(u⃗) : ℝ^3 → ℝ^3 donnée par g_(u⃗)(x⃗) = u⃗ ∧ x⃗ pour tout x⃗ ∈ ℝ^3 est un endomorphisme non nul de ℝ^3.
Q 2. Déterminer le noyau et l'image de g_(u⃗).
Q 3. Soit λ un réel donné non nul, résoudre l'équation g_(u⃗)(x⃗) = λx⃗ d'inconnue x⃗.
Q 4. En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de g_(u⃗). L'endomorphisme g_(u⃗) est-il diagonalisable?
Q 5. Calculer la matrice G_(u⃗) de g_(u⃗) dans la base E.
Q 6. Montrer que P_0 est stable par g_(u⃗).
Q 7. On note g~_(u⃗) l'endomorphisme induit par g_(u⃗) sur P_0. Montrer que l'endomorphisme 1/(‖u⃗‖)g~_(u⃗) est une isométrie vectorielle du plan P_0 dont on donnera les caractéristiques géométriques. On pourra orienter le plan P_0 par le choix d'une base orthonormée ( e⃗_1, e⃗_2 ) telle ( e⃗_1, e⃗_2, u⃗ ) soit une base orthonormée directe de ℝ^3.
Q 8. Montrer que ℝ^3 = P_0 ⊕ Δ_0 et donner la matrice de g_(u⃗) dans la base ( e⃗_1, e⃗_2, u⃗ ).

I.B - Cas particulier d'opérateur d'inertie pour un solide ponctuel

On définit la matrice F_(u⃗) ∈ M_3(ℝ) par la relation F_(u⃗) = − (G_(u⃗))^2. Soit f_(u⃗) l'endomorphisme de ℝ^3 canoniquement associé à F_(u⃗).
Q 9. En examinant la matrice F_(u⃗), justifier sans calcul qu'il existe une base orthonormée constituée de vecteurs propres de f_(u⃗).
Q 10. Montrer que pour tout x⃗ ∈ ℝ^3, on a la relation : f_(u⃗)(x⃗) = ‖u⃗‖^2 x⃗ − ⟨u⃗, x⃗⟩u⃗.
Q 11. En déduire que, pour tout x⃗ ∈ ℝ^3, f_(u⃗)(x⃗) = ‖u⃗‖^2 P_(P_0)(x⃗), où P_(P_0) est la projection orthogonale sur le plan P_0.
Q 12. En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de f_(u⃗).

I. C - Distance d'un point à un axe

Dans cette sous-partie I.C, on suppose que ‖u⃗‖ = 1; on rappelle que Δ_0 = Vect(u⃗).
On considère l'application q_(u⃗) : ℝ^3 → ℝ définie par q_(u⃗)(x⃗) = ⟨f_(u⃗)(x⃗), x⃗⟩ pour tout x⃗ ∈ ℝ^3.
Q 13. Démontrer que, pour tout x⃗ de ℝ^3, q_(u⃗)(x⃗) ⩾ 0 puis déterminer les vecteurs x⃗ ∈ ℝ^3 tels que q_(u⃗)(x⃗) = 0.
Q 14. Montrer que pour tout point M ∈ ℝ^3, q_(u⃗)(OM^(→−)) = d(M, Δ_0)^2.

I.D - Distance d'une surface à une droite

Dans cette sous-partie I.D, on suppose que u⃗ = k⃗ et on considère la surface S d'équation cartésienne, dans le repère R_0, 4(y − 2)^2 + z^2 = 4.
Q 15. Si (x, θ) ∈ ℝ^2, montrer que tous les points M(x, θ) de coordonnées ( x, 2 + cosθ, 2sinθ ) dans le repère R_0 appartiennent à S. Réciproquement, vérifier que, si un point appartient à S, alors ses coordonnées dans R_0 peuvent s'écrire sous cette forme.
On pose h : ℝ^2 → ℝ, h(x, θ) = q_(u⃗)(OM^(→−)(x, θ)).
Q 16. Montrer que la fonction h est minorée sur ℝ^2.
Q 17. Montrer qu'il existe un unique point M_0 ∈ S tel que pour tout M ∈ S, q_(u⃗)(M) ⩾ q_(u⃗)(M_0). Déterminer les coordonnées de M_0 dans R_0.
Q 18. Montrer que le point M_0 est un point régulier de la surface S et donner l'équation du plan tangent à S en M_0. Démontrer que S est contenu dans la portion d'espace définie par {1 ⩽ y ⩽ 3}.

