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Exponentielle d'un endomorphisme en dimension 2 et 3

Le problème construit progressivement une notion d'exponentielle d'endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension n, d'abord pour les endomorphismes diagonalisables, puis pour les endomorphismes nilpotents, avant de la définir pour tout endomorphisme grâce à la décomposition en partie diagonalisable et partie nilpotente qui commutent. L'application exponentielle est ensuite étudiée en détail dans les cas de la dimension 2 et de la dimension 3, notamment son injectivité et sa surjectivité vers le groupe des automorphismes.

1Partie I : préliminaires, endomorphismes nilpotents, trace d'un endomorphismeÉtudier les liens entre valeurs propres, inversibilité et nilpotence, définir l'indice de nilpotence, et introduire la trace d'un endomorphisme comme somme de ses valeurs propres.
2Partie II : exponentielle d'un endomorphismeDéfinir l'exponentielle d'un endomorphisme diagonalisable, puis d'un endomorphisme nilpotent, et enfin d'un endomorphisme quelconque décomposé en une partie diagonalisable et une partie nilpotente qui commutent.
3Partie III : le cas n=2Classer les endomorphismes en dimension 2 à similitude près, calculer explicitement leur exponentielle, et étudier l'injectivité et la surjectivité de l'application exponentielle, notamment sa restriction aux matrices de trace nulle.
4Partie IV : le cas n=3Montrer que tout endomorphisme en dimension 3 admet une décomposition en partie diagonalisable et partie nilpotente commutantes, puis exhiber un exemple montrant que l'application exponentielle n'est pas injective.

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Notations et rappels

Dans tout le problème $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2 et $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension $n$ . On notera $L(E)$ le $ℂ$ -espace vectoriel des endomorphismes de $E$ et $GL(E)$ le sous-ensemble de $L(E)$ formé des automorphismes de $E$ .
À tout $f \in L(E)$ , on associe sa matrice $Mat_B(f)$ dans la base $B$ choisie dans $E$ .

On rappelle que l'application

f \mapsto Mat_B(f)

est un isomorphisme de

L(E)

sur le

ℂ

-espace vectoriel, noté

M_n(ℂ)

, formé des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients complexes.
De la même façon,

GL(E)

s'identifie, moyennant l'isomorphisme précédent, à l'ensemble

GL_n(ℂ)

des matrices carrées d'ordre

n

qui sont inversibles.
On rappelle également que

GL(E)

(respectivement

GL_n(ℂ)

), muni de la composition des applications (respectivement muni du produit des matrices), possède une structure de groupe.

Soit $A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℂ)$ . On dit que $A$ est triangulaire supérieure si $a_(ij) = 0$ dès que $i > j$ . On note $T_n(ℂ)$ le sous-espace vectoriel de $M_n(ℂ)$ formé des matrices triangulaires supérieures.
Soit $f \in L(E)$ . On sera amené à utiliser la propriété ( T ) suivante :
$(T)$ : il existe une base $B^'$ de $E$ telle que $Mat_(B^')(f) \in T_n(ℂ)$
On rappelle que, par convention : $\forallA \in M_n(ℂ), A^0 = I$ (matrice identité).
Soit $f \in L(E)$ . Alors, $f$ admet $n$ valeurs propres en comptant chacune avec son ordre de multiplicité.
On rappelle enfin que l'exponentielle d'un nombre complexe $z$ peut être noté $e^z$ ou $expz$ et que, pour tout nombre complexe $z, expz \neq 0$ .

I Préliminaires : endomorphismes nilpotents, trace d'un endomorphisme

I.A -

Soit

f \in L(E)

.
I.A.1) Montrer que

f

est injectif si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de

f

.
I.A.2) Montrer que

f \in GL(E)

si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de

f

.
I.A.3) Soit

M \in M_n(ℂ)

. Montrer que

M

est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de

M

I.B

- Une matrice

N \in M_n(ℂ)

sera dite nilpotente s'il existe un entier strictement positif

k

tel que :

N^k = 0

(matrice nulle).
On note

k(N)

le plus petit entier strictement positif vérifiant cette propriété et on l'appelle «indice de nilpotence de

» N»

.
On note

N_n(ℂ)

l'ensemble des matrices nilpotentes de

M_n(ℂ)

.
I.B.1) Soit

N

la matrice de

M_3(ℂ)

définie par :

N = (0, 1, 2; 0, 0, 3; 0, 0, 0)

Montrer que

N \in N_3(ℂ)

puis déterminer

k(N)

.
I.B.2) Soient

N \in M_n(ℂ)

M

une matrice semblable à

N

.
a) Montrer que, pour tout entier naturel

p, M^p

N^p

sont semblables.
b) En déduire que, si

N

est nilpotente,

M

l'est aussi et

k(M) = k(N)

.
I.B.3) Soit

f \in L(E)

. On suppose qu'il existe une base

B

E

telle que

Mat_B(f) \in N_n(ℂ)

Montrer que, pour toute base

B^'

E, Mat_(B^')(f)

est également nilpotente et de même indice de nilpotence que

Mat_B(f)

.
On dira alors que

f

est nilpotent et on notera

k(f)

l'indice de nilpotence de

Mat_B(f)

qui sera appelé aussi indice de nilpotence de

f

.
I.B.4) Soient

N \in T_n(ℂ)

n_(ij)

son terme général.

