WikiPrépaLivrets

CCINP Mathématiques 2 TSI 2004Sujet et corrigé

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours CCINP

Explorer les annales

BanqueCCINPAnnée2004FilièreTSIMatièreMathématiques
Annales CCINP TSI MathématiquesCCINP TSI 2004TSI MathématiquesMathématiques 2004

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

Les calculatrices sont autorisées

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Soit α un nombre réel et f une fonction continue de ℝ dans ℝ.
On note ( E_α ) l'équation différentielle suivante :
(E_α) : y^(′′) + αy = f
On désigne par :
  • S l'ensemble des fonctions F de la variable x deux fois dérivables de ℝ dans ℝ solutions de l'équation différentielle ( E_α ).
  • S_0 l'ensemble des fonctions F éléments de S telles que F(0) = F(π) = 0.

Partie A

A.1.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle sur ℝ et que le réel α est nul. Déterminer l'ensemble S_0.
A.2.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle sur R .
Soit ω un réel strictement positif, déterminer l'ensemble S_0 lorsque :
  • A.2.a.) α = ω^2.
  • A.2.b.) α = − ω^2.
    A.3.) On suppose dans cette question que le réel α est nul.
Soit n un entier naturel non nul, déterminer l'ensemble S_0 lorsque :
  • A.3.a.) f(x) = cosnx.
  • A.3.b.) f(x) = sinnx.
    A.4.) On suppose toujours que le réel α est nul et on désigne par f un élément quelconque de C^0(R, R).
  • A.4.a) Montrer que :
S = {F : x ↦ ∫_0^x(∫_0^u f(t)dt)du + ax + b|(a, b) ∈ R^2}.
  • A.4.b) En déduire que l'ensemble S_0 admet un unique élément noté F_1. Déterminer F_1.
Dans toute la suite de cette partie, on désigne par φ la fonction définie de C^0(R, R) dans lui-même qui, à la fonction f, associe F_1, unique élément de S_0.
A.5.a.) Montrer que l'application φ est un endomorphisme de C^0(R, R).
A.5.b.) L'endomorphisme φ est-il injectif ? surjectif ?
A.5.c.) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l'endomorphisme φ.

Partie B

B.1.) On définit la fonction p de ℝ dans ℝ par :
∀x ∈ R, p(x) = |sin(x/2)|.
B.1.a.) Montrer que la fonction p est paire, de période 2π, continue et de classe C^1 par morceaux.
B.1.b.) Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction p sur [ − π, 3π] dans un repère orthogonal ( O; i⃗, j⃗ ).
Unité graphique 2 cmsur(O; i⃗) et 5 cmsur(O; j⃗).
B.1.c.) Justifier avec soin que la fonction p est somme de sa série de Fourier.
B.1.d.) Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction p et montrer que :
∀x ∈ ℝ, p(x) = 2/π − 4/π∑_(n ≥ 1)(cosnx)/(4n^2 − 1).
B.2.a.) Soit g une fonction continue, de période 2π de ℝ dans ℝ, on note a_n(g) et b_n(g) ses coefficients de Fourier.
Donner la formule de Parseval pour la fonction g.
B.2.b.) En déduire que :
2/π + 4/π∑_(n ≥ 1)1/((4n^2 − 1)^2) = π/4.

Partie C

On se propose de résoudre l'équation différentielle ( E_1 ) dans le cas particulier où f est un élément de C^0(R, R), soit :
y^(′′) + y = f.
C.1.) Déterminer l'ensemble des fonctions deux fois dérivables de R dans R solutions de l'équation différentielle:
y^(′′) + y = 0.
C.2.) On définit la fonction h de R dans R par :
∀x ∈ R, h(x) = ∫_0^x f(t)sin(x − t)dt.
C.2.a.) Montrer que :
∀x ∈ [0, π], h(x) = sinx∫_0^x f(t)cost dt − cosx∫_0^x f(t)sint dt.
C.2.b.) Montrer que la fonction h est deux fois dérivable sur R et expliciter h^′ et h^(′′).
C.2.c.) En déduire que la fonction h est une solution particulière de ( E_1 ).
C.3.) Déterminer l'ensemble des fonctions deux fois dérivables de R dans R solutions de l'équation différentielle (E_1).
C.4.) On suppose dans cette question que f(x) = |sinx|.
C.4.a.) Déduire de la partie B que :
∀x ∈ R, |sinx| = 2/π − 4/π∑_(n ≥ 1)(cos2nx)/(4n^2 − 1).
C.4.b.) Soit x un nombre réel et n un entier naturel, calculer :
∫_0^x cos2ntsin(x − t)dt.

C.4.c.) On admet avoir le droit de permuter série et intégrale.

Montrer que :
∀x ∈ R, h(x) = 2/π(1 − cosx) + 4/π∑_(n ≥ 1)(cos2nx − cosx)/((4n^2 − 1)^2).
C.4.d.) Déduire de la question B.2.b.) que :
∀x ∈ R, h(x) = 2/π − π/4cosx + 4/π∑_(n ≥ 1)(cos2nx)/((4n^2 − 1)^2).
C.4.e.) Calculer h(0) et h(π).
C.4.f.) Déduire l'ensemble S des solutions de l'équation différentielle y^(′′) + y = |sinx| puis l'ensemble S_0 des éléments de S s'annulant en 0 et π.

Partie D

On considère l'équation différentielle :
(F) x^2 y^(′′)(x) + xy^′(x) + y(x) = 0, x > 0.
D.1.) Soit z une application deux fois dérivable sur ℝ telle que ∀x ∈ R_+^∗, y(x) = z(lnx). Exprimer à l'aide des applications z^′, z^(′′) les dérivées première et seconde de l'application y.
D.2.) Montrer que l'application y est solution sur R_+^∗ de l'équation différentielle ( F ) si, et seulement si, l'application z est solution sur ℝ d'une équation différentielle à préciser, que l'on notera (H).
D.3) Résoudre (H). En déduire l'ensemble des solutions de (F).
D.4.) Déterminer l'unique solution du système suivant :
{x^2 y^(′′)(x) + xy^′(x) + y(x) = 0, x > 0; y(1) = 0; y^′(1) = 1

Pas de description pour le moment