II Droites et plans stables par un endomorphisme de ℝ^3

II.A - Une remarque sur le polynôme caractéristique

Q 19. En s'appuyant sur le théorème des valeurs intermédiaires, démontrer qu'un polynôme de degré 3 à coefficients réels admet au moins une racine dans ℝ.

II.B - Cas d'un endomorphisme de ℝ^3

Dans cette sous-partie II.B, f désigne un endomorphisme de ℝ^3.
Q 20. Montrer que f admet au moins une valeur propre réelle.
Q 21. Démontrer qu'une droite vectorielle est stable par f si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de f. En déduire que f admet au moins une droite stable.
Q 22. Démontrer que l'intersection de deux plans vectoriels distincts, stables par f, est une droite engendrée par un vecteur propre de f.

II.C - Cas d'une isométrie vectorielle de ℝ^3

Dans cette sous-partie II.C, f désigne une isométrie vectorielle de ℝ^3.
Q 23. Soit F un sous-espace vectoriel de ℝ^3. Démontrer que si F est stable par f alors F^⊥ est stable par f.
Q 24. Démontrer que si P est un plan vectoriel stable par f, alors la droite vectorielle orthogonale à P est engendrée par un vecteur propre de f.
Q 25. Donner la liste des sous-espaces propres de f dans les cas suivants :
i. f est une réflexion par rapport à un plan vectoriel P_0;
ii. f est une rotation d'axe Δ_0 = Vect(n⃗) et d'angle orienté par n⃗ valant θ ∈ ℝ. On prendra soin de considérer à part le cas où θ = kπ où k ∈ ℤ.

II.D - Endomorphismes qui commutent et stabilisation de sous-espaces

Q 26. On considère deux endomorphismes f_1 et f_2 de ℝ^3 vérifiant f_1 ∘ f_2 = f_2 ∘ f_1. Démontrer que tout sous-espace propre de f_1 est stable par f_2.
Q 27. Soient deux rotations vectorielles distinctes de l'identité. Montrer que si elles commutent, alors leurs axes sont confondus ou orthogonaux.

III Matrice d'inertie d'un solide indéformable

Soit n ∈ ℕ^∗.
On considère un système constitué d'objets ponctuels {M_i}_(1 ⩽ i ⩽ n) placés dans ℝ^3 et munis de masses respectives {m_i}_(1 ⩽ i ⩽ n) toutes strictement positives. Ces objets sont reliés entre eux par des tiges rigides de masses négligeables.
Le système mécanique S = {(M_i, m_i), 1 ⩽ i ⩽ n} modélise un solide indéformable discret.

III.A - Définitions

On considère un système mécanique S = {(M_i, m_i), 1 ⩽ i ⩽ n}.
Soit Q un point de ℝ^3. On appelle opérateur d'inertie de S au point Q l'endomorphisme de ℝ^3 donné par
∀x⃗ ∈ ℝ^3, J_(S, Q)^–^–(x⃗) = ∑_(i = 1)^n m_i QM_i^(→−) ∧ (x⃗ ∧ QM_i^(→−))
On appelle centre d'inertie de S, noté G_S, l'unique point de ℝ^3 vérifiant (∑_(i = 1)^n m_i)OG_S^(→−) = ∑_(i = 1)^n m_i OM_i^(→−).
Si Δ est une droite affine, on appelle moment d'inertie de S par rapport à Δ le réel I_Δ(S) = ∑_(i = 1)^n m_i d(M_i, Δ)^2.
On appelle moment principal d'inertie de S, toute valeur propre de l'opérateur J_(S, G_S)^–^– et droite principale d'inertie de S, toute droite vectorielle engendrée par un vecteur propre de J_(S, G_S)^–^–.