On suppose que:

\foralli \in [ [1, n] ], n_(ii) = 0

.
On note

n_(ij)^((k))

le terme général de la matrice

N^k

avec

k \in ℕ

.
a) Montrer que

N^2 \in T_n(ℂ)

et que

n_(ij)^((2)) = 0

j ⩽ i + 1

.
b) Montrer, plus généralement, que

N^k \in T_n(ℂ)

et que

n_(ij)^((k)) = 0

j ⩽ i + k - 1

.
c) En déduire que

N \in N_n(ℂ)

.
I.B.5) Soient

f \in L(E)

N \in T_n(ℂ)

la matrice de

f

dans une base appropriée

B

E

donnée par la propriété ( T ) rappelée en préliminaire.
a) En explicitant le polynôme caractéristique de

N

, déterminer les valeurs propres de

f

en fonction des termes diagonaux de

N

.
b) Montrer que

f

est nilpotent si et seulement si 0 est sa seule valeur propre.
I.B.6) Montrer qu'une matrice triangulaire supérieure est nilpotente si et seulement si tous ses termes diagonaux sont nuls.
I.

C -

Soit

A = (a_(ij)) \in M_n(ℂ)

On rappelle que la trace de

A

est le nombre complexe

Tr(A) = \sum_(i = 1)^n a_(ii)

.
I.C.1) Soit

f \in L(E)

Montrer que le nombre complexe

Tr(Mat_B(f))

ne dépend pas du choix de la base

B

dans

E

.
On appelle «trace de l'endomorphisme

» f»

ce nombre complexe, noté

Tr(f)

.
Ainsi on a, pour toute base

B

E, Tr(f) = Tr(Mat_B(f))

.
I.C.2) Soit

f \in L(E)

. On désigne par

λ_1, \dots, λ_n

, les valeurs propres (éventuellement égales) de

f

Montrer, à l'aide de la question I.B. 5 a, que :

Tr(f) = \sum_(k = 1)^n λ_k

I.C.3) On considère le cas

n = 2

. Soit

A \in M_2(ℂ)

telle que

Tr(A) = 0

Montrer que

A

est soit diagonalisable, soit nilpotente.
I.C.4) A-t-on le même résultat lorsque

n = 3

II Exponentielle d'un endomorphisme

Soit

f \in L(E)

.
II.A - On suppose, tout d'abord,

f

diagonalisable, et on note

B_p = {e_1, …, e_n}

une base de vecteurs propres de

f

associés respectivement aux valeurs propres

λ_1, \dots, λ_n

. On définit alors l'endomorphisme

expf

par l'image des vecteurs de la base

B_p

en posant :

\foralli \in [ [1, n] ], (expf)(e_i) = (expλ_i)e_i

II.A.1)

a) Représenter la matrice de

expf

sur la base

B_p

.
b) Montrer que

expf

appartient à

GL(E)

Cet endomorphisme est appelé «exponentielle de l'endomorphisme

» f»

. On admet qu'il ne dépend que de

f

et pas de la base de vecteurs propres de

f

utilisée pour le définir.
Si

D

est une matrice diagonale de termes diagonaux

μ_1, \dots, μ_n

, on note

expD

la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont

expμ_1, \dots, expμ_n

.
II.A.2) Soit

M \in M_n(ℂ)

. On suppose que

M

est diagonalisable.

Soient

P_1, P_2

deux matrices inversibles et

D_1, D_2

deux matrices diagonales telles que:

M = P_1 D_1 P_1^(- 1) = P_2 D_2 P_2^(- 1)

Montrer que

P_1(expD_1)P_1^(- 1) = P_2(expD_2)P_2^(- 1)

.
On appellera exponentielle de la matrice

M

, la matrice notée

expM

égale à

P(expD)P^(- 1)

où

(P, D)

est un couple de matrices utilisé pour diagonaliser

M

.
II.B - On suppose maintenant que

f

est nilpotent, d'indice de nilpotence

k(f)

. On considère une base

B

E

telle que

M = Mat_B(f) \in T_n(ℂ)

, selon la propriété (T).
On pose alors :

ùé{expf = ∑_(p = 0)^(k(f) − 1)(f^p)/(p!) où f^0 = identité de E; expM = ∑_(p = 0)^(k(f) − 1)(M^p)/(p!)

II.B.1) Déterminer les termes diagonaux de la matrice

expM

.
II.B.2) En déduire l'ensemble des valeurs propres de

expf

puis montrer que

expf \in GL(E)

L'endomorphisme

expf

est encore appelé l'exponentielle de

f

et la matrice

expM

l'exponentielle de

M

.
II.

C

- On suppose enfin que

f

satisfait à la propriété

(P)

(P) : \exists(d, g) \in (L(E))^2, d diagonalisable, g nilpotent, d \circ g = g \circ d/f = d + g

On admettra que, si

f

satisfait à ( P ), alors le couple (

d, g

) donné par ( P ) est unique.

II.C.1)

a) Montrer que :

expd \circ expg = expg \circ expd

On pose alors :

expf = expd \circ expg

et on l'appelle encore l'exponentielle de

f

.
On désigne par

Γ_n(E)

le sous-ensemble de

L(E)

formé des endomorphismes

f

satisfaisant à (

P

).
De même, on désigne par

Γ_n(ℂ)

le sous-ensemble de

M_n(ℂ)

formé des matrices

M

qui peuvent s'écrire

M = D + N

avec

D

diagonalisable,

N

nilpotente et

DN = ND

.
b) Montrer que, pour toute matrice

M

Γ_n(ℂ)

, le couple (

D, N

) associé est unique.

On pose

expM = expDexpN

et on l'appelle l'exponentielle de

M

.
II.C.2) Soient

M \in Γ_n(ℂ)

P \in GL_n(ℂ)

Démontrer que

PMP^(- 1) \in Γ_n(ℂ)

et que

exp(PMP^(- 1)) = P(expM)P^(- 1)

.
On a ainsi défini deux applications

exp : Γ_n(E) ⟶ GL(E)

exp : Γ_n(ℂ) ⟶ GL_n(ℂ)

.
Notre but est maintenant d'étudier un peu plus précisément ces applications dans les cas

n = 2

n = 3

III Le cas $n = 2$

On suppose dans toute cette partie que

E

désigne un

ℂ

espace-vectoriel de dimension 2 .
III. A - Soient

f \in L(E), λ

μ

ses valeurs propres,

E_λ

le sous-espace propre associé à la valeur propre

λ

. On suppose

f

non diagonalisable.
III.A.1) Montrer que

λ = μ

et que

dimE_λ = 1

Montrer, de plus, que

(f - λId_E)^2 = 0

. (On pourra utiliser la question I.B. 5 a).
III.A.2) Soient

v \in E

un vecteur n'appartenant pas à

E_λ

u = f(v) - λv

Montrer que

u ∈ E_λ∖{0}

et que

B = (u, v)

est une base de

E

. Déterminer

Mat_B(f)

.
III.B - Pour tout couple

(a, b) \in ℂ^2

, on définit les matrices suivantes :

D(a, b) = (a, 0; 0, b) et M(a) = (a, 1; 0, a)

On définit enfin le sous-ensemble suivant de

M_2(ℂ)

J_2(ℂ) = {D(a, b), (a, b) ∈ ℂ^2} ∪ {M(a), a ∈ ℂ}

Montrer que tout élément de

M_2(ℂ)

est semblable à une matrice de

J_2(ℂ)

.
III.

C

- Montrer que

J_2(ℂ) \subset Γ_2(ℂ)

puis calculer

expD(a, b)

expM(a)

pour tout couple

(a, b) \in ℂ^2

.
III.D - Montrer que

Γ_2(ℂ) = M_2(ℂ)

On admettra de même que

Γ_2(E) = L(E)

.
L'application exponentielle est ainsi une application de

L(E)

dans

GL(E)

III.E -

III.E.1) Soient

θ

un réel non nul et

A(θ)

la matrice définie par :

A(θ) = (0, - θ; θ, 0)

Déterminer

expA(θ)

.
III.E.2) L'application

exp : M_2(ℂ) ⟶ GL_2(ℂ)

est-elle injective ?
III.E.3) En utilisant la question III.C, montrer que toute matrice de

J_2(ℂ) \cap GL_2(ℂ)

est semblable à l'image par l'application exponentielle d'un élément de

J_2(ℂ)

.
III.E.4) En déduire, en utilisant les questions II.C.2, III.B et III.E.3, que l'application

exp : M_2(ℂ) ⟶ GL_2(ℂ)

est surjective.
III.F - Montrer que :

\forallM \in M_2(ℂ), det(expM) = exp(Tr(M))

.
III.