III.B - Un exemple de système mécanique

On se place dans le repère R_0. On prend M_1 = (0, 0, 0), M_2 = (1, 0, 0), M_3 = (0, 1, 0), M_4 = (0, 0, 1) et m_1 = m_2 = m_3 = 1, m_4 = 2.
Q 28. Représenter le système S = {(M_1, m_1), (M_2, m_2), (M_3, m_3), (M_4, m_4)} à l'aide d'un schéma.
Q 29. Calculer le centre d'inertie de S et le moment d'inertie de S par rapport à la droite passant par O et dirigée par le vecteur v⃗ = √3/3(ı⃗ + ȷ⃗ + k⃗).

III.C - Cas général : matrice d'inertie d'un système mécanique

Considérons un système mécanique S = {(M_i, m_i), 1 ⩽ i ⩽ n} et Q un point quelconque de ℝ^3.
Q 30. Montrer que pour tout x⃗ ∈ ℝ^3, J_(S, Q)^–^–(x⃗) = ∑_(i = 1)^n m_i f_(QM_i^–)(x⃗).
Q 31. Soit Δ une droite affine passant par le point Q ∈ ℝ^3 et dirigée par le vecteur v⃗ ≠ 0. Montrer que
I_Δ(S) = (⟨J_(S, Q)^–^–(v⃗), v⃗⟩)/(‖v⃗‖^2)
Q 32. Montrer que la matrice de J_(S, Q)^–^– dans la base (ı⃗, ȷ⃗, k⃗) est symétrique et réelle, puis exprimer ses termes diagonaux en termes de moments d'inertie par rapport à des axes à préciser.
Q 33. Montrer que J_(S, Q)^–^– admet exactement trois droites stables si et seulement si ses trois valeurs propres sont distinctes.

IV Symétries mécaniques et directions principales d'inertie

IV.A - Définitions

Soit un système mécanique désigné par S = {(M_i, m_i), 1 ⩽ i ⩽ n} dont le centre d'inertie est noté G_S.
Dans toute la suite du problème, on effectue un changement d'origine et on se place dans le repère R_(G_S)(G_S, ı⃗, ȷ⃗, k⃗) d'origine G_S.
On appelle symétrie mécanique de S, toute isométrie vectorielle φ de ℝ^3 telle qu'il existe une permutation σ de l'ensemble {1, …, n} vérifiant, pour tout i ∈ {1, …, n}, φ(G_S M_i^(→−)) = G_S M_(σ(i))^(→−) et m_(σ(i)) = m_i.
Ceci signifie que, par l'isométrie vectorielle φ, chaque point de S est transformé en un point appartenant également à S et ayant la même masse que lui.
IV.B - Mise en évidence d'une symétrie mécanique sur le système du III.B Soit Ψ la réflexion dont la matrice dans la base canonique de ℝ^3 est (0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 0, 1)
Q 34. Montrer que Ψ est une symétrie mécanique du système décrit au III.B.

IV.C - Cas général : recherche des moments principaux et des directions principales en utilisant les symétries mécaniques du système

Q 35. Montrer que si φ est une symétrie mécanique de S alors, pour tout x⃗ ∈ ℝ^3,
(φ ∘ J_(S, G_S)^–^–)(x⃗) = (J_(S, G_S)^–^– ∘ φ)(x⃗)
Q 36. En déduire que, si φ est une symétrie mécanique de S, alors tout sous-espace propre de φ est stable par l'opérateur J_(S, G_S)^–^–.
On dit qu'un plan vectoriel P est un plan de symétrie de S si la réflexion vectorielle par rapport à P est une symétrie mécanique de S.
Q 37. Montrer que tout plan de symétrie de S est stable par J_(S, G_S)^–^– et que toute droite vectorielle orthogonale à un plan de symétrie de S est une droite principale d'inertie de S.
Q 38. On suppose que S possède deux plans de symétrie P_1 et P_2 qui sont perpendiculaires. Identifier un repère orthonormé dont les axes sont des droites principales d'inertie.
Q 39. On suppose que S présente deux plans de symétrie non perpendiculaires. Montrer qu'au moins deux moments principaux d'inertie de S sont égaux. On pourra utiliser le résultat de la question 33.