G

- Soient

SL_2(ℂ) = {M ∈ M_2(ℂ)|detM = 1}

L_0(ℂ)

le sous-espace vectoriel de

M_2(ℂ)

formé des matrices de trace nulle.
III.G.1) Montrer que

SL_2(ℂ)

est un sous-groupe de

GL_2(ℂ)

et que :

\forallM \in L_0(ℂ), expM \in SL_2(ℂ)

On considère maintenant la restriction

exp˜ : L_0(ℂ) ⟶ SL_2(ℂ)

.
III.G.2) Montrer, à l'aide de I.C. 3 et III.B, que tout élément de

L_0(ℂ)

est semblable à une matrice de la forme :

D(a) = (a, 0; 0, - a) avec a \in ℂ ou N = (0, 1; 0, 0)

III.G.3) Soit

N^'

la matrice de

M_2(ℂ)

définie par :

N^' = (- 1, 1; 0, - 1)

Montrer que

N^' \in SL_2(ℂ)

et que

N^'

n'appartient pas à l'image de l'application

exp˜

.
En déduire que

exp˜

n'est ni injective, ni surjective.

IV Le cas $n = 3$

Dans toute cette partie, on suppose que

E

est un

ℂ

-espace vectoriel de dimension 3.
L'objectif est ici de montrer que l'on a encore, dans ce cas, les égalités :

L(E) = Γ_3(E)

M_3(ℂ) = Γ_3(ℂ)

.
Soient

f \in L(E), λ, μ

ν

ses valeurs propres.

IV.A

- On suppose que

λ, μ

ν

sont trois valeurs propres distinctes.
Montrer que

f \in Γ_3(E)

IV.B

- On suppose que

λ = μ = ν

.
IV.B.1) Montrer que

f - λId_E

est nilpotent.
IV.B.2) Montrer que

f \in Γ_3(E)

IV.C -

On suppose que

λ = μ, μ \neq ν

.
IV.C.1) Justifier l'existence de trois complexes

a, b, c

et d'une base (

e_1, e_2, e_3

) de

E

tels qu'on ait:

f(e_1) = λe_1; f(e_2) = ae_1 + λe_2; f(e_3) = be_1 + ce_2 + νe_3

IV.C.2) Étant donnés deux complexes

α

β

, on pose

e_3^' = e_3 + αe_1 + βe_2

Montrer que (

e_1, e_2, e_3^'

) est une base de

E

.
IV.C.3) Montrer qu'on peut choisir

α

β

de sorte que

f(e_3^') = νe_3^'

.
IV.C.4) Représenter la matrice

M

f

sur la base (

e_1, e_2, e_3^'

) ainsi obtenue.
IV.C.5) Montrer que

M \in Γ_3(ℂ)

f \in Γ_3(E)

.
IV.D - Montrer que

Γ_3(E) = L(E)

On admettra de même que

Γ_3(ℂ) = M_3(ℂ)

. L'application exponentielle est ainsi une application de

L(E)

dans

GL(E)

.
IV.E - Soient

θ

un réel non nul et

R(θ) \in M_3(ℂ)

définie par :

R(θ) = (0, - θ, 0; θ, 0, 0; 0, 0, 0)

IV.E.1) Calculer

expR(θ)

.
IV.E.2) En déduire que l'application

exp : L(E) ⟶ GL(E)

n'est pas injective.
N.B : On pourrait montrer, par un procédé analogue à celui utilisé dans le cas

n = 2

, que

exp : L(E) ⟶ GL(E)

est encore surjective dans le cas

n = 3

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale TSI 2011 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes, les matrices nilpotentes, la trigonalisation, la trace et la construction de l'exponentielle d'un endomorphisme ou d'une matrice.

Les quatre parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non, la partie I fournit les outils de la partie II, qui définit l'exponentielle utilisée ensuite dans les parties III et IV consacrées respectivement aux dimensions 2 et 3.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La réduction des endomorphismes, la trigonalisation, les matrices nilpotentes, la trace et les propriétés du groupe linéaire GL(E).

Ce sujet nécessite-t-il de connaître l'exponentielle de matrice hors programme ?

Non, l'énoncé construit lui-même la notion d'exponentielle d'un endomorphisme à partir des cas diagonalisable et nilpotent, sans la supposer connue.

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I Préliminaires : endomorphismes nilpotents, trace d'un endomorphisme

II Exponentielle d'un endomorphisme

II.A.1)

II.C.1)

III Le cas n = 2

III.E -

IV Le cas n = 3

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale TSI 2011 ?

Les quatre parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Ce sujet nécessite-t-il de connaître l'exponentielle de matrice hors programme ?

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III Le cas $n = 2$

IV Le cas $n = 3$