V Recherche du maximum d'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Dans la suite, on identifie ℝ^3 et M_(3, 1)(ℝ).
On suppose que le système mécanique S peut être mis en rotation autour d'un axe fixe noté D passant par son centre d'inertie G_S et dirigé par un vecteur unitaire n⃗ ∈ ℝ^3. Cette révolution autour de D est faite à la vitesse angulaire constante notée (dθ)/(dt) = ω.
À chaque instant, on pose G_S M_i^(→−)(t) = R_(ωt)(G_S M_i^(→−)) pour tout i ∈ {1, …, n}, où R_(ωt) désigne la matrice dans la base canonique de ℝ^3 de la rotation d'axe D dirigé par n⃗ et d'angle ωt. On admet que si les colonnes de R_(ωt) sont désignées par (U(t), V(t), W(t)), on a d/(dt)R_(ωt) = ω(n⃗ ∧ U(t), n⃗ ∧ V(t), n⃗ ∧ W(t)).
Définition. Soit un système mécanique S_t = {(M_i(t), m_i), 1 ⩽ i ⩽ n} dont le centre d'inertie est noté G_S. On appelle énergie cinétique propre de S dans le repère R_(G_S)(G_S, ı⃗, ȷ⃗, k⃗), le réel
E_(R_(G_S)) = 1/2(∑_(i = 1)^n m_i‖d/(dt)G_S M_i^(→−)(t)‖^2)
Q 40. Montrer que E_(R_(G_S)) = 1/2ω^2(∑_(i = 1)^n m_i‖n⃗ ∧ G_S M_i^(→−)(t)‖^2) puis que E_(R_(G_S)) = 1/2ω^2⟨J_(S, G_S)^–^–(n⃗), n⃗⟩.
On suppose que ( e⃗_1, e⃗_2, e⃗_3 ) est une base orthonormale directe de ℝ^3 qui diagonalise J_(S, G_S)^–^– et on désigne par Δ_i la droite affine passant par G_S dirigée par e⃗_i pour i ∈ {1, 2, 3}.
Q 41. Montrer que si n⃗ = αe⃗_1 + βe⃗_2 + γe⃗_3, alors E_(R_(G_S)) = 1/2ω^2(α^2 I_(Δ_1)(S) + β^2 I_(Δ_2)(S) + γ^2 I_(Δ_3)(S)).
Q 42. Dans quelles situations l'énergie cinétique est-elle maximale pour une vitesse angulaire ω donnée ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 Centrale TSI 2018 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 Centrale TSI 2018 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire et bilinéaire en dimension 3 (endomorphismes, sous-espaces stables, matrices symétriques) appliquée à la mécanique du solide indéformable (opérateur d'inertie, moments et directions principales).

Ce sujet demande-t-il de connaître la mécanique du solide ?

Le sujet construit lui-même les notions nécessaires (opérateur d'inertie, moments et directions principales) à partir d'outils d'algèbre linéaire, sans supposer de connaissances physiques préalables approfondies.

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties s'enchaînent progressivement : les parties I et II développent des outils d'algèbre linéaire réutilisés dans les parties III à V consacrées à la matrice d'inertie et à ses applications.

Ce sujet aborde-t-il les symétries d'un système mécanique ?

Oui, la partie IV montre comment les symétries mécaniques (notamment les plans de symétrie) d'un système de points matériels permettent de trouver directement ses directions principales d'inertie sans diagonaliser explicitement la matrice d'inertie.

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